第四章 需求理论
本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。对于消费者个人需求，主要讨论价格和收入的变化对需求的影响，尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。对于市场总需求，主要讨论三个方面的问题：总需求是否还是价格和收入的函数？总需求能否揭示一种消费者偏好？总需求有什么社会福利意义？通过对这些问题的研究，总需求的性质和变化规律便可可得到揭示。本章的讨论仍在商品空间中进行，即假定市场上共有种可供选择的商品。
第一节 集值映射
集值映射是研究需求的基本工具，是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。上一章中讨论的预算集合同价格与收入之间的对应关系，以及需求集合同价格与收入之间的对应关系，都是集值映射的典型事例。
所谓集值映射，是指集合与元素(点)之间的某种对应关系，或者说是一种取值为集合的映射。具体来说，设和是两个集合，如果对于种的任何一个元素，都有的一个子集与之对应，则这种对应关系就称为从到的集值映射，并记作。为了方便起见，今后我们把集值映射也简称作集映。
对于这个概念，我们可作两个方面的理解。首先，通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个。其次，也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射，即把看成是的幂集的元素，这样一来，就变成了从到的单值映射。因此，集值映射也可记作。
图4-1 集值映射的图像集值映射还可看作是乘积集合的子集。具体来讲，确定了的一个子集，这个子集称为集值映射的图像(如图4-1所示)。显然，不同集映的图像是不同的。集映确定以后，其图像也就唯一确定下来。反过来，只要图像得以确定，集映也就唯一确定了。因此，可把集映与其图像等同看待。
对于集值映射，如果对任何，都有，则称为对应。所以，对应是取值为非空集合的集映，也是人们更为感兴趣的集值映射。
在集值映射下，的子集的像集是指集合：
定义．设与都是拓扑空间，集映叫做：
(1) 闭(紧、凸)集值的集映，如果对任何,都是的闭(紧、凸)子集；
(2) 在点处上半连续，如果对于中任何包含的开集，都存在的邻域使得；
(3) 上半连续的集映，如果对任何,都在处上半连续；
(4) 在点处下半连续，如果对中任何与相交的开集，都存在的邻域使得；
(5) 下半连续的集映，如果对任何,都在处下半连续；
(6) 在点处连续，如果在点处既上半连续，又下半连续；
(7) 连续的集映，如果对任何,都在处连续；
(8) 闭集映，如果的图像是积空间的闭子集；
(9) 开集映，如果的图像是积空间的开子集。
集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广，上半连续性说的是不会突然彭胀，下半连续性说的是不会突然收缩。关于的集映连续性，下面三个定理是基本的和重要的。
定理1,设和都是拓扑空间，且为Hausdorff空间。又设是闭集值的集映，且包含在的某紧子集当中。则上半连续的充分必要条件是为闭集映。
定理2,设是第一可数空间，是Hausdorff空间，是集映，为某个给定的点，在该点处的值是闭集，且存在的邻域使得包含在的某紧子集当中。则在处上半连续的充分必要条件是：对任何及任何序列和，当且时，。
定理3,设和是第一可数空间，是对应，为给定的点。则在处下半连续的充分必要条件是：对于任何及中任何收敛于的序列，存在中收敛于的序列满足。
推论,设和都是拓扑空间，且为Hausdorff空间，为闭集值的闭集映，为某个给定的点。如果存在的邻域使得包含在的某紧子集当中，则在处上半连续。
这个推论直接从定理1得到，它比定理1可能更为有用。定理2和定理3分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的，为研究集值映射提供了极大的便利。
第二节 需求的连续性
根据消费最优化确定的需求，是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生变化时，需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律，就是当价格和收入变化不大时，需求也不会发生很大的变化，即需求是随价格和收入连续变动的。
一.预算的连续性
预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性，就很难保证当价格和收入的变化很小时，需求的变化也很小。因此，为了考察需求的变动规律，需要先来考察消费预算的变化规律。
命题1,设消费集合是商品空间的非空闭子集，则预算集映是闭对应。
证明：预算集映是对应，这是明显的事实。以下来证明是闭集映，即证明的图像是的闭子集。为此，设为中的任一序列，且。
为了证明是闭集，只需证明(即,也即)。事实上，从立即可知。在此式两边取极限即可得到：。故。
命题2,设消费集合是的下有界非空闭子集，则预算集映上半连续。
证明：注意，预算对应是闭集值的闭集映。因此，可应用上一节中的推论来证明本命题。为此，设为任一给定的点。为了说明在点处的上半连续性，只需要找出的一个邻域，使得包含在的某个有界闭子集当中。
的下有界性告诉我们，存在向量满足且对一切成立。令
则是的邻域。令，其中定义如下：
易见，是的有界闭子集(从而是紧子集)。
我们指出：。事实上，对任何及，注意，我们有：
由此可知，即，从而。这就证明了。既然任意给出，因此。的上半连续性得证。
命题3,设消费集合是的凸子集，则预算集映下半连续。
证明：任意给定，我们来证明在处下半连续。注意，和都是第一可数空间，且是对应，因此可应用定理3来证明在处的下半连续性。
为此，设且是中任一收敛于的序列。根据定理3，我们只需找到中收敛于的序列使得。显然，。我们按照和两种情形，分别来找这个序列。
情形1,
此时，从及可知，存在自然数使得对一切成立。于是，对任何自然数,当时，任意取定一点；当时，令。显然，且。
情形2：
此时，从知，存在满足。注意，
因此，存在自然数使得和对一切成立。
现在，对任何的自然数,当时，任意取定一点；当时，令，其中。容易看出：
(1) 对一切成立；
(2) ；
(3) 当时，且；
(4) 当时，。
可见，且。
总之，不论是情形1还是情形2，我们都在中找到了某个收敛于的序列使得。于是，在处的下半连续性得证。既然是任意给定的，因此是上半连续的集映。
命题2和命题3告诉我们：
预算集映的连续性,在假设HC下，预算集映是连续对应。
这就是说，消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突然彭胀，又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩。
二．需求的连续性
现在，我们考察需求的连续性问题。根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知，在连续的偏好下，需求集映是对应。实际上，需求集映还是闭集映，即下面命题所述。
命题4,设消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集，偏好关系是连续的。则需求对应是闭集值的闭集映。
证明：对于任何，是闭集这一事实是比较容易说明的，其依据是的闭性和中任何两个方案之间的误差异性。下面来证明是闭集映，即证明是的闭子集。为此，设是中的任一序列，并且收敛于某点。我们来证明，即欲证明，也即要证明且对一切成立。
注意，，，，并且预算对应上半连续(命题2)。因此，。
