第三章 理性消费者
本章以单个消费者为着眼点，研究理性消费者的行为特点与活动规律。我们的基本假设是：消费者以追求效用最大化为目的，是市场价格的接受者，完全依据价格行事。本章及后面几章都假定市场上总共有种可供选择的商品。
第一节 可行的消费
消费活动表现为消费者选择若干数量的一系列商品进行消费，或者说选择完整的消费计划。假定市场上总共有种可供选择的商品，于是一个完整的消费计划(或者消费方案)就表现为一个维向量。这样，消费活动就表现为消费者选择商品空间中的向量。
习惯上，人们总是用正消费来表示消费者对一种商品的真正消费，用负消费来表示消费者向市场提供商品(比如提供劳动)。按照这个解释，消费计划的意义就明显了。表明消费者计划真正消费个单位的商品；表示消费者向市场提供个单位的商品；则说明他既不消费也不向市场提供第种商品。
一、消费集合
一般来说，并非商品空间中的任何商品向量都允许作为消费者的消费计划。消费活动必然受到消费者所生存的社会环境和自然环境的影响，受到法律、制度、政策、物质财富、生理状态等条件的制约。例如，毒品虽然是商品，但法律规定不允许买卖和消费。又如，人总是要吃饭的，人对食物的消费应当是正消费。这样或那样的限制，导致商品空间中的一部分向量所代表的消费计划，成为不允许或不可能选择的消费计划，应当把它们加以排除，剩下来的那些允许作为消费计划的向量构成了商品空间的一个子集合，我们把这个集合叫做消费者的消费集合，并用表示之。消费集合中的向量称为可行消费向量或可行消费计划。
应当注意，消费集合同具体的消费者有关，不同消费者的消费集合可能会不同。我们现在考虑的是一个任意指定的消费者，消费集合便是固定的。
二、关于消费集合的假定
消费集合描述了消费者选择活动的允许范围，即他的自由选择范围。上面对这个范围的描述显然是很一般的，没有说出它应具有什么样的结构特点。从理论上讲，没有特点的描述或表示，对于理论的建立和发展就不会有很大的作用。因此，在提出消费集合的概念之后，首要的任务是去寻找消费集合的一般特征。经济学中，寻找消费集合的特征，表现为对消费集合提出一些合理的前提假设，即对消费选择进行一些可行性分析。
(一)闭性假设假设HC1(闭性),消费集合是商品空间的非空闭子集。
这是一个为人们普遍接受和承认的假设，即认为可行消费具有连续性，其经济含义是，凡是能由一系列可行消费计划来接近的消费计划，仍然是可行的消费计划。用简明的数学语言来说，如果一个商品向量是消费集合中的一列向量的极限，那么这个商品向量就属于消费集合，即它代表着可行消费计划。我们把这条假设称为闭性假设，它等价于说,消费集合边界上的消费计划都是可行的，即消费集合包含着它的边界。
(二)下有界性假设假设HC2(下有界性)．存在向量使得对一切,都成立 。
从消费者本身考察可发现，用于真正消费的商品，其消费量不会无限制地缩小下去。例如食品是消费者生存之必需品，对它的消费量有一个最小需要量的限制。另一方面，由消费者提供的商品，其供给量不可能无限制地增大。比方说由消费者提供的劳动，由于消费者生理上的限制，他对劳动的供给量必有一个最大限度。这样一来，正消费商品的消费量有一个下限，负消费商品的消费量的绝对值有一个上限，因而负消费量也有一个下限。结果消费集合是下有界的。这就是下有界性假设的意义,它是一条基本需要假设。
(三)连通性假设假设HC3(连通性),消费集合是商品空间的连通子集。
市场的完全性假定了消费者掌握的信息是完全的，他可以根据市场行情不断地改变自己的行动计划，在允许的范围内不断调整消费方案，从一种方案过度到另一方案。这便要求消费集合具有完整性，不能是拼凑起来的相互隔离的块，即消费集合不应能被分离成这样的两个范围与：
与非空且不相交，与的并集是；
消费者不论从中哪一种消费计划出发，也不论在中采取哪种方式去不断改变消费计划，都无法接近中的任何一种计划；
同样也不论从中哪一种计划出发，不论在中采取什么样的方式来不断改变消费计划，都无法接近中的任何一种计划。
消费集合的这种性质，称为消费集合的连通性。用数学的语言讲，连通性表明不能表示成为两个相隔离的非空子集之并。所谓的子集与相隔离，是指连同自己的边界不与相交，同时连同自己的边界不与相交；等价地说，中任何序列的极限都不在中，且中任何序列的极限也都不在中。连通的等价条件是，不能表示成为两个不相交的非空(相对)闭(开)子集之并。
(四)凸性假设假设HC4(凸性),消费集合是商品空间的凸子集。
实际消费活动中，当消费者面临两种选择时往往进行综合，使其二者兼顾。例如，消费者面临着选择四两米饭或者选择四两馒头时，常常会作出这样的综合处理：同时选择二两米饭和二两馒头来消费，即消费多样化。通常，消费多样化的处理方法是对两种消费计划进行加权平均。于是，消费集合表现出凸性。
所谓的凸性，是指对中任何两个向量和以及任何的实数：，皆成立,这正说明任何两种可行消费的加权平均消费方案仍然是可行的。
消费集合的凸性是比连通性更好的性质，凸性直接明确地指出了从一种可行消费方案过渡到另一种可行消费方案的最短连续途径，凸性蕴含着连通性。
有时消费集合不具有凸性，甚至连连通性都不具备。一种情形是考虑位于不同地区的商品，此时消费集合不具有凸性。例如，考虑位于北京和深圳两地的商品，消费者不可能同时既位于北京，又位于深圳。当他位于北京时，只面临着北京市面上的商品；位于深圳时，只面临着深圳市面上的商品。想在同一时刻既购买位于北京的商品，又购买位于上海的商品，则是不可能做到的。因此，他的消费集合不是凸集。图3-1描绘了这种消费集合的形状：它是由两条座标轴的正半部分构成的。在完全的市场中，任何两种商品之间都可以进行直接交换，结果这种不同地区的考虑被排除外。
另一种情况是商品用整数来计量，此时消费集合也是非凸的(见图3-2)。但从理论上讲，对非凸集合进行凸化处理，即用它的凸包(即包含它的最小凸集)来代替它，这是可行的。尤其是当对商品的消费量较大时，至于用整数还是用一般实数来计量多少，便无关紧要。凸化处理后得到的结论，同未进行凸化处理情况下的结论的偏差并不很大，而且凸化处理给建立理论带来了很大的方便。鉴于这个原因，可以直接假定消费集合是凸集。
上海 面粉
消费集合
消费集合
北京 电视机
图3-1 位于不同地区的商品 图3-2 用整数计量的商品通常认为，闭性、下有界性和连通性是消费集合特有的性质，尤其是连通性表明，任何两种可行消费方案方案之间都有连续的过渡渠道。实际消费活动中，消费集合还往往表现出比连通性更好的性质——凸性。凸性替代了连通性，并与闭性和下有界性一道共同构成如下假设，被常常采用之。
假设HC,消费集合是商品空间的非空下有界闭凸子集。
第二节 消费者偏好
消费集合划定了消费者的允许选择范围，在这个范围内消费者选择自己满意的消费方案。消费者对这种方案满意，而对那种方案不满意，意味着消费能够对各种可行消费方案的好坏作出比较和评价，这种评价反映了消费者的偏好(即嗜好或爱好)。本节研究这种偏好。
一．效用与偏好
