第九章 一般均衡及其福利
前面关于消费者和生产者行为的讨论，把价格当作所考虑的经济体的外生变量，消费者和生产者都是既定价格体系的接受者。那么，这个既定的价格体系又是如何决定的呢？本章来研究这个问题，价格将被当作经济系统的内生变量看待，由经济系统本身所决定。消费者与生产者、需求与供给的共同作用，既决定了市场价格体系，又决定了各种商品的交易量，而且实现了资源的最优配置，使社会福利达到帕累托最优。这就是本章将要得出的主要结论。尽管在第七章中曾研究局部均衡问题，但那只是关于个别市场的价格决定理论。本章研究的是所有市场上的价格决定问题，即一般均衡问题。通过本章的讨论，我们将会看到市场机制在实现资源最优配置方面起着决定性的作用。本章的重点是讨论阿罗-德布罗均衡模型，分析一般均衡价格的决定机制。
第一节 经济系统的一般均衡
任何经济社会，都是由许许多多的消费者与生产者所构成，他们通过市场参与经济活动。前面两章，我们用微观分析的方法，对单个消费者和生产者的行为，进行了详细讨论，得出了实现消费最优化与生产最优化的结论。但是，每个人的经济行为并非孤立地存在。生产的目的是为了消费，消费是要通过一定的分配方式，或者进行商品的相互交换，把商品分配给消费者来实现的。因此，人们的经济行为之间是相互联系，相互影响的。人与人之间的经济利益还往往是相互冲突的，尤其是表现在供给与需求这一对矛盾之中。能否使人们之间的这种利益矛盾处于平衡的状态，便是一般经济均衡理论所要研究的问题。
一、一般经济均衡思想的由来
瓦尔拉是一般经济均衡理论的首创者，他的研究对经济理论的发展具有重大影响，使得人们把研究注意力，从单一商品的价格确定上，转移到整个市场价格体系的确定上去，分析市场机制的作用，研究资源配置等问题。瓦尔拉设想，市场上每个人都服从市场价格体系从背后的调节，根据价格体系作出自己的经济决策。结果，市场上每种商品的总需求与总供给，都只是各种商品价格的函数。瓦尔拉又这样提出了问题：设在一个经济系统中有许许多多的生产者和消费者，生产者追求的是他生产的利润最大，消费者追求消费的效用最大。生产者的利润与消费者的支付能力，都与商品的市场价格体系有关。试问，是否存在一个合适的价格体系，即所谓的均衡价格体系，使得在它之下，生产者与消费者取得全面的供需均衡 (即全系统实现总供给与总需求相等，并且每个经纪人都实现自己的利益最大化)? 这就是一般经济均衡问题。
瓦尔拉的一般经济均衡思想，可以追溯到1776年亚当·斯密在他的名著《国富论》中写下的名言：
“每个人都在力图应用他的资本，来使其生产品得到最大的价值。一般来说，他并不企图增进公共福利，也不知道所增进的福利为多少。他所追求的仅仅是他个人的安乐，仅仅是他个人的利益。在这样做时，有一只看不见的手引导他去促进一种目标，而这种目标决不是他所追求的东西。由于追逐他自己的利益，他经常促进了社会利益，其效果要比他真正想促进社会利益时所得到的效果为大。”
这段话明显地是为资产阶级自由放任主义唱赞歌，我们应当给予坚决有力的批判。但另一方面，如果抛开它的政治含义，我们就会发现，它提出了一个当时及以后一百多年间，人们从未考虑过的深刻的科学问题。用今天系统论的语言来说，它就是这样的一个问题：有一个包含许多小系统的大系统，每个小系统都各有自己的目标函数，大系统也有它的目标函数。诸小系统的目标函数的最优，可能是相互牵制的。试问，能否有某种调节手段，使得只要各小系统追求自己的目标最优，大系统的目标也就达到最优？
1874年，瓦尔拉把亚当·斯密所说的“社会利益”解释为“供需均衡”，把“看不见的手”解释为“市场价格机制”，一般经济均衡理论从此就问世了。瓦尔拉还给出了均衡价格体系存在性的数学论证。他写出了一个以需求，供给和价格为未知量的联立数学方程组，并声称由于方程组中独立未知数的个数与独立方程的个数相等，因而方程组有解，一般经济均衡问题也就有解。瓦尔拉同时也看到，如果没有一般经济均衡状态存在性的数学论证作为后盾，他的理论就将是一片空洞。
后来人们发现，瓦尔拉给出的数学证明，存在着严重的缺陷。当代数学家无人不哓，独立方程个数与独立未知数个数相等，不能保证方程组有解。我们不能责怪瓦尔拉的数学修养，因为后来用于证明瓦尔拉一般经济均衡存在性，并发现与它等价的Brouwer不动点定理，是于1911年才问世的。我们倒是应当感谢瓦尔拉的数学修养，如果没有当时论证上的错误，那可能就会因为一般经济均衡存在性得不到证明，而淹没一般经济均衡的光辉思想，从而也就不会有后来直至今天那么多人去研究它了。
二、经济系统的描述
现在我们转到对经济系统的具体刻划上来。构成一个经济系统的要素有两类，一是经济人，另一是经济资源。经济人分为消费者和生产者，消费者是通过他的消费集合与偏好关系来刻划的，生产者是通过其生产集合来刻划的。经济资源是指经济人拥有的商品，包括土地、建筑、矿藏、设备、库存等过去留给现在时刻的一切有用的物品。
用表示经济系统中消费者的总个数，表示生产者的总个数，表示市场上商品的总种类数，都是自然数。对消费者，生产者及商品分别进行编号以后，便可称呼消费者、生产者和商品。
用和分别表示消费者的消费集合与偏好关系，和分别表示生产者的生产集合和生产函数。经济的总资源可用中的一个向量来表示，它就是经济在初始时刻所拥有商品总向量，是各个消费者拥有的商品向量之总和。鉴于此，资源向量也称为经济的初始财富向量或者初始拥有向量。注意，总资源中包含着劳动和服务这两类商品。经济系统就是由这些消费者、生产者和经济资源构成的系统，记作，并可表示成：
如果经济资源为社会所占有，而不为经济中的任何经济个体战友，那么这样的经济就是公有制经济。在公有制经济中，个人收入不是由市场决定的，而取决于社会总收入的分配方式，比如按需分配或按劳分配或平均分配等。公有制经济可简单地表示成为：
如果总资源为经济的各个行为主体所分别占有，则这种经济就是私有制经济。用表示私有制经济中消费者所拥有的资源向量，则经济的总资源向量是各个消费者拥有的资源向量之总和：。于是，私有制经济可表示成为：
在私有制经济中，消费者的收入由两部分构成：一部分是的价值给他创造的收入，另一部分是他从生产者那里得到的分红。用表示消费者拥有的资源给消费者带来的收入，表示生产者的利润，表示消费者从生产者那里享受到的利润分成比例，则消费者的收入可表示成为：。由于生产者也要消费商品，即生产者也是消费者，因而利润分成比例必然满足如下两个条件：
(s1) ；
(s2) 。
这样，私有制经济可更加明确地表示成为：
今后为了更方便起见，就把“经济系统”简称为“经济”。在不区分公有制经济与私有制经济的情况下，经济的表示形式上也可采用简单方式：
经济系统中，所有消费者的消费之总和构成了经济的总消费(aggregate consumption)，所有生产者的产品之总和构成了该经济的总产出(aggregate products)。如下定义的商品空间的子集合和，分别称为经济的总消费集合和总生产集合。
经济系统中全部经济人的行动可用“经济状态”一词来表述。当消费者选择消费向量，生产者选择生产向量时，经济的状态就是向量组。可见，一种经济状态就是商品空间中的一组向量。今后，我们把经济状态简记为。明显地，经济状态表示了经济的一种商品分配方式或资源配置方式。
消费集合与生产集合给经济人的行动带来了限制，使得一些经济状态为不可能达到。那些不可能达到的经济状态，必须排除在考虑之外，剩下来的就只有可达状态了。可达状态的特征有两个：一个特征是这个状态下的诸消费者和生产者的消费与生产都可行，另一个特征是总消费费不超过总供给。即，一个经济状态是可达的(attainable)，是指它满足以下两个条件：
(A1)
(A2)
由一切可达状态所构成的集合，称为可达状态集合，记作()。
凡是能在可达状态中出现的消费者的消费向量，都称为消费者的可达消费，其全体记为，并称为消费者的可达消费集；凡是能在可达状态中出现的生产者的生产向量，都称为生产者的可达生产，其全体记为，并称为生产者的可达生产集。显然，与分别是与的子集。
人们更关心可达状态中那些可行的状态，即那些使条件(A2)中的不等式成为等式的可达状态。换言之，经济状态称为是可行的(feasible)，是指满足如下两个条件：
(F1) ；
(F2) 。
经济的所有可行状态的全体，用()表示，称为可行状态集合。
现在引入市场均衡概念。市场均衡是把经济状态、消费者收入及市场价格体系三者联系在一起的一个概念。联系着价格和消费者收入的经济状态，可记为。经济状态称为是市场均衡(market equilibrium)，是指满足如下三个条件：
(ME1) 是消费者在价格体系和收入下的均衡；
(ME2) 是生产者在价格体系下的均衡；
(ME3) 经济系统的总需求等于总供给：。
市场均衡状态的全体，用()来表示。易见，市场均衡必是可行状态。市场均衡状态中的价格体系，称为均衡价格体系，或者称为市场价格体系。
再引入竞争均衡概念。考虑私有制经济，这种经济中每个消费者的收入都由他拥有的资源的价值和从厂商那里得到的分红构成，也就是说，在经济状态中，收入是以下述方式计算的：
因此，状态可简记为。当为市场均衡时，就叫做竞争均衡(competitive equilibrium)或瓦尔拉均衡(Walrasian equilibrium)。换句话说，经济状态叫做竞争均衡，是指满足如下三个条件：
(CE1) 是消费者在价格体系和收入下的均衡；
(CE2) 是生产者在价格体系下的均衡；
(CE3) 经济系统的总需求等于总供给：。
用()表示瓦尔拉均衡状态的全体。
本章章中，总用来表示消费者的需求集映。当它取值为单点集时，它定义了唯一的一个映射，即需求映射，仍用表示之。类似地，用表示生产者的供给集映，当它取值为单点集时，它定义了供给映射，仍用表示之。
集映(映射)(其中)和分别称为总需求集映(总需求映射)和总供给集映(总供给映射)。
第二节 瓦尔拉均衡模型
瓦尔拉当初建立一般经济均衡模型时，由于他的数学修养，让他一开始就对理论采取了数学形式。他设经济系统中有种生产要素和种产品，消费者通过向生产者提供生产要素来获得收入，然后用所获收入去购买生产者的产品进行消费。设生产一单位第种产品，需要投入个单位的第种生产要素。这样，生产个单位的第种产品，就需要投入第种生产要素个单位。
设市场上每种商品的总需求与总供给都是商品价格体系的函数，即价格机制对市场进行着调节。经济的均衡状态是使各种商品的总供给与总需求相等的状态。瓦尔拉指出，在各个消费者与生产者只追求各自的最大利益的情况下，价格机制对市场的调节，必能使经济处于均衡状态。