再注意，预算对应还是下半连续的(命题3)。因此，对于任何的，都存在中的序列满足且。既然，因此。偏好的连续性保证了可在此式两边取极限，于是。这就说明，即。可见，是的闭子集。
命题5(需求集映的连续性),设消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集，偏好关系是连续的。则需求对应上半连续。
证明：由于命题4，我们可应用第一节中的推论来证明本命题。设任意给定。我们在证明命题2的时候，曾经找到了的一个邻域使得包含在的某个有界闭子集当中。由于，因此这个邻域也必然使得包含在的这个有界闭子集当中。既然是闭集值的闭集映，根据第一节中的推论便知在处上半连续。而是任意给定的，于是是上半连续的集映。命题5得证。
从上一章的讨论可知，在连续的严格凸偏好假设下，理性消费者的需求映射得到了良好的定义(well defined)，即对于任何，需求向量是唯一确定的。不仅如此，从命题5可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题6所述)。因此，只要价格与与收入的变化很小，需求的变化也就很小。
命题6(需求映射的连续性),在假设HC和假设HP下，需求映射是连续映射。
第三节 需求的可微分性
本节研究需求函数的可微分变化规律，即需求的变化率问题。我们的讨论将在假设HC和HP下进行，并且还要使用效用函数。事实上，需求函数的可微分性同效用函数的拟凹性关系密切，因此本节要进一步讨论效用函数的性质。这里，我们先假定效用函数服从假设HU并且严格拟凹。在这些假定下，消费者的需求向量由价格和收入唯一确定，这就唯一确定下来了消费者的需求映射。
对于，。其中的便是商品的需求函数。
对于，效用函数在处的二阶偏导数矩阵，称为在处的海森(Hessian)矩阵。在假设HU之下，海森矩阵是对称矩阵。今后，为了方便起见,把在处的梯度记为。
一．效用函数的强拟凹性
效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质，或者说，任何一点处的无差异曲面必然在该点处的切平面的上方。因此，从切平面上看，切点是效用函数在切平面上的最大值点，即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。
命题1,设消费集合是商品空间的凸子集，，效用函数是拟凹的，在处可微，且。对于任何，
如果，那么；也即，如果，那么；
如果,那么；也即，如果，那么；
(3) 进一步，当效用函数严格拟凹并且时，
如果，那么；也即，如果，那么。
证明：任意给定。
(1) 设。的拟凹性保证了对一切成立，从而
即，这就证明了(1)。
(2) 设。既然，存在的邻域使得,从而也存在使得。效用函数的拟凹性保证了，而的连续性又保证了存在的邻域（即以为中心的一个开球）使得且对于任何，都有。显然，我们可以在中选取一个符合下列条件的点：对每个，当时，；当时，。对于这样选定的点，从可知。既然，从(1)的结论可知，从而。注意，因此。而，于是。(2)得证。
(3) 设严格拟凹，且。令。效用函数的严格拟凹性保证了，于是从(2)的结论可知。将代入此式即可得到，(3)得证。
命题2,设消费集合是的凸子集，效用函数拟凹，在点处二阶可微，并且。则对于任何，都有。这里，“”表示矩阵的转置运算，集合是无差异曲面在点处的切平面。
证明：设是命题中给定的点，这意味着存在正实数满足，其中是以为中心、为半径的开球。
现在，设是切平面上的任一点。如果，那么是明显的。以下设。于是，必然存在一个正实数，使得且。
记，并对每个实数，令。显然，对于任何，都有成立，从而有成立（因为）。这说明，命题1(2)的条件得到满足，因此对一切成立。
定义函数如下：。则从上面的讨论知，是在上的最大值点，而且在上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条件可知，(这是因为，假如，那么便为的极小值，出现矛盾)。计算可知，
结果，。命题得证。
效用函数的拟凹性或严格拟凹性，都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析消费者需求的变动情况，需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式，即提出效用函数的强拟凹性概念。
定义,设效用函数严格拟凹，在内部二阶可微。叫做在点处强拟凹，是指且对任何,，都有。如果在内部的每个点处都是强拟凹的，则称是强拟凹的效用函数。
效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关，而与二阶可微效用函数的具体选择无关。事实上，对于等价的效用函数与来说，从第三章第3节的讨论可知，存在严格递增可微函数满足：
对任何,；
对任何,。由此可知，
对任何,。
注意，且对于任何，。这说明，强拟凹当且仅当强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关，属于偏好关系本身的性质。
命题3,设消费集合是凸集，效用函数严格拟凹且在内部二阶可微，。则在处强拟凹的充分必要条件是：在处的加边海森矩阵非奇异。这里，所谓效用函数的加边海森矩阵，是指：
证明：线性代数理论告诉我们，一个阶方阵非奇异的充要条件是：对任何非零的维列向量，都有。下面的证明将应用这一事实。设为命题中给定的点。
必要性．我们只需证明：对于任何维向量，如果，那么。为此，设满足的任意一个维向量。注意，
因此，，，从而。
进一步，。既然强拟凹且，可见只有。将这一结果代入，可得。由于，因此。这就证明了。的非奇异性得证。
充分性．的非奇异性说明，对于任何维向量，如果，那么。对应用这一结论，便可知。
对于每个，令。则对于任何的，都有
的拟凹性保证了对于任何的，都有。
令，并取定一个。我们断定：是非奇异的、半负定的，从而是负定的。
的非奇异性的证明：设任意给出且。如果，则从的非奇异性可知，即，从而。以下设，并令，则。
假若，则，从而，这与发生矛盾。可见，不成立。这样，。
总之，对任何，，都成立。这说明是非奇异的。
的半负定性的证明：设任意给定。如果，则根据的拟凹性和命题2可知，。以下设。
令，则。注意,因此，即，从而。
总之，对任何的，都有。这说明是半负定的。
由于非奇异的半负定矩阵必是负定的，因此是负定矩阵，即对于任何，只要，就有。可见对于任何,，都有。这说明是强拟凹的。充分性得证。
二．需求函数的可微分性
现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合满足假设HC；效用函数强拟凹、在内部二阶可微，并且无最大值；均衡在消费集合内部实现，即对一切成立。在这些假设之下，对于任何，边际方程
确定了消费者的唯一需求向量及拉格朗日乘数。确定了消费者对商品的需求函数。将这些需求函数代入边际方程，则边际方程就变成为恒等式，称为边际等式。
现在假定价格和收入都发生了微小变化，从而引起了需求发生变化。设商品的价格变化为，消费者收入的变化为，消费者对商品的需求的变化为。这些变化之间的关系，可通过在边际等式两边求微分加以确定：
记，，，则上式可改写为。用表示阶单位方阵，则此式又可改写成,
此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。
命题4,设消费集合满足假设HC，效用函数强拟凹、在内部二阶可微、且无最大值，，。则矩阵非奇异，并且需求函数在点附近连续可微。
证明,我们先来证明矩阵的非奇异性，即证明对于任意的，只要，就有。为此，设任意给出，且。计算一下这里的矩阵乘积，我们得到：
根据是否为零，我们分两种情况进行讨论。
情形1,，即。
