第六章 理性生产者
前面三章研究了消费者行为理论，从本章开始我们研究生产者行为，讨论生产最优化问题。理性生产者是利润最大化的追求者，这是研究生产者行为的基本前提。为了揭示生产活动的规律，我们将从收益与成本两方面进行分析。同消费者行为理论一样，我们要分析生产者是如何依据价格进行决策的。本章的讨论将按照单一产品的生产和多种产品的生产两种情形分别进行。
第一节 生产函数
生产者也叫做厂商、企业、或公司，生产者从事的经济活动称为生产活动。任何生产活动都表现为投入一定数量的若干种商品，生产出一定数量的产品，并把产品提供给市场进行销售，以产品的全部售出为终结。这种以投入为开端，以售完产品为终结的整个过程，称为生产过程。 企业的生产技术水平、人员素质、组织水平及企业家才能等，都在生产过程中得到完全反映。为了揭示生产活动的规律，我们首先研究单一产品生产的情形。
一、生产要素
产品不会无中生有。 企业要组织生产，就必须投入一定的人力、物力和财力。我们把组织生产所必需的一切人力、物力和财力，称为生产要素。人力方面的生产要素表现为投入的各种劳动与智慧，包括体力劳动和脑力劳动、熟练劳动和非熟练劳动、简单劳动和复杂劳动等。 物力方面表现为投入的各种自然资源与资本品，自然资源包括原材料、土地、矿藏、海藏等，资本品包括生产者拥有的厂房、设备、知识、才能等。 财力方面表现为生产者拥有的货币资本、资金来源及筹集资金手段(如贷款与发行证券)的有效程度等。 所有这些生产要素可概括为四类：资源、资本、劳动、企业家才能。
资源是生产所必需的一切可以开发利用的自然资源，包括土地、海域、空间、矿藏、海藏、宇宙资源(如太阳能)等。资源具有原始性与初等性，是商品转化的起点。
资本是生产者具备生产经营条件与能力的凭证，包括一切物质资本、货币资本和技术资本。物质资本也叫做资本品，货币资本也叫做资金，资本品与资金之间可以互相转换。技术资本也简称为技术，指生产所需的一切科学技术。
劳动是生产所需的一切体力与智力的消耗，包括体力、脑力、技术、非技术、熟练、非熟练、简单、复杂劳动等等。任何生产都离不开劳动，而且劳动的质量对生产起着关键性的作用。决定劳动质量好坏的内在因素是劳动者的素质，因此，提高企业内部的劳动者的科学文化水平，让劳动者掌握先进的科学技术知识，对于企业来讲是十分重要的。
企业家才能是指企业家经营企业的组织能力、管理能力及创造能力，是企业的智慧资本。智慧资本不同于物质资本、货币资本和技术资本，它是无价之宝，具有特殊重要性。
企业在组织生产的过程中，有些生产要素的投入量是可变的，这部分生产要素称为可变要素。而另一部分要素的投入量不可变，称为固定要素或不可变要素。例如，短期内投入的土地面、厂房、大型机器设备都无法改变，而投入的原材料、电力、劳动等消耗品的数量都是可改变的。 一般清况下，不变要素在生产过程结束时仍然存在，只不过会有磨损。而可变要素在生产结束后不再存在，已转化成了产品。
不变要素可以作为企业生产技术与生产条件来看待，算作企业生产技术的一部分，这样一来，投入的生产要素中就只剩下可变要素部分了。如果作长期考虑，一切生产要素都是可变的。企业要扩大生产规模，就必须扩大土地使用面积，扩建厂房，更新设备等，于是固定资产也成为可变资产，一切生产要素都可变，甚至技术水平也要变化。
二、生产函数
在企业的生产技术水平已定的情况下，企业投入一定数量的若干生产要素，产出一定数量的产品。这样，在产品产量与各种生产要素数量组合之间就产生了一种对应关系，称之为(简单)生产函数，它由企业的生产技术水平所确定，是企业技术的反映。
(一) 生产函数的性质经济学关心的是可变生产要素对产品产量的影响，而不可变的生产要素作为企业生产技术条件的一部分来对待，企业家才能及生产技术水平与条件都视为固定的。这样一来，所考虑的投入要素都是可变的，从而可把长期与短期综合在一起统一研究。企业投入一定数量的各种生产要素，可得到一定数量的产品。 设可变生产要素总共有种，于是，生产要素空间为。各种生产要素数量组合变化范围是要素空间的正象限部分称为要素空间或投入集合。投入集合中的商品向量称为投入向量或投入方案。用表示投入向量为时能够生产的最大产量。这种最大产量与投入方案之间的对应关系就是企业的生产函数，它由企业的生产技术水平所确定，随生产技术的改变而改变。
生产函数一般具有单调性，即投入较多时，产量也较多，至少不会减少。用严格的语言表达，即对于任何两种投入方案和，只要，就有。但有时这种单调性也可能不会出现，比如当化肥的使用量过大时，粮食产量不会增加，反倒减少。其实从理论上讲，当投入要素的数量过大时，没有理由不允许生产者让一部分要素闲置，不投入实际生产中。这样，生产函数就又具有了单调性：虽然要素数量过大，但因实际上投入使用的数量没有过量，因而产量没有减少。
在生产者已投入了向量的情况下，如再增加要素的一单位投入量，所引起的产量增加量称为处要素的边际产出或边际产量。显然，在投入处，要素的边际产出就是生产函数的关于自变量的偏导数。由于今后将要常常使用生产函数的偏导数，在此我们提出生产函数的可微性假设。
假设PF(关于生产函数的假设),生产函数满足下面四个条件:
(1) 真实性：，即不能无中生有，没有投入就没有产出；
(2) 非负性：对任何投入向量，都有；
(3) 连续性：在投入集合中连续；
(4) 光滑性：在投入集合内部连续可微，且在各点处的各个一阶偏导数不会同时都为零。
(二) 生产要素的贡献利用生产函数，可以衡量投入方案处各种生产要素对生产的贡献大小。注意，要素的边际产出为。要素对生产的贡献可用下式来表达:
这个式子有以下两方面的意义。
其一是说，按照当前的边际产出计算，投入个单位的要素所产出的产品数量为，这个产量在总产量中所占的比例为，而总产量是全部要素的产出。所以，要素对生产的贡献就是要素的产出占全部要素的产出的比例。
其二是说，是投入方案处产量的变化幅度与要素的投入使用量的变化幅度之比，因而是产量对要素的投入量的弹性。越大，说明要素对产出的影响越大。尤其是当时，要素的投入量的较小幅度增加就会引起产量的大幅度增加；而当时，要素的投入量的较大幅度增加不会引起产量的大幅度增加；当时，产量与要素的投入量以同样的幅度增加或减少。
的这两个方面的意义，足以说明衡量着生产要素对生产的贡献大小。把各个生产要素的贡献加总起来，便得到全部生产要素的总贡献：
当总贡献时，把各种要素的投入量增加一倍便可使产量增加多于一倍，因而生产还大有潜力可挖，值得再增加各种要素的投入量以增加产量；当总贡献时，如果把各种要素的投入量增加一倍，增加的产量不如原来的产量大，说明生产的潜力已到尽头，不值得再增加投入；当时，各种要素的投入量增加一倍时产量也将增加一倍，因而产量与生产规模同比例扩大。
读者需要注意的是，这里所谈的生产要素贡献，是指当前的贡献，不涉及生产要素原来的贡献，因而是一种边际贡献。
我们把要素的贡献与要素的贡献之间的比值，称为投入方案处要素对要素的贡献系数，记作，即
它表示为了获得产量，要素贡献一份力量时要求要素的贡献量，即要素的贡献是要素的贡献的倍。只有要素按照这个倍数与要素同时发挥作用，产量才能生产出来。所以，贡献系数表示了生产中要素对要素的配合性。事实上，如果生产一种产品需要多种生产要素的话，那么缺少其中任何一种要素是不成的。贡献系数正反映了这一事实。
(三) 有效投入同一产量可以在生产要素的不同组合下得到，也就是说，同一产量可以按照两种不同的投入方案组织生产。这就需要对投入进行有效性分析。投入方案的有效性，就是指在保持产量不减少的情况下所投入使用的各种生产要素数量达到最小。对此，我们可以给出严格的定义：投入方案称为是有效的，是指没有投入方案能够满足且。有效投入方案也可简称为有效投入。用表示有效投入的全体，称为生产者的有效投入区。
有效投入区的边界称为脊线或脊面。
在前面关于生产函数的假设中，没有假定生产函数的单调性，尽管我们已经指出生产函数在一般情况下具有单调性。为什么不直接假定生产函数的单调性呢？其原因主要是因为我们可以证明：
命题1,生产函数在有效投入区中是单调增加的,即对任何，只要，就有。
事实上，当且时，由于是有效投入方案，就不可能成立，可见只有。
有了命题1所述的关于生产函数单调性的事实，我们立即可知：
命题2,在假设PF下，生产函数在有效投入区内各点处的各个一阶偏导数均非负。
事实上，对于任何,,,,，我们有,从而(因为是有效投入)。这就告诉我们下面的不等式成立：
于是，命题2得到证明。
命题2说明，在投入为有效的情况下产量呈现出(随要素投入量的增加而)递增至少不下降的变化趋势。
有效投入也可用等产量曲线来刻画(如图6-1所示)。所谓等产量曲线(面)，是指要素空间中产出相同的各种不同投入向量所组成的集合。产量为的等产量曲线(面)，用表示，是集合。与等产量的等产量曲线是集合，也称为通过投入点的等产量曲线，简记为。我们有如下的结论：
命题3,设企业的生产函数非负、连续，且。，即为任一投入向量。则是有效投入当且仅当没有能够满足。
实际上，若是有效投入，则显然没有满足。
反之，设中没有一种方案能够满足。假如不是有效投入方案，那么就存在着满足且。由于中没有一种方案能够满足，因此这个方案不在中，故。既然，所以。现在，从的连续性可知，存在实数使得。显然，且。这与前提条件“中没有一种方案能够满足”相矛盾。可见，必然是有效投入方案。命题3得证。
脊线(面)与等产量曲线(面)的交点称为脊点。显然，脊线是脊点随产量变化而移动所形成的曲线（曲面）。如图6-1所示，两条脊线分别是由脊点和随产量移动形成的轨迹，有效投入区就是两条脊线所夹的范围。
脊线
脊线
有效投入区
图6-1 等产量曲线，脊线，有效投入区
第二节 等产量曲线分析
要素空间实质上是一张等产量曲线图，每种投入方案都在一条(张)等产量曲线(面)上，不同的等产量曲线互不相交。这样，我们可用等产量曲线生产要素的投入使用情况进行分析。设企业的生产函数为，同上一节一样，表示产量为的等产量曲线(面)。
一、替代与互补
(一) 要素之间的替代性与互补性不同投入组合之所以能在同一等产量曲线上，是因为投入要素之间具有一定的替代性与互补性。替代性使得一种投入要素可用另一种投入要素来代替，互补性则要求要素之间必须按照一定的比例配合投入使用，因而要素之间具有比例特点。
有些要素之间既具有一定程度的互相替代性，又具有一定范围的投入比例要求。利用等产量曲线我们可看出，两种要素之间的替代范围与比例要求范围由这两种要素的等产量曲线上的两个脊点所划定。 脊点所夹的范围是可替代的范围，超出该范围就不能再有替代，这同时也说出了两种要素之间的配合比例变化范围。
对于两种投入要素而言，当两条脊线分别与两条坐标轴重合时，这两种要素就是可完全相互替代的，因而也就无特殊的投入比例要求。当两条脊线重合时，要素之间完全无可替代性，而是必须要按固定不变的比例来组织投入使用。当两条脊线既不重合，又不分别都与坐标轴重合时，这两种要素之间就不但具有一定程度的替代性，也具有一定范围的比例变化要求。由此可见，脊线所夹的范围，即生产要素的有效投入区，刻画了要素之间的替代性与比例性。
(二) 边际替代率当两种投入要素可以相互替代时，我们把一种要素的投入量减少(增加)一单位，为了保持产量不变，所需增加(减少)的另一种要素的投入量，称为这两种要素之间的边际替代率。准确地说，在投入方案处，要素对要素的边际替代率，用表示，定义为：在除了要素和以外的其他要素投入都不变的情况下，要素的投入量减少(增加)一单位时，为了保持产量水平不变，所需增加(减少)的要素的投入量。为了准确计算边际替代率，设要素的投入量的微小减少量为，要素的投入量的微小增加量为，其他要素投入量未变，产量也没有变化。于是，下面的全微分等式成立：
即。注意，就是要素的投入减少一单位时要素的投入的增加量，即是在处的要素对要素的边际替代率。于是，我们得到：
根据上一节中的命题2，在投入有效区内的各点处任何两种要素之间的边际替代率都是非负的。另外，
上式中，表示要素投入一单位时，要素的相应投入量。表示为了配合投入的一单位要素，需要要素作出的贡献。这样，乘积(即边际替代率)表达了一单位要素所等同的要素的贡献，即从贡献上讲，一单位要素所等同的要素的数量。
(三)技术系数技术系数是指企业生产一单位商品所需投入的各种生产要素的配合比例。当生产要素可以相互替代时，技术系数就是可变的。当生产要素不能相互替代时，技术系数就不可变。因此，技术系数可以是固定的、部分可变的、或者完全可变的。
固定技术系数是指技术系数根本不能变动。此时，生产要素之间完全不能相互替代，等产量曲线图中脊线重合，并且一般情况下重合为直线，因而有效投入区就是该直线所表示的集合(如图6-2(a)所示)。