瓦尔拉做了这样的分析证明。用表示均衡时对第种生产要素的总供给量，表示均衡时对第种产品的总供给量，为均衡价格体系，它们都是待确定的未知量。与又分别都是总需求量。市场上商品的总种类数，因而分为两部分：，其中是生产要素的价格向量，是产品的价格向量。设第种生产要素的总供给函数是，第种产品的总需求函数是，它们都是以价格体系为自变量的已知函数。这样，就得到了第一组关于的个方程:
经济系统要生产出产品向量，需要投入的第种生产要素的总量为，它就是第种要素的总供给量，所以又有第二组个方程:
另外，每一种产品的价格都应该等于生产出该产品一个单位所需的成本。这就给出了第三组个方程:
以上得到了个未知量的个联立方程组。
注意，需求函数与供给函数都是价格变量的零阶齐次函数，因而价格只具有相对的意义，例如可取，结果未知数的个数减少了一个。
再注意，均衡时消费者的收支要平衡，即收入要等于支出，而消费者的收入是通过提供生产要素来获得的。所有消费者提供的生产要素总向量是，从而所有消费者的总收入是。所有消费者购买的产品总向量是，从而所有消费者的总支出为。均衡时，应与相等，于是得到下面的恒等式：
这个恒等式称为瓦尔拉定律。
根据瓦尔拉定律可以推知，前面得到的第二、三组方程中有一个不是独立的，它可以从其余个方程推出。这么一来，独立方程的个数也就减少了一个。剩下来的只有个独立未知数和个独立方程。既然独立未知数个数与独立方程个数相等，瓦尔拉当时就宣称方程组有解，从而一般经济均衡问题有解。这就是原始的瓦尔拉均衡模型。
虽然瓦尔拉给出的数学论证是错误的，但是他的思想却是非常地深刻与奥妙。实际上,在他那个时代,给出经济均衡存在性的严格数学证明根本不可能。下面来显示一般经济均衡理论的数学深度。
首先，我们对瓦尔拉的思想做一个归纳。市场上有种商品，用表示总需求映射，表示总供给映射，并假定它们都是关于价格体系的连续映射。
瓦尔拉定律说收支要平衡，因此这两个映射满足如下条件：对任何价格向量，都有
这就是瓦尔拉定律的数学形式。前面所述的均衡方程，现在可一般地叙述成：
供需均衡方程的解，与超需求映射的零点是一致的。注意，价格的相对性使我们能够把价格向量的变化限制在价格空间的子集合之中：
于是，瓦尔拉一般经济均衡的存在性可用下述定理表述：
命题A,对于任何一个连续映射，如果对一切都成立，则必存在满足。
这个命题称为瓦尔拉一般经济均衡存在性定理。它看上去似乎并不令人惊奇，然而实际上它却与非常深刻的Brouwer不动点定理等价。
命题B(Brouwer),从到的任何连续映射都有不动点,即存在满足。
本节剩余部分就是来说明命题A和命题B的等价性。
命题B命题A：
我们可把命题A中的映射看作“超需求映射”，并利用对价格体系进行一次全面调整，调整方法如下。
记。当商品的需求大于供给时，采取涨价措施：令，并把作为调整后的价格体系。易见，对任何的，都有，并且这种调整结果关于原价格体系是连续的。命题B告诉我们，这种方式的调价，必然对某种价格体系不起作用，即调整前后的价格相同：。于是对这个价格体系，就有，从而。
在等式两边同乘以，然后对求和，可得到
从瓦尔拉定律知，。于是，。注意，左边和式中的每一项都非负，因而只有。再注意，当时，。因此，只有，即。命题A得证。
命题A命题B：
从已给的映射定义映射如下。对任何，令
则定义了从到的一个连续映射，并且满足命题A中的条件:，从而存在满足。
既然且，可见只有对一切成立。
对于每个，不外乎或。当时，从知；而当时，从知。总之，对一切都有，即，从而。
注意，且(因为,)，所以。由此可知，即，故是的不动点。命题B得证。
以上的讨论说明，即使一个最简单的一般经济均衡模型，其在数学上就已经相当不平凡，可见一般经济均衡思想是多么地深刻与奥妙。
第三节 经济系统博弈
虽然瓦尔拉对一般经济均衡存在性给出的证明不能令人信服，但是这段证明却保持了半个多世纪，直到二十世纪三十年代以后，人们才逐渐摸索出了新的论证方法。经过许多人的努力，于1954年才由阿罗和德布罗共同重建了一般经济均衡的理论大厦，对一般经济均衡存在性，给出了令人满意的严格数学证明，树起了经济学史上的一块新的里程碑。
这段历史发展过程中，值得一提的是博弈论对经济均衡理论的贡献。1950年，纳什(J.F,Nash)应用日本数学家角谷静夫(S,Kakutani)提出的集值映射不动点定理，证明了人博弈纳什均衡的存在性。纳什定理的重要意义之一，在于它的结论可以向经济系统推广，尤其是带附加约束条件的纳什均衡存在性定理，是获得阿罗-德布罗均衡存在性定理的关键所在。本节就来介绍纳什均衡向经济系统的推广，即应用博弈论来研究一般经济均衡问题。
一,经济系统的博弈描述
考虑经济系统，其中，，和都是非空紧凸集。中的每个经济人都可看作是一个博弈的局中人。消费者的策略集合就是消费集合，生产者的策略集合就是生产集合。由于市场价格体系从背后对人们的经济行为进行调节，因而可把市场也看作是一个局中人，亦即是说，把亚当·斯密的“看不见的手”从台后请到台前，把它看作参加博弈的一方，并称其为市场经济人，它的策略集合取为。于是，这个博弈的局势集合为：。
博弈中，消费者的收益由他的效用函数确定：对任何，
生产者的收益由他的利润(净收入)确定：对任何，
市场经济人的收益可看作全社会的超额支出：对任何，
其含义是说，市场经济人的行为准则是要让超额需求的价值尽可能地大，而要让超额供给的价值尽可能地小，以起到对市场的调节作用。注意，函数对价格的偏导数为：
因此，只要商品存在着超额需求，就有，此时市场经济人的目标就是提高商品的价格。而当商品存在着超额供给时，，市场经济人的目标是降低商品的价格。可见，目标函数的定义与实际情况是相符合的。
消费者要在预算约束下使效用最大化，因此作为局中人看待的消费者服从的约束条件为：对任何，
生产者要使利润最大化，生产方案的选择范围始终是生产集合，因而选择不受约束。这种情况下，约束条件可看作是策略集合。同样，市场经济人的选择也没有附加约束条件，即约束条件可看作是策略集合。这样一来，经济系统可看成是带附加约束条件的博弈。
显然，的竞争均衡必然是的纳什均衡。这是因为当是的竞争均衡时，必然是消费者的收益函数在约束条件下的最大值点，也必然是生产者的最大利润点，同时由于，因而对任何，都有，这说明是市场经济人的最优选择。这一切事实证实了是的纳什均衡。
进一步，在消费者偏好无满足的假定下，还可把竞争均衡放松成为有自由处置的均衡。所谓是经济的有自由处置的均衡(equilibrium with free disposal)，简称自由处置均衡，是指满足如下三个条件：
(EFD1) 是消费者在价格和收入下的均衡消费向量；
(EFD2) 是生产者在价格下的利润最大化净产出向量；
(EFD3) 。
当每个消费者的偏好都是无满足的凸偏好时，从第三章的讨论可知消费者需求满足瓦尔拉法则。这样，对于有自由处置的均衡来说，偏好的无满足性和凸性保证了；而保证了对任何，都有，从而。这就说明，当每个消费者的偏好关系都无满足的凸偏好时，经济的自由处置均衡必然是博弈的纳什均衡。
然而，偏好的无满足性在消费集合有界闭的情况下不能成立，因为第二章中曾经证明过：任何连续偏好在的非空有界闭集中都有满足。看来，需要对无满足性条件作修改。事实上，只要注意需求的瓦尔拉法则在“需求向量不是消费集合中的满足向量”这一较弱的要求下就能成立，那么把“无满足性”改换成为“任何可达消费向量在消费集合中都不是满足消费”，再加上偏好的凸性条件，方可保证上面的成立，从而保证对一切成立。于是，如上的结论变为：如果每个消费者的偏好关系都是凸的，并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，那么经济的自由处置均衡必然是博弈的纳什均衡。
反过来，博弈的纳什均衡能够成为经济的自由处置均衡吗？答案是肯定的。事实上，当是博弈的纳什均衡时，显然满足条件(EFD1)和(EFD2)。既然服从预算约束，所以在条件下，
结合是的纳什均衡这一事实，我们得到：对任何，。从而
对一切成立。这就保证了，即条件(EFD3) 得到满足。可见，当时，博弈的纳什均衡也必然是经济的自由处置均衡。
把以上得出的两条结论结合在一起，我们便得到竞争均衡和纳什均衡之间的如下关系：
命题1,设博弈是对经济的博弈描述，其中且。
博弈的纳什均衡必然是经济的自由处置均衡；
当中的诸消费者都具有凸偏好关系，并且任何可达消费方案都不是消费者(在中)的满足消费时，经济的自由处置均衡也必然是博弈的纳什均衡，从而对任何，是经济的自由处置均衡当且仅当是博弈的纳什均衡。
因此，经济均衡的存在性问题转化为带附加约束条件的纳什均衡存在性问题。第八章第九节关于带约束条件的纳什均衡存在性定理，给出了该问题的答案。
为了保证满足第八章第九节中所述的带附加约束的纳什均衡存在性定理的条件，我们对经济系统提出如下要求：
(D1) 与都是的紧凸子集；
(D2) 是连续的弱凸偏好关系；
(D3) 存在满足；
(D4) ；
(D5) 且，即生产者都把利润全部分配给消费者。
条件(D1)保证了博弈的各个局中人的策略集合都是欧氏空间的紧凸子集，条件(D2)保证了各个局中人的收益函数都是关于局中人自己的策略变元的弱拟凹连续函数，条件(D3)和(D4)(再加上条件(D1))保证了各个约束集映都是连续的，从而第九章第九节中的条件(G1)和(G2)得到满足。
这里，对条件(D3)的意义作一点说明。可以把(D3)中的向量理解为消费者的最小需要向量，于是条件(D3)说明消费者拥有的资源都比他的最小需要为大，即消费者的最基本的生活需要是能够得到满足的。
既然带约束条件的均衡存在性条件得到满足，的纳什均衡存在，从而经济的自由处置均衡存在，这就是德布罗得到的如下定理：
德布罗定理(G.Debreu),设经济满足条件(D1)、(D2)、(D3)、(D4)和(D5)，则有自由处置的均衡，即存在经济状态满足条件(EFD1)、(EFD2)和(EFD3)。进一步，如果还满足如下条件：
(D6) 各个消费者的偏好关系是凸的，并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，即对任何，都存在相应的使得。
则的任何自由处置均衡都服从瓦尔拉斯定律，即
证明,只需说明自由处置均衡服从瓦尔拉定律。为此，设为的任一有自由处置的均衡。条件（D6）保证了。结合条件(D5)便知，。可见，服从瓦尔拉定律。
二,阿罗-德布罗均衡模型