由于，因此，即。如果，则根据的强拟凹性可知。注意，。这说明，从而。如果，则，从而。总之，不论是否为零向量，我们总有。
情形2,。
此时，显然有。
总而言之，不论是否为零，都有。可见矩阵必然是非奇异的。
我们再来说明各个需求函数的可微性。首先，需求函数由边际等式确定这一事实以及隐函数存在定理告诉我们，只要边际方程的雅可比(Jaccobi)矩阵非奇异，边际方程就确定了在附近连续可微的需求函数。计算关于的雅可比矩阵，不难发现：
于是，根据上面的分析论证，雅可比矩阵是非奇异的。这就证明了各个需求函数在点附近的连续可微性。命题4得证。
命题4表明，当价格与收入的变化都很微小时，需求的变化也很微小，并且基本上与价格和收入的微小变化呈线性关系，这种线性关系可通过需求的基本矩阵方程来求解：
第四节 替代效应与收入效应
本节从需求的基本矩阵方程出发，分析价格与收入的变化所引起的需求的变动。现实经济生活中，我们常常会看到这样的情况，某种商品的价格并未发生变化，消费者的收入也没有变化，然而消费者对该种商品的需求量却发生了变化。这是为什么呢？实际上，这种需求变动来自于其他商品价格的变化而引起的商品之间的替代。本节要研究这种替代效应，即要分析一种商品的价格变化对另一种商品的需求量的影响。另一方面，当商品自身的价格发生变化时，该商品的需求量会发生变化，这就是所谓的自身效应，本节也要加以研究，即要分析商品价格的变化对商品自身需求量的影响。当消费者收入发生变化时，商品的需求量明显地要受到影响，这则是收入效应。因此，本节还要分析收入的变化对需求的影响。
我们将用总效应一词来表达价格与收入的变化所引起的需求的变动。对于总效应的研究，其依据是上一节最后对命题4作说明时，所改写的需求基本矩阵方程：
这个矩阵等式准确地表达了价格和收入的变化对需求的影响。但是，我们希望知道一些更加具体、更加明确的需求变动规律，因而需要对如上方程进行深入分析。为了方便起见，令
则。进一步，令。这个矩阵称为斯勒茨基矩阵(Slutsky’s matrix)，其元素称为斯勒茨基系数(Slutsky’s coeficients)。我们有：
称此方称为修正的需求基本矩阵方程。
一．替代效应与收入效应的含义
首先，我们来解释替代效应与收入效应的含义，从而给斯勒茨基系数的意义作出解释。
一种商品的价格变化，会对消费者产生两种影响：一是使消费者的实际收入水平发生变化，另一是使商品的相对价格发生变化。这两种变化都会改变消费者对商品的需求量。在这里，消费者的实际收入水平变化被定义为效用水平的变化。比如，当服装的价格下降时，虽然消费者的货币收入未变，但现有货币收入的购买力增强了，也就是说消费者的实际收入水平提高了。而实际收入水平的提高，会使消费者改变对服装以及其他商品的消费量，从而达到更高的效用水平，这就是收入效应。还有另一方面，服装价格下降，使得服装相对于其他价格未变的商品来说变得较以前便宜了，也就是说，服装价格下降等同于其他商品价格相对上升；即使服装价格未变，但其他商品的价格上升，这也使得服装相对于其他价格上升的商品来说变得较以前便宜了。商品的这种相对价格变化，会使消费者增加对服装的购买量而减少对其他商品的购买量，这就是替代效应。显然，替代效应不考虑实际收入水平变动对需求的影响，因而替代效应不改变消费者的效用水平。
综上所述，一种商品的价格变化所引起的商品需求量变动的总效应，可以分解为替代效应和收入效应两部分：总效应＝替代效应＋收入效应。其中，由商品的价格变动引起商品相对价格发生变动，进而由商品相对价格变动所引起的商品需求量变动，就是替代效应；由商品的价格变动引起消费者实际收入水平变动，进而由实际收入水平变动所引起的商品需求量变动，就是收入效应。替代效应不改变消费者的效用水平，而收入效应则使消费者的效用水平发生变化。
为了具体分析替代效应和收入效应，用列向量表示价格体系的变动，用表示收入水平的变动。这些变动所引起的各种商品需求量的变动，用列向量表示，即代表总效应。用表示拉格朗日乘数所发生的相应的变动。根据修正的需求基本矩阵方程，我们有：
即，。注意，这里的为行向量，为列向量。因此，， 。我们得到：
其中，表示当商品的价格增加(减少)一单位而其余商品的价格保持不变时，商品的需求量的增加(减少)量；表示当消费者收入增加(减少)一个单位而商品价格保持不变时，商品的需求量的增加(减少)量。在价格体系和收入水平下，消费者选择了消费向量。现在，商品的价格增加了一个单位而其余商品的价格不变，这相当于消费者的实际收入减少了个单位，进而实际收入的减少引起了商品的购买量减少个单位，从而消费者的效用水平必将下降。为了不让消费者的效用水平发生变化，必须保证消费者的实际收入水平不变，即必须使所减少的这个单位的商品的消费量得到补偿。这也就是说，当商品的价格上升而其余商品的价格未变时，按照变化后的价格体系，消费者将增加对商品的购买量，其增加量为。但是，仅仅按照这个水平来增加商品的消费，由于实际收入水平的下降，消费者的效用水平要下降。如果要保持价格变化后的效用水平同价格变化前的效用水平一致，商品的消费量还必须再增加个单位。于是，当商品的价格上升(下降)一个单位时，为了保持消费者的效用水平不变，商品的消费量应该增加(减少)个单位。这正说明，斯勒茨基系数表达了商品对商品的替代效应(如图4-2所示，图中的粗线表示价格变化前的曲线，细线表示价格变化后的曲线，虚线表示的预算线叫做补偿预算线，它代表当价格发生变化时，与价格变化前的效用水平相同的实际收入水平)。
再从可知，当价格向量发生增加性变化时，消费者的实际收入将减少了。现在，货币收入也有一个变化，因此实际收入的变化为。当，即时，价格上升引起的实际收入水平的下降正好得到了补偿，需求变动保持了消费者的效用水平不变。这就进一步说明了斯勒茨基矩阵的替代效应意义。鉴于此，我们就称为替代效应，斯勒茨基矩阵也就叫做替代矩阵。斯勒茨基系数就是在保持效用水平不变的条件下，商品的价格发生单位变化所引起的商品的需求量的变动量，故又可称为商品对商品的替代效应系数。为了表达斯勒茨基系数的替代效应意义，可把表示成：
既然表示实际收入的变动，而表示收入增加一单位所引起的商品需求量的增加向量，因此表示了实际收入变动所引起的商品需求的变动，即表示了收入效应。鉴于此，我们就把称为收入效应。收入效应影响消费者的效用水平。当时，收入效应为，它正表示价格变化引起实际收入水平变化，进而实际收入水平变化所引起的商品需求的变动。鉴于此，我们把称为商品对商品的价格变动的收入效应系数。
价格与收入的变动所引起的商品需求向量的变动，就是总效应。它是替代效应与收入效应之总和：。
总效应
替代效应 替代效应
收入效应 收入效应
(a) 商品的价格(相对)上升 (b) 商品的价格(相对)下降图4-2 替代效应与收入效应
二,替代效应与收入效应的特点注意，是对称矩阵，而对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵，因此是对称矩阵，这蕴含着矩阵的对称性，从而斯勒茨基矩阵也是对称的，即 。根据斯勒茨基系数的替代效应意义，我们得到下面的结论：
替代效应的对称性,商品对商品的替代效应系数等于商品对商品的替代效应系数，即。
我们再来分析一下商品价格变动对商品自身需求量的影响。
从可知，其中为阶单位矩阵。这就给出及，从而且（因为），即
说明了什么？注意，从而，这说明，即。表示当商品的价格上涨一个单位而商品的价格未变时，为了保持效用水平不变，消费者在商品上所增加的消费支出；则表示消费者在商品上所减少的消费支出（一般情况下为负值）。因此，表明：当商品的价格上涨而其余商品的价格未变时，为了保持消费者的实际收入水平(即效用水平)不变，消费者在商品上所减少的消费支出等于在其他各种商品上所总共增加的消费支出。也就是说，当商品价格发生变化时，给消费者以收入补贴使得消费者的实际收入水平(即效用水平)不发生变化，则消费者的总支出既不会增加，也不会减少。