完全可变技术系数是指技术系数可以任意变动。此时，等产量曲线图中脊线分别与坐标轴重合，要素之间可以完全相互替代(如图6-2(b)所示)。
脊线
脊线
有效 脊线
脊线 投入区
有效投入区 有效投入区
脊线
(a) 固定技术系数 (b) 完全可变技术系数 (c) 部分可变技术系数
图6-2 技术系数与等产量曲线部分可变技术系数是指技术系数既不是完全可变，又不是固定不变，而是可以在一定范围内变化。此时，等产量曲线图中脊线既不重合，也不分别与坐标轴重合，在脊线所夹的范围内要素之间可以相互替代(如图6-2(c)所示)。
丛数值上讲，投入方案处要素对要素的技术系数，用表示，可以规定为在其他条件不变的情况下要素投入一个单位时所要求的要素的投入量，即
可以看出，边际替代率、技术系数与贡献系数三者之间的关系如下,
二、替代弹性及其对偶
为了进一步分析技术系数的变化情况，我们再引入替代弹性与贡献弹性的概念。这两种弹性之间具有一定的对偶性，即可以相互确定。
(一) 替代弹性替代弹性是指技术系数的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比，反映技术系数对边际替代率变化的敏感程度。替代弹性可用公式严格表示如下。在投入方案处，要素对要素的替代弹性等于比值：
我们来看一下替代弹性的大小情况。正常情况下，要素之间的边际替代率是递减的，即等产量曲线凸向元点，因而替代弹性非负(即技术系数与边际替代率同向变动)。
1,无替代弹性：
此时，不论要素对要素的边际替代率如何变化，技术系数总是不变的，因此这两种要素不能相互替代，必须按照固定的比例投入使用，等产量曲线由两条具有共同起点的分别平行于坐标轴的射线所构成。即等产量曲线强性弯曲，折成90℃夹角(如图6-3(a)所示)。
2,弱替代弹性：
此时，技术系数的变化幅度不如边际替代率的变化幅度大，因而技术系数对边际替代率变化的反应不很敏感，等产量曲线的弯曲程度较大(如图6-3(b)所示)。
3,强替代弹性：
此时，技术系数的变化幅度比边际替代率的变化幅度大，因而技术系数对边际替代率变化的反应很敏感，等产量曲线的弯曲程度较小(如图6-3(b)所示)。
4,单一替代弹性：
此时，技术系数与边际替代率以同样的幅度变化，技术系数对边际替代率变化的反应敏感程度居中，等产量曲线的弯曲程度居中(如图6-3(b)所示)。
5,完全替代弹性：
替代弹性为无限时，边际替代率就不能有任何变动，因为边际替代率的变动将引起技术系数的无限变动。因此，边际替代率为常数，等产量曲线为直线(如图6-3(c)所示)。
(弱)
(单一)
(强)
(a) 无替代弹性 (b) 弱、单一、强替代弹性 (c) 完全替代弹性图6-3 替代弹性与等产量曲线
(二) 贡献弹性贡献弹性指技术系数变化幅度与贡献系数变化幅度之比，反映的是技术系数对贡献系数变化的敏感程度。严格地讲，在投入方案处，要素对要素的贡献弹性是比值：
贡献弹性与替代弹性可以相互确定，即具有对偶性，其对偶公式为：
事实上，从可知，于是，
为了方便记忆，贡献弹性与替代弹性之间的对偶偶公式也可写成：
第三节 齐次生产函数
生产函数叫做是阶齐次函数，是指满足如下条件：对任何投入向量及任何实数，都有。其中的这个数叫做齐次函数的阶数。
欧拉定理(Euler),如果生产函数是阶齐次函数并且可微，则对于任何投入向量，都有。
证明,设任意给出。既然对一切实数都成立，那么在此式两边对求导数就可得到:
注意，。于是，对一切成立，当然对也就成立。令，即可得到。欧拉定理得证。
欧拉定理说明，对于阶齐次生产函数来说，就是任何投入方案下全部生产要素的总贡献，即全部要素的总贡献恒为常数。
例1,Lèontief生产函数
Lèontief生产函数是一种固定技术系数生产函数。设所有生产要素都必须按照固定的比例投入使用，这个固定比例为。于是，生产一单位产品所必需的投入向量是。生产函数便可写成：
这就是Lèontief生产函数的形式，显然这种形式的生产函数具有下面一些性质：
(1)是严格单调的，即对一切，若，则；
(2)是一阶齐次函数，即对任何及任何实数，都有；
(3) 生产要素之间不能相互替代；
(4) 等产量曲线是如图6-2(a)所示的夹角为的折线(两种要素情形)。
例2,Cobb—Douglas生产函数
Cobb—Douglas生产函数的形式是：
其中都是正的常数，称为技术进步系数。
记。可以看出：
(1)是阶齐次函数；
(2)是要素的贡献，即，是全部要素的总贡献；
(3)是单调的，即对一切，若，则；
(4) 是内部强单调的，即对一切，若，则；
(5) 投入要素之间可以完全相互替代，因而技术系数完全可变；
(6) 边际替代率，贡献系数为常数，技术系数；
(7) 贡献弹性为无穷大，替代弹性单一。这是因为贡献系数为常数，从而贡献弹性为无穷大。再根据替代弹性与贡献弹性之间的对偶关系可知，替代弹性单一。
例3,CES生产函数
CES(Constant Elasticity of Substitution)生产函数(即不变替代弹性生产函数)的定义为：
其中都为正的常数。
(1)是阶齐次函数。
(2) 生产要素的贡献情况要素的贡献为：
全部要素的总贡献为：
(3) 技术系数、边际替代率及贡献系数技术系数为：
边际替代率为：
贡献系数为：
(4) 贡献弹性与替代弹性贡献弹性为：
替代弹性为：
由此可知，CES生产函数具有不变的替代弹性和不变的贡献弹性，这正是CES生产函数名称的由来。
第四节 收益分析
生产者投入一定数量的若干生产要素后，所得到的一定数量的产品回报叫做生产者的报酬或生产收益。生产者得到的报酬可以是实物形态，也可以是货币形态。本节讨论实物形态的报酬，即讨论生产收益(产品产量)随投入要素数量变化而变化的规律。我们将按照两种情况分别讨论，一种情况是讨论单个生产要素数量变化对生产的影响，这是收益的短期分析；另一种情况是讨论所有生产要素按照同一比例同时变化对生产的影响，即规模报酬变化规律，这属于生产收益的长期分析。
一、收益的短期变化规律
短期内生产要素可分为两类，一类是投入数量可变的生产要素，称为可变要素，比如劳动、电力、燃料等消耗性要素；另一类是投入数量无法发生变动的要素，称为不变要素或固定要素，比如土地、厂房、机器设备等固定资产。分析短期内生产收益的变化，就是分析产量随可变要素的变化而变化的规律。典型的做法，是去分析产量随一种要素的数量变化而变化的规律。
(一) 短期收益的形态设生产者的生产函数为。短期内，生产收益的实物形态可分为总产量、平均产量和边际产量三种。
1．总产量(Total Product)
总产量是生产者投入一定数量的生产要素之后，所得到的产品总和。假如投入向量为，那么生产者得到的个单位的产品就是本次生产的总产量，因而生产函数表达了总产量的变化规律,
假定所考虑的这种生产要素都是生产必需的，缺一不可。这样，如果一种要素的投入量为零，那么不管其他要素的投入量多大，都将生产不出产品来，即产量为零。这就是说，如果投入向量有一个分量为零，那么就有。
2．平均产量(Average Product)
平均产量是指一种生产要素平均投入一个单位所能得到的产品。显然，一种生产要素的平均产量同其他生产要素的当前投入量有关。假设当前投入向量为，那么要素的总投入量就为，要素的平均产量便为：
3．边际产量(Marginal Product)
边际产量是指再增加某种要素的单位投入量所能带来的总产量的增加量。在投入向量处，要素的边际产量就是生产函数在处关于的偏导数,记作,即
边际产量与平均产量都是单位投入的报酬,但前者指当前情况下增加一单位投入将能创造的产品，后者则指整个生产过程中单位投入所带来的产品，二者在量值上是不同的。整个生产过程可看作是不断追加要素的单位投入量的过程，生产过程结束时生产者得到的总产品，是追加要素投入量过程中每追加一单位要素所得到的产品(即边际产量)之总和。
(二) 要素的贡献利用平均产量(平均报酬)和边际产量(边际报酬)，可以描述生产要素在生产中的贡献。当按照投入方案进行要素的投入，生产出个单位的产品时，每一种生产要素在这次生产中的贡献大小由指标来衡量。其中，是要素当前的边际产量，是当前的总产量。
注意，贡献指标不受量纲(产品计量单位)的影响。这是因为，要素的投入量与其边际产量的乘积可看成是要素在本次生产中的“总产出”，是全部要素的总产出，二者相除便消除了量纲因素的影响。
容易看出，要素的贡献可通过边际产量和平均产量加以表示：
即要素的边际产量与平均产量之比，就是要素在本次生产中的贡献。
(三) 短期收益的变化规律
1．各种收益之间的关系
(1) 总产量与平均产量的关系总产量是要素投入量与平均产量的乘积(如图6-4(a)所示),即
(2) 总产量与边际产量的关系前面已经说明，总产量是投入过程中诸边际产量之总和。实际上，这样的关系是必然的,可用牛顿 —莱布尼茨公式加以证明(如图6-4(b)所示):
(3) 边际产量与平均产量的关系在生产要素的投入过程中，如果当前情况下的边际产量大于平均产量，那么再增加单位投入就要使平均产量上升；反之，如果边际产量小于平均产量，那么再增加单位投入就要使平均产量下降。这样，在平均产量曲线的最高点处，平均产量与边际产量就要相等(如图6-4(c)所示)。
(a) 总产量与平均产量 (b) 总产量与边际产量 (c) 边际产量与平均产量图6-4 各种收益曲线之间的关系边际产量曲线同平均产量曲线之间的这种关系，可以从数学上加以严格证明。事实上，从可知，从而可得到：
注意，。于是，上式告诉我们：当时，处于上升阶段；当时，处于下降阶段；当达到最大时，。
其实，边际产量曲线通过平均产量曲线的最高点这一事实也具有客观必然性。一般来说，在生产的初级阶段边际产量较大，而且会不断增加，即边际产量递增，因而边际产量高于平均产量。当生产进入第二阶段以后，边际产量下降。如果这个时候继续不断地增加要素的投入量，那么边际产量将会进一步下降，直至下降为零。如果还不停止追加要素的使用量，就要出现负的边际产出，使生产进入边际产出为负的无效生产阶段(第三阶段)。由此可见，边际产量曲线的形状呈现倒Ｕ型。既然高于平均产量的边际产量要把平均产量拉升，低于平均产量的边际产量则把平均产量拉降，因此平均产量曲线也呈现倒Ｕ型，而且边际产量曲线必然通过平均产量曲线的最高点，即在平均产量曲线的最高点处，，从而。
2,边际收益递减规律上述关于边际产量与平均产量的关系也告诉我们，在既定生产技术条件下，任何生产要素的产出能力都是有限的，也就是说，每种投入要素带给生产者的平均产量都是有限的，不会因为投入量很大就使平均产量无限增大。于是，平均产量曲线必然有最高点。在平均产量曲线到达最高点之前，边际产量大于平均产量；到达最高点时，二者相等；过了最高点之后，边际产量小于平均产量。我们看到，边际产量虽在开始时刻呈现增加趋势，但在投入增加到一定程度后，边际产量必然要随投入的增加而减少，这就是边际收益递减规律。准确地说，在其他要素的投入情况保持不变的情况下，一种要素的边际产量将随它的总投入量的增加而减少，即生产函数的二阶偏导数。
在现实经济生活中，边际收益递减现象普遍存在。例如粮食生产,如果只靠单独增加一种要素(如肥料)的投入量，而其他要素的投入量不变，那么这种要素的边际产量将随投入量的增加不断减少。谁能想象不增加劳动，不改良品种，不改进生产条件，不扩大土地使用面积，单靠提高土壤肥力就能使粮食产量不断提高呢？又如，一个人在一天之内不同时间的学习收益是不同的。清晨思想轻松，头脑清晰，单位时间内的学习收益很大，效率很高。但随学习时间的不断延长，学习效率越来越低，因而学习的边际收益递减。
边际收益递减规律与消费理论中的边际效用递减规律类似，它们都是重要的经济规律，是进行经济决策时必须加以重点考虑的方面。
二、规模报酬
长期内，所有生产要素的数量都是可变的，要素没有可变与固定之分。因此，在讨论了单个要素数量变化对生产的影响之后，还需要分析所有生产要素的数量变化对生产收益的影响。长期内，企业考虑的主要是生产规模如何确定，多大的规模才算合适？生产规模的变化，实质上是说所有生产要素按照同一比例同时变化。因此，我们需要研究生产规模变化对产出的影响。企业通过扩大生产规模所得到的收益，就是规模报酬。如果一个企业能够利用扩大生产规模来使自己受益，我们就说该企业具有规模经济(效益)。
(一) 规模经济企业扩大生产规模能否使企业受益，这需要从企业的内部和外部加以分析。
1,内部经济从企业内部来看，扩大生产规模以后可能出现的结果又两种。一种情况是扩大规模以后，企业内部的分工更加精细，分工协作得更好，使得生产效率大幅度提高，管理人员及工人的才智得到了充分发挥，同时大型机器设备的引进使得原材料得到充分利用，从而大大降低了各种生产要素的闲置性，降低了生产成本。所有这一切来自企业内部的良性变化，使得企业的收益大幅提高。我们称这种情况为企业内部经济。