上面提出的德布罗定理，给出了自由处置均衡存在的条件，但它不能令人满意。首先，它所蕴含的自由处置性没有得到明确的表述，应当给其以明确表达。其次，要求消费集合与生产集合都是紧集，从而都是有界集合，是难以找到经济上的合理性的。尤其是生产集合的有界性，把规模报酬不变这一标准情形都给排除在外。因此，需要对一般经济均衡存在性问题进行进一步深入研究。现在的问题是如何给出既有经济意义，又能保证一般经济均衡存在的合理条件。阿罗与德布罗经过一番周密细致的精巧分析，提出了一系列合理假设，给出了经济均衡存在的下述定理，即经典的阿罗-德布罗定理。
阿罗-德布罗定理(1954,1959),设经济满足下述条件:
对每个消费者来说，
(AD1) 是商品空间的下有界闭凸子集；
(AD2) 是连续的、无满足的凸偏好关系；
(AD3) 存在满足；
对于生产者来说,
(AD4) ；
(AD5) 总生产集合是的闭凸子集；
(AD6) ；
(AD7) ；
对于利润分成比例来说,
(AD8) 且。
则经济的竞争均衡存在，即存在经济状态满足如下三个条件：
(1) 是消费者在价格和收入下的均衡向量；
(2) 是生产者在价格下的均衡向量；
(3) 。
定理中的条件(AD6)是说生产过程不可逆；条件(AD7)是说企业对投入要素可以自由处置，即企业可以采取只投入不产出的生产方案。这样就可保证产品不过剩，从而克服自由处置均衡中的产品过剩现象。其它假设的经济意义在以前章节中已作过解释，这里不必重复。
我们把满足条件(AD1)至(AD8)的经济，叫做阿罗-德布罗经济。在证明阿罗-德布罗定理之前，对阿罗-德布罗经济的性质作一些探讨。
用表示集合的闭包运算，表示集合的凸包运算。即对任何，是包含的最小闭集，是包含的最小凸集。这样，集合和的意义就是明显的了。
命题2,设是的任意有限个非空子集，。则，。尤其是当为闭集时，。
证明：包含式和的成立是明显的，因而当为闭集时，。以下证明成立。从数学归纳法可进一步得知，实际上只需证明时这一包含式成立。
设任意给定。则。既然是任意给定的，我们有。同样，对任何，都有，因而。命题2得证。
命题3,设是闭凸集，且，则对任何及整数,存在常数使得只要且,就有。
证明：令，则。事实上,假如，则存在中有限个向量及加权数，，使得。既然是凸集且，我们有，即。显然，。另一方面，。于是，，这与相矛盾。可见不能成立，即只有。
注意，是紧集。容易验证，紧集的凸包仍然是紧集，因此是紧集，从而是闭凸集。由凸集的分离性定理(见第二章)知，存在使得对一切，都有。既然，因此对一切成立。这就说明。
令,，则,。我们指出：对任何，都有。实际上，对于，当时，；当时；的凸性及保证了，从而，可见。
现在可以完成命题3的证明了。设,为整数。令，则当且时，，因此。命题3得证。
命题4,设是的下有界子集，且为任一整数。则存在常数使得只要且，就有。
证明：我们应用命题3来证明命题4。设是集合的一个下界，即对一切成立。令，易见满足命题3的条件，且对每个，都有。再令。从命题3知，存在常数使得只要且，就有。令，则当且时， 且，于是，从而 。命题4得证。
定义(闭凸化经济),阿罗-德布罗经济的闭凸化是指经济，其中。
命题5,阿罗-德布罗经济与它的闭凸化具有相同的总生产集合和相同的可达消费集合。
证明：这是因为是闭凸集，从而由命题2可知，即与具有相同的总生产集合。既然与的总生产集合和消费集合都相同，从而也有相同的可达消费集合。证完。
命题6,阿罗-德布罗经济的闭凸化的可达消费集合和可达生产集合都是的有界子集，从而存在的紧凸子集使得 且。
证明：事实上，诸消费集合有公共下界，设为它们的一个公共下界。这样，便是总消费集合的下界。
用表示经济的总资源向量，即，并令。从命题3知，对于和整数，存在常数使得只要且，就有。
现在，设是闭凸化的任一可达状态。则(这是因为，从而)，并且。结合刚刚得出的结论可知，。这说明各个可达生产集合都是有界的，从而集合也是有界的，设为的一个上界。
考虑集合，令。从命题4可知，对于这个向量和正整数，存在常数使得只要且，就有。显然，可达状态中的满足这些条件，即(因为是诸的公共下界)，并且，因此对一切成立。这说明可达消费集合是有界的。
既然和都是的有界子集，因而必存在的紧凸子集使得 且。命题6得证。
命题6保证了下面给出的阿罗-德布罗经济的伴随经济定义的合理性。
定义(伴随经济),设是商品空间的紧凸子集，满足且，其中是阿罗-德布罗经济的闭凸化的可达消费集合，是的可达生产集合。令, ,。这个经济叫做的伴随经济。
命题7,阿罗-德布罗经济的伴随经济具有服从瓦尔拉定律的自由处置均衡。
证明：我们来验证伴随经济满足德布罗定理的条件。首先，由于和都是闭凸集，因而与都是的紧凸子集，条件(D1)得到满足。其次，原来在上连续、凸的偏好关系，现在在上当然也是连续凸的，更是连续弱凸的，条件(D2)得到满足。条件(D4)和(D5)是明显得到满足的。以下来看条件(D3)和(D6)。
由所满足的条件(AD3)知，存在使得。再从条件(AD4)知，。因此，状态是经济和的可达状态，这说明，条件(D3)得到满足。
对于条件(D6)，由于经济、闭凸化及伴随经济具有相同的可达消费集合，并且已知偏好是凸的，因此只需说明任何可达消费向量都不是消费者在中的满足消费。为此，设是任一可达消费方案。从偏好的无满足性知，不是消费者在中的满足消费，即存在使得。从的凸性知，对一切成立。注意(为定义伴随经济的紧集)，因此必然存在实数使得。记，则且，这说明不是消费者在中的满足消费。条件(D6)得到满足。
既然伴随经济满足德布罗定理的全部条件，因此具有服从瓦尔拉定律的自由处置均衡。命题7得证。
到此，我们看到阿罗和德布罗对经济提出的条件虽然是很普通的，但这些普通条件却隐藏着经济系统的一些很深刻的性质。这些性质将能保证竞争均衡的存在性。
阿罗-德布罗定理的证明：
证明的思路是从伴随经济的服从瓦尔拉定律的自由处置均衡，导出阿罗-德布罗经济的竞争均衡。根据命题7，设是伴随经济的服从瓦尔拉定律的自由处置均衡(这样的均衡必然存在)。
记，则且。再记，则从知。从知，对任何实数，都有。的凸性保证了对一切实数成立。令，应用集合的闭性，便得到。于是，存在使得。
我们指出：是经济的竞争均衡。
事实上，是的可行状态，即，这一点是明显的。于是，为了证明是经济的竞争均衡，只需说明下面两个事实：
事实1：且是生产者在价格体系下(在中)的均衡。
事实2：是消费者在价格与收入下的均衡。
先来证明事实1。
既然是经济的可达状态，因而也是伴随经济的可达状态，这说明。再从是的自由处置均衡可知，应有。又给出，从而只有对一切成立。
现在，设任意给出。假如，则在连接和的线段内的任何一点处，都有。从(为定义伴随经济的紧集)可知，在线段内存在一点使得。对于这个点，当然也有。然而，集合的凸性保证了，因此。结合是的自由处置均衡，又有，出现矛盾。矛盾的结论说明不成立，即只有。这就说明是生产者在价格体系下在生产集合中的利润最大的净产出方案，即是生产者在价格体系下的均衡，事实1得到证明。
再来证明事实2。
设任意给出，且满足。假如。既然在的内部，可以在线段内找到一点使得。的凸性保证了，于是，而且偏好的凸性保证了。另外，和又保证了。既然是的自由处置均衡，于是从和可知，这与相矛盾。可见，不能成立，故只有。这就证明了是消费者在价格体系和收入下的均衡，即是中服从预算约束的效用最大化向量。事实2得到证明。
到此，阿罗-德布罗经济的竞争均衡存在性得到证明。
第四节 均衡的福利含义
前一节通过把一般均衡的存在性问题,转化成为博弈的纳什均衡存在性问题，应用角谷静夫的不动点定理，得到了一般经济均衡存在性的严格证明。但一般均衡的意义不只在于它的存在性，更重要的是通过一般均衡来配置经济资源，这种资源配置方式是最优的，它能给社会带来最大福利。本节就来论证这一点。
一．经济有效性
一个经济是否有效率，要看这个经济中经济资源是否得到了有效利用。经济效率一词就是专门用来表达经济资源的有效利用程度的。
经济资源的有效利用程度，要以生产者提供的产品使消费者得到的满足程度来判断。只要生产要素的投入使用能够让生产者向社会提供一定的产品供消费，从而消费者从产品消费中得到一定的满足，那么这种经济就具有一定的效率。如果说生产要素能够重新组合，使得按照新的组合来投入使用时生产者向社会提供的产品使消费者得到了更大程度的满足，那么生产要素的这种新组合方式，就要比以前的那种使用方式更为有效，相应地经济也就更有效率。如果生产要素的组合使用方式已经使经济达到了最有效率的状态，即按照其他任何组合方式来使用生产要素，都会使(某些)消费者的满足程度有所降低，那么就说此时的经济效率最大，资源配置最优，社会福利最大。
为了准确表达经济效率概念，同本章第一节一样，设经济系统中有个消费者，个生产者，种商品，总资源向量为。于是，所考虑的经济可写为：
经济状态称为是对经济状态的一种帕累托改进(Pareto improvement)，是指：
(PI1) 和都是的可行状态；
(PI2) 对一切成立；
(PI3) 至少对某个消费者来说，成立。
帕累托改进的意义在于保证所有消费者的生活水平不降低的情况下，还要至少使某些消费者的生活水平有所提高，从而社会福利水平得到提高。如果一种可行经济状态已经不存在帕累托改进，那么就说这种经济状态是帕累托有效的(Pareto efficient)，或者说是经济有效的(economically efficient)。换言之，状态的经济有效性等价于：
(PE1) 是可行状态；
(PE2) 其他任何可行状态都不是的帕累托改进。
(一) 公有制经济的效率生产资料的公有制是社会主义市场经济的基础。所谓生产资料的公有制，可以表达为：经济的总资源向量不为个人私有，而为大家公有。这些总资源是过去留给现在的一切有用的物品，它们可能作为生产要素用于生产，也可能作为消费品直接用于消费。在充分利用市场机制对经济进行调节的情况下，公有制经济的一般均衡可用市场均衡来表达。只要实现市场均衡，那么公有制经济中各个个体的利益都将达到最大，而且社会总需求等于社会总供给。下面来看公有制经济实现市场均衡时的经济效率。
公有制经济第一福利定理．设公有制经济中诸消费者的偏好关系都是局部无满足的。如果是的市场均衡，那么经济状态必是帕累托有效的。
证明．设是的市场均衡。偏好的局部无满足性保证了。这是因为，假若，则从偏好的的局部无满足性可知存在使得且，这与是消费者在价格体系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾。因此，只有。
现在，用反证法来证明的经济有效性。假定不是帕累托有效的，则存在可行状态使得且对某个消费者，有。我们指出：且。事实上，假如，那么偏好的局部无满足性保证了存在满足且，这与是消费者在价格体系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾，故只有成立。而的成立，完全是由于是消费者在价格体系和收入下的均衡所致。