又说明了什么？实际上，表示当消费者的收入增加一个单位时，消费者在商品上所增加的消费支出。表明，收入的增加量等于消费支出的增加量，因此不论收入如何变动，消费者的收支总是相抵的。
我们指出：是半负定的(这里，我们不能期望负定，因为可能是奇异的。本节最后给出的例子，说明了这一点)。事实上，对任何行向量，令，即。则（因为），故（因为）。根据本章第三节的命题2，我们有。进一步计算可得：
因此，。这就证明了的半负定性。
的半负定性蕴含着斯勒茨基矩阵的半负定性，只要效用函数是单调的。这是因为，的单调性保证了，因而是半负定的。基于这个原因，我们假定效用函数是单调的。
斯勒茨基矩阵的半负定性蕴含着，这说明价格变动引起的需求变动具有下述性质：
反向变动性质,如果一种商品涨价而其余商品的价格不变，那么即使收入的变化恰好弥补了涨价引起的实际收入损失，消费者也不会增加该商品的消费，而是更可能要减少其消费。
一般来说，对于正常商品而言，当消费者的收入增加时，正常商品的需求量不会减少，即。加上负的替代效应，即可看到：。这就说明，当一种商品涨价后，不论是否给消费者以收入补偿，该种商品的需求量都要减少，至少不会增加。
到此，我们对以上的讨论作一总结。替代效应的对称性来自于斯勒茨基矩阵的对称性，而需求的反向变动性质则来自于斯勒茨基矩阵的半负定性。因此，可以把这两条性质概括为一条总的性质：
斯勒茨基性质,替代矩阵(斯勒茨基矩阵)是对称的半负定矩阵。
我们回过头来再讨论一下商品之间的替代性问题。当时，商品与商品互为替代品；当时，商品与商品互为补充品；当时，商品与商品互为独立品。
从,以及可以看出，。这意味着商品之间的互相替代性比互相补充性更为普遍。
三．罗伊恒等式
上一章曾经讨论过间接效用函数。回忆一下，间接效用反映了价格和收入所确定的消费者生活水平。根据上一节的命题4，只要效用函数强拟凹且在消费集合内部二阶可微，各个需求函数就都价格收入空间上连续可微性，从而间接效用函数也在上连续可微。现在，我们应用上面关于替代效应的分析结论(比如，)，来看一看间接效用函数的各个偏导数情况。
间接效用对收入的偏导数反映了需求随收入变动而变动的变化率。计算可得：
这说明，确定需求的边际方程中德拉格朗日乘数就是间接效用对货币收入的偏导数，反映了货币收入对消费者生活水平的影响大小。
再看间接效用对商品价格的偏导数。计算这个偏导数，可得：
由于，且，因此且。于是，我们有：
这个等式称为罗伊恒等式(Roy’s identity)。
我们来解释罗伊恒等式的意义。这个等式中，间接效用对价格的偏导数表示商品的价格上涨一单位所引起效用增加量(这个量值实际为负，即价格上涨将使实际收入水平下降)。当商品的价格上涨一单位时，消费者的支出将增加个单位。增加一单位支出，将使效用增加个单位。那么，增加个单位的消费支出，将使效用增加个单位。这就是罗伊恒等式左边第二项的意义。
根据以上解释，罗伊恒等式表示：当商品的价格上涨一单位时，当商品的价格上涨而其他商品价格不变时，给消费者在收入上以补贴使消费者的实际收入水平保持不变，那么价格上涨所造成的效用损失正好从收入补偿所增加的效用得到补偿，因而这样的收入补贴保持了消费者的效用水平不发生变化。我们把罗伊恒等式所说明的这种意义，称为实际收入水平(效用水平)变动的罗伊恒等性质，即下面所述：
罗伊恒等性质,商品涨价以后，对消费者进行收入补贴，使得补贴增加的收入正好弥补涨价引起的收入损失，那么，消费者的生活水平保持不变，即涨价前后的生活水平相等。
四,替代效应、收入效应与需求弹性
尽管替代效应与收入效应反映了商品价格与消费者收入变化对需求变动的影响，但是这种需求变动既与商品的计量单位有关，又与价格和收入的计量单位有关，并且受量纲的影响较大。为了消除量纲的影响，人们采用需求弹性概念来反映需求变动与价格和收入变动之间的关系。中级微观经济学对需求弹性有过介绍和讨论。现在，我们进一步研究需求弹性同替代效应和收入效应之间的关系。
首先，简要回顾一下需求弹性的有关概念。需求弹性有三种：需求价格弹性、需求交叉弹性、需求收入弹性。需求价格弹性反映的是一种商品的需求量变动对该商品的价格变动的敏感性程度；需求交叉弹性说的则是一种商品的需求变动对另一种商品的价格变动的敏感性程度；需求收入弹性揭示了商品的需求量变动对消费者收入变动的敏感性程度。对于需求的这三种弹性，用我们这里的需求函数来表达，可有如下的表达式。
商品的价格弹性，记作，是商品的需求量变动幅度与商品的价格的变动幅度之比，即
商品对商品的价格变动的交叉弹性，记作，是商品的需求量变动幅度与商品的价格的变动幅度之比(这里)，即
可见，商品的价格弹性和交叉弹性可统一表示为：。
当时，为价格弹性；当时，为交叉弹性。
商品的需求收入弹性，记作，是商品的需求量变动幅度与消费者收入的变动幅度之比，即
下面来分析各种需求弹性同替代效应和收入效应之间的关系，同时分析各种需求弹性之间的关系。回忆一下前面所讲的替代效应系数和收入效应系数：
结合需求弹性的表达公式，我们可以得到：
进一步，各种需求弹性之间有如下关系:
即任何商品的各种需求弹性之总和都为零。这是一个重要的事实，因为它说明，一种商品的需求价格弹性从其绝对值上看，等于该商品的收入弹性及其与其他各种商品之间的交叉弹性之和。尤其是当我们在两种正常商品之间进行选择时，我们就可对商品的需求价格弹性做出更明确的理解。比如消费者面临的商品为服装和皮鞋。如果皮鞋价格下降10％导致对皮鞋的需求量上升20％，那么根据各种弹性之和为零这一事实可知，皮鞋需求量的20％上升幅度可看成是在皮鞋价格不变，而服装价格上涨10％，同时消费者收入提高10％的情况下皮鞋需求量的增加幅度。反过来，如果服装价格上涨10％，同时消费者收入提高10％，导致皮鞋需求量上升20％，那么皮鞋需求量的这一上升幅度也可看成是在服装价格和货币收入都不变的情况下，皮鞋价格下降10％所引起的皮鞋需求量上升幅度。
上述事实的证明并不困难。其实，根据可知，
故。
作为本节的一个应用，也作为对所讲内容的一个熟悉过程，下面给出一个例子。
例,奇异的斯勒茨基矩阵设消费集合，效用函数，其中。这个需求系统属于线性支出系统，其需求函数为：,。计算偏导数可得：
计算替代效应系数，可得：
计算替代矩阵的行列式，可得。这说明是奇异矩阵，因而不是负定的，而只能是半负定的。
基于选择的需求
到目前为止，我们的需求理论建立在理性消费者的偏好之上。这种以偏好为基础的需求，称为基于偏好的需求。通过严格论证分析，我们发现基于偏好的需求映射满足零阶齐次性、瓦尔拉法则、二阶可微，并且具有一个半负定、对称的替代矩阵。我们不禁要问，这些性质是否是需求函数所特有的性质？或者说，如果一个关于价格和收入的映射满足这些性质，那么该映射能否看成是某个理性消费者的需求映射？也即能否看成是基于某个理性偏好的需求映射？本节讨论这个问题，进一步研究需求与偏好之间的关系，建立基于选择的需求理论，并从原理上论述基于选择的需求与基于偏好的需求二者的一致性。
需求显示的偏好
从消费者偏好出发导出的消费者需求，存在着这样的一个实际问题：实实在在的需求建立在了难以捉摸的主观偏好概念之上，那么这种需求理论是否可信？实用价值到底有多大？其实，对于偏好早就存在着两种观点的争论，即基数效用论与序数效用论。争论的焦点是“应该说效用只是可把握的，而不是可绝对地计量多少的”。序数效用者认为，可把握的效用是序数效用，序数效用可通过观察消费者的行为来确定，而基数效用实际上是不可把握的，是无法确定的。为了找出消费者的偏好系统，只需给他充分多的选择方案，然后观察他的偏好情况。从观察可确定消费者的偏好关系，然而从观察却不能确定两种消费方案之间效用量的差值。科学家们不应该把不可把握的概念引入到他们的理论之中。