另一种情况则完全相反，规模扩大以后，增加了生产的管理难度，管理效率下降，企业内部通讯联络费用增加，原料与产品购销还要增设机构，机器、设备、人力超负荷运转，这一切使得企业的管理费用提高，生产效率下降，企业并未从扩大规模中收益，反而收其害。我们把这种情况称为企业内部不经济。
2,外部经济从企业外部分析，扩大规模的结果也有两种。一种情形是企业的外部环境优越，企业所属的行业、部门规模大，通讯、设备、服务周全，整个行业的产品销路畅通，交通便利，原材料供应充足。这样，企业扩大生产规模，就可充分利用外部有利条件，并不需增加企业的额外费用，从而企业从扩大规模中受益。我们称这种情况为企业外部经济。一个典型的例子是蜂蜜生产，如果在蜜蜂厂周围农民种植了大量的花果农作物，那么峰厂增加养蜂数量就可使蜂蜜产量大幅度提高，这就是蜂厂外部经济的表现。
另一种情况是企业外部不具备让企业扩大规模的有利条件与环境，规模扩大以后所需的一些服务、通讯、交通、原料等外部条件都必须由企业自备，如自修公路、自建通讯网络、自发电以弥补电量不足、自谋产品销路、原材料紧张而要让企业花费较大的费用自寻原料来源等，从而大幅度地提高了企业的额外支出。在这种情况下，扩大规模对于企业来说无利可图，我们称之为外部不经济。
如果扩大规模后，由于企业内部经济或外部经济而使企业的收益能得到明显提高，企业就处于规模经济的状态。否则，就是规模不经济，或者说，不存在规模经济。
(二) 规模经济效益现在，我们来讨论生产规模扩大以后企业收益的变化情况。扩大生产规模，是指各种投入要素数量按同一比例同时扩大。设企业的生产函数满足假设PF。
1,规模报酬(Return to Scale)
在投入方案处，企业的生产规模如再扩大一倍时所带来的总报酬的增加量，称为处企业的规模报酬，记作。
设企业在原生产规模的基础上把规模扩大倍，于是报酬相应地增加。平均而言，规模扩大一倍所产生的报酬增加量为。为了精确计算,令，取极限即得到：
上式中，正表示把要素的投入量增加一倍所引起的产量增量，我们把这个产量增量记作，并称为要素的规模报酬。便是所有要素的规模报酬之总和，因而是全部要素的规模报酬。
一般来讲，企业的规模报酬变化要经历如下三个阶段。
(1) 规模报酬递增阶段：
当时，称企业的当前生产规模处于规模报酬递增阶段。这时，如把规模扩大一倍，则所增加的产量高于原来规模的产量，说明扩大规模会给企业带来好处，企业处于规模经济阶段。一般来说，在企业发展的初期阶段，生产规模较小，企业家才能和各种生产要素的潜力还未得到充分发挥，因而扩大规模是有效益的，即规模报酬递增。
(2) 规模报酬不变阶段：
当时，称企业的当前生产规模处于规模报酬不变阶段。这时，如把规模扩大一倍，则所增加的产量等于原来规模的产量，说明扩大规模不会给企业带来什么坏处。一般来讲，在企业发展的中期阶段，各种固定资产投资都有了较大的增长，生产规模到达了一个相当的水平，各种生产要素的潜力得到了极大发挥，因而扩大规模所增加的效益同原规模下的生产效益相同，规模报酬不变。
(3) 规模报酬递减阶段：
当时，称企业的当前生产规模处于规模报酬递减阶段。这时，如把规模扩大一倍，则所增加的产量低于原来规模的产量，说明扩大规模会给企业带来坏处，企业处于规模不经济的阶段。一般来讲，当企业在长期发展中把生产规模扩大到一定程度(相当大的程度)后，如果继续把规模扩大一倍，由于已没有更大的潜力可以挖掘，就要引起内部管理混乱，管理效率低下，生产效率下降，使得扩大规模所带来的产量增加量低于原来规模的产量。此时，企业不应再扩大规模。
2．适度规模长期内，当企业把生产规模扩大到规模报酬不变阶段时，企业的生产潜力得到了充分挖掘。如果还不停止扩大规模，那么企业就要进入规模报酬递减的阶段，这时如果还继续扩大规模，规模报酬就下降无疑，这对企业不会有什么好处。谨慎的做法，是在规模报酬不变或递减的阶段选择一种合适的规模，让企业生产保持在这个规模上，以求获得最大的效益。这个能使企业获得最好的效益的规模，称为企业的适度规模。企业在长期内的生产应该组织在适度规模上进行。
3,规模效益从规模报酬变化的三个阶段可以看出，在投入方案处，规模报酬与总报酬的比值很有意义。我们把这个比值叫做处的规模效益。
回忆本章第一节所述的全部要素总贡献，显然规模效益就等于，即
这就给赋予了新的含义：它表达着当前投入方案下的规模效益。当时，规模报酬递增；当时，规模报酬不变；当时，规模报酬递减。
还有，要素的贡献也具有了新的意义：是要素的规模报酬与总产量之比，即，表达了要素的规模效益。
4．规模弹性规模效益还是产出对规模的弹性，即
这是因为。
鉴于这个事实，规模效益也叫做规模弹性或生产力弹性。尤其是当生产函数是阶齐次函数时，从Euler定理可知规模效益(常数)。
第五节 利润最大化
本节从货币形态分析生产者的收益变化规律。货币形态的生产收益涉及两个方面：一是毛收入，即生产收入或总产值；另一是净收入，即利润。毛收入是生产者把生产的全部产品销售出去后所得到的货币收入，也即是按当前价格计算的全部产品的总产值。净收入是从毛收入中扣除生产性支出后的剩余值，即总收入减去总成本，这便是生产者的利润。企业组织生产不应追求产量最大化，因为这样存在着入不衍出的问题；而应追求利润最大化，这是生产者符合理性的做法。
一、收入、成本与利润
要讨论货币形态的生产收益，必然涉及产品的价格及各种生产要素的价格体系。设产品的价格为，要素的价格体系为，生产函数满足假设PF,并假定产品价格和要素价格体系为既定。
当投入向量为时，生产者的生产性支出(即支付给生产要素的报酬)为，称为生产者的成本。便是生产者售出全部产品后所得到的毛收入，称为生产者的总收入或总产值。显然，总收入是实物报酬的货币形态。今后，将用“收入”一词来指毛收入或总收入，而不再带“毛”或“总”字。
从总收入中扣除成本之后，剩余部分就是生产者的净收入，即利润，记作，即
生产者以实现利润最大化为目标，因而利润函数是生产者的目标函数，他要使的值尽可能地增大。利润最大化问题，就是指生产者选择合适的投入方案使达到最大值。当一种投入方案是的最大值点时，就称是利润最大化投入(方案或向量)。
命题1(利润最大化投入的有效性),利润最大的投入方案必然是有效投入方案。
事实上，设是利润最大化投入方案。假如不是有效投入方案，那么就存在着另外一种投入方案使得且,从而且，结果
这与是利润最大化投入方案相矛盾。可见，必然是有效投入。命题1得证。
二、利润最大化的边际分析
设是利润最大化投入方案，即是利润函数的最大值点。假定所考虑的这种生产要素都是生产必需要素，缺一不可。也就是说，只要其中有一种要素的投入量为零，产出必然也为零。这样，利润最大化投入方案必在投入集合的内部，即。
根据最大值的一阶条件，利润函数在处的各个一阶偏导数都为零：
即
此式称为利润最大化边际等式或边际方程，它告诉我们：。这就说明：
(1) 在利润最大化投入方案处，把一单位货币不论用于增加哪种要素的投入量，所获得的产品增加量都是一样的，它就是生产者的单位货币收入所售出的产品量。
边际等式还告诉我们，。这说明：
(2) 在利润最大的投入方案处，产品的价格就是企业最后增加的那一单位产出所耗费的成本。
这就是竞争性厂商的产品定价原则。最后还是从边际等式可知:
这说明：
(3) 在利润最大的投入方案处，任何两种投入要素之间的边际替代率都等于它们相应的价格比。
三、利润最大化的规模效益与盈亏情况
在利润最大的投入方案$处，既然，我们有要素的规模效益
规模效益
即在利润最大化投入方案处，一种要素的规模效益是该要素的报酬占总收入的比例。企业的规模效益是企业生产的成本与总收入之比。
利润最大化并不意味着企业一定能够盈利，而是说，当盈利时利润最大，当亏损时亏损最小。从实现利润最大化时企业的规模效益同成本与产值的关系，可得如下的盈亏分析结论：
命题2(利润最大化的盈亏),在利润最大化的情况下，
如果企业的规模报酬递增(即规模效益大于1)，那么企业生产处于亏损状态；
如果企业的规模报酬不变(即规模效益等于1)，那么企业生产处于不盈不亏损状态；
如果企业的规模报酬递减(即规模效益小于1)，那么企业生产处于盈利状态。
既然不论在短期还是长期内，企业都以利润最大化为行动目标，因此我们可以假定企业总是处于利润最大化状态。这样从长期来看，在规模报酬递增阶段，企业生产处于亏损状态，但这个时候企业存在着规模经济，如能扩大生产规模，则各种生产要素的潜力会得到充分发挥，从而使企业利用扩大规模的办法扭亏为盈，进入规模报酬不变或递减的阶段。因此，企业扭亏为盈的出路是：首先，企业要以利润最大化为目标。如果不是，就要想方设法改变企业的行为(比如采取股份制或私有化等各种手段)，使企业以实现利润最大化为行为目标。然后，看企业是否存在着规模经济。如果存在着规模经济，就要扩大生产规模使企业得到规模经济方面的全部好处，最终使企业达到不存在规模经济的状态。企业只有追求利润最大化并同时获得扩大生产规模所能得到的全部好处，才能摆脱亏损的困境而进入盈利状态。
第六节 成本理论
我们已经从收益方面对企业的生产活动进行了充分的分析。本节再从成本方面研究生产活动，讨论成本的概念、成本的确定、产出与成本的对偶以及生产扩展等问题。
一、成本的一般概念
成本是企业支付给生产要素的报酬，也即生产一定数量产品所耗费的支出。各种生产要素的报酬支付方式与时间不尽相同，有些生产要素在购买时就要支付报酬，或者要按契约按期支付报酬，这类要素报酬是可见的，并一般要求用货币来支付，称之为货币成本。由于它的可见性，故又称为显性成本或可见成本，也就是会计学中的会计成本。
另有一部分生产要素的报酬不需立即支付，也没有合同约定必须支付，但它们确实在生产中发挥着作用，应该得到报酬。这类生产要素有企业家才能、企业自有土地、自由厂房、自由机器设备等，它们的报酬不计入会计账目，因而是看不见的，称为隐性成本。
生产要素的报酬，还应该从机会成本的角度来考虑。生产要素具有多用途性，既可用于这种产品的生产，又可用于另一种产品的生产。例如，一亩土地即可用于生产粮食，也可用于扩建工厂，还可用建筑住房。假如用于生产粮食，可得到1000元利润；用于扩建工厂，可得到5000元利润；用于建造住房，可得到10000元利润。那么，当生产者用这一亩土地来进行粮食生产时，他就以放弃建造住房的10000元利润收入为代价。所放弃的这10000元利润收入，称为这一亩地用于生产粮食的机会成本。具体地讲，生产要素的机会成本，是指生产要素用于这种用途时所放弃的在其它用途中的最高收入。从机会成本角度考虑生产要素的投入使用问题，可促使要素用于最佳途径，促使资源达到最优配置。
今后，我们假定生产者就是按照机会成本来考虑生产要素的报酬的。在这个前题下，企业决定用种生产要素生产某种产品，生产函数为。企业的成本主要由显性成本和隐性成本构成，我们更关心显性成本的变化。
对于显性成本，按照生产要素在所考虑的时期内是否可变，可分为可变成本和固定成本。可变成本(Variable Cost)是所考虑时期内随产量变化而变化的那部分生产要素的报酬，比如原材料、燃料、电力、劳动等费用支出。因此，可变成本是一切可变要素的报酬。固定成本(Fixed Cost)是所考虑时期内不随产量变化而变化的那部分生产要素的报酬，比如厂房、大型机器设备、耐用仪器等不变要素的费用支出。因此，固定成本是短期内支付给一切固定要素的报酬。注意，长期内一切生产要素都是可变的，因此长期内只有可变成本，而固定成本仅存在于短期之内。
可变成本与固定成本之和称为总成本(Total Cost)，它是生产一定数量产品所需的成本总额。用表示总成本，表示可变成本，表示固定成本，则。
从统计角度分析总成本的构成，则有平均成本和边际成本概念。
平均成本(Average Cost)是平均生产一单位产品所需的成本额，用表示。在产量为时，。短期内，平均成本由平均可变成本和平均固定成本构成：，其中，。长期内，成本没有固定与可变之分，一切成本都是可变的，因此(即平均成本只有平均可变成本)。
边际成本(Marginal Cost)是指增加一单位产量时所需增加的成本费用，用表示。如果在产量水平上又增加了个单位的产品，引起总成本TC增加，那么产量水平上的边际成本就是：。
不论短期还是长期，边际成本都等于边际可变成本：
初级微观经济学介绍说：边际成本曲线通过平均成本曲线的最低点；由于边际报酬递减，随着产量的增加，每增加一单位产出所需增加的要素投入量越来越多，因而边际成本递增。准确地说，边际成本递减规律是指当产量增加到一定程度之后，若要继续增加产量，那么增加单位产量所增加的成本将越来越大。
二、成本函数
成本函数是成本与产量之间的对应关系，反映成本随产量变化而变化的规律。由于固定成本不随产量的变化而变化，因此成本随产量变化而变化的规律主要体现在可变成本随产量变化而变化的情况之上：。由于固定不变，因此我们关心的是VC的变化情况。