既然且，因此。再注意，是生产者在价格体系下的均衡(利润最大化向量)，因此。这样，我们有，即。然而，和都是可行经济状态，所以。这就给出，出现了矛盾。可见的非帕累托有效性之假定不能成立，即一定是帕累托有效的。第一福利定理得证。
公有制经济第二福利定理．设公有制经济满足下面条件：
消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集；
偏好关系是连续的、凸的，并且还具有如下的单调性：
(3) 生产集合是非空凸集。
如果是的帕累托有效状态并且，则存在价格体系和收入分配状态使得是的市场均衡。
证明．本定理的证明要用到凸集分离性定理(见第二章)。设是经济的帕累托有效状态，并且。令,
偏好的凸性保证了集合是凸集。既然也是凸集，因此是凸集。
(i),
事实上，对于任何，令，，，则由和定理中的条件(2)可知，，即，从而, 。由此可得，。这就证明了。
(ii),
用反证法证明(ii)。假定，则存在使得。从的定义知，必有经济状态满足：,, 。现在，定义另一经济状态如下：， ，。显然，是的可行状态，并且由于而有，同时。所以，是的帕累托改进，这与的帕累托有效性相矛盾。矛盾的结论说明，不能成立。故只有，(ii)得证。
(iii),存在向量使得对一切成立。
事实上，(i)保证了非空，(ii)说明了。于是，应用凸集分离性定理便知存在向量使得对一切成立。但从(i)知，因此这个向量必然为正向量，即，(iii)得证。
以这个向量作为价格向量，并以作为消费者的收入。下面，我们来说明是经济的市场均衡。
(iv),对一切成立。
事实上，对于消费者来说，设为任意给出。定义经济状态：,,。令，我们有：且。于是，从(iii)可知，即。(iv)得证。
(v),对一切成立。
事实上，任给使。既然，存在满足。偏好的单调性保证了；而的连续性又保证了存在实数使得 ，从而。这样，(iv）便告诉我们，。既然且，我们又有。由此可知，，这便说明。(v)得证。
(vi),对一切成立。
实际上，对于生产者来说，任意给定以后，定义经济状态：,,。令，则，从而由(iii)可知，，即。这就证明了(vi)。
(v)说明是消费者在价格体系和收入下的均衡，(vi)说明是生产者在价格体系下的均衡，而本来就是的可行状态，因此是经济的市场均衡。第二福利定理得证。
(二) 私有制经济的效率私有制经济中，生产资料归私人所有，也就是说，经济资源为各个消费者分别占有。每个消费者的收入来源都有两部分，一部分是他提供自己拥有的资源所得到的收入，另一部分是他从生产者那里得到的利润分成。这样，私有制经济可写成：
其中是消费者拥有的资源向量，社会总资源为，是生产者向消费者的利润分成比例，。
私有制经济第一福利定理．设私有制经济中诸消费者的偏好关系都是局部无满足的。如果是的竞争均衡，那么经济状态必然是帕累托有效的。
证明．当是经济的竞争均衡时，令 ，则是的市场均衡，因而经济状态是帕累托有效的。
私有制经济第二福利定理．设私有制经济满足下面诸条件：
消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集；
偏好关系是连续的、凸的，并且还具有如下的单调性(强单调性)：
(3) 生产集合是非空凸集。
如果是的帕累托有效状态并且，则存在价格体系和利润分配比例使得并且是的竞争均衡。
证明．设是的帕累托有效状态，并且。记。由公有制经济第二福利定理知，存在价格向量使得在收入分配 下，是经济的市场均衡。注意，是消费者从各个生产者那里得到的分红之总和。因此，生产者向消费者的利润分配比例可视作：。容易看出：，并且 。这就说明，是的竞争均衡。私有制经济第二福利定理得证。
不论是公有制经济，还是私有制经济，第一福利定理都说明，市场机制对经济的调节可使经济处于最有效率的状态，社会总需求等于社会总供给，不但个体利益都实现了最大，而且全社会的福利也达到了最大，资源配置达到最优；第二福利定理说明，经济最有效率的状态必然可通过市场机制对经济进行调节来实现。由此可见，市场调节对经济发展所具有的不可替代的作用。过去(改革开放前)，我们国家实行计划经济，而把市场调节当做资本主义的腐朽东西加以彻底批判。改革开放以来的经济实践证明，在我们这样一个以生产资料公有制为基础的社会主义国家里，同样离不开市场对国民经济的调节。市场调节对于经济发展和提高人民生活水平，愈来愈显示出了巨大的作用。现代经济是一个计划调节与市场调节有机结合、优势互补的经济，任何只重视计划或只重视市场的片面做法都是错误的。
二．经济效率的实现条件
既然市场机制对经济资源的配置是最有效率的，社会福利达到最大，而且最有效的资源配置一定可以通过市场方式来实现，那么实现经济有效性的条件究竟如何？这便成为人们关心的问题。现在来讨论这个问题，我们将按照交换经济、生产经济、和一般经济三种情况，分别研究实现经济有效性与最大社会福利的条件。
(一)交换最优条件当生产方面情况既定时，经济主体的活动表现为把各自拥有的商品在他们之间进行交换，或者说把社会的总资源和总产品在各个经济主体之间进行(重新)分配，以使社会福利达到最大。以这种方式运行的经济，叫做交换经济(exchange economy)。交换经济的帕累托有效性，叫做交换有效性。实现交换有效性的条件，就是交换最优条件。一般来说，交换经济可表示成为或，总资源向量。
考虑交换经济。由于生产方面情况不变，经济状态的可行性含义就变成为满足如下两个条件：
(FE1) ；
(FE2) 。
经济状态叫做是的帕累托改进，是说：
(PI1) 和都是的可行状态；
(PI2) ；
(PI3) 必然对某个消费者成立。
当一种可行状态不存在帕累托改进时，这个状态就叫做交换有效的，或叫做帕累托 有效的。
经济状态叫做的竞争均衡，是说：
(CE1) 是的可行状态；
(CE2) 是消费者在价格体系和收入的均衡。
下面，对交换经济可行状态、交换有效状态、及竞争均衡状态的几何意义作一解释。为此考虑且的简单情形，即假设经济系统中只有两个消费者甲和乙，也只有两种商品和。消费者甲拥有个单位的商品，但不拥有商品；消费者乙拥有个单位的商品，但不拥有商品。他们用各自拥有的商品交换对方的商品，以满足自己的需要。
在这个简单的交换经济中，消费者甲的初始拥有商品向量为，消费者乙的初始拥有商品向量为，经济的总资源向量为。经济状态的可行性条件变成为：,,。
对于消费者甲，选定一个直角坐标系作为甲的坐标系。再将这个坐标系首先平移至点所在的位置(即以为新的原点)，然后将坐标架旋转180°，构成一个新的坐标系，并以这个新的坐标系作为消费者的坐标系(如图9-1所示)。这时便出现了一个矩形盒子，称之为埃奇沃思盒(Edgeworth box)。
埃奇沃思盒中的任何一个点都具有如下三层含义：
(EB1) 从消费者甲的坐标系来看，代表甲的选择方案；
(EB2) 从消费者乙的坐标系来看，代表乙的选择方案；
(EB3) 代表的经济状态是可行的，即,且。
反过来，这个经济中的任何可行状态都可用埃奇沃思盒中的某点来代表。这就给出了Edgworth盒的妙用之一：可行状态恰好是埃奇沃思盒中的点(如图9-1所示)。
从消费者甲的坐标系来看，埃奇沃思盒布满了消费者甲的无差异曲线；再从消费者乙的坐标系看，埃奇沃思盒布也布满了消费者乙的无差异曲线。甲的无差异曲线和乙的无差异曲线的切点正好代表了二人二商品交换经济的帕累托有效状态(如图9-2所示)。所有这些切点构成的集合(或者形成的轨迹)，称为合同曲线(或契约曲线)。这又给出了埃奇沃思盒的另一妙用：帕累托有效状态恰好是埃奇沃思盒中合同曲线上的点(如图9-2所示)。
图9-1 埃奇沃思盒 图9-2 合同曲线注意，从埃奇沃思盒中来看，在价格体系下，消费者甲的预算线和消费者乙的预算线重合，并且通过埃奇沃思盒中由初始状态(和)所确定的点。消费者实现均衡时，预算线与无差异曲线相切。因此，竞争均衡状态所确定的埃奇沃思盒中的点必是两条无差异曲线的切点，从而必在合同曲线上(如图9-3所示)。
反之，对于合同曲线上的任何点，以过该点两条无差异曲线的公切线为预算线，就可使该点代表的经济状态成为市场均衡。但要注意，这样的预算线不见得通过初始状态(和)所确定的点，因而这种市场均衡中的消费者收入不见得等于。
市场均衡和竞争均 合同曲线上的每个点都代表某种
衡都在合同曲线上 市场均衡，但未必代表竞争均衡
图9-3 合同曲线与市场均衡的关系作了上述几何解释以后，我们采用边际分析法来看交换的最优条件是什么。用表示交换经济中消费者的效用函数，并设是的帕累托有效状态，。
每个效用函数都可看成是的经济状态的函数：
于是，是函数在约束条件
下的极大值点。根据拉格朗日乘数法，存在拉格朗日乘数使得如下函数
在处的各个一阶偏导数全为零。为了书写方便，令，则上式可写成：
求的一阶偏导数，可得：
于是，。这就给出：
注意，各个消费者的效用函数在任何点处的各个一阶偏导数都非负，并且不会同时全为零(这是假设)。于是，从便可推知，且。
既然且，我们有：
这说明：经济的帕累托有效状态是这样的状态，它使得任何两种商品之间的边际替代率对所有消费者来说都是一样的。这就是交换最优条件。
当交换经济实现竞争均衡时，对于每个消费者来说，任何两种商品之间的边际替代率都这两种商品相应的价格比。因此，当实现竞争均衡时，任何两种商品之间的边际替代率对所有消费者来说都是一样的，即交换最优条件得到满足。所以，交换经济的竞争均衡实现了交换最优条件。
(二) 生产最优条件当经济中消费方面的情况既定时，经济活动就仅仅表现为生产活动，即经济表现为生产经济。我们来讨论生产经济的效率问题。使生产经济达到最有效状态的条件，就是生产最优条件。同讨论交换最优条件时的做法一样，我们采用边际分析法来看一看生产的最优条件究竟是什么。为此，设生产经济中共有个生产者，生产者的生产集合为，生产函数为。于是，这个生产经济可表示成。
在生产经济中，经济状态的可行性条件变成为。对于的任何一个状态，向量代表社会总产出。生产经济中，社会总产出越大，经济效率也就越高。因此，生产经济的有效状态应该是社会总产出最大的经济状态。换言之，是的有效状态，是说是可行的，并且没有其他可行状态能够满足条件。
生产经济的竞争均衡状态是指是可行的，并且是生产者在价格体系下的利润最大化净产出向量。
首先注意，如果是生产经济的有效状态，那么必是生产者的技术有效的生产，从而。事实上，假若不是生产者的技术有效生产，则存在满足使得。考虑状态：，。显然，是的可行状态，并且 。这与的有效性相矛盾，可见只能是生产者的技术有效生产。既然各个都是技术有效的生产，根据生产函数的定义(见第六章第八节)可知， 。