这一争论引起了萨缪尔森(P.A,Samuelson)对偏好关系发生了疑问。萨缪尔森认为，偏好关系是一个抽象概念，不受到任何经济上的约束，因而实际上并不可能对消费者的偏好进行有效的观测和试验。对抽象概念进行实际观测是困难的，也是罕见的，应该避免这种做法，避免使用偏好这个抽象概念。另一方面，当价格和收入既定时，消费者必然会选择出所需要的商品，而且观察消费者的选择并没有多大困难，可以做到。所以，需求实际上由价格和收入直接决定，无须通过偏好这个中间环节，不必为了观测难以观察的偏好而设计人为的试验，我们可把消费理论建立在价格与收入直接决定的需求之上。
消费者用实际行动显示了个人偏好。在客观环境条件和经济支付能力都许可的范围内，消费者选择了这种方案而没有选择那种方案，说明与那种方案相比消费者更偏好于这种方案。可见价格和收入直接决定的需求显示着消费者对消费方案作出的“好坏”评价，即个人需求显示着个人偏好。那么这种由需求显示的偏好符合消费者的理性吗？如果不符合，那么在什么条件下才能符合？这些问题正是本节所要深入研究的。
(一) 需求与选择法则观察消费者需求或者观察消费者的购买，就是通过观察来确定每种价格和每种收入下的需求集合。现在，假定是观察确定的需求集映（这里，从需求集合改称为需求集映，意味着其中的是任意变动的），既由价格和收入直接决定的需求。消费者能够购买集合中的任何商品向量，说明通过观察所得到的确实是预算集合的子集。所以，对于这种由价格和收入直接决定的需求来说，毋容怀疑需求集合是否是预算集合的子集。
知道了消费者的需求集映或需求映射，这又意味着什么？事实上，需求集映告诉了我们消费者的选择法则。这个法则就是：对于任意的价格体系和收入水平，消费者首先面临着一个由（即经济环境与支付能力）决定的许可选择范围（即预算集合），然后这个范围中又有某个确定的子集（即需求集合），消费者在这个子集中任意选择一种消费方案。既然需求集映代表着消费选择法则，我们可对需求映射作出这样的定义：集值映射叫做需求集映，是指对一切成立。其中，为消费集合，为价格收入空间(定义于上一章中)，代表不含任何元素的空集合。为了与前面章节讨论的需求映射相区别，称这里定义的需求映射为基于选择的需求映射(choice-based demand)，而称以前讨论的需求映射为基于偏好的需求映射(preference-based demand)。
(二) 显示性偏好不同消费者的选择法则一般是不同的，需求集映也就不同。这是因为不同人有着不同的品味和嗜好，因而在商品选择上有着不同的爱好和需要，个人爱好、个人兴趣和个人需要决定着消费者选择法则的形式与内容。反过来，不同的选择法则也反映了不同的个人爱好和兴趣。这样看来，选择法则显示了一个人的偏好。既然需求集映代表着选择法则，需求集映也就能够显示消费者的偏好。
需求显示偏好，首先是显示着消费者对需求集合中的任何两种消费方案都有相同的偏好，这主要是因为消费者把中的任何一种方案都不加选择地作为自己的最终消费选择。假如消费者认为中的消费方案之间存有差异，那么他就不会不在中挑挑拣拣。其次是显示着需求集合中的方案比预算集合中那些不在中的方案要好，因为这些方案被消费者挑选过了而没有被选中，意味着这些方案较差。按照需求显示偏好的这种意义，我们给出如下的严格叙述：
定义(显示性偏好),设为消费集合，为需求集映。对于任何两种消费方案，如果存在使得且，则记作或记作，并称不比好，或者称不比差。如果且同时，则记作，并称与无差异。如果但不成立，则记作或记作，并称比差，或称优于。如此定义的集合上的这个二元关系，就称为需求显示的偏好关系，或者称为显示性偏好关系，简称为显示性偏好。
从定义立即可以看出：
(1) 如果对某个，有，那么。即需求集合中的任何两种方案都是无差异的。
(2) 对于任何，如果，则存在使得且。
反过来，假如且，即既存在使得且，又存在使得且。那么从逻辑上讲，既然是中“最好”的方案的全体，而且，就应该有；同样，也应该有。但是，就目前而言，我们并不能保证和。这就说明，如果不对需求集映附加要求条件，如上给出的显示性偏好就不能符合消费选择上通常的逻辑，也就是说需求集映不符合消费选择的逻辑。为此，我们对需求集映提出如下的公理：
需求弱公理,需求集映满足条件：对于任何，如果存在使得且，那么对于任何，若且，则。
有了需求弱公理，上面所述的选择逻辑问题就迎刃而解了，即
(3) 对任何及任何，若且，则。
不仅如此，在需求弱公理下我们还容易看到：
(4) 对于任何及任何，如果但，则。即，需求集合中的方案比预算集合中那些不在中的方案要好。
(5) 对任何，若，则不能成立。
把事实(2)与事实(4)结合起来，我们得到：
(6) 对任何，当且仅当存在使得且。
以上这些事实的证明，留作读者的练习。总而言之，需求弱公理保证了显示性偏好定义的合理性。也正是基于这个理由，人们通常把需求弱公理也叫做显示性偏好弱公理。然而就目前的条件，我们不能期望显示性偏好具有自反性、完全性和传递性，即不能期盼显示性偏好符合消费选择的理性。这正是我们把上述关于需求的公理称为需求弱公理的原因所在。
(三) 可积性问题及其意义基于偏好的需求映射具有零阶齐次性，满足瓦尔拉法则，二阶连续可微，并且具有半负定的对称替代矩阵。反过来，当基于选择的需求映射也满足这些条件时，该需求映射能否看成是基于偏好的需求映射？这就是所谓的可积性问题，其答案是肯定。无论从理论角度看，还是从实践角度看，可积性问题及其答案在经济学中都是相当重要的。
从理论上讲，可积性问题的答案告诉我们两件重要的事情。首先，它告诉我们，零阶齐次性、瓦尔拉法则、二阶连续可微性、及半负定的对称替代矩阵，这些都是需求映射所具有的性质，而且是需求映射所具有的全部性质。只要消费者需求满足这些性质，该需求就一定能够从某个符合理性的偏好出发来导出。其次，它清楚地说明了基于选择的需求与基于偏好的需求之间的关系。从本节后面的分析将会看到，一个满足零阶齐次性、瓦尔拉法则和需求弱公理的二阶连续可微需求映射，必然具有半负定的替代效应矩阵，但需求弱公理不能保证替代矩阵的对称性。可积性问题的答案说明，这样的需求映射可由理性偏好导出的充分必要条件是该映射具有对称的替代矩阵。这就展示了替代矩阵的对称性在揭示基于选择的需求和基于偏好的需求之间的关系时的重要性。
从实践的角度看，可积性问题的答案之所以重要，原因之一是基于选择的需求显示了消费者的偏好，这就让我们可以对消费者进行福利分析，尤其是我们可以从观察到的需求信息出发，构造出消费者的效用函数(支出函数)。原因之二是我们在对需求作经验分析时，可以直接使用一些形式简单的需求函数，只要验证一下该函数是否吗满足阶齐次性、瓦尔拉法则、二阶连续可微性及替代矩阵的对称性就行了。而这在基于偏好的需求理论中是困难的，在那里我们需要首先选择合适的效用函数，其次从该效用函数出发写出边际方程，然后导出消费者需求，最后再看导出的需求函数是否具备我们所希望的简单形式。所以，可积性问题的答案让我们能够比较容易地对需求进行经验研究，使得需求理论具备了较强的可操作性。
二,基于选择的需求公理
既然需求弱公理不能保证显示性偏好符合消费选择的理性，看来我们需要对需求函数应具有的性质要有一个认可，即不能无条件地把任何一个满足需求弱公理的集值映射或单值映射就看作需求集映或需求映射。为了讨论上的方便起见，从现在开始我们只讨论需求映射，即处处取值为单点集的集值映射。既然基于偏好的需求映射是零阶齐次的、符合瓦尔拉法则、连续可微、并且具备斯勒茨基性质(即具有半负定的对称替代矩阵)，我们把这些性质中的哪些独立的性质就可看作需求映射应该服从的公理而予以承认。以下，我们总表示消费集合，用来表示需求映射，即用表示商品的需求函数()。
齐次性公理(零阶齐次性),需求映射是零阶齐次的，即对任何及任何正实数，都有。
瓦尔拉公理(瓦尔拉法则),对任何，都有。
可微性公理(连续可微性),需求映射在内部(即在上)是连续可微的。