偏好与效用是联系在一起的。如果一种商品对于消费者没有效用，消费者就不会产生对这种商品的偏好。所谓效用，是指消费者消费一定数量的若干种商品后所感受到的满足程度。商品之所以能让消费者感到一定程度的满足，是因为商品具有一定的满足人们需要的能力。商品的效用，实际上就是消费者主观感受到的商品的使用价值，因人而异。 不同消费者在消费了同等数量的同一商品后，所取得的效用是不同的，各个有各人的感受。例如，对于喜欢吃米饭的人来说，吃完四两米饭后会感到很满足，而对于不喜欢吃米饭的人来说，吃完后会感到不满足。效用还因时因地而定，不同时刻不同环境下同一消费者消费同等数量的同一商品，其所感受到的满足程度也是不一样的。例如，“酒逢知己千杯少”就是说在愉快的环境中借酒可助兴和使人感到满足；反之则不然。又如，“雪中送碳”说的也是同样的道理。
效用作为自我感受，可以进行自我比较，即同一人对自己消费不同(数量或种类的)商品后所感到的满足程度可以进行比较，对自己在不同时刻或环境下消费商品后所取得的效用可以进行比较。但是，不同消费者消费商品后所取得的效用不能进行比较。各个人的喜好及对满足程度的主观评价原则都会不同，因此效用不能在消费者之间进行比较，即不能进行相互比较。
效用可自我比较，意味着消费者对各种可行消费方案总可以排出个好坏次序，即不论他能否说出满足程度到底有多少，但总可以说出“这种消费比那种消费更好一些或较差一些或没有什么差异”，这便是序数效用论的观点。。消费者对消费方案作出的这种评价和比较，就是消费者的偏好。当然，这种评价不具有基数效用那样的绝对意义。
二．偏好关系
为了描述消费者的偏好，设消费集合为，并设和是种的任意两种消费方案。如果消费者认为比好，就记为,称作“优于”；如果他认为比差，就记为，称作“次于”；如果他认为与一样好，就记为，称作“与无差异”。当然，当优于时，次于。因此，与具有同样的意义。
注意，理性消费者不能够对方案和同时作出这三种评价的两种或两种以上，也就是说，关系、和不能同时有两个或两个以上成立。如果某人认为优于的同时，又认为次于，那么他就是一个失去理性的人。
当然，有些时候人们有可能对某两种方案的“谁好谁坏”无法作出判断。但作为一个理性人，应该不会发生这种情况。另一方面，为了讨论上的方便，我们也要假定经济人能够对任何两种方案作出“谁好谁坏”的评价。这样，理性消费者必然能够作出而且最多只能作出三种评价之一：要么，要么，要么。
消费方案之间的比较“”，好象实数之间的大小比较“<”一样，确定了消费集合上的一种“序”关系。我们知道，在比较实数大小时可以使用不严格的序关系(或)。同样，在消费方案的比较中也可使用不严格的“序”关系 (或),定义如下：()是指或，称作“不优于”；是指或，称作“不次于”。遵照数学表示上的习惯，当不成立时，就用表示之。可以看出：
由此引出的消费集合上的二元关系 (或 )，称为消费者的偏好关系。它服从下面三条公理：
自反性(reflexivity),
完全性(completeness),
传递性(transitivity),
或者说，偏好关系 (或 )是消费集合上的自反、传递、完全的二元关系。关系 (或)反映的是消费者偏好，关系(或)反映了消费者的严格偏好，关系反映了消费者的无差异偏好。可以证明，无差异偏好“”是上的等价关系。集合称作的等价类或者无差异类或者无差异曲线，它由两两无差异的消费方案构成。不同的无差异类互不相交。
我们对上述三个公理作一点解释。偏好关系服从自反性公理，这是因为任何消费方案都同自身是无差异的。如果某个消费者认为一种消费方案同它自己比较时都存在有差异，那么很难认为该消费者具有理性。至于完全性公理，它是说消费者在任何两种可行消费方案之间都可作出“谁好谁坏”的评价，这一点在前面已经讲过了。
最后来看传递性公理。传递性意味着对于任何：若且，则；若且，则。事实上，当且时，传递性已告诉我们，。假如说成立，那么就有，从而，即或者，或者。结合可知，、、中有两个同时成立，这是不可能的。可见，不能成立，故只有。同理可证，当且时，。
如果说消费者偏好不服从传递性公理，会出现什么情况？举例来说，比方张三认为苹果比梨好，梨比桃好，而桃又比苹果好。张三手中拿有一个苹果，李四手中拿有一个梨和一个桃。那么此时李四提出用桃换张三的苹果，并要求张三找给李四微不足道的一分钱，李四就不会不答应。交换完毕后，李四又提出用梨换张三手中的桃，并要求张三找李四一分钱，张三又会答应下来。交换完后，李四再次提出用苹果换张三的梨，同样要求张三找李四一分钱，张三还是会同意的。这样的交换一直可无限进行下去，而且每次交换后张三都会感到更满足。由此可想而知，即使张三是个百万富翁，在这种无限的交换过程中，尽管每次交换都让张三很感满意，最后张三必然要成为穷光蛋，而李四仅用一个梨和一个桃就变成了百万富翁。显然这样的事情不可能发生在理性消费者身上，即理性消费者的偏好一定会服从传递性公理。
三．关于偏好的假设
理性消费者对于商品消费的偏好还具有一些特点，偏好关系具有一些一般性质。这些一般性质通常以下面的假设形式提出：
假设HP,消费者的偏好关系是无满足的、连续的、严格凸的。
这个假设实际上由三个分假设构成：无满足性假设、连续性假设、凸性假设。有时候，还会对偏好提出单调性假设。下面，我们分别介绍和讨论这四种假设。
(一)偏好的无满足性人们常说，欲望是无止境的，一个欲望满足了，接着就有另一个更大的欲望出现，没有理由去限制更大欲望的不断产生。对于消费者而言，他的欲望是通过他的偏好来反映的。欲望的无止境就表现为，当他每选择到一种消费方案之时，总发现还有比这种方案更好的可行消费方案。消费者选择过程中所表现出的这种现象，叫做偏好的无满足性，这里以“假设”的形式提出这条性质。
假设HP1(偏好的无满足性),对于消费集合中的任一方案,总存在中的另一方案,使得,即消费者认为比好。
针对无满足性，可以再提出两个概念。设是消费集合的子集。方案叫做是消费者在中的满足消费，是指对一切都有。如果中没有满足消费方案，就称消费者在中无满足；否则，称消费者在中有满足。显然，偏好的无满足性是说消费者在中无满足。今后为了简单起见，我们把消费者在中的满足消费称为消费者的满足消费。
消费者在方案处局部无满足，是指对的任何邻域,都存在,使得。如果消费者在任何可行方案处都是局部无满足的，则称他(的偏好)是局部无满足的。显然，局部无满足性隐含着无满足性，但反之不然。
(二)偏好的连续性偏好的连续性，是指消费者在对消费方案进行评价时表现出的这样一种规律：选定一种方案作为衡量其它方案优次的标准以后，任何一列不比优的可行消费方案的极限依然不比优，任何一列不比次的可行消费方案的极限依然不比次。也就是说，消费者的主观评价具有连续性。例如，如果一个人被人们认为表现好，那么在大家心目中他就总是表现好，即使他做出了坏事；如果人们认为他表现差，那么他总会被戴上表现差的帽子，即使他做了好事。用数学术语来表达，即假设HP2(偏好的连续性),对任何,集合与都是的闭子集。等价地说，集合与都是的相对开子集（这里，的相对开子集是指的开子集同的交集）。
在生活水平低下，温饱问题都没有得到基本解决的情况下，消费者的偏好不具有连续性。他首先要设法解决吃饭问题，其次才去考虑穿着问题。吃穿问题都得到妥善解决之后，才再来考虑改善住宅条件的问题。因此，在对食物、衣服和住宅三种商品的消费方面，他的偏好可用字典序来表示。可以证明，这种偏好是不连续的(具体证明留作读者练习)。当生活水平较高时，消费者不再需要去考虑必须首先解决哪一种商品的消费问题，而要考虑全面消费与综合效用问题，能够对消费计划作出综合评价时，他的偏好就表现出连续性。 因此，偏好的连续性是消费者生活水平较高的体现。