现在，设是的任一有效状态，是相应的社会总产出向量，其中,,。则必然是函数在约束条件 和下的最大值点。根据拉格朗日乘数法，存在拉格朗日乘数使得函数(其中)在处的各个一阶偏导数全为零，即
即。从及可知, 及。这样，我们便有：
这说明：生产经济的有效状态是这样的状态，它使得任何两种商品之间的边际转换率对于所有生产者来说都是一样的。这就是生产最优条件。
当生产经济实现竞争均衡时，对每个生产者来说，任何两种商品之间的边际转换率都等于它们相应的价格比，而商品价格不因人而异，所以竞争均衡时任何两种商品之间的边际转换率对于所有生产者来说都是一样的，即竞争均衡实现了生产最优条件。
(三) 交换与生产最优条件的结合当交换与生产都不是既定时，经济实现帕累托有效性的条件又是什么？这就是交换与生产最优条件的结合问题。设所考虑的经济系统为，其中为总资源向量。用表示消费者的效用函数，并假定是强单调的、可微的、并且在各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。用表示生产者的生产函数，假定在技术有效点附近是可微的，且各个一阶偏导数不会同时全为零。我们还是采用边际分析法来看一看交换与生产的最优条件是如何结合的。为此，设是的一个帕累托有效状态，并且。
首先，帕累托有效状态中的诸都是生产者的技术有效的生产，从而。事实上，假如某个生产者的生产不是技术有效的。那么，必然存在使得。考虑经济状态：，,,。的可行性保证了状态的可行性，而的严单调性又保证了是的帕累托改进，这与的帕累托有效性相矛盾。可见，每个都只能是生产者的技术有效的生产，从而。
效用函数和生产函数都可看成是经济状态的函数，于是，帕累托有效状态实际上是函数在约束条件
下的最大值点。根据拉格朗日乘数法，存在拉格朗日乘数，使得函数
在点处的各个一阶偏导数全为零，这里。这样，我们就有：
从、及可以推出：, 及。于是，上面的边际等式告诉我们：
即：有效的经济状态是这样的状态，它使得任何两种商品之间的边际替代率与边际转换率相同，而且对所有的消费者和生产者都是一样的。这正是交换与生产最优条件的结合。
当经济实现了市场均衡或竞争均衡时，任何两种商品之间的边际替代率和边际转换率都等于这两种商品相应的价格比，而商品价格不因人而异，所以在市场均衡或竞争均衡状态下，任何两种商品之间的边际替代率与边际转换率相同，而且对所有的消费者和生产者都是一样的，因而实现了交换与生产最优条件的结合。
通过本节的分析我们看到，竞争性经济是最有经济效率的经济，这种经济中的资源配置最优，社会福利最大，因而是市场经济发展的目标和方向。
第五节 社会福利函数
虽然帕雷托有效性是判断经济效率的标准，但一般情况下帕雷托有效状态具有多重性。原因很明显，我们在选择最优状态时使用了可行状态集合上的偏序而不是全序。对于偏序集来说，极大元不止一个。尽管偏序的使用让我们绕过了经济人之间利害冲突所造成的社会评价上的障碍，但对于解决这种利害冲突问题却毫无帮助，我们不能区分帕雷托有效的两种状态哪一个的社会福利更大。正是由于存在这样的问题，经济学家期望能有某种准则，来在各种经济状态之间进行比较和评价。换句话说，人们期望能在可行状态集合上引进一种能保持原来的偏序的全序，借以对经济状态的社会福利情况作出评价。这就是社会福利函数要解决的问题。
另一方面，如果从市场均衡方面考虑，既然帕雷托有效性与市场均衡具有一致性，而市场均衡同价格体系和收入分配有关，那么价格和收入分配的变化将带来帕雷托有效状态的变化，从而导致社会福利的变化。在物价水平保持不变的前提下，帕雷托有效状态就仅由收入分配决定。为了能够确定出效率最大的经济状态，就必须使收入分配“合理化”，而判断收入分配是否合理的标准，就是社会福利函数。可见，研究社会福利函数对于实现收入分配合理化具有重要意义。
一．社会福利函数
社会福利函数表达的是社会把各个消费者的个人福利汇总成为整个经济社会的福利的一种机制或一种功能。假如经济社会有个消费者，每个消费者的福利情况都是用效用函数来表达的。那么，社会福利函数就是一个元实值函数。其含义时说，当消费者获得的效用量为时，社会福利为。
设消费者的效用函数为。当诸消费者选择了方案 时，社会福利就为。这说明，通过社会福利函数，可以从诸消费者的效用函数得到社会效用函数如下：对于任何，
这个社会效用函数可记作。可见，社会福利函数是一种从个人效用函数给出社会效用函数的机制。在这种机制下，原来用于评价经济效率的上的偏序，现在变成了由社会效用函数所决定的全序。为了保证决定的全序保持了上原来的偏序，我们要求社会福利函数具有强单调性：对于任何及,如果，则。为了能够应用微积分工具，我们假定社会福利函数是可微的。的可微性和强单调性共同保证了 的各个一阶偏导数几乎总是大于零。鉴于此，干脆进一步假定在任何点处的各个一阶偏导数都大于零，即。我们把这些要求汇总成如下的假设：
假设SW,社会福利函数是可微的，且在各点处的各个一阶偏导数都大于零。
(一) 实现最大社会福利的条件运用社会福利函数所确定的社会效用函数，可以分析实现最大社会福利的条件。为此，设所考虑的经济系统为，其中消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集，效用函数拟凹、强单调、连续、可微、并且各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零，生产集合是商品空间的非空凸子集，生产函数连续、可微、并且在任何技术有效点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。
设是满足假设的社会福利函数，是通过从各个消费者的效用函数所确定的社会效用函数，是的定义域。则是可微的，并且。
社会效用函数的定义可以扩充到经济的状态集合之上：对于任何状态 ，。这就是说，社会效用函数确定了经济状态的社会福利情况。社会福利的最大化，就是让社会效用函数在可行状态的范围内达到最大值。我们看一看达到这种最大值的条件。为此，设是社会效用函数在经济的可行状态集合上的最大值点，并且。
容易证明，每个都是生产者的技术有效的生产，因而。这样，便是在约束条件
下的最大值点。根据拉格朗日乘数法，存在实数使得
其中。可以看出，，，从而得到如下等式：
即当社会福利最大时，任何两种商品之间的边际替代率对所有消费者和所有生产者都是一样的。这正是交换最优条件和生产最优条件的结合条件，可见使社会效用函数在可行状态集合内达到最大值的状态是帕雷托有效的。进一步，从本节习题2可知，以如上得出的向量作为价格体系，以为消费者的收入，则 成为经济的市场均衡，从而确实是帕雷托有效状态。
为了说明上述边际等式能够成为实现社会福利最大化的条件之一，我们还需要考虑相反的问题：一种帕雷托有效状态在什么条件下能够成为社会效用函数在可行状态集合上的最大值点？为此，我们对社会效用函数提出如下假设条件：
假设SU,社会效用函数是拟凹的，即对任何，如果，则对一切实数成立。
我们指出：如果是经济的帕雷托有效状态，并且对某种商品，有成立，则是社会效用函数在的可行状态集合上的最大值点，即是社会福利最大的状态(其中，)。
这个事实的证明虽然有点复杂，但并不难。首先注意，根据上一节的讨论可知，在帕雷托有效状态处，存在拉格朗日乘数满足：
其中。而且，，。再次根据习题2知，是的市场均衡，其中, 。
依据商品的特殊性质，可记，并且及。令，则可看到：
从而。
其次，记，并注意以下两个事实：
(i),对的任何可行状态，都有；
(ii),对任何，若，则。
事实(i)成立是因为。事实(ii)成立是因为当时，对一切成立，从而
最后，用反证法来证明是在可行状态集合上的最大值点。假定存在可行状态使得。则根据上述事实(i)和(ii)，我们有。
保证了,从而存在满足。对于这个，又存在实数使得。集合的凸性、社会效用函数的拟凹性及，保证了且。个人效用函数和社会福利函数的单调性以及，保证了。这样，。根据连续函数介值定理，存在使。记，则。既然，。
另一方面，从,及上面的事实(ii)可知，，出现了矛盾。矛盾的结论说明，没有可行状态能够满足。所以，是在可行状态集合上的最大值点。
以上的分析论述，给出了下面的命题。
命题1,设经济中诸消费集合都是商品空间的下有界非空闭凸子集，效用函数拟凹、强单调、连续、可微、并且各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零，生产集合是商品空间的非空凸子集，生产函数连续、可微、并且在任何技术有效点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。社会福利函数可微，且在各点处的各个一阶偏导数都大于零。是通过从各个消费者的效用函数所确定的社会效用函数，且是拟凹的。再设是的可行状态，并且。则是经济的最大社会福利状态的充分必要条件是：是帕雷托有效状态，并且对某种商品，成立，其中。
如果一种市场均衡能够满足条件“存在某种商品使得成立，其中”，我们就说这时的收入分配是最优收入分配，是最合理的分配。值得注意的是，合理的收入分配是依据各个消费者的效用情况以及社会效用情况而定的，而且社会效用是判断收入分配是否合理的准则。
(二) 社会福利的补偿原则从一种帕雷托有效状态到另一种帕雷托有效状态，其中必有某些人的效用增加，而另一些人的效用减少。因此，我们不能说出这两种帕雷托有效状态哪一个更好。但是，通过社会福利函数，我们就可对任何两种帕雷托有效状态进行比较。能进行这种比较的一个根本性原因在于通过社会福利所进行的福利补偿。如果效用增加的人所增加的效用，能够通过社会福利来弥补效用减少的人所减少的效用，那么帕雷托有效状态的变动就是有益于社会的。否则，帕雷托有效状态的变动将导致社会福利的减少，对社会无益甚至有害。一些人的福利增加通过社会福利来补偿另一些人的福利减少，这就是社会福利的补偿原则。
1．社会福利补偿标准社会福利函数蕴含着社会福利补偿原则下的补偿标准。设为社会福利函数，为相应的社会效用函数。假定个人效用发生了变化，从而社会福利发生了变化。当时，那些效用增加的人所增加的效用，通过社会福利补偿正好补偿了那些福利减少的人所减少的效用。所以，社会福利的补偿标准由来确定。当时，社会在用增加的福利补偿了那些福利减少的人以后还有剩余，说明社会福利增加了。而当时，社会福利的增加不足以弥补个人福利的减少，因而社会福利将减少。