(一) 成本函数的确定设企业组织生产所需的一切生产要素共有种，生产函数为，并且满足假设PF。设生产要素的价格向量为。按照这个价格体系，投入方案的费用支出为，它就是投入的成本。
要素空间中成本相同的投入方案的全体，称为等成本线(面)。如果区分可变要素和不变成本，那么成本就由可变成本和固定成本两部分构成。目前情况下，我们要作一般性考虑，因而暂且不区分可变成本和固定成本，或者说也可以视所考虑的种生产要素全都为可变要素。
从生产函数出发，利用产出与成本的对偶关系，可以确定要素价格体系下的成本函数，具体做法如下。
1,产量既定时的成本对于既定的产量,从等产量曲线可知，生产个单位的产品可以有许多种不同的投入方案，生产者自然要在产量为的等产量曲线上选择成本最小的投入方案，这就是产量既定时的成本最小化问题。对于既定的要素价格体系和产量水平，我们把等产量曲线上成本最小的投入方案的成本，称为生产者的(总)成本，记作，即
图6-5 既定产量下的成本
(1) 成本最小化投入当一个产量为的投入向量满足时，称这个向量为既定产量下的成本最小化投入向量(方案)。从几何上看，既定产量下成本最小化投入向量是等产量曲线与等成本线的切点(如图6-5所示)。这条等成本线所代表的成本就是产量为时生产者的成本。
成本最小化投入向量类似于消费理论中的希克斯需求，成本函数则类似于消费理论中的消费支出函数。
命题1,成本最小化投入方案必然是有效投入方案。
证明：设是既定产量下的成本最小化投入向量。根据本章第一节命题3，要证明是有效投入，只需证明等产量曲线上没有一点能够满足。用反证法，假定存在满足。既然，我们有。这与(即是等产量曲线上成本最小的投入方案)相矛盾。可见，这样的方案不能够存在，从而必是有效投入方案。
(2) 成本最小化拉格朗日乘数成本最小化投入向量可用拉格朗日乘数法确定：存在拉格朗日乘数，使得拉格朗日函数在处的各个一阶偏导数全为零：
即
显然，成本最小化投入向量和相应的拉格朗日乘数都由要素价格体系和产量水平所决定：。称这个拉格朗日乘数为成本最小化拉格朗日乘数。
由本章第一节的命题2可知，生产函数在有效投入方案处的各个一阶偏导数皆非负，因此。结合假设PF可知，从而成本最小化拉格朗日乘数。
既然,且，我们得到：,即。
命题2,成本最小化投入方案处任何两种要素之间的边际替代率都等于相应的价格比。
这是因为。由此可见，成本最小化投入方案下要素之间的相互替代使得要素的投入使用达到了最经济的程度。
2,成本既定时的产量
图6-6 既定成本下的产量成本函数揭示了产量同生产这一产量所需的最小成本之间的关系。但这里有一个问题必须加以说明，即按照最小成本所组织的当前产量的生产是否是这个成本下的最大产量的生产？这就是既定成本下的产量最大化问题。
图6-6显示了产量最大化问题的解法。在既定的成本下，生产者要使产量达到最大，这等价于要求生产函数在约束条件下达到最大值。可用拉格朗日乘数法解之，其结果依然是：在等产量曲线与等成本线的切点处，取得最大值。
显然，既定成本下的产量最大化问题，与消费理论中的效用最大化问题是类似的。在要素价格体系和既定成本下，产量最大化投入方案类似于马歇尔需求向量，因此完全可以用类似于马歇尔需求分析方法证明，产量最大化投入方案与成本最小化投入方案是等价的，即产量最大化时实现了成本最小化，成本最小化时也实现了产量最大化。
这样，按照既定产量下的最小成本组织的生产，必然实现了这一成本下的产量最大化。这就是说，成本函数具有产量最大化的意义：在要素价格体系下，如果是既定产量下的最小成本，即，则也是既定成本下的最大产量；反之，如果是既定成本下的最大产量，则，即也是既定产量下的最小成本。
(二) 生产扩展
图6-7 生产扩展线上面关于确定成本函数的讨论说明，要素空间中等产量曲线与等成本线的切点相当重要，它既是既定产量下的成本最小化投入方案，又是既定成本下的产量最大化投入方案。企业在这些切点上组织安排生产活动才是最优的选择，企业的生产应该沿着这些切点运动的轨迹进行扩展。鉴于此，我们把等产量曲线与等成本线的切点所构成的集合，称为企业在要素价格体系下的生产扩展线，并用表示(如图6-7所示)。明显地，可由下述方程组确定：
此方程组称为生产扩展方程。
在既定价格体系下，从生产扩展方程可确定出任何产量水平上的投入方案。生产扩展线便是点随变化而移动生成的轨迹，即
容易证明：对一切成立。
1,成本最小化拉格朗日乘数的意义设,。于是，存在实数使得。显然，这个实数就是产量下的成本最小化拉格朗日乘数。利用生产扩展线，我们可以给出成本最小化拉格朗日乘数的一个经济解释。
假设产量水平发生了一个微小变动，引起成本发生了微小变化，即。由于生产要在扩展线上进行，因此可取的一个微小变动使得且。这样，我们有：
这说明。
注意，
所以,
这说明，生产扩展线上任一点处的成本最小化拉格朗日乘数都是相应产量下的边际成本，即成本最小化拉格朗日乘数就是边际成本。
3,成本最小化投入方案的确定设，即是要素价格体系下产量水平上的成本最小化投入方案。于是，。
对于任何的要素价格体系，由于是按照价格体系组织产量的生产时发生的最小成本，而按照投入方案生产的产量也是，因此。令
则对一切成立，并且。这说明是函数的最大值点，从而在点处的一阶偏导数必为零：
即
由此可见，成本最小化投入向量正是由成本函数对各种要素价格的偏导数来给出的。这个结论是重要的，它的经济学直观意义是：我们正处在一个成本最小化点上，这时要素的价格开始增加。要素价格增加的直接效应，是这种要素的支出增加；但同时也存在着一种间接效应，即我们要改变生产要素的投入组合。然而从可知，当要素的价格增加一个单位时，在成本最小化点上(不论是否改变要素投入组合) 生产原产量的成本(都必然) 也同时增加个单位。可见，由于产量不变且成本的增加量又不会减少，即使改变生产要素的投入组合，也不会产生额外的利润。
(三) 成本函数的性质现在，我们对成本函数的特点作一些分析。
性质1,成本函数是产量的递增函数，即。
事实上，根据成本最小化拉格朗日乘数的意义可知，，而且保证了，因此成本函数是产量的递增函数。
性质2,成本函数是要素价格体系的一阶齐次函数，即对任何实数，都成立：。
事实上，。
性质3,成本函数是要素价格的凹函数，即在既定产量下，对于任何价格向量和以及任何实数，都有。
实际上，若记，并设是价格和产量下的成本最小化投入方案，则有且。注意，且。
于是，。
性质4,如果生产函数是凹函数(即边际报酬递减)，那么成本函数是产量的凸函数(即边际成本递增)。
证明：在既定的要素价格体系下，对于任何产量水平和及任何实数，设是产量下的成本最小化投入方案，是产量下的成本最小化投入方案，并令及。则，，并且，即。注意，且，因此 。
既然，根据性质1，。但，因而。这就证明了是产量的凸函数。
性质5,成本函数是要素价格和产量水平的连续函数。进而，如果生产函数强拟凹，则成本函数是和的连续可微函数。
这是因为，成本最小化投入方案类似于希克斯需求，而希克斯需求等价于马歇尔需求。我们已经证明了马歇尔需求的连续性和可微性，因而可以证明希克斯需求的连续性和可微性。再用完全类似的方法，可以证明是和的连续映射，从而成本函数是和的连续函数；进一步，如果生产函数强拟凹，那么还可以类似地证明是连续可微的映射，从而是和的连续可微函数。
注意，如果生产函数是可微的凹函数，那么必是强拟凹的。因此，在边际报酬递减规律的作用下，成本函数的可微性及成本函数关于产量的凸性都是必然。
三、成本函数与规模报酬
最后，我们来考察成本与规模报酬变化之间的关系。由于现在考察的变量是产量，因此我们假定要素价格不变。这样，可把成本函数简单地写成，而省去价格向量。
企业按照生产扩展线组织安排生产，企业的规模效益(即规模弹性)应该是生产扩展线上的规模效益。设，，是相应的成本最小化拉格朗日乘数。从对的经济解释可知，。
我们有：
因此，按照生产扩展线安排生产，企业的规模效益等于相应的平均成本与边际成本之比。
再注意，。我们得到如下结论：
命题3,在生产扩展线上，规模报酬递增当且仅当平均成本下降；规模报酬递减当且仅当平均成本上升；规模报酬不变当且仅当平均成本最低。
命题4,生产扩展线上的规模报酬总是不变，当且仅当平均成本恒为常数，当且仅当平均成本与边际成本总是相等，又当且仅当成本函数具有形式：。
证明：首先注意，平均成本为常数当且仅当平均成本总是等于边际成本。这是因为，平均成本的导数。
当生产扩展线上的规模报酬总是不变时，对任何，都有，因此对任何，都有，这就说明平均成本恒为常数。反之，如果平均成本恒为常数，则，从而对任何，都有，即生产扩展线上的规模报酬总是不变的。
由此可知，生产扩展线上的规模报酬不变之假设同成本函数具有形式是相互等价的。
命题5,如果生产函数是阶齐次函数，那么成本函数具有形式。
证明：令为成本最小化投入向量，则。既然是阶齐次函数，从欧拉定理知，因而。由此可得：
分离变量和后，上述微分方程变为：，解之得，其中只与价格体系有关，而与产量无关，因而仅仅是的函数。命题5得证。
第七节 要素需求与产品供给
本节讨论生产要素的需求与产品的供给问题。厂商以利润最大化作为行为准则，在这样的行为准则下生产要素的需求和产品的供给得以同时确定。本节的主要目的是要说明厂商使用生产要素和供给产品的原则。
一、条件要素需求
上一节讨论的成本最小化投入向量，反映了要素的投入使用量同要素价格和产量水平之间的关系：。当产量水平既定时，这种关系就反映了要素使用量同要素价格之间的关系，因而反映了既定产量水平下厂商对要素的需求情况。鉴于这个原因，我们把成本最小化投入向量同要素价格体系和产量水平之间的关系称为条件要素需求映射，它的每个分量函数称为条件要素需求函数。之所以称谓“条件”，是因为这里的要素需求同产量水平有关，是产量既定条件下的要素需求。
根据上一节的讨论可知，条件要素需求可用生产扩展线来确定。对于任何的要素价格体系，相应的生产扩展线上产量为的点，就是在和下的条件要素需求向量，其确定方程是：
此方程组称为条件要素需求方程，其中的拉格朗日乘数就是当要素价格为、产品产量为时的边际成本：。
(一) 条件要素需求的性质性质1．条件要素需求映射关于价格是零阶齐次的，即对于任何价格向量,产量及实数，都有。
这是因为，是函数在约束条件下的最小值点，当且仅当是函数在约束条件下的最小值点。
性质2．条件要素交叉价格效应是对称的，即。
要证明性质2，需要注意条件要素需求向量是成本最小化投入方案，而成本最小化投入方案是由成本函数对要素价格的导数来确定的，即对于条件要素需求来说，。由此可知，
再注意成本函数是价格的凹函数，因此成本函数关于价格的二阶导数矩阵是半负定的对称矩阵。的对称性说明，条件要素交叉价格效应是对称的，性质2得证。同时，的半负定性又说明，条件要素自身价格效应是非正的，即下面的性质3 。
性质3．条件要素自身价格效应是非正的，即。
条件要素价格自身效应的非正性表明，在产量水平既定的情况下，一种要素价格上升后，生产者对这种要素的需求量不会增加(更可能会减少) 。要素的价格与条件需求量之间这种反向变动规律，不仅对于一种要素成立，而且对于多种要素价格都发生变化的情况也适用，这就是下面性质4所述的规律。
性质4．条件要素需求向量的变动与要素价格向量的变动是反向的，即对任何要素价格体系和，以及任何产量水平，都成立。
证明：记。即是价格下的成本最小化投入向量，是价格下的成本最小化投入向量，和的产量相同。于是，，同时。由此可知：。移项整理得：，即。
(二) 条件要素价格效应的确定虽然条件要素价格效应可以通过成本函数对价格的导数来确定，但这种确定方式是与生产技术之间的关系不明显。为了反映条件要素需求同生产技术之间的关系，这里给出一种直接通过生产技术来确定的条件要素价格效应的办法。
我们仍然用表示生产函数，表示条件要素需求映射，表示相应的成本最小化拉格朗日乘数。将它们代入条件要素需求方程后即可得下面的恒等式组：
在每个恒等式的左右两边对求导数可得：
用矩阵表示，即
其中上角标“”表示矩阵的转置，，,，，为阶单位方阵。
记，则。这就得到了条件要素价格效应的确定公式：
其中，公式更为主要。所涉及的矩阵叫做生产函数的加边海森矩阵。这里，我们已经假定了这个矩阵是可逆的。
其实，加边海森矩阵还是半负定的对称矩阵。事实上，是函数在约束条件下的最小值。根据二阶必要条件可知，拉格朗日函数在点处的海森矩阵是半正定的(对于极大值，二阶条件是说拉格朗日函数的海森矩阵半负定),而的加边海森矩阵正是，因此的加边海森矩阵是半负定的。对称性则来自于。
由于半负定对称矩阵的逆矩阵仍然是半负定的对称矩阵，因此矩阵也是对称的半负定矩阵，即是对称半负定矩阵，这就又一次说明了条件要素需求的性质2和3。