(三)偏好的凸性消费集合的凸性，允许消费者采取加权平均法对任何两种可行消费计划进行综合。那么综合消费的效果如何? 一般来讲，综合消费方案会比原来较差的方案要好。举例来说，假如某人认为消费2斤猪肉比消费2斤鸡蛋要好(或不差)，那么同时消费1斤猪肉和1斤鸡蛋就比只消费2斤鸡蛋要好。这种现象叫做偏好的凸性。具体来说，凸性有如下几种表达方式：
定义(偏好的凸性),设消费集合是凸集。偏好关系 称作是：
（1）弱凸的，是指对任何及,若,则；
（2）凸的，是指对任何及,若,则；
（3）严格凸的，是指对任何及,若且,则；
（4）内部严格凸的，是指是凸的，并且对任何int及, 若且,则。
下面对这几种凸性作一些分析。
1,弱凸偏好的特征设消费集合是凸集， 是上的偏好关系。则
(1) 是弱凸偏好当且仅当对任何，集合是凸集；
(2) 是弱凸偏好当且仅当对任何，集合是凸集。
我们来证明这两个事实。
(1)的证明,设是弱凸的，我们来证明：对任何,是凸集。为此，任意给定和，并记。从的完全性可知，总有或成立，但不论哪一个成立，的弱凸性和传递性都保证了,即，这就证明了是凸集。
反之，设对任何，都是凸集，我们来证明： 是弱凸的。为此，设，，，并记。注意，且是凸集。于是，,即，这就证明了的弱凸性。
(2)的证明,设是弱凸的，我们来证明：对任何,是凸集。为此，任意给定和，并记。从的完全性可知，总有或成立。于是，的弱凸性保证了或者,从而，即，这就证明了是凸集。
反之，设对任何，都是凸集，我们来证明 是弱凸的，即欲证明：对任何，，，记，都有。用反证法来证明，假定不成立，即假定。于是，，这说明。既然是凸集，因此应该有，即，这是不可能发生的结果。可见，不成立是不可能的，故只有成立。这就证明了的弱凸性。
2,连续凸偏好的特点凸偏好未必是弱凸的，弱凸偏好也未必是凸的。但是对于连续偏好来说，凸性蕴含着弱凸性，即连续凸偏好必然是弱凸的，这正是“弱凸性”中,弱”字的意义所在。当消费者具有连续、凸的偏好时，两种不同无差异消费方案的加权平均也具有特殊的效果：要么所有的加权平均方案都与原来的方案无差异，要么所有的加权平均方案都比原来的方案更优。不会出现“一些加权平均方案与原方案无差异，另一些加权平均方案则比原方案好”的情况。用简明语言表达，即，对于任何，，，要么，要么。
连续凸偏好为什么会具有如上所述的特点呢？我们作一点分析。
首先看连续凸偏好必然是弱凸的这一事实是否成立。任意给定，,。记，欲证。采用反证法，假定。则。记，即是连接和的开线段(不包含端点)。的凸性说明，对一切成立。
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·
图3-3 连接两点的线段我们指出，对一切成立。事实上，任意给定，则，且，即位于连接和的开线段上（如图3-3所示）。如果说，即或，那么在的情况下的凸性说明，这与相矛盾；在的情况下的凸性说明，这又与相矛盾。可见，不能成立，故只有，即与无差异。
既然中的所有方案都与无差异， 的连续性便蕴含着和都与无差异，从而，这与相矛盾。可见不能成立，因而只有。的弱凸性得到证明。
其次，再来看无差异方案加权平均的效果。设，且。仍用表示连接和的开线段。既然连续凸偏好是弱凸的，中的任何方案就都不比和差。如果中确实有某个方案优于，那么的凸性便保证了中的任何方案都要优于和(因为与无差异)。这就说明，要么中的任何方案都与无差异，要么中的任何方案都要比好。
3,严格凸偏好的特点显然，严格凸偏好必是凸偏好，也必是弱凸偏好。一个更有意义的特点是，严格凸偏好下的任何无差异类都不包含有非单点的非空凸子集，因而无差异类很薄，而且不会包含任何直线段。下面，我们对这个特点作一论证。
用反证法。假如某个无差异类包含有非单点的非空凸子集，那么在该凸子集中就可取出两个不同的点和，并令。从偏好的严格凸性可知，，从而；但注意，，即，这与相矛盾。可见，中不可能包含有非单点的非空凸子集。证明完毕。
偏好的内部严格凸性介于凸性和严格凸性之间。需求函数的存在性离不开严格凸性或至少离不开内部严格凸性。因此，我们把严格凸性作为对消费者的一种假设而接受下来。
假设HP3(凸性假设),消费者的偏好关系是严格凸的。
(四)偏好的单调性欲望无止境也反映在商品的消费数量上，即消费者认为商品数量越多越好，这就是消费者偏好的单调性。单调性也有多种表述方式，并且在理论研究中往往会为用到，但本书不把它作为讨论的必要前提。
定义(偏好的单调性),消费集合上的偏好关系 叫做是：
(1) 弱单调的，是指对任何,若,则；
(2) 单调的，是指对任何,若,则；
(3) 严格单调的，是指对任何,若,则；
(4) 强单调的，是指对任何,若,则。
四种单调性之间的关系如下：(1)强单调性最强，弱单调性最弱；(2)如果连续且满足条件，则严格单调性隐含着单调性；(3)如果严格凸，则单调性等价于强单调性，严格单调性等价于弱单调性；(4)如果连续、严格凸，且满足条件，则这四种单调性相互等价。
四．理性消费者
一般认为，假设HC和假设HP所描述的特点，是理性消费者所具备的特点。因此，我们对理性消费者作出这样的构画：理性消费者的消费集合是商品空间的非空下有界闭凸子集，他的偏好 是无满足的、连续的凸偏好。在这个构画下，我们进一步分析一下理性消费者的特点。
特点1,具有连续偏好的消费者在消费集合的任何非空有界闭子集中都有满足，从而理性消费者在他的消费集合的任何非空有界闭子集中都有满足。
本特点的直观含义如图3-4所示。设是的任意一个非空有界闭子集。对于，令，则是的具有有限交性质的闭子集族，从而具有非空的交集（因为是紧集）。从该交集中取出一点，则（即）对一切成立，这说明消费者在中最满足的消费方案。既然这种消费方案存在，因此消费者在中有满足。
特点2,具有无满足的凸偏好的消费者必然局部无满足，从而理性消费者局部无满足。
为了证实这一特点,任意给定,并设是的任一邻域。偏好 的无满足性保证了中有比更好的消费方案存在。对于这个，连接和的开线段必然要与相交(如图3-5所示)，取其交点之一，并用表示之。注意， 是凸偏好，且是与的加权平均方案。因此，。既然是从中取出来的点，临域中存在着比更好的消费方案。这就说明 是局部无满足的偏好。
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图3-4 有界闭集中有满足消费 图3-5 局部无满足
第三节 效用函数
效用理论是消费理论的基础，起源于基数效用学说，后来发展成为序数效用论。序数效用论者认为，作为主观感受的效用是一个抽象概念，无法计量多少，只可进行比较并用序数给出优次排序。本节从序数效用概念出发，对消费者在商品消费中获得的满足程度进行分析。
一、效用函数的概念
消费者对各种可行消费方案排出的优劣次序，很类似于实数之间的大小顺序。的确，序数效用论者就是这么看待商品效用的。他们认为，按照实数之间的大小顺序可以标出各种消费方案之间的优劣次序。但是，这种观点的正确性直到1954年才由德布罗给出了证明。