为了说明一个人的福利减少需要另一个人福利增加多少才能补偿的问题，假定的福利增加才能正好弥补的福利减少，于是表示了的福利增加一单位所能弥补的的福利减少量，称为对的边际补偿率，记作。这就是说，除了和外其他人的福利都不变，而和的福利变化没有导致社会福利发生变化。于是，我们有 ，即
可见，对的边际补偿率等于社会福利函数相应的偏导数之比。边际补偿率衡量着社会福利补偿原则下的补偿标准。当的福利增加时，如果的福利损失低于补偿标准，那么社会福利将会增加；反之，如果的福利损失高于补偿标准，那么社会福利将会增加。
2．最大社会福利点处的补偿情况我们来考察经济在最大社会福利状态下，社会福利的补偿变化情况。设为的最大社会福利状态，。根据上面的讨论，存在格朗日乘数使得
其中，，。令，，则是的市场均衡，并且。
注意，表示消费者的收入变化：。因此，。这表明，当社会福利实现最大化时，社会福利的微小变动就等于总收入的微小变动。
其实，社会福利变动等于总收入变动这一事实并非偶然，可以这样来看：消费者根据价格和收入作出最优选择，因而是价格和收入的函数：。这样，可看成是由收入变动引起的：。根据第四章的讨论可知，。因此，。
这就告诉我们，在经济实现最大社会福利的状态下，让一些人的收入减少，并让减少下来的收入用于增加社会福利，则增加的社会福利正好弥补了这些人收入减少所引起的社会福利减少。这正是“取之于民，用之于民”的道理所在，也是向富人征收所得税的道理所在。
二．社会选择的不可能性
我们已经看到，通过社会福利函数，人与人之间的利害冲突得到化解，一个的福利减少可以由另一个人的福利增加通过社会福利函数得到补偿。既然如此，我们为何不把经济福利理论建立在社会福利函数之上，而要耗费那么多的口舌来说明帕雷托有效性呢？要回答这个问题，就涉及社会福利函数和社会效用函数存在的基础。
(一) 社会效用函数存在的基础社会能把各个人所获得的效用总和成为社会效用，这意味着每个人的效用都是基数效用，不同人的效用可以相互比较，因而才有用一些人的效用增加来补偿另一些人的效用损失的说法，才有收入分配是否公平、是否合理的说法。所以，社会效用函数也必然是基数意义下的效用函数。这就是社会效用函数存在的基础。
既然是在基数意义下谈论效用，那么把各个人的效用函数加总起来，就可得到社会效用函数。当然，这只是给出社会效用函数的办法之一。一般情况下，社会效用函数究竟如何给出，则有赖于社会的价值判断标准。加总办法所蕴含的价值判断是个人利益代表社会利益，只要社会中某一个人或某些少数人的福利大幅度增加，而其他人的福利不变，那么社会福利的增加就等于这些少数人的福利增加。特别是，如果某个人占取了其他所有人的福利，那么社会福利就完全由这个人的福利来代表。可见，用加总办法求社会效用，这种做法对于一个自由、民主的社会，尤其是对社会主义社会是不太适用的。社会主义制度下，只有广大人民的利益才能代表社会利益，那种让全部财富只为一个人谋福利的极不公平是不允许的。因此，社会主义制度下的社会福利函数有一个把个人福利综合成为社会福利的过程，它不是个人福利的简单加总。比如，(其中诸为常数)就是社会主义的社会福利函数形式之一。
经济学家认为，社会福利函数如何确定的问题，属于价值判断和道德规范的范畴。不同人的效用实际上是不可比较的，客观上不存在一种标准能够衡量不同人所获得的效用多少，更不存在某种途径能够把一个人的效用变成为另一个人的效用，这就是所谓的无桥原理(no bridge principle)。在无桥原理的作用下，人与人之间的边际补偿率不存在。
进一步考察可以发现，社会效用函数的存在性依赖于社会福利函数的存在性，而社会福利函数实际上是一种从个人效用函数给出社会效用函数的办法，也就是从个人评价给出社会评价的一种办法。然而，投票悖论显示了这种办法存在着逻辑矛盾：如果坚持少数服从多数，那么社会福利函数是常数，因而社会福利函数实际上不能存在。由此可见，社会效用函数存在的基础有着很大的问题。也正是由于这个原因，对于福利经济学的分析就只能建立在帕雷托有效性分析之上。
(二) 不可能性定理阿罗对社会福利函数作了深刻的研究。他发现，社会福利函数实质上是把一组个人效用函数映射成为一个效用函数的一种映射。如果采用序数效用论的观点，那么社会福利函数就是把一组个人偏好关系映射成为一种社会偏好关系的一个映射。
现在，社会上共有个消费者，消费者的消费集合为。记，则代表社会的选择集合。注意，上(即消费者)的偏好关系可看成是上的偏好关系：对于任何，当且仅当。于是，在社会是选择还是选择的问题上，消费者与消费者之间的利害冲突表现为且。即消费者认为比差，坚持让社会选择；而消费者认为比好，坚持让社会选择。
用表示社会选择集合上的偏好关系的全体，则社会福利函数表现为把上的个偏好关系,,…,映射成为一个偏好关系,,…,，即是从到的映射。可见，是一种从个人评价得到社会评价的制度，代表着社会选择。尤其是选举制度、投票制度、民主集中制度等，都是社会福利函数的具体事例。
社会选择当然要服从一些为人们普遍接受的原则，比如少数服从多数、一切听从领导的安排、全国人民把思想和行动高度统一在中央政府的方针路线上等等，都是一些常见的社会选择原则。阿罗对社会选择的原则进行了认真分析，总结出了以下四条：
原则1(普遍性原则),社会能够根据所有社会成员的任何偏好作出社会的偏好关系，即对任何一组偏好关系(,,…,)，,,…,都是有定义的。
原则2(有效性原则),如果每个社会成员的福利都增加了，那么社会福利也就增加了；如果每个社会成员的福利都没有减少，那么社会福利也不会减少。也就是说，对于任何一组偏好关系(,,…,)，用表示,,…,，则对任何，成立：
(1) 如果，那么；
(2) 如果，那么。
原则3(独立性原则),如果社会成员的偏好变化并不影响他们对某两种社会选择方案的好坏评价，即这两种方案的好坏比较独立于成员的偏好，那么这两种方案的好坏比较也就独立于社会的偏好。即，对任何(,,…,),，以及任何，如果，则,,…,。
原则4(不独裁原则),没有一个社会成员能够使得社会的偏好就是这个成员的偏好，而不管这个成员的偏好是什么。也就是说，没有一个成员能够使得,,…,对一切(,,…,)成立。
如果存在某个成员使得,,…,对一切(,,…,)成立，那么该成员就叫做独裁者。原则4说，在社会进行选择的过程中没有独裁者。
在这些原则之下，社会选择又具有如下三条性质。
性质1(成员的权利),坚持原则1和2的社会选择必然尊重社会成员的权利。即对任何及任何，都存在(,,…,)使得社会按照对作出的评价就是按照,,…,对作出的评价。换句话说，社会作出的任何评价都是根据社会成员的评价得出的，而不是强加的。
性质2(评价的转移性),坚持原则1、2、3的社会选择，其社会评价结论可以随着社会成员评价结论的转移而转移。即对于任何(,,…,),，以及任何，记,,…,,,如果 ，则,,…,。
性质3(个人评价与社会评价的正相关性),设中至少有3种选择方案，社会选择服从原则1、2、3。对于任何(,,…,),，以及任何，当社会成员的偏好从(,,…,)变到时，各个成员对的评价都保持不变或者评价更高，即和对一切成立，则社会偏好从,,…,变到时，社会对的评价也保持不变或者评价更高，即和。其中，和分别表示和的严格偏好关系。
进一步，阿罗经过严格的逻辑推理分析，证明了服从原则1至4的社会选择的不可能性。
不可能性定理(K.J,Arrow,1951),假设社会成员至少有两个，每个成员都至少有三种可选择的方案，即且种至少有3种方案。则不存在满足原则1至4的社会福利函数，或者说，如果社会福利函数服从原则1、2、3，那么必然存在独裁者。
阿罗的不可能性定理证明了社会福利函数和社会效用函数的基础的不可靠性，从而福利理论只能建立在帕雷托有效性分析之上。本来，我们想通过社会福利函数来克服经济主体之间的利害冲突和矛盾，但事与愿违，那种能够符合常规的社会福利函数不存在，只好借助帕雷托有效性来避开经济主体之间的矛盾冲突。另外，不可能性定理还告诉我们，在社会选择的过程中，各个社会成员的绝对自由和民主在逻辑上是不可能存在的。
第六节 核心配置
本节要讲述的内容首先是由埃奇沃思(F.Y,Edgeworth,1881)首先提出来的。埃奇沃思当时的意图是要解释经济主体之间的相互竞争如何导致为每个经济主体都接受的价格体系的形成，进而导致瓦尔拉一般均衡结果的出现。然而埃奇沃思的结果却没有在当时立即引起反响，是现代博弈论的发展，尤其对合作博弈的研究，让人们把博弈的核心集(core)概念与埃奇沃思提出的合同曲线(contract curve)概念联系在一起，从而对竞争均衡作出了更加深刻的认识。
一,交换经济的核心配置
竞争均衡表达了经济主体之间的无合作，它是大家在背对背地进行交易，人人听从价格的召唤，价格传递了市场的全部信号。那么，这种价格体系究竟是如何形成的呢？埃奇沃思在研究这个问题时，提出了合同曲线的概念(见上一节的讨论)。他认为靠价格进行的交换是等价交换，但交换不一定都是等价交换。如果经济系统允许所有可能的交换的话，那么合同曲线代表了所有可能的最优交换结果。于是，埃奇沃思提出了一个大胆的猜想：当参加交易的人数无限增加时，合同曲线将收缩成为瓦尔拉的一般均衡集合。假如这一猜想成立，那么一般均衡价格体系的形成过程就一目了然，它是大家相互讨价还价的行动随着交易人数不断增加而最终形成的结果。
埃奇沃思的描述实际上是把交易看成面对面的交易。随着人数的增加，面对面交易结果的极限就是竞争均衡，这就深刻揭示了竞争的本质特征。然而，埃奇沃思的这一研究却在当时没有引起注意。后来直到1963年，德布罗(G,Debreu)和斯卡夫(H,Scarf)应用合作博弈论中的核心集概念对埃奇沃思的合同曲线作了重新解释，并运用复制经济的办法从理论上严格证明了埃奇沃思的猜想，这才让人们关注到了埃奇沃思研究的重大意义，埃奇沃思当时用来描述他的合同曲线的那个矩形图，也才得以“埃奇沃思盒(Edgeworth box)”的誉称。下面，我们运用合作博弈论的观点和方法来分析经济的交易结果。
设经济中有个消费者(或者叫做交易者)，用表示由全体消费者构成的集合，称为消费者集合。假定每个消费者的消费集合都是，即，并且每个消费者都具有连续、强单调、严格凸的偏好关系。交易活动发生之前，经济系统有一种初始的资源配置，称为初始配置(initial allocation)，其中称为消费者的初始拥有向量(initial endowment vector)。初始配置也可以理解为资源的初始禀赋，不过初始禀赋所确定的资源配置不见得是最好的，因而消费者之间才需要进行相互交换以获得更大的满足。如此描述的经济系统，就称为交换经济(exchange economy)，并可记作。