定义(瓦尔拉需求),当一个需求映射服从齐次性公里、瓦尔拉公理和可微性公理时，称该需求映射为瓦尔拉需求映射。对于瓦尔拉需求映射来说，令，。这个矩阵称为瓦尔拉需求映射(在处)的替代效应矩阵或斯勒茨基矩阵或简称为替代矩阵，称为商品对商品的替代效应系数，或者简称为替代系数。
以上只把零阶齐次性、瓦尔拉法则和连续可微性作为公理予以承认，而没有提及斯勒茨基性质，这是因为斯勒茨基性质同这三条公理之间具有一定的联系。实际上，这三条公理加上需求弱公理，就蕴含着替代矩阵的半负定性。如果再加上需求强公理(本节后面将要介绍这个公理)，替代矩阵的对称性就可得到保证。下面，就来具体说明和论述这些事实。
命题1,设为瓦尔拉需求映射。对于任何,视为列向量，我们有：
(1)，从而，即；
(2) ，即，其中；
(3) ，从而，即。
下面，我们证明本命题。
(1)的证明,根据需求函数的零阶齐次性和泰勒展开式可知：
再从瓦尔拉法则及又可知：
从而(1)得证。
(2)的证明,根据瓦尔拉法则，是一个恒等式。在此式两边对求偏导数，可知：。(2)得证。
(3)的证明：在恒等式两边对求偏导数，可得，从而
(3)得证。
现在，我们来看一看需求映射服从的需求弱公理的形式。
命题2,对于需求映射来说，下面的叙述相互等价：
(1) 服从需求弱公理。
(2) 对任何，若存在使得且，那么对于任何，如果且，则。
(3) 对任何，若且，则。
(4) 对任何，若且，则。
证明：、、及都是明显的，证明过程略去。
命题3,设需求映射满足瓦尔拉公理，则下列叙述相互等价：
(1) 服从需求弱公理。
(2) 服从需求补偿法则(compensated law of demand，CLD)，即对任何，若且，则。
(3) 对任何，若且，则。
命题中的条件是说，价格和收入从变到以后，消费者仍然被允许选择变化前的消费方案。这样的价格和收入的变化，就称为补偿变化，并把条件称为补偿条件。当需求映射服从需求补偿法则时，也称具有CLD性质。下面证明本命题。
证明：,设，且。需求弱公理(命题2(4))给出，瓦尔拉法则给出，因此。瓦尔拉法则还给出，结合，则有。这说明，。(2)得证。
.设，且。则从及瓦尔拉法则知，从而，即。(3)得证。
,用反证法，假定不服从需求弱公理，则根据命题2(3)，存在使得、且。根据题设可以推知，如果，则应有。可见不能成立，即只有。同样，也不能成立，即。为了书写方便起见，记,。我们有：且。现在，我们来找出通过和的预算线，即寻找价格向量使得(如图4-3所示)。
寻找这个的想法是让等于和的某个加权平均：。由于要求，这个权数只能为：。经过简单的验证，容易看到这样确定的及相应的确实满足和。
·
图4-3 通过和的预算线令，则。记，我们有，并且还有：
从而或者。
如果说成立，则因而有，即。根据题设，既然，应有，即应有，这与相矛盾。由此可见，不能成立。
如果说成立，则因而有，即。根据题设，既然，应有，即应有，这与相矛盾。可见，也不能成立。
既然和都不能成立，这就与“或成立”的结论相矛盾。矛盾的结论说明，不服从需求弱公理之假定不能成立，即必须服从需求弱公理。(1)得证。命题3证明完毕。
命题4,设为满足需求弱公理的瓦尔拉需求映射，则具有半负定的替代效应矩阵，即对于任何，都是半负定的。
证明：任意给定，记。设价格发生了任意一个微小变动。这时，让收入发生一个补偿性变动，即，也即（这里向量相乘是指内积。当把向量写成矩阵形式，即称呼行向量或列向量时，内积运算便是矩阵乘积运算）。根据命题3(2)，我们有。记，即表示需求的相应变动。于是，。
对于价格的这个微小变动来说，收入的补偿性变动也是微小的。因此，根据全微分公式可知，需求的变动可表达称：
把上式代入，即可得到。既然是任意一个微小变动，因而对任何，都有。这说明替代矩阵半负定。证完。
虽然已经证明了替代矩阵的半负定性，但是就目前的情况而言，我们不能期望替代矩阵的对称性。这说明我们还需要对需求映射增加另外的条件，或者说，我们直接把替代矩阵的对称性作为需求公理予以承认。
对称性公理(替代矩阵的对称性),需求映射具有对称的替代矩阵，即对于任何，都有。
有了对称性公理，我们就可以说：基于选择的需求与基于偏好的需求是一致的。这就是下面定理所述的事实：
显示性偏好定理,设为瓦尔拉需求映射且满足需求弱公理。则下列条件等价：
(1) 具有对称的替代矩阵,即对任何及任何，都有。
(2) 存在的偏好关系，使得是基于这个偏好关系的需求映射。
本定理的证明比较复杂，而且是纯粹数学化的。因此，我们就不详细证明了。这里，只介绍一下证明思路，这个思路告诉了我们如何从基于选择的需求来构造消费者的效用函数。
第一步：从需求映射找出支出函数。做法大概如下：
对于任意的，求解下面偏微分方程组
符合初值条件的解，并对指定一个效用水平，然后令。这个函数便是效用水平上的支出函数，即是价格体系的递增、连续的凹函数。效用水平的指定要使成为的严格递增函数。
之所以求解这个方程组，是因为在基于偏好的需求系统中，支出函数关于价格的偏导数等于需求函数，而且支出函数是价格的递增、连续的凹函数，是效用水平的严格递增函数。
第二步：从支出函数引出偏好。引出方法大意如下：首先定义至少一样好的集合，该集合必满足；这些集合确定了一个偏好，使得就是基于这个偏好的支出函数。
到此可以说，可积性问题得到了肯定的答案。有了这个肯定的回答，今后就可把需求映射，不论是基于偏好还是基于选择，都可认为是满足需求弱公理、齐次性公里、瓦尔拉公里、可微性公理和对称性公理的任何映射。
作为本节的结束，我们在对需求弱公理所保证的显示性偏好作一些探讨。我们知道，需求弱公理不能保证需求显示的偏好具有自反性、传递性和完全性，即不能保证需求显示理性偏好。那么，我们能否提出一种类似于需求弱公理的公理，来保证需求显示的偏好负合理性呢？这个问题的答案也是肯定的。
需求强公理,需求映射满足条件：对于任何有限序列，若且对一切成立，则。
应用集合论可以证明：如果映射满足需求强公理，则存在上自反、传递和完全的二元关系使得对任何及任何，只要且，就有。
由此可知，需求弱公理基本上等同于替代矩阵的半负定性，需求强公理基本上等同于替代矩阵的对称、半负定性。在需求强公理下，基于选择的需求基本上等同于基于偏好的需求。
第六节 总需求
到目前为止，我们讨论的需求是个人需求。然而对于经济学家来说，更关心的是经济的总需求，即各个消费者的个人需求之总和。本节就来建立总需求理论，而且我们期望总需求能够具备个人需求所具有的许多性质。事实上，总需求理论主要研究以下三个问题：
(1) 总需求是否是价格和总收入的函数？何时才能成为价格和总收入的函数？
(2) 总需求是否满足需求弱公理？基于选择的需求理论能否应用于总需求？
(3) 总需求的社会福利意义如何？
对于这三个问题的研究，构成了实证经济学家、经济计量学家和福利经济学家心目中的总需求理论。实证经济学家关心个人需求理论在多大程度上或在什么限制条件下可应用于总需求，他们的考虑之所以有重要意义，是因为在他们利用市场均行模型所做的经济预测中，总需求起着关键性的作用。经济计量学家关心在什么条件下他们可以对用于估计的总需求函数赋予简单的结构，比如关心在什么条件下总需求仅仅是诸如总财富之类的经济总量的函数之问题，做这种考虑的原因在于经济计量学家可得到的数据仅仅是关于总量的数据。福利经济学家则关心总需求的经济规范意义，想对经济环境变化引起的社会福利变化进行估计和评价，于是他们把总需求设想成为好像是某个虚构的消费者代表的需求，然后研究这个经济人代表的福利变化情况。尽管这三类经济学家关心的重点不同，但都有一个共同的地方，乃是期望总需求能够具有个人需求所具有的性质。通过本节的讨论我们将会看到，要使期望成真，需要很强的限制条件。
一,总需求函数
设经济中共有种商品和个消费者。为消费者的消费集合，消费者的偏好关系，消费者的需求函数。于是，经济的总需求应该为：
可见，总需求不但与商品的价格体系有关，而且与经济的收入分配有关，是价格和收入分配的函数，而不是价格和总收入的函数。