效用函数就是序数效用论者所说的那种表示消费方案优次排序的函数。具体来讲，设是消费集合的偏好关系，一个定义在上的实值函数叫做是的效用函数，是指满足如下条件：。当是的效用函数时，也称是的效用表示，或称是诱导的偏好关系。
显然，效用函数的意义在于用实数顺序给出了各种消费方案的优次排序。可以看出，如果是偏好关系的效用函数，那么任何严格递增函数与的复合（对于）也是的效用函数。所以，只要的效用函数存在，的效用函数就有无限多个。我们把同一偏好关系的这无限多个效用函数同等看待，称它们是相互等价的效用函数。显然，效用函数与等价的充分必要条件是：。现在的问题是，偏好关系的效用函数存在吗？对此，德布罗于1954年作出了回答。
效用函数存在定理(G,Debreu),商品空间的任何连通子集上的连续偏好关系都有连续的效用函数。因此，理性消费者的偏好关系必然有连续的效用函数。
此定理的证明比较复杂，德布罗1954年给出了证明，但后来发现证明中有不正确的地方，
于1964才给出了正确的证明。效用函数存在定理奠定了效用理论的基础，是经济学的基本定理之一。由于这个定理，我们才可在偏好关系与效用函数之间随意地选择使用。
二、效用函数的性质
对应于消费者偏好的凸性和单调性，效用函数也具有相应的一系列性质。
定义,效用函数叫做是：
(1) 弱拟凹的是指对任何及,若,则；
(2) 拟凹的，是指对任何及,若,则；
(3) 严格拟凹的,是指对于,，及,
若,则；
(4) 内部严格拟凹的，是指对于,，及,
若,则；
(5) 弱单调的，是指对任何，若,则；
(6) 单调的，是指对任何，若,则；
(7) 严格单调的，是指对任何，若,则；
(8) 强单调的，是指对任何，若,则。
效用函数的性质与偏好关系的性质之间的对应关系由下面定理所表达。
定理,设是偏好关系的效用函数。
(1) 是弱凸的当且仅当是弱拟凹的；
(2) 是凸的当且仅当是拟凹的；
(3) 是严格凸的当且仅当是严格拟凹的；
(4) 是内部严格凸的当且仅当是内部严格拟凹的；
(5) 是单调的当且仅当是单调的；
(6) 是严格单调的当且仅当是严格单调的；
(7) 是弱单调的当且仅当是弱单调的；
(8) 是强单调的当且仅当是强单调的；
(9) 是连续的当且仅当等价于一个连续效用函数；
(10) 是无满足的当且仅当在上无最大值；
(11) 是局部无满足的当且仅当在中处处无极大值；
(12) 是消费者在中的满足消费当且仅当是在上的最大值点。
三、可微效用函数
边际分析法要使用效用函数的一阶和二阶偏导数，以往的做法是直接假定这些偏导数存在。那么，效用函数确实具有这些偏导数吗？这就是可微效用函数的存在性问题。20世纪70年代，经济学家对效用函数倾注了较多的注意力，尤其是德布罗于1972年对效用函数的可微性问题作出了肯定的答复。
设为一正整数，表示由一切具有直到阶的连续偏导数的函数及映射所构成的类。中的函数或映射就叫做—函数或—映射。设和是欧氏空间的两个开子集。从到的一个映射称为—微分同胚，是指：(1)是1—1映射，(2)是满射，(3)是—映射，(4)的逆映射也是—映射。
的子集叫做是一张—超曲面，是指对任何，存在的开邻域，存在的某开子集，存在从到的一个—微分同胚,以及存在中的一张超平面，使得。即在微分同胚的意义下，超曲面局部具有了超平面的结构。
对于消费集合的偏好关系来说，无差异关系 是的子集，因而是的子集。如果 是中的一张—超曲面，则称 是—偏好关系。
可微效用函数存在定理(G,Debreu),设消费集合的内部是商品空间的连通开子集，是上单调、连续的偏好关系。具有无奇点的—效用函数的充分必要条件是是—偏好关系。
本定理的证明略去。定理中所说的奇点，含义是指该点处函数的各个一阶偏导数都为零。有了这个定理以后,大多数情况下我们都可去假定效用函数的二阶连续可微性，而不必为这种函数的存在性而担心。鉴于此，经济分析中常常使用如下关于效用函数的可微性假设。
假设HU(可微性假设),消费者的效用函数在消费集合内部二阶连续可微，并且在各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。
四、效用梯度与偏好梯度
初级微观经济学已经展示了无差异分析的重要作用。当考虑两种商品之间的替代问题时，无差异曲线的切线斜率就是两种商品之间的边际替代率。然而初级分析只是限于一种商品替代另一种商品的情况，没有考虑一种替代多种商品，或者多种商品替代一种商品的情况。为了把商品之间的相互替代问题考虑得更加全面，需要使用效用梯度和偏好梯度这两个概念。
设消费者的效用函数为，并且服从假设HU。消费向量处的效用梯度是指向量，它是通过点的无差异曲线的法方向。显然，效用梯度的大小同所选择的具体效用函数有关。
效用梯度指向效用增大最快的方向，即指向效用水平提高最快的方向。这是因为从全微分公式(这里表示向量内积)可知，只有当增加的消费向量与效用梯度的夹角保持锐角时，效用的增加量才大于零；当的(长度不变)方向变化到与同方向时，效用增加量达到最大。因此，效用梯度指向效用增大最快的方向，即在各个方向上的消费等量增加中，效用梯度所指的方向效用增加得最大。这就解释了效用梯度的经济含义。
然而，如上定义的效用梯度是依据具体的效用函数来给出的，这就存在着一个问题：效用梯度的方向是否与效用函数的选择有关？如果答案是肯定的，那么引进效用梯度概念的意义就不大了。幸运的是，下面的定理保证了效用梯度方向与具体的效用函数选择无关。
定理,设和是两个等价的效用函数，它们都在内部一阶连续可导，并且在内部每点处的各个一阶偏导数不会同时都为零。用和分别表示与的函数值的全体。则存在映射满足如下两个条件：
(1) 对任何的，；
(2) 对任何的，都有，在处可微，，并且
，从而。
由此定理，我们便可引入与效用函数选择无关的偏好梯度概念。消费方案处的偏好梯度是指单位向量:
其中是消费者的一个在消费集合内部一阶连续可微、在消费集合内部每点处的各个一阶偏到数不会同时为零的效用函数。显然，偏好梯度指向效用增大最快的方向，与效用函数无关，但与消费者偏好有关，由偏好关系决定。
利用偏好梯度，商品之间的替代关系可表达为：一些商品的消费量减少(增加)时，为了保持效用水平不变，其余商品的消费量的变化量必须服从如下关系：
其中表示第种商品的消费量的变化量。这就是说，为了保持效用水平不变，商品消费量的调整向量必须保持与偏好梯度正交。
定理的证明,与等价，即与是同一偏好的两个效用函数。定义如下：。则是严格递增函数，并且明显满足条件(1)。以下证明满足条件(2)。为此，设任意给定，并记。
从可知，存在正数使得开球。既然在内部每点处的各个一阶偏导数不同时全为零，在处必有某个使得。
令，则不是在中的极值点，从而存在和使得且。这说明。
现在，对于中任一趋向于的序列，从及的连续性可知，必然存在中的一个序列使得且。于是
这说明在处是可微的。注意，是任意给定的，从而是可微函数。
既然，应用复合函数求导法则可得，这说明。注意，及，因此。再注意，是递增函数，于是。
最后，从可知，。
第四节 效用最大化
作为理性人，消费者不但要服从客观条件的限制，而且要服从经济条件的限制，他在这些条件的限制下选择自己最满意的消费方案，在条件许可的范围内追求效用最大化。本节就来研究理性消费者的这种效用最大化行为。