二、要素需求与产品供给
上面讨论的条件要素需求，是生产者在产量既定情况下对生产要素的需求。尽管按照这种需求所确定的要素投入达到了最小，但没有考虑生产者究竟应该把产出和投入确定在什么水平之上才能实现利润最大化的问题。现在，我们就来讨论这个问题。
(一) 利润最大化的意义厂商的目标是实现利润最大化。如以前所述，利润是厂商的生产收入与生产成本之差。对于这个概念，关键在于如何理解。
首先，在计算利润的时候，所考虑的生产成本应当包括组织产生所需的一切成本。比如，企业家本人作为企业的雇员，他的工资收入应当作为企业生产成本的一部分。又如，企业贷款的利息支付必须作为生产成本得到计算。其次，厂商的收益和成本都依赖于厂商所开展的生产活动，比如生产资料的采购、产品的广告宣传、实际生产的组织安排等等，组织这些活动必然发生一定的费用，应该算作成本要从总收入中扣除。因此，我们所谈论的种生产要素应当包含发生成本费用的这些活动。这样，厂商的总收入和总成本反映了厂商组织、开展生产活动的水平。厂商的行为，表现为选择一种投入产出行动，使得利润达到最大。
第二，厂商的总收入是销售产品所得到的收入总和。假定产品的销售量等于产品的生产量(实际上，如果产量大于销售量，就要出现存货。在企业的生产经营过程中，存货是被列在资本项目中加以考虑的，因而存货被列入成本范围。这样一来，销售量与产量相等的假定对于利润分析不会产生什么问题)。于是，总收入是通过生产函数由厂商的投入所决定的，是要素投入的函数：。
同样，总成本是厂商支付给所有生产要素的总报酬，包括了组织生产活动所发生的一切费用。在要素价格既定的情况下，总成本就由投入的全部生产要素来决定，是要素投入的函数：。
既然总收入和总成本都由要素投入所决定，因此利润也就由要素投入决定，是要素投入的函数：。这便是从投入角度来理解的利润函数。运用简单微积分可知，利润最大化投入行动必然满足下面条件：
即。这就说出了利润最大化的基本特征：(要素的)边际收益等于(要素的)边际成本。其经济含义是：如果某项活动(生产要素)的边际收益大于边际成本，那么提高该项活动的水平(增加该要素的投入量)是有益的；如果某项活动(生产要素)的边际收益小于边际成本，那么降低该项活动的水平(减少该要素的投入量)是有益的。
第三，还可以从产出的角度来理解利润最大化的意义。厂商的总收入直接依赖于产量(即销售量)。因而总收入是产量的函数：。另一方面，厂商组织一个产量的生产，当然要以最小的成本来生产这个产量，正如前一节成本理论所讨论的那样，总成本也由产量水平决定，是产量的函数：。这样，利润也就由产量水平决定，是产量的函数：。
利润最大化，就是说厂商要选择一个产量水平，在这个产量水平上的生产能够使厂商的利润达到最大。于是，利润最大化的产量必然满足条件：，即。这个条件则是说：(产品的)边际收益等于(产品的)边际成本。因此，如果增加产量能够使增加的收入大于增加的成本，那么增加产量就能使厂商的利润得到提高，因而应该增加产量；反之，如果增加产量将导致增加的收入小于增加的成本，那么增加产量将使厂商的利润水平下降，因而应该减少产量。
第四，对于利润最大化，从投入角度的理解和从产出角度的理解，二者是一致的。也就是说，如果是利润最大化的投入方案，那么就是利润最大化的产量；反之，如果是利润最大化的产量，那么这个产量下的成本最小化投入方案就是利润最大化的投入。
事实上，利润最大化的投入方案必在生产扩展线上，即必是产量下的成本最小化投入。这是因为，如果这个不是产量下得逞最小化投入方案，那么必有产量相同的另外一种投入方案，按照组织生产的成本小于按照组织生产的成本，即。既然和的产量相同，总收入和也就相同，结果投入的利润就要小于投入的利润，即，这与是利润最大化投入方案相矛盾。可见，利润最大化投入方案必是成本最小化投入方案。
既然利润最大化投入方案必然在生产扩展线上，于是利润最大化问题就等同于说：再生产扩展线上选择一点，使企业的利润达到最大。显然，这一点的选择既可以是选择投入方案，也可以是选择产量，二者是相互等价的。因此，从投入角度理解的利润最大化和从产出角度理解的最大化是一致的。
正是由于这两种理解的一致性，利润最大化问题的答案将回答厂商如何决定要素投入水平和产量水平的问题，从而解决要素需求和产品供给的决定问题。
第五，从长期来看，同一行业内诸厂商的长期利润相等。这便是利润最大化的长期意义。之所以这样，是因为长期内同一行业的诸厂商之间可以相互模仿对方的行为，如果一个厂商得到了较高的利润，那么其他厂商将会模仿该厂商的行动，使它们的利润也达到这个水平。因此，就长期来说，同一行业中的褚厂商有着相同的总收入函数和总成本函数，有着相同的利润函数。利润最大化的这一特点虽然条件看上去简单，但涵义却常常出奇地有力。
(二) 利润最大化与要素需求
从投入角度看利润最大化，就可确定要素的最有雇佣量，即要素需求。比如厂商要决定到底应该雇佣多少数量的劳动。按照利润最大化基本特征，厂商雇佣的劳动量应该是这样的：如再多雇佣一个单位的劳动，那么多雇佣的劳动所增加的生产收益等于增加这一单位劳动所增加的成本，即这一额外单位的边际收益等于它的边际成本。按照边际收益等于边际成本的原则，要素的最有雇用量得以确定。
为了以更加具体的方式来运用利润最大化原则，我们把收益函数和成本函数具体化：厂商收益等于厂商出售的产品数量乘以产品价格，生产成本等于厂商雇佣的要素数量乘以要素价格。于是，利润最大化问题变成为厂商希望雇用多少要素进行生产，以获得最大的利润。
1．要素需求显然，厂商的利润不但与要素的投入量有关，而且与产品的销售价格和要素的使用价格有关。但是，目前我们的着眼点在个别厂商上面，还没有涉及价格的决定问题。因此，我们假定个别厂商不能单方面决定产品的价格，个别厂商对要素的购买也不能影响要素的价格。厂商是产品价格和要素价格的接受者，听从价格的召唤，依据价格行事。经济学中，这样的厂商称为竞争性厂商。
厂商接受市场价格，这实际上是市场对厂商生产经营活动的约束。当然，市场约束不仅仅表现在这个方面。比如，购买厂商产品的消费者可能只愿意按某一价格支付某一数量的产品，生产要素供应商可能只愿意按照某一价格向厂商提供生产要素等等。厂商决定它的最优行动时，必须将这些因素考虑进去。当厂商受到的约束条件较多时，利润最大化问题是很复杂的。如果把影响厂商决策的所有因素都考虑进来，那么不但讨论起来极为困难，而且往往会由于诸多次要因素的存在而掩盖事物的本质，不利于我们揭示厂商追求利润最大化行为的规律。鉴于这个原因，我们暂且不考虑来自于市场方面对厂商经营的错综复杂的影响，只假定厂商是竞争性厂商，是价格的接受者，价格是利润最大化问题的外生变量。在这个假定下，利润最大化问题简化成为厂商如何组织投入以使利润达到最大。
设厂商的生产函数为，既定的要素价格体系为，既定的产品价格为，用表示产量。当厂商的投入向量为时，厂商的利润为。使达到最大的投入向量，称为厂商在既定价格体系下的要素需求向量，也称为均衡投入向量(方案)，记作。当要素价格和产品价格发生变化时，给出了要素需求向量同市场价格体系之间的对应关系，这种关系称为厂商的要素需求映射，其中各个分量函数称为厂商的要素需求函数。
2,要素需求的决定条件从本章第五节的讨论知，利润最大化的一阶条件是：。这个方程就是利润最大化边际方程，是确定要素需求的方程，表达了要素需求的一阶决定条件。其中，表示要素的边际产品价值(value of marginal product)，即要素的边际收益，记作。要素的价格实际上是要素的边际成本，记作。
一阶条件告诉我们，厂商使用生产要素的原则是：要求要素的边际产品价值(即要素的边际收益)等于要素的边际成本。当一种要素的边际产品价值大于这种要素的边际成本时，增加这种要素的投入量是有益的；当一种要素的边际产品价值小于这种要素的边际成本时，减少这种要素的投入量是有益的。因此，厂商对各种生产要素的需要量是按照边际产品价值等于边际成本的原则来确定的。即就是要素的需求决定条件。
我们再来讨论利润最大化的二阶条件，也即决定要素需求的二阶条件。微积分告诉我们，对于二阶连续可微的多元函数来说，如果它在一点处取得极大(极小)值，那么它在该点处的二阶导数矩阵半负定(半正定)；反之，如果它在某点处的一阶导数全为零，并且在该点处的二阶导数矩阵负定(正定)，那么它必然在该点处取得极大(极小)值。由此可知，利润最大化的二阶必要条件和充分条件可分别表述如下：
二阶必要条件．如果投入向量是生产者在价格体系下的要素需求向量，那么生产函数在处的海森矩阵半负定。
二阶充分条件．如果在投入方案处，且海森矩阵负定，那么必是价格体系下的要素需求向量，即。
切线
图6-8 海森矩阵的半负定性这是因为，利润函数的的二阶导数矩阵与生产函数的二阶导数矩阵只相差一个系数：，而且，因此矩阵与的负定性质一致：(半)负定当且仅当(半)负定。这样，在利润最大化二阶条件中便可用用生产函数的海森矩阵代替利润的海森矩阵，从而得到如上所述的二阶必要条件和二阶充分条件。
由于矩阵负定(正定)的充分必要条件是该矩阵是半负定(正定)的和非奇异的，因此如上的二阶充分条件，实际上是在一阶和二阶必要条件的基础上再加上海森矩阵的非奇异要求。
从几何上看，利润最大化投入方案处生产函数的海森军阵的半负定性是说生产函数曲线(曲面)在该点附近局部凹，即位于切线(切平面)的下方(如图6-8所示)。
3,直接利润函数利润函数的概念还可以扩大。实际上，是通过投入方案和产量来确定的，只不过由来确定。如果去掉这个限制，那么一个投入产出过程的利润便为：。可见，利润函数是通过把的自变量限制在集合(的图像)上而得到的函数。鉴于这个原因，我们把定义在整个空间上的函数叫做直接利润函数，空间叫做投入产出空间，其中的每一个向量都代表着一个投入产出过程。直接利润函数正是投入产出过程的利润函数。
显然，并非每一个投入产出过程都是可行的；即使可行，也不见得是有效的。当时，投入产出过程是现有生产技术所不允许的或者所大不到的；当时，投入产出过程虽然从生产技术上讲是可行的，但却是无效的(没有达到应有的产量)。只有当时，投入产出过程才不但是技术允许的，而且是有效的。所以，生产函数曲线(曲面)代表着技术有效性，是技术有效投入产出过程的全体。
等利润线
图6-9 利润最大化的几何意义现在，我们可以解释利润最大化投入方案处生产函数曲线的切线的意义。为此，我们把投入产出空间中利润相同的点所构成的集合，称为等利润曲线。利润最大化问题，就是直接利润函数在约束条件下的极大值问题。因此，等利润曲线与生产函数曲线的切点就是利润最大化问题的解，其中就是利润最大化投入方案，就是利润最大化产量。可见，利润最大化投入方案处生产函数曲线的切线就是等利润曲线，它代表的利润是技术允许的最大利润，如图6-9所示。这条等利润曲线的方程是：。
既然利润最大化投入方案处生产函数曲线的切线的方程是，因而在轴方向上的切线斜率为，即为要素的价格与产品价格之比。
4,间接利润函数按照利润最大化原则组织生产，厂商将获得最大利润。这个最大利润，是由既定的要素价格和产品价格所确定的：
当要素价格和产品价格发生变化时，最大利润跟着发生变化。于是，给出了厂商的最大利润同市场价格体系之间的一种对应关系。我们把这种对应关系称为厂商的间接利润函数。
间接利润函数反映了厂商的利润水平随价格体系变化的规律，或者说确定了价格体系决定的厂商利润水平情况。它类似于消费者理论中的间接效用函数，在经济分析中相当重要。
(三) 利润最大化与产品供给现在，我们从产出角度来看利润最大化，从而引出产品供给。
1．产品供给的原则从产出角度看利润最大化，那么利润最大化一阶条件还可写成：
这表示：不论通过多投入哪一种生产要素来增加产品产量，增加一单位产品所需增加的收益都等于增加这一单位产品所增加的成本，即产品的边际收益等于产品的边际成本。如果产品的边际收益大于产品的边际成本，那么再增加产量是有益的；如果产品的边际收益小于产品的边际成本，那么减少产量是有益的。可见，竞争性厂商的产品供给原则是：产品的边际收益等于产品的边际成本。
实际上，这条原则不但对竞争性厂商使用，而且对于非完全竞争性厂商也是使用的。这是应为从产出角度看利润，利润函数可写成：。利润最大时，利润对产量的导数应为零，即。所以，利润最大化的条件也是：产品的边际收益等于产品的边际成本。即，厂商应该选择这样的一个产出水平，在这个水平上再增加生产一个单位产品，所得到的收益增加量等于为了增加这一单位产品所需的增加的成本。
2．产品供给函数在既定的价格体系下，厂商按照“边际收益等于边际成本”原则确定的产量水平，称为厂商在价格体系下的产品供应量，或者称为均衡产量，或者称为利润最大化产量。当价格体系发生变化时，产品供应量跟着发生变化，于是确定了产品供应量同价格体系之间的一种对应关系，称这种对应关系为厂商的产品供给函数。
