------金融资产定价之应用随机过程基础知识 基本概念马尔可夫过程随机分析 平稳过程鞅和鞅表示维纳过程Ito定理基础资产价格 衍生产品定价第一章 基 础 知 识第一节 概 率第二节 随机变量及其分布第三节 随机变量的数字特征第四节 矩母函数和特征函数第五节 条件期望第六节 指数分布第七节 收敛性和极限定理第一节 概 率一、基本概念
1．随机试验 其结果在事先不能确定的试验。
具有三个特性：
（ 1）可以在相同的条件下 重复 进行；
（ 2）每次试验的结果不止一个，并能事先 明确试验的所有可能的结果；
（ 3）每次试验前 不 能 确定 哪个结果会出现。
首页
2．样本空间 随机试验所有可能结果的集合，
记为?。其中每一个结果，称为 样本点 。
样本空间的一个 子集 E。
对样本空间?的每一个事件 E，都有一实数 P（ E）与之对应，且满足：
（ 1）
3．随机事件
4．概 率
10 ）（ EP 1 ）（P
，,21 EE（ 3）对 两两互不相容 的事件序列
（ 2）
)
11
i
ii
i
EPEP （）（?
则称 P（ E）为事件 E的 概率 。
首页二、概率的性质：
1
0?）（?P
2
）（）（）（）（ EFPFPEPFEP
3 )(1)( EPEP c
4 设
nEEE,，,?21
两两互不相容,则
)
11
n
i
ii
n
i
EPEP （）（?
5 设两两互不相容的事件
，，,?21 EE
ii
E
1
则对于任意事件 A，有
)
1
i
iEAPAP?（）（
首页三、概率的连续性
1．极限事件 对于事件若
，，,?21 EE
1 nn EE
1?n 则称事件序列 }1{?nE n,递增,
若
1 nn EE
1?n 则称事件序列 }1{?nE n，
递减。
这样可定义一个 新的事件,记为
nn Elim
iinn EE
1
lim? 1 nn EE
iinn EE
1
lim?
1?n
1 nn EE
1?n
首页
2．连续性定理若 是递增的或递减的事件序列，}1{?nE
n，
)limlim n
nnn
EPEP
（）（
证明
}1{?nE n,nF
11 EF? c
nn
c
i
n
inn
EEEEF 1
1
1
)(?
1?n
nF nE
iE ni?
则即 由包含在 中但不在任何前面的 （ ）中的点组成。
设 是递增序列,并定义事件,
定理 1
11 EF?
2F
3F
首页容易验证 （ ）是互不相交的事件,且满足
iiii EF
11
in
ii
n
i
EF
11
nF
1?n
和于是
）（）（ i
iii
FPEP?
11
)
1
i
iFP （
)lim
1
n
i
in FP （
)(lim
1 i
n
in
FP
)(lim 1 i
n
in
EP
)(lim
nn EP
首页设 E为随机试验,?为其样本空间,A,B
为任意两个事件,
四,条件概率
0?）（ AP
）（
）（）（
AP
ABPABP?|
为事件 A出现的情况下，事件 B的 条件概率,
或简称事件 B关于事件 A的 条件概率 。
若
1,定义则称首页定理 2（ 乘法公式 ）
2,基本公式假设 为任意 n个事件（ ），
nAAA,，,?21
2?n
021?）（ nAAAP?
)|()|()( 21312121 AAAPAAPAPAAAP n?）（
）（ 121|?nn AAAAP?
若则首页定理 3（ 全概率公式与贝叶斯公式 ）
设事件 两两互不相容，
nBBB,，,?21
i
n
i
B
1
0?）（ iBP ni,21?，，?
则（ 1）对任意事件 A，有
)|)(
1
ii
n
i
BAPBPAP （）（?
（ 2）对任意事件 A,若,有0?）（ AP
)|
)|
)|(
1
ii
n
i
ii
i
BAPBP
BAPBP
ABP
（）（
（）（
首页五、独立性如果事件 A,B满足
）（）（）（ BPAPABP?