消费者的福利是通过他们的偏好来反映的。当把这种消费同另一种消费作比较时，如果消费者更喜欢这种消费，说明这种消费能给消费者带来更大的满足，因而更需要这一种消费。如果不考虑经济条件的限制，那么消费者的这种需要就是一种无止境的欲望，没有一个满足的时候。经济学不研究如何满足人们无止境的欲望，而只研究受一定经济条件限制的消费者需要。这就是效用最大化问题。
一、收入约束
消费者进行消费选择时，一方面要受到一般性的客观条件制约，要求在消费集合所划定的许可范围内选择；另一方面，还要受到经济条件的制约，要求在收入允许的范围内选择。作为理性人，消费者不能以抢或偷的方式去克服收入限制。他可以借款消费，但这实际上等同于扩大了收入，而他的选择则是在扩大的收入限制下进行，因此还是没有摆脱收入带来的约束。效用最大化就是指消费者在一定的收入条件限制下追求最大程度地满足。
设消费者面临的商品空间为，消费集合为，偏好关系为,收入为，商品的市场价格体系为。消费者只能接受这个价格体系，而不能影响和改变它。用表示要选择的消费方案。
消费者受到的客观条件制约，要求他选择的方案必须符合条件：；他受到的经济条件制约主要来自于收入的有限性，要求选择的方案还必须符合条件：。把这两个条件结合在一起，便形成了消费者的收入约束或者叫做预算约束：
收入约束确定了消费者的实际选择范围，它不再是整个消费集合，而只是的一部分：
称这个集合为消费者的预算集合。效用最大化，就是指消费者在预算集合内选择到自己最满意的消费方案。
为了能使消费者在符合收入约束的限制下选择到所需要的消费向量，消费者的收入应该满足最低支出条件：
称为价格体系下的最低支出。如果收入低于最低支出，那么消费集合中就没有一个方案是允许消费者选择的。所以，最低支出条件是必须的。
二、马歇尔需求
理性消费者最终选定的消费方案，是预算集合中他认为最好的消费方案，这个方案就是马歇尔从效用最大化出发推导出的消费者需求，人们称其为马歇尔需求，或者简称为需求。
预算集合中消费者认为最好的消费方案可能不止一种。当然，这些最好的消费方案之间必然是无差异的，否则就与“最好”产生自相矛盾。用表示预算集合中消费者认为最好的所有消费方案组成的集合，即
这个集合称为消费者在价格体系和收入之下的马歇尔需求集合，或者简称为需求集合。中的向量称为消费者在价格体系和收入之下的马歇尔需求向量，或者简称为需求向量。显然，马歇尔需求集合中的任何两种消费方案都是无差异的。
现在的问题是，效用最大化问题的这种表述方式可靠吗？换句话说，马歇尔需求是否存在？如果不存在，那么消费者就根本选不出最优消费方案，效用最大化理论就是空谈。下面的定理作出了肯定的回答。
定理(马歇尔需求的存在性),如果消费集合是下有界非空闭集，并且消费者偏好是连续的，则对任何价格体系及收入,都有（即马歇尔需求集合非空)。从而理性消费者的马歇尔需求存在。
从此定理可见，的子集是由那些使马歇尔需求集合非空的价格—收入组合构成的集合，因此称这个集合为价格收入集合，它对研究马歇尔需求具有重要意义，而且今后将会经常用到它。集合的内部也是很重要的，今后也将会多次用到。鉴于此，本书中，符合和具有这里的专门意义：
现在，我们来看一看这个定理成立的必然性。从第二节对于理性消费者特点的讨论可知，理性消费者在消费集合的任何有界闭子集中都有满足。注意，对于价格体系及收入，预算集合是消费集合的非空有界闭子集，因而消费者在这个集合中必有满足，这就是说马歇尔需求是存在的。
我们还可以从效用函数的角度来看需求的存在性。既然是连续偏好，根据效用函数存在定理，存在的连续效用函数。需求向量是预算集合中效用最大的商品向量，即是效用函数在中的最大值点。在的非空有界闭子集中有定义的连续函数必有最大值，而确实是的有界非空闭子集，又是连续的且在中有定义，于是，在中的最大值点必存在，即马歇尔需求集合是非空的。
知道马歇尔需求存在以后，如果还能知道马歇尔需求是唯一的，那么效用最大化问题的解决就可谓圆满。下面定理回答了马歇尔需求的唯一性问题。
定理(马歇尔需求的唯一性),如果消费者偏好严格凸，则对任何价格向量和收入，都是单点集或空集；如果是内部严格凸的，则对价格向量和收入，当时，是单点集或空集。因此，理性消费者的马歇尔需求是唯一的。
证明：对于任意给定的价格—收入，如果是空集，则定理结论已经得证。因此，我们假定非空。用反证法，假定不是单点集，即假定中有两种不同的消费方案和，那么这两种方案必然无差异，即。令，则，且从偏好的严格凸性可知，比和都优。这与和是预算集合中的最优方案相矛盾。矛盾的结论说明，只能是单点集。
马歇尔需求的另外一条性质由下述定理给出。
定理(马歇尔需求的结清性),设是无满足的凸偏好，则对任何及,都有（此种情况可写作），即马歇尔需求实现了消费者的收支平衡。
本定理说明，在消费者欲望无止境的情况下，消费者只有把他的收入全部用于消费，才能获得最大限度的满足。否则，就实现不了效用最大化。
下面证明本定理。设是任意给定的方案，欲证。采用反证法，假定，那么必然，这是因为。既然是无满足的偏好，就存在着某个方案使得。由于是中的最优方案，于是必然不在预算集合中，即(如图3-6所示)。
·
·
· 预算线
图3-6 证明思路的直观意义对每个，令，则定义了闭区间上的连续函数，且。从连续函数介值定理可知，存在使得。令，则,,从而。注意，且是凸偏好，因此，这与是中的最优方案相矛盾。可见不能成立，即只有。
三、需求映射
马歇尔需求的存在性和唯一性告诉我们，对于理性消费者来说，即在假设HC和假设HP 下，对于任何的,都有唯一的方案与之对应，即。这就定义了一个从价格收入集合到消费集合的映射，称这个映射为消费者的马歇尔需求映射，简称为需求映射。
把写成分量形式：，便得到定义在上的个函数，称这些函数为消费者的马歇尔需求函数，简称为需求函数。
要确定需求映射，假设HC和假设HP是必需的。不严格地说，马歇尔需求映射的确定几乎等同说偏好关系是严格凸的。如果马歇尔需求落在消费集合内部，即对任何，都有，那么马歇尔需求映射的确定就几乎等同于偏好的内部严格凸性。
注意，对于任何实数，，即把价格和收入按照同一比例扩大或缩小时，预算集合不变。因此，相应的马歇尔需求也就不变。这个给出了需求映射的如下性质：
定理(需求映射的零阶齐次性),对任何及实数，都有。
再从前面关于马歇尔需求结清性的讨论可知，需求映射还具有人们通常所说的瓦尔拉性质，即收支平衡。这种性质，也叫做需求映射的瓦尔拉法则。
定理(需求映射的瓦尔拉法则),对任何,都有，即收支平衡。
四、间接效用函数
马歇尔需求是消费者在价格体系和收入水平下必然选择的消费方案，代表着由价格体系和收入确定的效用水平(即消费者生活水平)。这样，当价格与收入发生变化时，消费者生活水平就跟着发生变化。间接效用函数就是反映消费者生活水平同价格和收入之间的关系的函数，它通过(直接)效用函数和需求映射来定义：对于任何，
通过研究间接效用函数，我们可掌握消费者生活水平随价格和收入的变化规律。以后在讨论消费最优化的实现问题和研究需求变动规律的时候，间接效用函数将会进一步提及。
第五节 支出最小化