总收入是各个消费者的收入之总和：。要想使总需求成为价格和总收入的函数，只有总需求函数满足如下条件：对于任何价格体系及收入分配和，当时，相应的总需求也相等，即。把这个条件用微积分的语言表达，即对于任何价格体系，收入分配，以及收入分配的任何微小变化，只要总收入的变化为零，即只要，就有，即总需求不变。注意，就是说，也即
因此，对任何满足条件的收入变动成立当且仅当对任何两个不同的消费者和，都有
所以，总需求成为价格和总收入的函数的充分必要条件是对一切商品()和任何两个消费者和成立（这里要求。
这个条件是什么含义呢？如果我们把商品需求量的变动与消费者收入的变动之比叫做消费者的收入变动效应的话，那么这个条件是说在任何价格体系下，不论各个消费者当前的收入如何，所有消费者的收入变动效应都是一样的。显然，这等同于说各个消费者的需求映射都具有形式，其中是一个只与有关，且对每个消费者都一样的向量，称为收入变动效应向量。我们把形式为的需求映射(函数)，叫做戈尔曼(Gorman)形式的需求映射。迪顿(Deaton)和米尔鲍尔(Muellbauer)在他们1980年出版的《经济学与消费者行为》(英国剑桥大学出版社)一书中，对这个条件作了进一步分析，提出了下述命题（对于此命题，我们不介绍其证明过程了）：
命题1,设。对任何价格向量、一切商品及任何消费者和都成立的充分必要条件是各个消费者都具有戈尔曼形式的间接效用函数，其中是一个只与有关，且对每个消费者都一样的变量。
到此我们看到，把总需求表示成价格和总收入的函数，这是一个很高的要求，难以达到。出现这种高度困难的原因，可能在于所考虑的经济总量的范围太狭窄，只有总收入一个总量。如果把范围扩大，不再只包含总收入一个变量，我们是否能够在较弱的条件下来把总需求看成是这些总量的函数呢？举例来说，总需求可能与收入分配的统计数字的均值和方差有关，这就使我们有可能在较弱的条件下把总需求写成收入分配的均值和方差的函数（这里不打算进一步讨论这个问题）。
尽管一般情况下很难把总需求写成价格和总收入的函数，但是在一些特殊情况下还是可以做到的。比如在某些情况下，个人收入是通过一定的过程或程序而得到的。这些情况下，就有可能把总需求写成价格和总收入的函数。例如，第九章中将要介绍的一般均衡理论中，消费者的个人收入是由(她)拥有的财富的市场价值和他(她)从各个厂商那里得到的利润分红构成的。因此，消费者个人的收入水平由价格体系确定，这说明总需求是价格的函数，而且仅仅是价格的函数。
又如，政府为了帮助低收入者而常常要在所有消费者之间进行收入的二次分配，这种收入再分配政策限制了收入分配的变化范围，使得有可能把总需求表达成价格和总收入的函数。拿一个极端的情况来说，假定消费者的收入是通过一定的过程确定下来的，而这个过程可以描述称为价格和总收入的函数：。我们把这种个人收入确定过程，叫做收入分配法则。比如税收就可看成是一种收入分配法则，该法则可描述成个人工资率(劳动的价格)和社会总收入的函数。当消费者个人收入是按照收入分配法则得到时，我们就总可以把总需求写成价格和总收入的函数：
而且总需求仅仅是价格和总收入的函数。
总结一下，以上讨论了能否像个别消费者需求那样，把总需求写成价格和总收入的函数。得出的结论是，一般情况下这是很难做到的，但在某些特殊情况下(比如有收入分配法则的情况下)还是可以办到的。
二,总需求与弱公理
个人需求函数的性质在多大程度上能够传递给总需求函数？可以看出，个人需求函数的零阶齐次性、连续性、可微性、瓦尔拉法则，都传递给了总需求函数。那么，需求弱公理也能够从个人需求传递给总需求吗？我们来在有收入分配法则的情况下讨论这个问题。
为了更加具体和讨论上方便起见，设收入分配的具体法则为：，其中为非负常数，且，即为消费者得到的收入占经济的总收入的比例，并且假定了这个比例与价格体系无关。在这种收入分配法则下，总需求映射仅仅是关于价格和总收入的映射：
其中为消费者的需求映射。
总需求映射满足需求弱公理，就是说对任何和，如果且，则。
我们指出，即使在这样简单和具体的收入分配法则下，总需求也不一定满足需求弱公理。下面的事例说明了这一点。
?
图4-4 不满足需求弱公理的总需求例1,不满足需求弱公理的总需求假定只有两种商品和两个消费者，并且总收入在这两个消费者之间平均分配，即收入分配法则为。设价格体系从变到，而经济的总收入未变。在价格体系下,消费者1和2的需求向量分别为和,总需求为；在价格体系下，消费者1和2的需求向量分别为和，总需求为。如图4-4所示，消费者1和2的需求映射和都服从需求弱公理，并且，，，。于是，且。图4-4显示的结果是：,且。因此，,且。这说明总需求不满足需求弱公理。
此例中的总需求不满足需求弱公理的原因，在于收入变动效应。根据上一节命题3(2)，总需求满足弱公理当且仅当需求满足需求补偿法则，即当且仅当对任何和，只要且，就有。既然各个消费者的需求都满足弱公理，因此对于价格和总收入从到的变化，只要每个消费者都能得到补偿,即只要,就有，且该严格不等式在时成立，从而，且该严格不等式在某个时成立。由此可见，总需求能否满足需求补偿法则，关键在于对于价格和总收入的补偿变化来说，补偿等式能不能保证各个消费者的补偿等式成立。显然，这是不能保证的，即总量上得到补偿并不意味着各个消费者都得到补偿。因此，未必能够成立。这就是总需求未必满足弱公理的原因所在。
找到了原因，我们是否可以对总需求施加一些限制条件，使得需求弱公理能够从个人需求传递到受限制的总需求？答案是肯定的。我们从对需求补偿法则的分析着手，把该则的使用范围扩大，即提出如下的需求无补偿法则。
定义(需求无补偿法则),需求映射叫做服从需求无补偿法则(uncompensated law of demand,ULD)，是指对任何价格体系和以及任何收入，只要,就有。
就像上一节对需求弱公理的讨论一样，下面命题对读者来说应该能够想到。
命题2,设为可微的需求映射,。则
(1) 如果服从需求无补偿法则，则对任何价格体系及收入，矩阵半负定。
(2) 如果对任何，矩阵都负定，则服从需求无补偿法则，并且只要，就有。
(1)的证明：对于任何,以及对于价格体系的任意微小变动,设是需求发生的相应变动。则根据需求无补偿法则，。注意，收入没有变动，即。于是，我们有：
从而，这说明是半负定的矩阵(因为是任意给出的微小变动)。
(2)的证明：对任何，及任何，令
则,。注意，在上连续，在开区间内可微。根据微分中值定理，存在满足。计算可得：
其中是在处计算的。根据题设，是负定的。于是从便知，。这说明并且服从需求无补偿法则。证完。
下一命题说明了需求无不长发则与需求弱公理之间的关系。
命题3,设为需求映射，并且满足零阶齐次性和瓦尔拉法则。如果服从需求无补偿法则，则满足需求弱公理。
证明：任意给定和,,,欲证。
为此，令。根据的零阶齐次性，。既然服从需求无额补偿法则，所以对于来说，。根据瓦尔拉法则，且；再根据题设，。于是，我们有
这就证明了。证完。
把命题3的结论应用于总需求映射，我们得到下一个命题，从而解决总需求与弱公理之间的关系问题。
命题4,设为消费者的需求映射，并且服从收入分配法则，其中表示总收入。如果各个消费者的需求映射都满足需求无补偿法则，则总需求映射也满足需求无补偿法则。进而如果各个消费者的需求映射还满足零阶齐次性和瓦尔拉法则，则总需求满足需求弱公理。
证明：首先证明总需求满足需求无补偿法则。为此，设和是任意给定的价格体系，是任意给定的总收入，满足条件。欲证：。
当价格从变到时，总收入没有变动，从而各个消费者的收入也没有变。既然服从需求无补偿法则，我们有。再从可知，存在使得。对于这个消费者来说，我们有严格不等式：。这就说明：
所以，总需求满足需求无补偿法则。
进而由各个的零阶齐次性和瓦尔拉法则可知，总需求映射也是零阶奇次的，并且满足瓦尔拉法则。于是根据命题3，总需求满足需求弱公理。证完。