可以把经济看成是一种博弈，其中的局中人就是各个消费者。由于我们把注意力放在商品如何交易之上，因此各个消费者也叫作交易者(trader)。当交易活动结束之后，经济资源的配置方式就由初始禀赋变成为一种新的资源配置。这种新配置还可以看作是收入再分配的结果。经济社会之所以要进行收入再分配，目的是要促使资源的最优利用，实现社会福利最大化。问题是，在面对面进行交易的情况下，交易者并不是听从价格召唤，而是在进行讨价还价，交易者的行动受到竞争对手行为的很大影响，因此某些交易者可能会合作起来以与其他对手形成抗衡。这样一来，什么样的交易结果才是最优的呢？对于这个问题，我们运用合作博弈的最优解概念加以解释。
从第八章的讨论可知，合作博弈的核心集就是博弈的最优解。下面，我们把这个概念搬到交换经济中来，定义交换经济的核心集合。
由于假定了生产方面的情况既定，因此交换经济的状态可用来表示。经济的状态叫做是配置(allocation)，是指。这就是说，配置是把经济资源分配给各个经济主体去使用的一种方式。配置当然要受到一些限制，比如配置要受到社会总产品的限制，不能把没有的东西分配给大家去使用。这样，又引出可行配置的概念。所谓经济状态是可行配置(feasible allocation)，是指是经济的配置，并且。这里，就代表经济的总资源或者总产品。
既然把看成是合作博弈，那么就有联盟的概念。博弈论中联盟是指局中人集合的任何子集，这里我们稍作修改，把联盟(coalition)定义为消费者集合的任意非空子集。联盟的作用在于结盟的交易者可以联合起来支持或反对某种配置，以使联盟的总体收益得到改进。这就引出了下面的定义：
定义,设是经济的可行配置。联盟能够改进，是指存在的另外一种可行配置满足：
(1)对一切成立;
(2)对某个成立;
(3)。
联盟能够改进配置方案，其含义可以理解为：联盟能够把联盟所拥有的总资源通过在联盟内部进行重新分配，方可使联盟的各个成员都获得比配置不小的效用，并使联盟的某些成员获得更大的效用。这样，如果消费者结成联盟以后能够改进配置，那么联盟就不会支持配置，而要反对这种配置方式。因此，当联盟能够改进配置方式时，我们就说联盟反对配置，或者称是配置的反对者联盟。
显然，联盟反对配置当且仅当对每个，都存在满足条件：
(1)对一切成立;
(2)对某个成立;
(3)。
如果经济的一种可行配置不受任何联盟的反对，就称该配置是经济的核心配置(core allocation)。由经济的一切核心配置组成的集合，叫做的核心或核心集合(core)，记作()。显然，的核心集合就是把看成合作博弈时，该合作博弈的核心集。因此，核心配置是面对面交易的最优结果。
一个明显的事实是，如果是经济的核心配置，则对一切成立(请读者用反证法自己证明)。
我们来看一下核心集合与埃奇沃思的合同曲线之间的关系。为此，考虑二人二商品的纯交换经济，其中第一个消费者拥有第一种商品个单位，但不拥有第二种商品，即；第二个消费者拥有第二种商品个单位，但不拥有第一种商品，即。
核心
初始
配置
埃奇沃思盒
图9-4 合同曲线与核心配置埃奇沃思盒描述了这个经济的情况，尤其是合同曲线给出了这个经济的所有帕雷托有效状态。容易看出，当配置是该经济的核心配置时，必然是帕雷托有效的；反过来，如果是帕雷托有效状态并且，则也必然是核心配置(这个事实的证明也留作读者的练习)。于是，二人二商品纯交换经济的核心集合是合同曲线上那些落在由通过初始配置点的两条无差异曲线所夹的范围内的点组成的集合(如图9-4所示，由图中合同曲线上的那一段粗线表示)。
显然，尽管合同曲线上的点都代表经济有效状态，但只有核心集合中的配置才是对大家都有益(至少无害)的配置方式。所以，交易的结果只能落在核心集合中。这就对埃奇沃思的合同曲线赋予了新的意义——合同曲线只能是核心集合所在的那一段。
观察图9-4，还可以看出：竞争均衡状态必然在核心集合当中。其实，这一事实并非偶然，下面的命题说明了这一点。
命题1,设交换经济中诸消费者的偏好关系都是连续、凸且无满足的，诸消费集合是商品空间的非空凸子集。则的竞争均衡状态必然在的核心集合当中。即，如果是的竞争均衡，那么必然是的核心配置。
证明：设是经济的竞争均衡。显然，是的配置。假定不是的核心配置，那么就存在配置的反对者联盟，从而存在可行配置满足：
(1) 对一切成立；
(2) 对某个成立；
(3) 。
一方面，蕴含着对一切成立，蕴含着对某个成立，因为是消费者在价格体系和收入下的效用最大化方案。于是，。另一方面，又给出了，这是矛盾的结论。可见不是的核心配置之假定不能成立，故只能是的核心配置。证明完毕。
命题1的逆命题不成立，如图9-4所示，核心集中只有一种配置是竞争均衡配置，而其余的都不是。一般情况下，当经济活动者人数有限时，经济的核心集要比竞争均衡集合大。埃奇沃思当时猜想，当交易者人数不断增加时，核心集(合同曲线)将收缩至竞争均衡集合。1963年，德布罗和斯卡夫采用复制经济的办法证明了这一猜想，下面就来介绍他们的做法。
把经济复制次，并把复制得到的经济与原经济合为一体，便得到一个重交换经济，其中有个消费者，每一个消费者都有与其完全相同的另外个消费者。因此，经济中的消费者可划分为类，每一类中都有个完全相同的消费者。这里，两个消费者完全相同，是说他们有相同的消费集合，相同的偏好关系和相同的资源禀赋。就称为经济的重复制经济(-replica economy)，其配置可以表示如下：
命题2,设经济中诸消费者的偏好关系都是连续的和严格凸的，诸消费集合是商品空间的非空凸子集。如果是重复制经济的核心配置，那么按照进行商品分配，经济中同类消费者得到的商品分配将相同，即对一切和一切，都有。
证明：设是重复制经济的任一核心配置。采用反证法，假定存在和使得且。
同类消费者具有完全相同的消费集合和偏好关系，这就告诉我们通过配置分配给第类消费者的消费向量在偏好关系下是可以相互比较的，于是可选出其中最差的一个向量，不妨设这个向量就是(这样假设仅仅是为了书写上的方便)，即对一切成立。这样，在配置下我们在每一类消费者中都选择到了一个获得的效用最差的消费者，让这些消费者组成一个联盟，即。我们指出：这个联盟构成了配置的反对者联盟。
事实上，对每个，令，即是第类消费者的平均消费向量。既然是凸偏好，而且对一切成立，我们有。再注意，存在和使得且。对这个，由于偏好关系还是严格凸的，因此。最后注意，。所有这些事实说明构成了配置的反对者联盟，这与是的核心配置之前提相矛盾。可见在核心配置下，经济中同类消费者得到的商品分配必将相同。证明完毕。
重复制经济的核心当然与有关，简记为。命题2揭示了的核心配置的重要性质，根据这条性质，既然在核心配置下，同类消费者得到相同的消费向量，我们便可把经济的核心配置简单地写成，其中。作了这样的解释后，显然，即经济的核心随着经济的复制次数的增加在不断收缩。
另外，经济的竞争均衡集合也可简记为。根据命题1，。所以，在竞争均衡的资源配置方式下，同类消费者得到的商品向量也是相同的。不仅如此，在表示方式()下，显然成立 ，这里是经济的竞争均衡集合。因此，。
埃奇沃思的猜想现在可以表述为，即复制经济的核心将随着经济的复制次数的增加收缩至竞争均衡集合。为了证明这个猜想，只需证明。下面的命题3说明了对于交换经济是成立的。
命题3,设经济中诸消费者的消费集合，偏好关系都是连续、严格凸和强单调的，。则。
证明：任意给定，令
偏好的凸性保证了是凸集；的连续性保证了是中的相对开集，即存在的开子集使得，这说明是空间中内部非空的集合，从而的也是中内部非空的集合。其结果，必然是内部非空的凸集。我们指出：。
事实上，假如，那么就存在向量和实数满足如下条件：
(9.6.1)
现在，对任何正整数，令(这里，为自然书集合)，即是大于或等于的整数中的最小者。显然，。
令，其中。对于每个及每个正整数，令
(9.6.2)
从及可知，。另外，对每个，当趋向于无穷大时，显然趋向于。而在的相对开子集中，因此当充分大时，必然有，即。鉴于这个事实，假定所考虑的重复制经济中的充分大，从而。
式(9.6.1)和(9.6.2)给出。由此我们可知，。这就说明，对于每个，在经济的第类消费者(共个)中选出个，并对选出的每个消费者配给向量，而对那些没有被选上的消费者配给，那么就形成了经济的一个配置，并且在这个配置下，所有那些被选上的消费者构成的联盟将反对原配置。这与相矛盾。可见不能成立，即只有。
既然,且是凸集，根据凸集分离性定理，存在向量使得对一切成立。现在，把这个向量看作价格向量。显然，对任何及，只要，就有(因为)。再根据偏好的强单调性，对于任何正向量，保证了，因此对一切正向量成立。令，可知。
注意，。于是，和共同保证了。进一步，我们有对一切成立。再结合偏好的强单调性可知，。
最后，我们指出：对每个来说，对一切成立。事实上，假如存在使得但。则。从和可知，。考虑向量，显然且。偏好的连续性及保证了对某个成立，于是，这与相矛盾。可见，不可能存在使得但。即只有对一切成立，也就是说，是消费者在价格体系和收入下的均衡。
这一结论与结合在一起，说明是经济的竞争均衡。命题3得证。
把命题1和命题3结合起来，我们得到如下的核心极限定理。
核心极限定理,设交换经济中诸消费者的消费集合，偏好关系都是连续、严格凸和强单调的，。则。
核心极限定理的意义重大，它揭示了竞争均衡的竞争性特征。我们知道，竞争均衡是经济在价格机制的调节下所达到的一种一般均衡状态，交易活动是靠价格来指挥的，人人依据价格行事，听从价格的召唤，这就好像交易是背对背地进行，似乎没有涉及面对面的讨价还价。由此引出一个问题：竞争均衡配置究竟是如何形成的？实际上，交易过程中免不了发生买卖双方之间的讨价还价。讨价还价好似一场谈判，谈判的目标是要达到对双方都有利的结果，因此讨价还价的结果是要达到经济核心集合中的资源配置。同时，也只有在讨价还价中才能体现所有交易者之间的竞争：降价抢占市场，抬价丧失市场。所以，核心配置体现了一定的竞争性。核心极限定理指出，竞争均衡是当同类交易者的人数无限增加时的核心配置。这就揭示了竞争均衡状态的完全竞争意义。
二,关于核心配置的进一步研究
自德布罗和斯卡夫提出核心极限定理以后，引起了人们对埃奇沃斯猜想研究的极大兴趣。首先，人们对把竞争均衡描述成为经济中交易者人数无限增加时核心配置的极限感到费解，于是便出现了奥曼(R,J,Aumann)的连续统经济(economies with a continuum of agents)。接着，人们还嫌奥曼把交易者想象成为流体中的分子那样过于夸张，于是又出现了布朗(D,J,Brown)和鲁宾逊(A,Robinson)的非标准经济，使得交易者成为无穷小经济人(infinitesimally small agents)。然而，非标准分析对于经济学家和数学家来说，掌握者为数不多，于是人们又试图通过使用标准方法来刻画布朗的非标准经济，这就出现了对大经济(large economies)的研究兴趣。另一方面，把生产方面的情况也考虑进来，出现了对生产经济核心配置的研究。近来，一般商品空间上经济的核心配置又成为一个众所关注的问题。下面，我们选择连续统经济和生产经济，介绍有关研究结果和思想。