支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下谋求消费支出达到最少。显然，这种行为也是一种符合理性的行为，是消费最优化的体现。希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。本节就来讨论支出最小化问题。
一、支出约束
当消费者面临一种消费方案时，他常常会作这样的考虑：只要效用不降低，支出越少就越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的“商品”，支付货币相当于支付效用。以货币换商品，相当于以效用换效用。因此，以较少的效用换得较多的效用，是理性人活动的一种自然现象。
按照支出最小化的思路，我们来分析一下消费者的选择。假定消费者目前面对的消费方案为，商品的价格体系为，从而按照方案进行消费的货币支出为。如果说还有另外一种消费方案，按照消费不但比按消费的支出少，而且能让消费者得到不比低的满足程度（即），那么消费者自然会把他的选择从调整为。如果对于，还能作类似的调整，那么消费者就会继续调整消费计划。而且这样的调整，会一直进行到不能调整为止。在这种调整过程中，集合限定了调整选择的范围。这个集合也就称为消费者在处的支出集合；条件叫做消费者在处受到的支出约束。支出约束条件也可写成：
二、希克斯需求
在价格体系下，支出集合上的最小支出记作，可写成：
在价格不变且所在的效用水平也不变的情况下，的变化不会改变支出集合，从而不会改变的值。这就是说，是随着价格和效用水平的变化而变化的量。只要，就有。因此，实际上是价格和效用水平的函数，称这个函数为消费者的支出函数。
的定义告诉我们，是价值函数在支出集合上的最小值。严格地讲，这种说法不够准确。要使说法准确，支出集合中就必须有一个价值等于的商品向量，即价值函数在支出集合中的最小值点必须存在。这个最小值点，就是希克斯从支出最小化出发得到的消费者需求，称为消费者在价格体系下和效用水平上的希克斯需求(向量)。显然，给定价格体系和效用水平后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存在，也不见得唯一。鉴于此，我们用表示消费者在价格体系下和效用水平上的希克斯需求向量的全体，称为希克斯需求集合。即
不一定非空，也不一定是单点集。但当时，中每个方案的支出都等于，此时可写作。
当，即消费支出已经是消费集合上的最低支出时，支出就不能再变小，因而无法同更低支出水平的消费进行比较，支出最小化也就意义不大了。所以，通常考虑支出最小化问题时，总要假定当前支出不是上的最低支出，即要求。
定理(希克斯需求的存在性),设消费集合是下有界非空闭集，是连续的偏好，则对任何价格向量及任何，都有 (即希克斯需求集合非空)。从而理性消费者的希克斯需求是存在的。
这是因为对于及，集合是的非空有界闭集，从而是紧集。价值函数在上连续，从而在中的最小值必然存在，这个最小值显然也是在整个支出集合上的最小值，其最小值点就是价格体系和效用水平上的希克斯需求，因此非空。
定理(希克斯需求的唯一性),设消费集合是凸集,是连续的严格凸偏好，则对于符合条件的任何价格体系和消费向量，希克斯需求集合中最多只有一种消费方案。因此，理性消费者的希克斯需求是唯一的。
证明：设和是任意给定的满足条件的价格体系和消费向量，欲证中至多一个点。用反证法，假定中有两个不同的向量和。则，这就说明存在满足。这个必然不在中，即。注意，与中必然有一个成立，不妨假定。令，则的严格凸性保证了,从而。这样，我们在中找到了一种方案满足：且(如图3-7所示)。
支出线
?
图3-7 证明思路的几何直观设为的一个连续效用函数(这样的效用函数一定存在）。定义函数如下：,则是连续函数,并且。根据连续函数的介值定理，存在满足。令，则，即，从而。
注意，，这与是上的最小支出相矛盾。可见，中不可能有两个不同的向量，即中最多只有一个点。
定理(希克斯需求的效用水平不变性),设消费集合是凸集，偏好关系是连续的，则对于符合条件的任何价格体系和消费向量，希克斯需求集合中的每种消费方案都与无差异，即。
证明：本定理的证明思路与上一定理类似，故这里简要说明之。设，欲证。用反证法，假定。既然，因此必然。
保证了存在满足，进而。与上一定理证明中寻找的方法相同，这里同样可以找到一个满足且。这样一来，就在中找到了一个支出比上的最小支出还要小的方案，这是不可能的。因此，不会成立，即只有成立。
定理(支出函数的效用性质),设消费集合满足假设HC,偏好连续，价格向量，。则对任何，当且仅当。因此，支出函数可以看成是货币度量的效用函数。
证明：任意给定。显然，若，则。下面讨论时的情形。此时，显然有。从希克斯需求的存在性定理知，和都非空。从中取出一个方案，再从中取出一个方案，则希克斯需求的效用水平不变性说明及，因此。注意，及。假如，那么必然(因为且)，从而(希克斯需求的效用不变性)，结果，这与相矛盾。可见，不能成立。这就说明，只有。
同理可证，当时，。于是，当且仅当。
三、希克斯需求映射
希克斯需求的存在性和唯一性说明，理性消费者的希克斯需求集合确定了一个从集合到消费集合的映射：对于任何的，（即是单点集的唯一元素）。称这个映射为消费者的希克斯需求映射。该映射的每一个分量函数，称为消费者的希克斯需求函数，即。
集合同集合和一样，也具有重要意义，因此符号在本书中也为专用符号：
理性消费者的希克斯需求映射具有如下几条重要性质。
性质1(关于价格的零阶齐次性),对任何及实数，都有。
这是因为价值函数和在上具有相同的最小值点。所以，各种商品价格按同一比例变化，不会影响希克斯需求。
性质2,对于任何价格向量及消费方案，当且仅当。
本性质来自于支出函数的效用性质。
性质3(比较静态),对任何和，都有。
证明：注意，和都在中。于是我们得到：
（1）
（2）
用(1)式左边减去(2)式右边，同时用(1)式右边减去(2)式左边，则可得到：
因此，。
这条性质说明，在保持效用水平不变的情况下，希克斯需求的变化方向同价格变化方向相反(即价格变化方向与希克斯需求变化方向的夹角为钝角)。当只有一种商品的价格发生变化时，该种商品的希克斯需求量就随价格的升高(降低)而减少(增加)。
第六节 消费者均衡消费最优化有两层含义，一是效用最大化，另一是支出最小化。本节首先讨论这两层含义之间的关系，即效用最大化与支出最小化之间的对偶性。然后讨论消费者均衡的实现条件。本节的大部分讨论都将在假设HC、假设HP和假设HU成立的前提下进行，并且还要假定均衡在消费集合内部实现。这样做仅仅是为了讨论上的方便。
一、效用与支出的对偶
从表面上看，效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化问题，支出最小化的希克斯需求也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此。下面定理阐述了效用最大化与支出最小化之间的对偶关系：效用最大化时支出也实现了最小化，支出最小化时也实现了效用最大化，效用最大化与支出最小化是相互确定的。
对偶定理,设消费集合符合假设HC，消费者偏好是无满足的连续凸偏好。则对任何和，都有
(1) 若,则；