设 是 n个事件，如果对于任意和,有
nAAA,，,?21
)2( nss niii s211
）（）（）（）（ ss iiiiii APAPAPAAAP 2121?
则称事件 相互独立 。
nAAA,，,?21
则称事件 A,B相互独立 。
1．定义两个
n个首页
2．独立性的性质定理 4 若事件 A,B相互独立，则 ； ；
分别也相互独立,
定理 5 设事件 相互独立,若其中任意 个事件相应地换成它们的对立事件,则所得的 n个事件仍然相互独立 。
nAAA,，,?21
BA与 BA与
BA与
)1( nmm
推论 若事件 相互独立，则
nAAA,，,?21
)(11)(
11
i
n
i
n
i
i APAP
首页
)(11)(
11
i
n
i
n
i
i APAP
证
)(1)(
11
n
i
i
n
i
i APAP
)(1
1
n
i
iAP
n
i
iAP
1
)(1
))(1(1
1
n
i
iAP
返回 首页一,一维随机变量的分布第二节 随机变量及其分布
1．随机变量设随机试验的样本空间为,如果对于每一个 都有唯一的一个实数 与之对应，这种对应关系称为一个随机变量，记作 或 X。
)(?X
)(?X
2．分布函数随机变量 X取值不超过 x的概率,
称为 X的分布函数 （ 其中 x为任意实数 ）,记为即
)( xXP?
)(xF
)()( xXPxF x 首页分布函数 F（ x） 具有下列性质：
1
2 是非降函数,即当 时,有)(xF
1)(0 xF x
21 xx?
)()( 21 xFxF?
0)(lim xFx 1)(lim?
xFx
3
4 )()0( xFxFF（ x）是右连续的，即首页
3．分布密度最常见的随机变量是离散型和连续型两种 。
离散型随机变量随机变量 X的可能取值仅有有限个或可列无穷多个 。
设 是离散型随机变量 X的所有可能的取值,是 的概率：
),2,1(kx k
kp kx
kk pxXP )( ),2,1(k
则称上式为 X的 概率分布 或 分布率 。且满足
0?kp 1
1
k
k
p 首页
3．分布密度连续型随机变量如果对于随机变量 X的分布函数为 F（ x）,
存在非负的函数 f（ x）,使对任意的实数 x
有则称 X为连续型随机变量,f（ x） 称为 X的概率密度,且满足
x dttfxF )()(
0)(?xf 1)(
dxxf
首页二,随机变量的联合分布
1．联合分布函数设 是样本空间?的 n个随机变量,为任意实数，则称特别地为随机变量的 n维联合分布函数
nXXX,，,?21
nxxx,，,?21
),,,(),,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF，
),()( yYxXPyxF，
即是 X,Y的二维联合分布函数 首页
2．二维分布密度离散型设 （ X,Y） 所有可能的取值为,而是 （ X,Y） 取值 为 的概率,即则称上式为二维离散型随机向量 （ X,Y） 的 联合分布律 。
它满足
),( ji yx
,2,1(?i ),2,1j
ijp
),( ji yx
ijji pyYxXP ),(
0?ijp 1
1 1
ij
i j
p
首页
2,二维分布密度连续型如果存在一个非负的二元函数 f（ x,y）,使对任意的实数 x,y有则称 （ X,Y） 为二维连续型随机变量,f（ x,y） 称为
（ X,Y） 的概率密度,满足：
x y d u d vvufyxF ),()(,
0),(?yxf 1),(
d x d yyxf 首页
3,边缘分布及独立性边缘分布设 （ X,Y） 的分布函数为,则 X,Y
的分布函数,,依次称为关于 X和关于 Y
的边缘分布函数,且有
)( yxF,
)(xFX )(yFY
),()( xFxF X ),()( yFyF Y
独 立 性
)( yxF, )(xF X )(yFY
则称随机变量 X和 Y是相互独立的。 首页离散型 若随机变量 （ X,Y） 的联合分布律分别称为 （ X,Y） 关于 X和 Y的边缘分布律 。
,2,1(?i
),2,1j
ijji pyYxXP ),(
ij
j
ii pxXPp?