(一) 连续统经济竞争的特征之一是要有大量的交易者，以使任何个别人都不能对价格施加影响。换句话说，任何个别人在经济中的份量都要小到对价格不能产生任何影响。可见，每个交易者的份量必须是零。用表示交易者集合，表示交易者的市场份量——在经济中的份量(权重)，那么应该有。
但是，交易者全体就不一样了，全部交易活动决定了市场价格，交易者全体的市场份量就要为正。如果我们以的市场份量作为衡量交易者联盟的市场份量的标准，即规定的话，那么任何交易者两盟的市场份量就是一个介于0和1之间的数。所以，表示经济活动者市场份量的函数不是一个普通的函数，而是一个定义在交易者联盟之集合上的函数，并且这个函数应当以如下三条性质为特征：
性质1．任何交易者联盟的市场份量都非负，即；
性质2,交易者全体的市场份量为1，即。
性质3,如果是一列两两不相交的交易者联盟，那么并联盟的市场份量等于各个联盟的市场份量之和，即。
这三条性质的意义是明显的。由此得到的事实是，市场份量函数是一个概率测度。比如在交易者人数有限的情况下，交易者全体，联盟的市场份量可规定为：，其中为联盟中成员的个数。以这种方式规定的测度，称为计数测度。然而用计数测度来规定经济活动者的市场份量，虽然方法简单，但却不能说明任何个人对市场价格的影响为零的问题，因为在计数测度下，每个人的市场份量都为。要想使这个数为零，必须让交易者人数成为无穷大。
当交易者人数无限多时，用概率测度来测量交易者的市场份量又出现了一个问题：如果把交易者全体的任何子集都看成是联盟的话，那么会有某些联盟的市场份量无法测定。这就是数学中的不可测集合问题，凡是学习过测渡论或实变函数的人，都知道这一点。因此，在交易者全体是无限集合的情况下，我们不能像有限个交易者情形那样把的任何子集都看成是联盟，必须剔除那些无法测定市场份量的交易者结盟，剩下来的才能称为是交易者联盟。这样，我们可以对交易者联盟作出如下描述：
定义(联盟),由交易者全体的一些子集组成的集合称为是联盟集，是指是一个域，即满足如下三个条件：
(1) ；
(2) 对任何，余集；
(3) 对任何一列，并集。
联盟集中的集合才称为交易者联盟。
规定了联盟集，并规定了市场份量函数以后，交易者全体便成为一个概率测度空间，称为交易者空间，或者称为经济活动者空间。为了保证竞争性，要求任何个别交易者的市场份量为零，这就对函数提出了又一个条件，即如下的无原子性：
无原子性,对任何联盟，如果的市场份量，那么必然存在联盟使得且。
经济活动者空间的无原子性是竞争性的体现。这种空间的一个典型例子是连续统，即闭区间[0,1]，其上的概率测度规定为通常的勒贝格测度(Lebesgue measure)。也正是基于这一事例，当经济活动者空间是无原子概率测度空间时，相应的经济称为连续统经济。由于存在的不可测子集，我们对连续统经济再提出如下的可测性要求：
可测性,对于任何可测映射和，集合(这里，为经济的联盟集)，即是可测集合。
现在，考虑可测经济(即满足如上的可测性要求)，其中每个的消费集合，偏好关系连续、强单调，交易者空间是无原子测度空间，
初始配置是可积映射，并且积分是有限的(这里对于每个，)。
经济的一种配置(allocation)是一个可测映射，即对的任何一个Borel子集，都有。的配置叫做是可行的(feasible)，是指是可积的，并且。
对于的一种配置，如果存在另一种配置使得几乎对所有的成立，并且，则称联盟能够改进配置，或者称联盟
是配置的反对者联盟，或者说配置受到联盟的反对。
需要注意的是，当一个联盟反对一种配置时，如果，那么由于经济活动者的大量存在(即由于)，这个联盟对配置的反对力量就受不到市场的注意。换句话说，那些测度为零的联盟在市场上是被忽视的。今后，我们就把测度为零的联盟称为可忽视的联盟。当一种配置受到不可忽视的联盟的反对时，这种配置就要加以改进。显然，那些无需改进的配置就是最好的配置。这就给出了连续统经济的核心配置：当一个可行的配置不受任何不可忽视的联盟的反对时，就称该配置是核心配置。由经济的所有核心配置组成的集合，称为的核心集，记作()。
对经济的资源进行配置的另外一种方式是瓦尔拉均衡配置，即竞争均衡配置。所谓是的竞争均衡配置，是指是的可行配置，并且存在价格向量使得对几乎所有的，都是消费者在价格向量和收入下的均衡向量(即效用最大化向量)。由经济的所有竞争均衡配置组成的集合，称为的瓦尔拉集，记作()。
核心等价定理,设经济符合可测性要求，是经济活动者的无原子测度空间。对每个，，连续、强单调。初始配置是可积映射(这里对于每个，)，并且。则()()。
本定理的证明就不讲了，感兴趣的读者可参考《Handbook of Mathematical Economics》第二卷中W,Hildenbrand撰写的第18章“经济的核心”。
(二) 生产经济美国哈佛大学经济学家麦斯柯莱(A,Mas-Colell)把德布罗—斯卡夫的复制经济扩展到了生产经济情形，建立了具有公共生产技术的交换经济模型，并证明了核心极限定理。
麦斯柯莱是这样考虑的：设经济中有个消费者，消费者集合。每个消费者的消费集合，初始拥有商品向量，并且具有连续、严格凸、强单调的偏好关系。所有消费者都可利用一种共同的公共生产技术组织生产，并且是规模报酬不变的凸技术。比如，当时，就是规模报酬不变的凸技术，而且相应的经济就是纯交换经济。这样，所考虑的经济可表示成：
称此经济为公共生产经济。用表示经济的总资源向量，即。
生产技术的凸性和规模报酬不变性说明了是可加技术。这样，的公共性表明：任何消费者联盟都可利用组织联盟的生产，也就是说，可看成是任何联盟的生产技术。
经济状态由消费方面的情况和生产方面的情况所确定，但现在我们关心的是消费者之间如何交易，因此可只看消费情况。这样，经济状态可用来表示。
经济的状态叫做是配置(allocation)，是指。即，配置是把经济资源分配给各个消费者去使用的一种方式。在经济的具体运行中，配置会受到一些限制，比如受到社会总产品的限制，不能把没有的东西分配给消费者去使用。这就引出了可行配置的概念：所谓配置是可行的(feasible allocation)，是指存在使得。显然，这里的生产是指社会总生产。
经济可看成是合作博弈，其中局中人是各个消费者。作为合作博弈，经济中就会出现联盟。联盟的作用在于一些消费者可以联合起来支持或反对某种配置，以使联合者的总体收益得到改进。同前面一样，我们把消费者集合的任何非空子集都叫做联盟(coalition)。一个联盟能够改进经济的可行配置，是指对联盟中的每个消费者，都存在一种消费向量使得，并且。
联盟改进配置的含义可以理解为：联盟能够仅仅利用他们自己拥有的资源和社会的生产技术，就能得到比配置分配给联盟的各个成员的消费向量更好的消费向量。这样，如果消费者结成联盟以后能够改进原来的配置方案，那么联盟就不会支持配置，而要反对这种配置方式。因此，当联盟更够改进配置时，我们就说联盟反对配置。
如果经济的一种可行配置不受任何联盟的反对，就称该配置是经济的核心配置(core allocation)。由经济的一切核心配置组成的集合，叫做的核心集合(core)，记作()。显然，的核心集合就是把看成合作博弈时，该合作博弈的核心集。因此，核心配置是面对面交易的最优结果。一个容易证明的事实是，如果是经济的核心配置，则对一切成立。
对于如上描述的公共生产经济，麦斯柯莱证明了以下三个命题，从而证实了埃奇沃斯猜想对于公共生产经济也是成立的。
命题4,公共生产经济的竞争均衡必然是核心配置。
命题5,如果是的重复制经济的核心配置，那么按照进行商品分配，经济中同类消费者得到的商品分配将相同，即对一切和一切，都有。
命题6(核心极限定理),对于公共生产经济，成立。
以上三个定理的证明，请参考麦斯柯莱的著作《Microeconomic Theory》(Oxford University Press,1995)。
第九章练习
一般均衡与局部均衡的区别在什么地方？
如何看待瓦尔拉的一般均衡思想？
可达经济状态和可行经济状态有何区别？这种区别的意义何在？
市场均衡与竞争均衡有什么区别？
总需求函数仅仅是各种商品价格的函数吗？
假设每种商品的需求与供给都是价格的线性函数，试建立瓦尔拉均衡模型，讨论瓦尔拉均衡的存在条件。
瓦尔拉一般均衡理论的奥妙表现在何处？本节命题A与命题B等价的经济学意义是什么？
证明：在条件(D1)、(D2)和(D3)下，经济系统博弈的约束集映是连续集映(的定义见本章第三节的叙述)。
解释市场经济人的收益函数的意义。
把阿罗-德布罗经济所要求的“消费者偏好是无满足的”这一条件放松为“任何可达消费方案都不是消费者的满足消费”，其余条件不变。证明：竞争均衡依然存在。
在建立阿罗-德布罗一般经济均衡模型的过程中，经济理论的公里化起到什么作用？博弈论又是如何发挥作用的？
阿罗-德布罗定理揭示了经济运行的什么规律？
解释埃奇沃思盒的意义。
推导交换最优条件和生产最优条件,这两种最优条件是如何实现结合的？
如何从实现经济有效性的最优条件中得出市场均衡价格体系？
为什么竞争性经济最有经济效率？谈谈你的认识。
如何认识社会主义市场经济建设中市场机制的作用？
考虑经济，其中某个消费者的效用函数是强单调的。设社会福利函数也是强单调的，是社会效用函数。证明：如果状态是社会效用函数在经济的可行状态集合上的最大值点，则是生产者的技术有效的生产。
设经济的消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集，效用函数严格拟凹、强单调、连续、可微、且各点处的各个一阶偏导数不全为零，生产集合是的非空凸子集，生产函数连续、可微、且在任何技术有效点处的各个一阶偏导数也不全为零。是的可行状态,。如果存在实数满足,且，则且 是经济的市场均衡，其中，。
在社会选择的原则1和2下，证明社会选择的性质1(参见本章第五节)。
证明：对于交换经济来说，联盟反对配置当且仅当存在另外一种配置使得对一切成立，并且。
证明：如果是交换经济的核心配置，则对一切成立。
关于埃奇沃斯猜想和核心等价定理，谈谈你的想法。
对于公共生产经济，如何定义其竞争均衡？