显然，产品供给同要素需求之间的关系为：
间接利润函数同产品供给和要素需求之间的关系为：
在既定的价格体系下，点正是等利润线和生产函数曲线的切点(如图6-9所示)。称这个点为厂商在价格体系下的均衡。
3．从成本最小化角度看利润最大化利用上一节中讨论的成本函数，也能给出确定产品供给(利润最大化)的一阶和二阶条件。
实际上，在既定的价格体系下，最大利润可写成：
这说明，在既定的价格体系下，利润最大化等价于利润函数达到最大值。于是，厂商实现利润最大化的一阶条件是：
其中产品价格正是增加一单位产品所能增加的收益，即产品的边际收益；是产品的边际成本，即增加一单位产品所需增加的成本。如果产品的边际收益大于产品的边际成本，那么增加产品产量是有益的；如果产品的边际收益小于产品的边际成本，那么减少产品产量是有益的。厂商只有把产量水平定在使产品的边际收益等于产品的边际成本的水平之上，才能获得最大利润。这便是决定产品供给的一阶条件。
再来分析二阶条件。根据极大值的二阶必要条件知，厂商实现利润最大化的二阶必要条件是：。即厂商实现利润最大化时，产品的边际成本是不减的。这便是决定产品供给的二阶必要条件。
再根据极大值的二阶充分条件知，厂商实现利润最大化的二阶充分条件是：产品的边际收益等于产品的边际成本，并且产品的边际成本递增，即且。这便是决定产品供给的二阶充分条件。
从几何上看，二阶条件说明在利润最大化产量处，成本函数是“局部凸的”，即在附近成本曲线位于该点处的切线上方(如图6-10所示)。
下面，我们来解释利润最大化产量处成本曲线的切线的意义。
图6-10 等利润线与等成本线任给一种产量水平和一种成本水平，如果不考虑按照这个成本能否生产出个单位的产品，那么就代表着一种产出成本方案。只有当时，产出成本方案才是技术可行的，即按照成本可以生产出个单位的产品。我们把空间称为产出成本空间。技术可行产出成本方案，是产出成本空间中那些位于成本曲线之上及其上方的点所代表的产出成本方案。
产出成本方案的利润为，产出成本空间中那些利润相同的投入产出方案的全体称为等利润线。显然，利润为的等利润线的方程是：，即。等利润线的斜率为(产品价格)，这正是成本曲线在利润最大化产出成本点处切线的斜率(因为按照一阶条件，，即边际收益等于边际成本)。由此可见，利润最大化是在成本曲线与等利润线(这里)相切的地方实现的(如图6-10所示)。
(四) 利润最大化的长期条件一个行业是生产完全相同产品的所有厂商的全体。严格地讲，如果两个厂商生产完全相同的产品，那么这两个厂商的生产技术水平应该完全一样。否则，他们生产的产品总会有所区别。因此，我们可以假定同一行业内所有厂商的生产函数都相同。从长期来看，如果行业内某个厂商的生产组织安排达到最优，让该厂商获得了最大利润，那么其他厂商就都会来模仿这个厂商的行为，向这个厂商学习，于是最终各个厂商获得相同的长期利润。
其实从理论上讲，同一行业内诸厂商的长期利润相等是必然的。这是因为，诸厂商具有相同的生产函数，他们都是利润的追求者，都要实现利润最大化，而在对每个厂商都相同的要素与产品价格体系面前，按照确定的最大利润是唯一的，每个厂商最终都要实现这个利润，因此同行业内所有厂商的长期利润都相等。
不仅如此，同行业内所有厂商的要素需求和产品供给都是相同的，因而行业的要素需求和行业的产品供给分别等于单个厂商的要素需求和产品供给乘以行业内厂商的总个数。
同一行业内厂商的长期利润相等，这便是利润最大化的长期条件，也是利润最大化的第二个基本特征。长期条件虽然简单，但涵义却常常出乎寻常地有力。尤其是这个条件蕴含着完全竞争市场上厂商的长期经济利润为零。
(五) 要素需求与产品供给的性质要素需求函数和产品供给函数作为利润最大化问题的解这一特定形式来确定，这意味着这些和函数必然具有某些特殊性质。
性质1,要素需求函数与产品供给函数都是价格的零阶齐次函数。
这是因为，对于任何实数，在要素空间中的最大值点与在要素空间中的最大值点相同(尽管最大值不同)，因而要素需求映射是零阶齐次的。又由于，因此要素供给函数也是零阶齐次的。
这条性质的经济意义是重要的。如果我们想知道一个厂商是否达到利润最大化，我们可以做这样的观察：让所有商品的价格都加倍，而其他条件都不变。如果发现厂商对要素的需求量和对产品的供给量发生了变化，那么我们不得不说该厂商没有实现最大利润。
性质1说明了要素与产品价格的同比例变动对要素需求和产品供给没有影响。然而我们更想知道价格的一般变化(尤其是相对变化)对要素需求和产品供给的影响。为此，把要素需求映射和产品供给函数代入到一阶条件中，得到下面的恒等式组：
在这些恒等式的等号两边求微分可得：
写成矩阵形式：，即 。
其中，，，。
从利润最大化二阶条件知，是对称的半负定矩阵。假定非奇异(作出这个假定，主要是为了求逆矩阵)。于是，是负定矩阵。
用表示的逆矩阵，即。我们可得到：。由此可知，从而
即 ,其中 。
因此，表示了要素的价格变化对要素产生的替代性影响。鉴于此，我们把矩阵称为替代矩阵，称为要素对要素$的价格效应。
由于替代矩阵是生产函数的海森矩阵的逆矩阵除以产品价格，而又是对称的负定矩阵，因此替代矩阵也是对称的负定矩阵。这一事实蕴含着好几个重要的结论，现叙述如下。
性质2,要素对要素的价格效应等于要素对要素的价格效应，即
这是从替代矩阵的对称性得到的。
性质3,每种要素对自身的价格效应都为负，因此一种要素的需求量同该要素的价格呈反向变动关系，要素需求曲线向右下方倾斜，即。
这是从替代矩阵的负定性得到的。更一般地，替代矩阵的负定性还蕴含着全部要素需求向量同全部要素价格之间的反向变动关系，即下面的性质4．
性质4,在产品价格不变的情况下，要素需求向量与要素价格体系之间呈现反向变动关系，即，这里“”表示向量的内积。
证明：产品价格不变，即。要素价格变动，即。要素价格变动引起的要素需求变动为，于是，从而。既然是负定的且，我们有，这就说明，即要素需求变动的方向与要素价格变动的方向相反，性质4得证。
也可以这样证明：要素价格从变到，要素需求便从变到。既然保持了利润最大化，于是且。前一式减去后一式便得到，即。这说明要素需求同要素价格之间呈反向变动关系。
性质5,在要素价格不变的情况下，产品供给量与产品价格之间呈同向变动关系，产品供给曲线向右上方倾斜，产品供给曲线的斜率。
证明：要素价格不变，即。设产品价格变动引起的要素需求变动为，引起的产品供应量变动为。于是，且。这样，我们便得到：。这说明。既然替代矩阵负定且，我们有，这同时说明产品供应量同产品价格反向变动，性质5得证。
也可以这样证明：设产品价格从变到，要素需求便从变到，产品供应量从变到。既然这些变化保持着利润最大化，因而我们有且。前一式减去后一式，便可得到，从而。由于且，因此。这说明产品供给量与产品价格之间呈同向变动关系。
性质6,一种要素价格变化对产品供给的影响，等于产品价格变化对这种要素的需求的负影响，即 。
证明：要素需求同产品供给之间具有关系：。由此可得：
注意，。因此，。
三、间接利润函数的性质
间接利润函数把厂商的最大利润作为要素价格和产品价格的函数。因此，分析间接利润函数的特性，对于进一步认识利润最大化行为是很有用的。我们回忆一下间接利润函数的定义：。
性质1,间接利润函数是要素价格的递减函数，是产品价格的递增函数。即，。
这是因为，当时，记，，则
而当时，记，，则
性质1得证。
性质2,间接利润函数是价格的一阶齐次函数。
这条性质实际上在证明要素需求函数的零阶齐次性时已经得到了证明，在此不再赘述。但它的经济意义相当重要：要素价格与产品价格都按同样的倍数增长时，尽管厂商的要素需求量和产品供给量都不发生变化，但厂商的经济利润却跟着加倍增长了同样的倍数。结合消费理论中需求函数的零阶齐次性，当产品价格和消费者收入加倍增长时，消费者对产品的需求不变。可见，让要素价格和产品价格按同一比例增长，这种膨胀方式不但保持了消费者对产品的需求不变、生活水平不变、生产者对产品的供给不变、对生产要素的需求不变，而且同时又使生产者的经济利润加倍增长，从而为厂商进一步组织和扩大生产积累了资金，促进了厂商的资本积累。
性质3,间接利润函数是凸函数，即对任何价格体系和以及任何实数，都有。
证明：记，，。则，,。于是
这就证明了性质3。
间接利润函数的凸性说明了什么经济现象呢？且看这样一种情况：在某一特定时期内，要素的价格和产品的价格都是变化的。在前半期，产品价格较高而要素价格较低，厂商的利润增加得较快，因而厂商愿意在前半期生产较多的产品；在后半期，产品价格较低而要素价格较高，厂商的利润增加较慢，因而在后半期厂商生产的产品较少。这样，前半期的利润与后半期的利润确定了整个时期内厂商的平均利润水平。
我们把如上这种情况与另外一种情况作一比较。另一种情况是：在这个特定的时期内，要素的价格和产品的价格都取前半期与后半期的平均水平，厂商按照这个平均价格水平来组织生产，以获得最大利润。用表示这个平均价格水平上的最大利润。则间接利润函数的凸性告诉我们，。可见，随价格变化而定产量和要素需求量之做法，比按照平均价格水平来定产量和要素需求量之做法要好，利润将会来得不少。
我们还可以对间接利润函数的凸性作出另外一种解释。假定厂商面临着一次冒险选择：参加关于价格的赌博。如果赌赢了，厂商可以获得较高的产品售价和较低的要素使用价格；如果赌输了，则厂商必须按照较高的价格为要素支付报酬，而且只能以较低的价格出售产品。参加赌博，赢的概率为，输的概率为。如果厂商不参加赌博，则厂商可以按照加权平均价格为生产要素质支付报酬，同时可以按照加权平均价格来出售产品。因此，这个赌博是公平的。间接利润函数的凸性指出，厂商参加赌博的预期利润不低于不参加赌博的利润。可见为了利润最大化，厂商很可能要参加赌博。
性质4,间接利润函数是连续函数。
这是因为的连续性保证了在附近，当把价格作为参数看待时是一族等度连续的函数，因而根据数学分析中的有关函数族上、下确界的定理可知，该函数族的上确界(即利润函数)是连续的。由于是任意给定的，因此间接利润函数在定义域中的任何点处都是连续的。
性质5,间接利润函数、要素需求映射和产品供给函数三者之间的关系是：，，。
证明：是前面已经证明了事实，只需证明后两个式子。任意给定价格体系,记,。则，并且对于任何价格体系都成立。
令，则对一切价格体系成立，且。所以，是函数的最小值点。按照极值一阶条件，我们有：
且
这说明：，。由于是任意给出的，因此，我们可以把这两个式子写成：
，
这就证明了性质5。
还可以直接从和出发，应用前面已经得到的性质和事实(特别是关于替代矩阵)的事实），来证明性质5。具体如下。
记，，，。从前面的讨论，我们有以下事实：
，
计算间接利润函数的偏导数，我们有：
因此，
性质5再次得证。
这条性质的一个含义是，要素需求函数和产品供给函数都可以通过间接利润函数得以确定，只需要对间接利润函数求一阶导数。由于要素需求函数对要素价格的导数矩阵是替代矩阵，因此间接利润函数关于要素价格的海森矩阵。既然是负定的,因此是正定的。另外，。
第八节 多种产品的生产
厂商组织生产活动，一般可能不止只生产单一的一种产品。为了能取得市场竞争优势，一方面，厂商会不断开发新产品；另一方面，厂商会进行多种产品的生产经营。即使同一产品，也会推出不同的品牌和型号。因此，更接近实际的生产活动不是单一产品的生产，而是多种产品的生产经营。本节对多产品的生产经营及厂商追求利润最大化行为进行分析，建立企业生产活动的一般理论。
一、技术约束
投 产品的 产
入 具体生产 出
或加工
图6-11 生产过程与技术任何企业的生产活动，都表现为投入一定数量的若干种生产要素，由厂商进行具体的生产，得到一定数量的若干产品，然后将产品通过市场销售出去，以宣告本次生产的终结。为了不给讨论增添更多的困难，我们假定厂商是竞争性厂商，是价格的接受者，产品销售问题无需考虑，销路畅通。这样对生产活动的分析，就可将市场销售分析这一块暂时去掉。况且，销售分析是市场营销学这一经济管理专门学问所要关心和研究的问题。经过这样的简化，生产过程可用图6-11来刻画。图中的“大盒子”代表着生产技术，决定着生产的具体技术环节。然而对这个具体的技术环节的研究，属于技术范畴，不在经济学的研究范围之内。经济学把这个“大盒子”视为既定前提，看作是技术给生产者带来的约束和限制。
(一) 生产过程的表示经济学不管产品是用什么样的科学技术如何具体生产出来的，它关心的是企业的生产活动是否组织得很“经济”，是否很有经济效率。略去具体生产环节的考虑，把注意力集中在投入与产品之上，生产过程就可说成是以投入为开端、产出为终端的经济活动过程，并可表示为：生产过程＝(投入，产出)。
比如有种要素，种产品。这种要素的投入量分别为，得到的种产品的产量分别是。这一生产过程可表示成：。