1
)(
则
ij
i
jj pyYPp?
1
)(
X和 Y相互独立 的充要条件是
jiij ppp 首页连续型 若随机变量 （ X,Y） 的概率密度为则
X和 Y相互独立 的充要条件是
),( yxf
分别称为（ X,Y）关于 X和 Y边缘概率密度。
dyyxfxf X ),()(
dxyxfyf Y ),()(
),( yxf )(xf X? )(yfY
首页
4,条件分布函数离散型 若,则称为在条件 下，随机变量 X的条件分布律 。
0) jyYP （
j
ij
j
ji
ji p
p
yYP
yYxXP
yYxXP
)
),
)|
（
（
（
ixX?
jyY?
i
ij
i
ji
ij p
p
xXP
yYxXP
xXyYP
)
),
)|
（
（
（
同样为在条件 下，随机变量 Y的条件分布律。 首页
4,条件分布函数连续型称为在条件 下，随机变量 X的条件分布律 。
同样称为在条件 下，随机变量 Y的条件分布律。
)(
),()|(
yf
yxfyxf
Y
yY?
)(
),()|(
xf
yxfxyf
X
xX?
注意,分母不等于 0
返回首页第三节 随机变量的数字特征一、期望和方差
1．期望 设 离散型 随机变量 X的分布律为则
kk pxXP )(?,2,1?k
)(XE kk
k
px?
1
设 连续型 随机变量 X的概率密度为,)(xf
则
)(XE dxxxf )( 首页函数期望当 X为 离散型 随机变量则当 X为 连续型 随机变量，
则
)( XgY?
)]([)( XgEYE
kk
k
pxg )(
1
)]([)( XgEYE dxxfxg )()(
首页
2。方差 称随机变量 的期望为 X的方差，即计算方差时通常用下列关系式：
2)]([ XEX?
)(XD ]))([( 2XEXE
)(XD 22 )]([][ XEXE
首页
3,性质
（ 1）
（ 2）
（ 3） 若 X和 Y相互独立，则
CCE?)( 0)(?CD
)()( XCECXE? )()( 2 XDCCXD?
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)()(
)()()( YEXEXYE?
（ 4） 0)(?XD 的充要条件是 1)]([ XEXP
返回首页
3,性质
（ 5）（柯西 — 许瓦兹不等式）
等式成立当且仅当
（ 6） 若 X为非负整数值的随机变量，则证
)()(|)(| 222 YEXEXYE
1)( 0 XtYP
)()(
1
iXPXE
i
首页
（ 7）若 X为非负值的随机变量，则
1
( ) ( )
k
E X k P X k
0 )(1)( dxxFXE ）（
)1( XP
)2()2( XPXP
)3()3()3( XPXPXP
)()()( nXPnXPnXP
最后对每一丛向列求和，即得。
首页
1．协方差计算协方差时通常用下列关系式：
二、协方差和相关系数
),(C ov YX ) ) ]() ) (([( YEYXEXE
),(C ov YX )()()( YEXEXYE
2.相关系数
)()(
),(C ov
YDXD
YXr
XY?