(2) 若,则。
从而对于理性消费者来说，马歇尔需求同希克斯需求一致，即对任何和，都有和成立。
预算集合 预算集合
图3-8 马歇尔需求也是希克斯需求 图3-9 希克斯需求也是马歇尔需求
在证明这个定理之前，先对定理中的(1)与(2)的意义作一个解释。(1)的意义是说，价格和收入下的马歇尔需求向量，必然是价格下和效用水平上的希克斯需求向量(如图3-8所示)。(2)的意义是说，价格下效用水平上的希克斯需求向量，必然是价格和收入下的马歇尔需求向量(如图3-9所示)。
既然马歇尔需求与希克斯需求一致，即效用最大化蕴含着支出最小化，支出最小化也蕴含着效用最大化，因此消费最优化问题既可从效用最大化出发，也可从支出最小化出发来解决。鉴于这个原因，今后就直接从效用最大化出发来研究消费者需求。
下面来证明对偶定理。
(1)的证明,设，欲证。用反证法，假定不是中的最小支出向量，则存在满足。
马歇尔需求的瓦尔拉法则保证了，于是，说明。既然是中的最优方案，。结合便知，。这样，我们就有且。
偏好的无满足性说明，存在满足，当然也有。是中的最优方案，而现在比还要优，因此，即。于是我们得到：。这样，就必存在实数满足。令，则，并且根据的凸性和可知。这说明预算集合中有比最优方案还要优的方案存在，自相矛盾！可见，必须是中的最小支出向量，即。
(2)的证明,设，则显然，这说明。欲证：。用反证法，假定，则存在满足。
注意，，而在中支出最小，故。结合可知，所以也是中支出最小的方案，即。由于支出最小化保持当前效用水平不变，因此。我们得到了矛盾的结论：的同时。可见反证法的假定不能成立，故只有。
二、消费者均衡的实现
在既定的价格和收入约束下，当消费者实现了效用最大化时，我们就说消费者实现了均衡。所以，均衡时的选择就是消费者的需求。这样，需求向量也可叫做消费者的均衡向量或均衡方案。到目前为止，我们的讨论实际上是关于均衡性质的讨论，比如解决了均衡的存在性和唯一性问题，还讨论了均衡的其他性质。但对于消费者如何实现均衡的问题，我们没有涉及。现在就来研究这个问题，即讨论如何实现效用最大化。
为了分析和论述上的方便，从现在开始，我们假定：假设HC、假设HP和假设HU都成立，并且均衡在消费集合内部实现。使用效用函数来研究均衡的实现问题，比不使用效用函数要方便得多。而要使用效用函数，这些假设一般是必需的。利用效用函数，效用最大化问题可表述为：
其中为消费者的效用函数，为价格向量，为消费者的收入。
（一）实现均衡的必要条件设，。即假定是消费者在价格体系与收入之下的均衡向量，并且位于消费集合的内部。需求的瓦尔拉法则保证了，即效用最大的点只能在预算线上。本来，效用最大化问题是要在整个预算集合中寻求效用最大的消费方案。现在，它就可变成只在预算线上寻找效用最大的消费方案。这也就是说，消费者均衡向量是效用函数在约束条件下的极大值点。根据拉格朗日乘数法，存在实数，使得拉格朗日函数在处的各个一阶偏导数全为零，即
称这个方程为边际方程或边际等式，其中的叫做拉格朗日乘数。
注意，假设HU保证了效用梯度，从而(如果是单调的，则还有)。于是，边际方程等价于
这说明：均衡时把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品(以增加消费量)所增加的效用都是一样的；拉格朗日乘数就是均衡时货币收入的边际效用。如果说当前消费计划下不能使上述方程(中的第一组方程)成立，那么减少那些增加单位支出后效用增加较少的商品的消费量，把减少下来的支出用来增加那些增加单位支出后效用增加较多的商品的消费量，方可使总效用得到增加，而且花费在商品消费上的支出并没有增加。可见经过这样的调整，不但没有增加支出，而且使消费者更加满意。总之，只要上面的方程式不成立，那么消费者就要在效用最大化动机的驱动下进行这种调整，直到该方程式成立为止，此时即实现均衡。这就是消费者均衡的意义。
边际方程还等价于
其中等于当前消费计划下商品对商品的边际替代率，即消费者感受到的一单位商品所能替代的商品的数量；表示由市场决定的商品对商品的替代率，即单位商品从市场上能够换得的商品的数量，称为商品对商品的市场替代率。如果当前消费方案处上述方程式不成立，那么当商品对商品的边际替代率大于市场替代率时，增加商品的消费量一单位（效用上等同于增加了商品的消费量个单位），同时减少商品的消费量个单位，则消费者的支出未变而总效用却增加了，因而要减少商品的消费量，增加商品的消费量；相反，当商品对商品的边际替代率小于市场替代率时，要减少商品的消费量，增加商品的消费量。这样，当=时，消费者在现有收入和价格制度下达到效用最大化。这就是消费者均衡的另一层意义。
边际方程及其与它等价的两组方程，表达了在消费集合内部实现均衡的必要条件。
（二）实现均衡的充分条件边际等式实际上也是确定均衡的充分条件。
定理,设消费者的消费集合满足假设HC，效用函数连续、无最大值、拟凹，并且满足假设HU，，。如果存在实数使得且，则,即是消费者在价格体系和收入之下的均衡。
证明：任意给定，即。从的拟凹性知，对一切成立。于是，
这说明对一切成立，从而。再注意，所以。从上面的对偶定理可知，。定理得证。◆
这个定理说明：在处，(1)如果把一单位货币不论用来购买哪一种商品所获得的效用增量都是一样的话，则就是消费者的均衡；(2)如果任何两种商品之间的边际替代率都等于它们相应的价格比，则就是消费者的均衡。
三、拉格朗日乘数的意义
现在来解释边际方程中的拉格朗日乘数对于理性消费者的意义。设，是消费者的需求向量，是确定的边际方程中的拉格朗日乘数,即且。
前一节介绍过间接效用，它是由价格和收入确定的效用水平。考虑间接效用函数，它可看作是由函数和需求映射复合而成的：
求间接效用函数对货币收入的偏导数，我们得到：
注意，，从而。这说明，拉格朗日乘数是间接效用函数对货币收入的偏导数，这就是拉格朗日乘数的意义。由于这里的是任意给定的，因此我们可把拉格朗日乘数的这层含义直接写成下述定理的形式：
定理,在假设HC、假设HP和假设HU 下，对任何，都有，其中是确定需求向量的边际方程中的拉格朗日乘数。
如果把解释为基数效用函数，那么本定理说明拉格朗日乘数是货币收入的边际效用。正是由于拉格朗日乘数反映了货币的边际效用，人们通常把它看作是货币的价格。与一般商品价格不同的是，拉格朗日乘数代表的货币价格并不实际表现出来，而只是消费者的一种主观感觉，就好象是货币的影子，引导着消费者的活动。因此，通常人们把拉格朗日乘数叫做影子价格。
四、边界最差性质
以上研究确定均衡的条件时，假定了均衡在消费集合内部实现。这个假定合理吗？下面分析这个问题。
是说存在一个以为中心的开球，它包含在中。可见，消费集合内部的消费方案是允许进行任何方向上的修正的。反之，要修正消费集合边界上的方案，必须考虑修正的方向是否允许的问题。比如消费者目前的选择是为了生存所必需的最小消费向量，那么朝着减少消费量的方向的修正就是不允许的。
既然要修正消费集合边界上的方案受到一定的限制，消费者一般就会认为边界上的选择没有内部的选择好。这就提出了如下所述的边界最差条件，或者称为边界最差性质。
边界最差条件：。