需要注意的是，有些生产要素投入使用后，在生产过程结束时依然存在，比如厂商投入的土地、厂房、机器设备、生产工具等，充其量在生产过程中会受到一些磨损而要折旧而已。对于这类商品，投入使用于生产之中时是生产要素，而在生产结束时又应当把它们产出看待。称这类要素为非消耗性要素。有些产品是属于生产过程中的中间产品，并不进入产品市场交易。所考虑的全部种产品既要包含最终产品，又要包含中间产品。中间产品是这次生产的产品，又是下次生产的要素。因此，所考虑的全部种要素也既要包含非消耗性要素，又要包含中间产品。要素与产品有所重叠，计算时便会出现重复计算问题。
为了避免重复计算，我们把生产所涉及的所有商品都既视为要素，又视为产品。作为要素看待时，那些视为要素，但非要素而真正为产品的商品，其投入量为零；作为产品看待时，那些视为产品，但非产品而真正为要素的商品，其产出量为零。对于非消耗性要素，其作为要素看待的投入量大于或等于作为产品看待的产出量(如果折旧，那么投入量就大于产出量)。对于中间产品，作为要素看待时的投入量等于作为产品看待时的产出量。
假设生产涉及到的商品总共有种(这个可能会小于，因为种要素和种产品可能会有重叠)。于是，生产过程的投入可用一个维向量来表示，生产过程的产出可用一个维向量表示。用产出减去投入，得到一个净产出向量。这个以为投入、为产出的生产过程便可用净产出向量来表示，并且这样的表示避免了重复计算。
鉴于此，今后我们总是用一个生产过程的净产出向量来表示这个生产过程，并假定生产所涉及到的商品总共有种。
设是某个生产过程的净产出向量。考虑商品：当时，表明商品为这个生产过程的产品，代表着净产量；当时，表明商品为这个生产过程的投入品，代表着生产过程对要素的净消耗量，即净投入量(当要素为非消耗性要素时，就表示折旧量)。当时，表明商品要么为中间产品，要么既不是生产过程的产品，又不是生产过程的投入品。
(二) 生产集合单一产品生产情况下，生产者的技术水平是由生产函数来反映的。在多种产品生产的情况下，生产者的技术水平则由生产集合来反映。生产集合划定了技术允许的所有生产过程。
1．技术可行性厂商投入一定的生产要素，生产一定的产品，这种生产过程必然受到生产技术水平方面的制约和限制。技术上的限制，会使某些生产过程从技术上来看是不可行的，比如厂商总是企图减少投入和扩大产量，但当投入减少得太多还想产量不减少，或者产量扩大得太大还想投入不增加时，这样的生产就办不到，生产过程非技术可行。分析研究生产者行为时，这些从技术上讲不可行的生产过程应当予以排除，剩下来的是那些技术可行的生产过程。一切技术可行生产过程的净产出向量所构成的集合，称为厂商的生产集合，用表示之。
如同单一产品生产时的生产函数一样，生产集合完全反映了厂商的生产技术水平，因而是厂商生产技术的代表。厂商组织生产时，所选择的生产过程必须符合条件：。这一条件称为厂商组织生产的技术约束。注意，生产集合同具体的生产者有关，不同生产者的生产集合可能是不同的。
例1（单一产品情形的生产集合）
假定厂商用种生产要素生产单一的一种产品，生产函数为。把种生产要素从1到进行编号，并给产品编号,记。
假如厂商的投入向量为，产量水平为，则表示了一个生产过程，其净产出向量为。只有当时，生产过程才是技术可行的。因此，该厂商的生产集合可写成(如图6-12所示)：
例2（两种产品情形的生产集合）
某厂商用要素生产产品和。如果只生产，生产函数为；如果只生产，生产函数为；同时生产和时，投入个单位的要素后，可以得到的最大产量组合服从相互转换条件：。于是，生产集合可写成(如图6-13所示)：
在这个例子中，原来的生产函数概念已经上升为生产集映——对于要素的任一投入量，相应的最大产出是一个集合：
如果按照如下方式定义向量与集合之间的顺序关系“”：
那么如上的生产集合便可更加直观地表示成为：
图6-12 单一产品的生产集合 图6-13 两种产品的生产集合从而的表达方式与单产品情形生产集合的表达方式相似。
2．生产集合的性质及技术有效性按照常规，生产集合应该具有如下一些性质。
(1) 是商品空间的子集。
(2) 生产技术是单调的，即对任何及，若，则。
(3) 产品不能无中生有，即(这里，表示零向量)。
(4) 生产过程不可逆，即(这里)。
生产集合表达了企业生产的技术可能性。如果技术上既允许生产净产出，又允许生产净产出，而且，那么从技术上看，代表的生产比代表的生产要好，更有效，因为的投入少、产出多，而的投入多、产出少。所以，当且时，我们可以说生产过程是对生产过程的技术允许的改进。当一个技术可行生产过程不存在技术允许的改进时，就称这个生产过程是技术有效的。一切技术有效生产过程的净产出方案的全体，称为生产可能性前沿(Production Frontier)，或者称为生产可能性曲面(曲线)，并用表示之。显然，对任何，当且仅当不存在满足。厂商应该把生产安排在生产可能性前沿之上，否则就存在着浪费。
生产可能性前沿同单一产品情形的有效投入区是相对应的，即单一产品生产情况下的生产可能性前沿就是有效投入区。
生产可能性前沿必在生产集合的边界上，即。但并非的边界上的点都代表了技术有效的生产，即不成立。
例3（的事例）
某厂商使用一种要素生产一种产品，生产函数为，这里表示要素的投入量，表示产品的产量。于是，该厂商的生产集合为：
对于这个厂商来说，当要素投入量达到20个单位时，总产量达到最大。如果再增加投入，那么按照生产函数计算，总产量就要减少。假定这个生产者是具有理性的。当投入不断增加使总产量达到最大以后，再增加的投入不会使总产量降下来，因为理性厂商可以将多购买的要素搁置在一边不投入到具体生产中去，不让它把已提高的产量水平给拉下来。这样，对如上给出的生产集合应作修改，使其成为：
修改前，的边界
修改后，的边界
修改后的
20
修改前的
-20
图6-14 生产可能性前沿如上对生产集合的修改，并不影响生产者的生产可能性前沿。修改前后，的生产可能性前沿都是集合。显然，。但不论是修改前还是修改后，都有(如图6-14所示)。
(三) 生产函数概念的扩大理性生产者总是要把生产安排在生产可能性前沿之上，生产集合中的其他生产方案，虽然技术可行，但不是最经济的生产。可见，生产集合中非技术有效的净产出没有什么意义值得对它加以研究。鉴于这样原因，人们把分析的重点放在技术有效方案之上。
生产可能性前沿是生产集合边界的一部分，尤其在单一产品的情形，生产可能性前沿明显地是一条曲线或一张曲面。当然，人们期望能够写出该曲面(曲线)的方程。我们知道，维空间中曲面方程的一般形式是。这样，如果某个元函数能够满足条件：，那么这个函数就特别重要，用可完全确定技术有效的净产出向量。这种能够满足条件的函数，就叫做厂商的(一般)生产函数。
一般情况下，按照这种方式给出多种产品生产情形下的生产函数概念，已基本上能够满足研究的需要，而且它基本上是单一产品生产情形的生产函数概念的推广，即对于单调的单一产品生产函数来说，函数就是推广后的生产函数，因为对于这个来说，的单调性保证了净产出方案技术有效当且仅当，这里。
但是，为了讨论上的方便，人们常常还要用生产函数来完全表达厂商的生产技术，即不但要用生产函数来表示技术有效性，而且还要用生产函数来表示生产集合。于是，对生产作如下的一般定义是合适的。
定义(生产函数)．设厂商的生产集合为，是定义在空间上的一个实值函数。
如果满足下面两个条件：
(1) 对于任何的净产出向量，技术有效当且仅当；
(2) 对于任何的净产出向量，技术可行当且仅当。
则称是厂商的(一般)生产函数。
今后，为了避免发生不应有的混淆，就将单一产品情形的生产函数叫做简单生产函数。生产函数的存在性是不成问题的，例如定义如下：当时，令；当时，令；当时，令。则满足定义中的要求，因而是厂商的生产函数。然而，这样简单地给出生产函数，体现不出使用生产函数有什么优越性。所以，人们常常对生产函数提出如下要求：
假设DPF(光滑性)．生产函数二阶连续可微，并且在任何技术有效点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。
把该假设与上面的定义结合起来，则可看到：。但例3告诉我们，生产集合边界上允许非技术有效点的存在。因此，上面的定义与假设之间存在有一定的矛盾。解决这个矛盾的办法是修改定义，在定义中的条件(1)和(2)中增加一些对净产出向量的限制条件，比如按照实际经济意义可以要求净产出向量中与投入要素相对应的分量为负，与产品相对应的分量为正，这样以来就摆脱了的限制。然而，这么做并不能给我们带来什么本质上的多少好处，相反却给分析讨论增加了不少的麻烦。鉴于此，我们为何不求简捷而求复杂呢？没有必要去修改定义，只管去使用它好了。我们时刻要牢记，生产函数的本质在于它刻画了生产可能性前沿的特征。
假设DPF蕴含着一个重要事实：生产函数在技术有效点处的偏导数非负。事实上，对于任何技术有效点及任何，若，则必然有；若，则又有。由此可知。
使用假设DPF后，生产集合必然是的闭子集，这就是说的边界上的点都代表着技术可行的生产过程。要求生产集合的闭性并不是什么苛刻的条件，因为技术有效的净产出向量是在生产集合的边界上，这些向量代表的生产过程理所应当是技术可行的。今后，将总是假定生产集合是闭集。
现在，利用生产可能性前沿可以把以前所讲的边际产出概念和要素之间的边际替代率概念统一起来，用边际转换率加以表达。所谓商品与商品之间的边际转换率(Marginal Rate of Transformation)，是指：在技术有效点处，在其他商品的数量保持不变的情况下，如果商品的数量增加(减少)一个单位，为了保证技术性不变所需减少(增加)的商品的数量。 用表示技术有效点处商品对商品的边际转换率。
设在处，商品的数量增加(减少)了个单位。为了保证技术有效性不变所需减少(增加)的商品的数量为，其余商品的数量均保持未变。于是，商品对商品的边际转换率，并且。从而
即商品对商品的边际转换率等于生产函数的相应的偏导数之比。
二、技术的有关特点
现在，我们来分析生产技术上存在的一些比较普遍的特点。
(一) 技术的规模特点在单一产品情形，我们研究过规模报酬的变化情况。多种产品生产的情况下，同样也有规模经济问题，即企业从生产规模扩大中能够得到什么好处的问题。对此，我们从全局上加以考察。同以前一样，生产规模的扩大对企业经济效益的影响，即规模报酬变化可分为三种情况：规模报酬递增、规模报酬不变和规模报酬递减。下面来分别讨论。
1,规模报酬递增规模报酬递增是说产出扩大的倍数大于规模扩大的倍数。这样的一种规模报酬变化情况表现在生产技术上是什么样子呢，即生产集合服从什么条件呢？为此，设是任一技术可行的生产方案，是任一正实数。如果说规模报酬递增，那么就应当也是技术可行的生产方案。这是因为，按照的生产，其规模扩大了倍，同时产出也扩大了倍。既然规模报酬递增，那么产出扩大的倍数再大一点也是可以做到的，也就是说，技术允许把产出扩大到另一个更大的倍数上。更大的倍数的产量都可以生产出来，就更不用说原来扩大了倍的规模上的产量了。因此，，即也是技术可行的。可见，规模报酬递增这一技术特点可以表达成为：。
2,规模报酬递减规模报酬递减是说产出扩大的倍数小于规模扩大的倍数。对此，我们可以这样来理解：产出缩小的倍数小于规模缩小的倍数。道理在于，如果说规模收益随着规模扩大倍数的增加而减少的话，那么规模收益就随着规模扩大倍数的减少而增加，即随着规模缩小倍数的增加而增加。
现在，既然规模报酬递减，那么扩大规模无益，而缩小规模会相对受益，因此企业不可扩大规模，只可缩小规模。这样的一种规模报酬变化情况在生产技术$Y$上表现为：对任何的及任何实数，都有。其道理在于，技术可行生产方案的规模(即所有投入)减小了倍后，规模报酬递减保证了技术允许生产在一个产出缩小得较小的水平上进行，显然这个水平上的产出不低于的产出，而其投入等于的投入。 既然技术上允许保持与同等投入的情况下生产出比的产品数量更多的产品，可见也必然是技术可行的生产方案。于是，规模报酬递减这一技术特点可以表述成为：。
3,规模报酬不变规模报酬不变是说产出扩大的倍数等于规模扩大的倍数。由于从第一种生产规模扩大到第二种生产规模可以看成是从第二种生产规模缩小到第一种生产规模，因此规模报酬不变同时又说明了规模缩小的倍数等于产出缩小的倍数。于是，规模报酬不变可以用生产集合表达成为：。
当生产集合满足规模报酬不变条件时，所代表的技术水平就叫做齐次技术。齐次技术与齐次简单生产函数的意义类似，尤其是当只有一种产品时，生产集合由简单生产函数来给出，的齐次性等价于的齐次性。
(二) 凸技术与可加技术
1,凸技术如果厂商的生产集合是商品空间的凸子集，即
那么就说该厂商的技术是凸技术。