需求无补偿法则的要求究竟有多强？显然，效用最大化法则并不能保证消费者个人需求服从这个法则，从而不能保证经济的总需求满足需求弱公理。经过研究发现，当消费者的偏好具有同比性质时,基于偏好的消费者需求就服从需求无补偿法则。所谓偏好具有同比性(homothetic property)，是指对于任何及任何实数，若，则。什么样的偏好才能具有同比性呢？容易看到，当偏好关系能够用(阶)齐次效用函数来表示时，该偏好就是同比偏好。可见，保证消费者需求服从需求无补偿法则，进而保证总需求满足弱公理的偏好同比性要求，对消费者个人来说并不算过强。
三,消费者代表
讨论了在什么条件下总需求能够表达成价格和总收入的函数这个问题，接着要问：作为价格和总收入的函数的总需求，能否看成是某个虚构的消费者的需求？如果这个问题能够得到肯定的回答，那么这个虚构的消费者的偏好关系就可用于分析社会福利问题。
我们还是从收入分配法则出发来做分析。在这个法则下，总需求是价格和总收入的函数，即
其中是消费者的需求映射。值得牢记的是，总需求映射同收入分配法则有关。
消费者代表是一个虚构的消费者，实际上并不存在这个人，但经济的总消费就好像发生在了这个虚构的人身上，即总消费活动就好像是虚构的消费者代表在活动。从这个意义上讲，消费者代表是从对整体经济活动的分析出发而虚构出来的，是从实证意义上虚构的消费者。虚构消费者代表的作用主要是分析经济福利问题，而经济福利属于规范经济学的范畴。这样，我们还需要讨论实证意义上的消费者代表的规范经济学意义。把消费者代表从实证意义和规范意义上加以区分，这对于正确理解消费者的概念是很有帮助的。
我们把消费集合限制成商品空间的第一挂限，即。如果存在上的偏好关系，使得总需求映射称为基于偏好的需求映射，则称存在着实证意义上的消费者代表。这个消费者代表的消费集合就是，偏好关系就是。因此，可用或来表示这个消费者代表。消费者代表的预算集合为。
为了讨论消费者代表的社会福利意义，需要首先对社会福利这一术语的具体含义作出解释。为此，我们引入社会福利函数的概念。直观上讲，社会福利函数是一个把所有消费者个人获得的效用水平综合成为社会福利指标的函数。严格地讲，即下面的定义。
定义(社会福利函数),社会福利函数是这样的函数，它给全部个消费者的每一种可能的效用水平向量都指定了相应的一个效用值(效用指标)。
社会福利函数准确表达了社会根据个人消费水平所作出的社会福利水平评价。下面，我们讲假定社会福利函数是可微的递增凹函数。
政府实施收入再分配政策的目的，是要提高社会福利。收入再分配，就是把既定的总收入按照另外一种收入分配法则分配给各个消费者。因此，既定总收入下的社会福利最大化问题，就成为确定一种收入分配法则，使得达到最大。准确地讲，设消费者的间接效用函数为，为社会福利函数，为既定的总收入，为既定的价格体系，则社会福利最大化问题成为选择一种收入分配，使得在约束条件下使达到最大值。用数学公式表示社会福利最大化问题，即
社会福利最大化问题的解，定义了一个社会件间接效用函数，即
下面命题说明，这个社会间接效用函数保证了存在着消费者代表。
命题5,设收入分配法则解决了社会福利最大化问题，即对任何价格体系和任何总收入，该收入分配法则确定的收入分配都是社会福利最大化问题的解。则由该解所确定的函数是总需求的消费者代表的间接效用函数。
我们就不证明这个命题了，下面对这个命题的意义进行说明。该命题说明，只有当收入分配法则能够解决社会福利最大化问题时，消费者代表所代表的社会福利水平才达到最高，因而这样的消费者代表才具有社会福利意义。一般的消费者代表，不能真正反映经济社会的福利水平，因而意义平淡。看来，我们应该对这种代表最高社会福利水平的消费者代表给予充分的重视。鉴于此，我们把这种消费者代表称为规范意义上的消费者代表。这也再次告诉我们，只有那些“最优”的收入分配才有意义，只有最高社会福利水平才能代表社会福利水平。另外，规范意义上的消费者代表寓所用的社会福利函数有密切关系。如果社会福利函数改变了，那么规范意义上的消费者代表也就要改变。
例2,同比性偏好与消费者规范代表设各个消费者偏好都有用一阶齐次效用函数表示的同比性偏好，而且社会福利函数具有如下形式：
其中,。则可以证明，最优的收入分配法正是我们在前面采用的那种与价格无关的收入分配法则：。因此，在同比偏好的情况下，总需求可看成是这种社会福利函数下的消费者规范代表的需求。
例3．戈尔曼形式与消费者规范代表设各个消费者具有戈尔曼形式的间接效用函数。则从命题1可知，总需求仅仅是价格和总收入的函数，而且函数形式与收入分配无关。假定社会福利函数具有可加形式，即，也即社会效用是各个消费者获得的效用之总和。则可以证明，任何收入分配都是社会福利最大化问题的解，并且社会间接效用函数为。因此，总需求总可以看成是消费者代表的需求，而且这个消费者代表总是规范意义上的消费者代表。
更为值得一提的是，可以证明，当各个消费者具有戈尔曼形式的效用函数并拥有共同的收入系数时，消费者代表的偏好与社会福利函数无关。而这在一般情况下并不成立。我们知道，一般情况下消费者代表的偏好依赖于具体给定的社会福利函数。可见，戈尔曼形式对于消费者代表具有重要意义。
最后，我们再强调一下消费者代表的实证意义和规范意义的区别。规范意义上的消费者代表必然是实证意义上的消费者代表，但是并非任何实证意义上的消费者代表都具有规范意义。有可能出现这种情况：实证意义上的消费者代表是存在的，但是没有一个社会福利函数能够使得这个消费者代表成为该社会福利函数下具有规范意义的消费者代表。
第四章练习
设消费者的消费集合为，效用函数为，其中为常数，且。求该消费者的替代矩阵，并证明不是负定的，而只能是半负定的矩阵。
解释的经济含义，其中为需求映射。
设消费集合满足假设HC，效用函数满足假设HP和HU，且强拟凹。为消费者的马歇尔需求映射，为希克斯需求映射，为消费支出函数。假定消费者均衡都在消费集合内部实现，即对任何，都有。证明：对任何及，
(1) ；
(2)处的替代效应系数必然满足：。
4．设是基于选择的需求集映。证明：
(1) 如果对某个，有，那么。
(2) 对于任何，如果，则存在使得且。
5．设是基于选择的需求集映，且满足需求弱公理。证明：
(1) 对任何及任何，若且，则。
(2) 对于任何及任何，如果但，则。
(3) 对任何，若，则不能成立。
6．设为瓦尔拉需求映射。证明在任何点处的各种需求弹性之和为零。
7．考虑如下定义的需求映射：
(1) 当时，是否满足零阶齐次性和瓦尔拉法则？当时，情况又如何？
(2) 设且。计算的替代效应矩阵，并证明当时时半负定的，但不是对称的。
8．设为瓦尔拉需求映射，且满足需求弱公理。证明：具有对称的替代矩阵。
9．设为基于连续效用函数的需求映射，是这个需求系统下的支出函数，即。证明：
(1) 是效用水平的严格递增函数；
(2) 是价格的递增、凹、连续的函数；
(3) 。
10．设需求映射为：。
是否满足零阶齐次性？
是否满足瓦尔拉法则？
是否满足需求弱公理？
计算该需求映射的替代效应矩阵。该矩阵是负定的吗？正定吗？对称吗？
11．证明：对任何满足条件的收入变动成立的充分必要条件是：对任何商品任何两个消费者和，都有。这里代表总需求，为消费者的需求映射，且。
12．设经济中至少有两个消费者。证明：总需求只与价格体系和总收入有关的充分必要条件是：各个消费者的需求映射都具有形式，其中是一个只与有关，且对每个消费者都一样的向量。
13．设为消费者的需求映射。假定各个消费者都具有戈尔曼形式的间接效用函数，其中是一个只与有关，且对每个消费者都一样的变量。证明：对于任何价格向量、任何商品、及任何消费者和，都有。
14．证明：如果各个消费者的需求映射都服从瓦尔拉法则，则总需求映射也服从这个法则。
15．解释社会福利函数是递增的凹函数这一假定的经济含义。