边界最差条件反映了人们追求各方面都比较好的生活，是生活水平较高的表现。按照这个条件，那种顾得上吃就顾不上穿，顾得上穿就顾不上吃的生活是最差的生活。因此，边界最差条件符合现实现象，是合理的，可以接受。在边界最差条件下，消费者均衡必然在消费集合内部实现，这就是下面的内部均衡定理所表述的事实。
内部均衡定理：设消费集合是商品空间的下有界闭凸子集，且内部非空。 是无满足的连续凸偏好，并且边界最差条件成立。则对任何，都有。进而如果还是内部严格凸的，那么消费者均衡唯一确定，从而需求映射是确定的，并且对任何，都有。
图3-10 在消费集合内部证明：我们首先证明：对一切成立。
用反证法，假定存在使得。取一点，则从边界最差条件知。消费集合的凸性及偏好的连续性保证了存在使得，记。我们指出：（如图3-10所示）。
事实上，意味着存在正数使得。这里为以为中心，为半径的开球。考虑的邻域。对于任何，令
，则
这说明。注意,，而又是凸集，因此。既然是中的任一元素，说明，从而。
现在应用边界最差条件即可知道(因为)。但根据上面关于的定义，应有。出现矛盾！矛盾的结论说明反证法假定不成立，从而消费集合的边界上的任何两种方案都是无差异的，即对一切成立。
我们再来证明：对一切成立。
为此，设，并任意给定。说明存在使得。本节的对偶定理告诉我们，，即是支出集合中支出最小的方案。现在，方案的支出比的支出还要小，说明，即。我们指出：。
事实上，假如，那么就只有。由于的边界上的任何两种方案都无差异，而现在和有差异，因此不在的边界上，故。再次根据边界最差条件，应有，这与相矛盾。可见，之假设不能成立，故只有，即消费者均衡必在消费集合的内部实现。
进而在偏好的内部严格凸性条件下，与本章第四节证明马歇尔需求唯一性的过程一样，可以证明均衡是唯一确定的。
第七节 效用理论的应用实例
本节应用效用理论进行几个实例分析。
一、线性支出系统
消费者为了生存，必需保证各种商品的一个最低消费量。设商品的最低消费量为，于是向量代表了消费者的基本需要向量。当消费者的收入除了能应付生活必需的消费外还有剩余时，为了得到更大的满足，就需要进行更多的消费。那么，消费者如何把剩余收入用于增加各种商品的消费量呢? 我们应用效用理论，对这个问题作一分析。
在这种情况下，消费者的消费集合可表示为，价格收入空间则可写成，。
实际应用中，人们常常假定消费者的效用函数具有下述形式：
其中为正的常数。这种效用函数表示的偏好是连续的、无满足的、内部严格凸的，并且满足假设HU和边界最差条件。因此，消费者均衡必然在消费集合内部实现，即对任何，都有。另外，偏好的内部严格凸性又保证了均衡的唯一性。可见，边际方程是确定均衡的充分必要条件，并且边际方程的解是唯一的。这样，需求映射也就由边际方程唯一确定。
令（）,
。则与是等价的效用函数，也满足假设HU，但的性质要比好一些。因此，我们使用效用函数来进行分析。
给定，则需求向量，即，且存在使得（）且。注意，（），我们得到:
，
把该方程组中前个方程代入到最后一个方程之中，则可得到：，于是。这样，我们就解出了消费者的需求函数如下：
（）
注意，是消费者必需的最小支出，是消费者要花费在商品上的最小支出。上式说明，消费者把剩余收入按照比例用于增加商品的消费量。
再注意，在这个需求系统中，，所以消费者花费在商品上的支出是各种商品的价格和收入的线性函数。鉴于这个特点，人们把这个需求系统叫做线性支出系统，它在计量经济学中有重要的应用。
二、所得税与销售税的比较
政府向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征收销售税。假定不论采取哪一种征税法，向居民征收的税收总额是一样的。我们来分析一下哪一种征税办法更好些。
要分析这个问题，需要首先清楚发展经济的目的。发展经济，是为了提高人民的生活水平。在市场经济条件下，劳动者的收入是按照劳动者的边际生产率来决定的，这就导致了收入的不平等，造成贫富差距悬殊。政府为了提高全体国民的福利，便要对高收入阶层的人征税，以缩小富人与穷人之间的收入差距，提高全体国民的生活水平。
现在考虑要纳税的高收入阶层消费者。设商品的市场价格体系为,消费者的收入为，用表示不纳税情况下消费者的需求向量，即。
在征收销售税的情况下，用表示商品的销售税率，即消费者购买一单位商品所需上缴的税额()，这相当于价格体系从上升到，其中。此时，消费者的最优选择也就变成为另外一个向量，即。显然，（因为），消费者所纳的税额为。
如果把征收销售税改为征收所得税，直接从消费者收入中扣除上述情况下所缴纳的税额，则消费者的预算集合成为，最优选择变为。可以看到，（因为，所以）。既然是中的最优消费向量，于是。这说明在上缴税额相同的情况下，采取征收所得税的办法，要比取征收所得税更好些。两种办法同样都提高了穷人的福利，但征收所得税比征收销售税对纳税人更为有利（如图3-11所示）。
三、发放价格补贴
商品涨价，国家要发放一定的价格补贴。一种办法是把价格补贴发给生产者，而控制住价格，不许涨价。另一种办法是把价格补贴发给消费者，允许商品涨价。我们来看一看这两种补贴办法哪一种对消费者更有利，即哪一种更能提高人民的生活水平。
设商品的市场价格体系为,消费者的收入为。在把价格补贴发给生产者，不允许商品涨价的情况下，消费者的需求向量为。
在把价格补贴发给消费者，允许商品涨价的情况下，消费者的需求向量为。设涨价后的价格体系为,消费者得到补贴后收入从原来的提高到，则。
假定政府发放的补贴使得消费者仍然能够按照涨价前的方案进行消费，即，也即。由于是中的最优消费方案，因此，这说明把价格补贴发放给消费者，允许商品涨价，要比把补贴发放给生产者，不允许商品涨价的做法，对消费者更为有利（如图3-12所示）。
当然，如果政府发放给消费者的补贴过少，那么商品涨价就会使消费者的福利遭受损失。通过上面的分析可以看到，保证消费者生活水平不变所需要的补贴数量，不超过或者小于按照支出增加量计算的补贴数量。
图3-11 所得税与销售税的比较 图3-12 补贴生产者与补贴消费者的比较
第三章练习
1,解释消费集合连通性的经济含义，试证明实数区间[0,1]是连通集合。
2．为什么消费集合的凸性蕴含着的连通性？
3．对消费集合进行凸化处理，其经济含义是什么？其数学含义又是什么？
4,理性消费者的偏好为什么具有传递性？
5．偏好连续性的经济含义是什么？是否所有具有理性的人的偏好都是连续的？
6．设是上连续、单调的偏好关系，试找出的一个连续效用表示。
7．设消费集合是的凸子集。是上局部连续的偏好关系。证明：严格凸当且仅当对任何及任何实数，若且，则。
8．消费集合上的偏好关系上半连续，是指对任何,集合都是中的相对开子集。证明：如果上半连续且是闭集，则在的任何有界闭子集中都有满足。
9．设消费者服从假设HC与假设HP，商品的市场价格体系从原来的涨为。这时，国家对消费者进行收入补贴，使收入从原来的增加到,并且使得涨价后消费者的满足程度同涨价前的满足程度相同。试分析这种价格变化对商品需求量的影响。
10．设消费集合是凸集，,(即是希克斯需求向量)且。证明：。
11．在假设HC、HP和HU下，证明货币收入的边际效用为正，即对任何,都有，其中为间接效用函数。
12,消费者行为理论是否可解释生产者的某些方面的行为？请具体说明之。