凸技术的合理性含义可以这样来解释：假设厂商规定了它本月的产出目标。按方案组织生产，达不到这个目标。而按方案来生产会超过规定的产出目标，同时所需的投入当然也是很大的，因而厂商不愿意按照去生产。怎么办呢？最好的办法就是采取加权平均法，选择一个权数，在本月前期按照的缩小规模组织生产，在本月后期按照的缩小规模组织生产，使得前期和后期的产出总和正好达到规定的目标。这样做不但实现了产出目标，而且前、后期的规模都缩小了，让厂商能够在前期为后期生产早作准备，因而压力负担也变得相对较小。
从几何上看，由于生产集合和其生产可能性前沿之间具有关系：
因此，为凸集等价于说生产可能性前沿是一张凸曲面(凸向原点)。用生产函数来表达，即凸技术等价于生产函数的海森矩阵在各个技术有效点处都是半正定的(这是因为在上是凸函数：对任何及任何，都有)。
对于简单生产函数来说，由于，因此的半正定性等价于的半负定性，凸技术等价于说是凹函数。
凸技术意味着规模报酬递减。这是因为，对任何及，既然，因此。这说明规模报酬递减。
既然凸技术意味着企业规模报酬递减，说明具有凸技术的企业已经走过启动阶段，进入了较大规模的正常生产阶段，因而已从再扩大规模中得不任何好处了。所以，凸技术将企业的“启动成本”和规模报酬递增阶段给排除了。对于全面研究企业生产活动来说，采用凸技术假设当然就具有一定的缺陷和不足之处。但总的来说，在很多情况下采用凸技术假设都是合理的，并受到许多其他观点的支持。
2,可加技术凸技术暗含着这样一层意思：两种技术可行生产过程可以相加，即技术具有可加性。所谓可加技术，是指。
可加技术反映了这样一种实际情况：企业开设有两个工厂，第一个工厂的净产出向量为，第二个工厂的净产出向量为，于是企业的总净产出向量是，而且总生产过程可看成是这两个工厂各自的生产过程之和。或者说，厂商前半月的净产出为，后半月的净产出为，那么厂商本月的总净产出为。
易见，规模报酬递减的可加技术是凸技术。 另外，应用技术的可加性条件时应当注意，当所考虑的时期内两种生产过程无法同时进行时(这里的“同时”不需要严格同时同刻，可以在所考虑时期内分个先后次序，比如分为前半期和后半期)，这两种生产过程就不能加起来，因而可加性不能成立。比如若两种生产方案都需要使用20公顷土地，而厂商只有20公顷土地可供使用时，把两种生产过程加起来就需要40公顷土地，从而超出了技术上的可行性范围。所以，使用可加性要特别小心。
(三) 线性技术
Lèontief技术的显著特点是各种生产要素之间具有固定的使用比例。其实，对于多种产品生产的情形，各种商品之间存在固定的搭配比例要求，也是比较普遍的经济现象。如果技术上要求各种要素和产品之间具有固定的比例，那么称这种技术是线性技术。线性技术的特征是，该技术的生产可能性前沿必然是商品空间中的超平面。通常，对线性技术的表达采用如下方式：
线性技术．设企业用种要素生产种产品，产品与要素之间的比例要求是：每生产第种产品一个单位，需要投入个单位的第种生产要素，并且这个比例是固定不变的。用表示(维)投入列向量，表示(维)产出列向量，表示系数矩阵，则该生产技术可表示为：，即
线性技术是凸技术。这是因为，对任何投入列向量和，产出列向量和，及任何实数，若且，则。
线性技术是齐次技术，因而规模报酬不变。这是因为，对任何投入列向量，产出列向量，及任何实数，若，则。
线性技术还是可加技术。这是因为，对任何投入列向量和，及任何产出列向量和，若且，则。
可见，线性技术是性能最好的技术。投入产出分析，就是以线性技术为基础的经济分析，具有十分广泛的用途。
三、利润最大化与净供给
利润最大化厂商会随时根据商品市场价格的变化情况来调整生产决策，以便使它的生产不断地处于利润最大化(即均衡)状态之中。现在就来讨论多种产品生产情况下，厂商如何实现利润最大化，如何确定它的净供给(包括两个方面：产品供给与要素需求)，以及净供给如何随价格的变化而变化(即比较静态分析)的问题。
(一) 利润最大化生产集合中的向量都是净产出向量，于是在价格体系下，生产过程的利润 (即净收入)是，厂商的最大利润是。
如果是使厂商获得最大利润的生产方案，即，就称是厂商在价格体系下的均衡(向量)，或称为厂商的净供给向量，并记作。显然，厂商的净供给向量既表达了厂商对各种生产要素的需求量，又表达了对各种产品的供给量。为了讨论上的方便，假定净供给向量存在且唯一。
当价格变化时，跟着变化，于是给出了厂商的净供给与价格体系之间的对应关系，反映了净供给随价格体系变化而变化的规律。称厂商的净供给映射，其中的每个分量函数都称为厂商的净供给函数。
在生产技术下，最大利润同价格体系之间的关系，称为厂商的利润函数(单一产品情形，就是厂商的间接利润函数)。商品空间中利润相同的净产出向量构成的集合，称为厂商的等利润面(线)。显然，利润为的等利润面的方程是。利润最大化是在生产集合与等利润面(线)相切的地方实现的。
1,实现利润最大化的条件厂商的利润最大化生产过程(即均衡)必然是技术有效的。事实上，设，如果不是技术有效的，那么必有使得。由于，因此，这与是生产集合中利润最大的净产出相矛盾。可见，必然是技术有效的。
利润最大化生产过程(即均衡)的技术有效性，说明利润最大化只能在生产可能性前沿上实现，即。这样，如果是技术的生产函数，那么利润最大化问题就成为函数在约束条件下的最大值问题，因而可用拉格朗日乘数法求解。
一阶必要条件．是价格体系下的利润最大化净产出的一阶必要条件是：存在拉格朗日乘数，使得且。
从这个条件可知，当利润达到最大时，。即利润最大时，任何两种商品之间的边际转换率都等于它们相应的价格比。一阶条件还告诉我们，利润最大化是在等利润线与生产可能性曲面相切的地方实现的。
函数在一点处达到极大值的二阶必要条件是该函数在这点处的海森矩阵(即二阶导数矩阵)半负定。由此可得如下的利润最大化二阶必要条件。
二阶必要条件．是价格体系下的利润最大化净产出的一阶必要条件是：对任何，都有，其中，。
这个条件推导起来相当烦琐，我们就不去证明它了。二阶条件的几何直观意义是，在利润最大化点局部，生产可能性曲面位于该点处的切线的下方。
一阶充分条件．设价格向量，生产集合是凸集，生产函数满足假设DPF(光滑性)，且。如果存在实数使得，则且是价格体系下的利润最大化净产出(即)。
证明：我们首先来说明。事实上，由于生产函数在技术有效点处的一阶偏导数非负，再加上光滑性假设DPF，便保证了一阶偏导数行向量。既然且，因此。
现在设是任一技术可行净产出方案。于是，。从的凸性可知，对于任何的实数，都有，因此
应用Taylor展开式，我们可得到
将代入到上式中，并注意，我们看到：
从而。既然是中的任一净产出，故是价格体系下的利润最大化净产出。利润最大化的一阶充分条件得证。
今后，我们把方程组叫做生产者的均衡方程。
2,利润函数的性质重复一下利润函数的定义：对任何价格向量，。
性质1,利润函数是商品价格的单调函数，即是要素价格的递减函数，是产品价格的递增函数。
这是因为我们已经规定：在净产出方案中，用负数表示要素的投入，用正数表示产品的产量，这样一来利润就是要素价格的递减函数，是产品价格的递增函数。
性质2,利润函数是价格的一阶齐次函数。
这是因为对于来说，。
性质3,利润函数是价格的凸函数，即对任何及任何实数，都有：。
事实上，设，即为价格下的利润最大化净产出；，即为价格下的利润最大化净产出；，即是价格下的利润最大化净产出。我们有：，，，从而。这就证明了利润函数是价格的凸函数。
性质4,利润函数是价格的连续函数。
多种产品情况下利润函数的连续性理由，完全同于单一产品情形利润函数的连续性理由，这里不再赘述。
3,净供给函数的性质重复一下净供给映射的定义。是价格体系下利润最大的唯一净产出向量：。的每个分量函数都叫做净供给函数。
性质1,净供给映射是价格的零阶齐次映射。
这是因为，对于任何实数来说，价格下的利润最大化净产出向量与价格下的利润最大化净产出向量一致。
性质2,净供给函数是利润函数的偏导数：。
证明：对于任何既定的价格体系，设，即是价格体系下的利润最大化净产出向量。则对于任何价格体系，都有。作价格体系的函数如下：。则是函数的最大值点。根据一阶极值条件可知，
这说明。
性质3,净供给映射的一阶导数矩阵是半正定的。
这是因为利润函数是凸函数，而净供给函数是利润函数的导数，凸函数的二阶导数矩阵是半正定的，因此净供给映射的一阶导数矩阵半正定。
性质4,净供给与价格保持同向变动。
事实上，当价格从变到时，净供给向量相应地从变到。于是，且。这说明：，即，从而净供给与价格同向变动。
(二) 比较静态分析到目前为止，在我们的讨论中价格被看成是外生变量。价格既定，厂商的利润最大化净产出方案(即均衡)也就随之确定。价格变化，均衡跟着发生变化。现在，我们就对价格变化前后的均衡进行比较，即进行比较静态分析。
命题1,一种商品涨价以后，对该商品的净供给就不会减少。
事实上，命题1是净供给函数的性质4(和性质3)的直接推论。
一种商品价格的变化，对其它商品的净供给所产生的影响，是用替代效应来表达的。价格体系下商品对商品的替代效应，记作，是指当在其他商品的价格都保持不变的情况下，商品的价格上涨(下跌)一个单位时，生产者对商品的净供给的增加(减少)量。
即
当时,商品的涨价引起了商品的供应量增加，说明商品与商品是相互替代品；当时,商品的涨价引起了商品的供应量减少，说明商品与商品是相互补充品；当时,商品的涨价没有引起了商品的供应量发生变动，说明商品与商品是相互独立品。从净供给函数的性质3可知：
命题2,商品对的替代效应等于商品对的替代效应，即。
我们再从均衡方程出发，分析一下价格变化前后均衡的具体变化情况。
将净供给映射代入均衡方程后，均衡方程就变成了一组恒等式，在这组恒等式两边求微分可得：
写成矩阵形式，即
其中，是在处的一阶偏导数行向量，是在处的二阶偏导数矩阵(即海森矩阵)。称为价格变动的总效应。
令，并称这个矩阵为生产函数在处的加边海森矩阵。假定是可逆的，并令，我们看到：。
用表示的元素，即。则从便可知，这说明：
可见，矩阵的元素就是商品对商品的替代效应。鉴于此，我们把矩阵称为替代效应矩阵。
(三) 带附加条件的均衡作为本章最后一个问题，我们回过头来讨论生产函数定义的合理性。如前面所述，我们不应当要求生产集合边界上的每个点都是技术有效的(见本节例3)。因此，定义生产函数时应该使用额外的附加条件，即技术有效当且仅当且。在这种带附加约束条件的情况下，利润最大化问题变成为函数在约束条件“且”下的极大值问题。根据拉格朗日乘数法可知，利润最大化的一阶必要条件变成为：存在拉格朗日乘数和使得
然而从出发得到的结论，并没有对从得到的结论产生多大的影响，而且往往选用均衡方程已经足够了。举例来说，比如有四种商品(即)，而第3和第4种商品之间必须服从一个附加约束：。于是，一阶条件变为：
消去得到
我们把商品3和商品4按照比例搭配成一个组合商品。这个组合商品的价格为，商品的数量则可用商品3的数量来代表。这样，商品数目减少了一个，生产函数可写成，价格体系从变成为，结果一阶条件变成为：
(这是因为)。可见，带附加约束的情形划归为无附加约束的情形。这样的划归不但在本例中可以做到，而且是经常可以做到的。因此，本节在不带附加约束情况下的讨论已经具有足够的广泛性和代表性。
总之，虽然生产函数概念可能不能完全表达清楚技术方面的约束情况，需要用附加约束条件来加以补充说明。然而在有附加约束时，我们可对均衡方程加以适当修改，使其给出的结论同无附加约束情况的结论不会有多么大的本质性差异。因此，我们总是可以考虑不用附加约束条件，也不用不等式，来表达生产者受到的技术约束，并从此出发来对生产活动进行分析。
第六章练习
解释系数和的意义，其中为生产函数。
要求生产函数满足，其意义是什么？
在关于生产者行为的讨论中，为什么没有直接假定生产函数的单调性？
边际替代率、技术系数和贡献系数分别说明着什么经济现象？它们三者之间的关系如何？
替代弹性和贡献弹性反映了什么经济现象？它们二者之间的关系如何？
为什么边际产量曲线通过平均产量曲线的最高点？请从数学和经济两个方面加以解释。
理性生产者具有哪些特征？试分析理性生产者从事生产经营的国模效益和亏损情况。
经济学中考虑的成本是何种意义上的成本？为什么要作如此的考虑？
分析产出与成本之间的关系。
解释拉格朗日乘数的意义。
解释生产扩展线与成本函数之间的关系。
成本随产量变化的规律是什么？随价格变化的规律又如何？
成本函数与规模报酬之间的关系如何？试推导齐次生产技术下成本函数的形式。
间接利润函数的一阶齐次性和凸性说明了什么经济现象？
如何通过间接利润函数确定要素需求函数和产品供给函数？
凸技术和可加技术分别描述了什么样的生产活动？
证明：凸技术意味着规模报酬递减；反过来，规模报酬递减的可加技术必是凸技术。
建立多种产品生产的理论的基本思路是什么？