首页
3,性质
（ 1）
（ 2）若 X和 Y相互独立，则
（ 4） 的充要条件是 X与 Y以概率 1
线性相关，即
),(C ov2)()(
1,11
j
n
ji
ji
i
n
i
i
n
i
i XXXDXD
0),(C ov?YX
1||?XYr（ 3）
1||?XYr
1)( baXYP
返回首页例 1 设 X?N（ 0,1），求解当 n为偶数时，由分部积分得当 n为奇数时，
)( nXE
)( nXE dxex xn 2
2
2
1
0)(?nXE
)( nXE dxexn
x
n 22
2
2
1
)()1( 2 nXEn
依次递推，注意到,故1)( 0?xE
偶数奇数
2!)!1(135)3)(1(
0)(
nnnn
nXE n
首页在一次集会上,n个人把他们的帽子放到房间的中央混合在一起，而后每个人随机地选取一项，求每人拿到自己的帽子的人数 X的均值和方差。
例 2（匹配问题）
解 利用表达式
nXXXX21
其中
其它个人拿到自己的帽子如果第
，
，
0
1 i
iX
即求 EX,DX
故因
nXP i /1)1(
nXE i /1)(? 22 1)1(1)( nnnnXD i
首页又 ),(C o v
ji XX )()()( jiji XEXEXXE
而
其它个人都拿到自己的帽子个人与第如果第
，
，
0
1 ji
ji XX
得 }11{)(
jiji XXPXXE,
}1|1{}1{ iji XXPXP 111 nn
故
),(C o v ji XX )1( 1 nn
21
n
所以 1)(?XE
1)1( 121)( 22 nnCnnXD n
)1(
1
2 nn
返回首页一、矩母函数第四节 矩母函数和特征函数
1．定义 称 的数学期望为 X的矩母函数
2．原点矩的求法
tXe ][)( tXeEt
利用矩母函数可求得 X的各阶矩，即对逐次求导并计算在 点的值：)(t? 0?t
][)( tXXeEt ][)() tXnn eXEt?（?
][)0() nn XE?（? 首页
3．和的矩母函数定理 1 设相互独立的随机变量 的矩母函数分别为,,…,,
则其和 的矩母函数为
rXXX,，,?21
)(1 t? )(2 t? )(tr?
rXXXY21
)(tY? )(1 t? )(2 t? )(tr?
…
首页例 1 设 X与 Y是独立的正态随机变量，各自的均值为与,方差为 与,求 X+Y的矩母函数。
解而正态分布的矩母函数为
1? 2? 21? 22?
][)( ）（ YXtYX eEt ][ tXeE? ][ tYeE
)(tX )(tY?
}2/e x p {)( 22 ttt
所以
)(tYX }2/)()e x p { ( 2222121 tt
首页二、特征函数
1,复随机变量设 X,Y为二维（实）随机变量，则称为复随机变量,
2.数学期望
3,特征函数
iYXZ
)()()( YiEXEZE
设 X为随机变量，称复随机变量的数学期望
itXe
)(tX? ][ itXeE
为 X的特征函数，其中 t是实数。
还可写成
)(tX? ][ s in][ c o s tXiEtXE 首页
4．特征函数与分布函数的关系特征函数与分布函数 相互唯一确定。
特别 当 存在时，有
)()( xfxF
)(t? dxxfe itx )(
)(xf dtte itx )(21
5．特征函数的性质性质 1 对任何实数 t,1|)(|?tX?
证 1|||)(||)(|
itXitXX eEeEt?
首页性质 2
证性质 3 设 a,b为任意实数，,则 Y的特征函数 有证
)()( tt XX
)( tX? ]s in[ c o s XtiXtE ）（）（
][ s in][ c o s tXiEtXE
][ s in][ co s tXiEtXE )(tX
baXY
)(tY? )()( atet XitbY
][)( )( baXitY eEt ][ ) itbXati eeE （
][ ) Xatiitb eEe （? )(ate Xitb 首页性质 4
性质 5 设相互独立的随机变量 的特征函数分别为,,…,
则和若随机变量 X的 n阶绝对矩存在，即|| nXE
则 X的特征函数 有 n阶导数，且有
)(tX?
)0()()( )( kXkk iXE nk,,2,1
rXXX,，,?21
)(1 t? )(2 t? )(tr?
rXXXY21
的特征函数为
)(tY? )(
1 t? )(2 t? )(tr?
…
首页例 2 设随机变量 X服从参数为 的泊松分布,
求 X的特征函数 。
解 由于所以
e
kkXP
k
！）（
)(tX
eke
k
k
itk
！0
！k
ee kit
k
)(
0
iteee )1( itee?
首页例 3 设随机变量 X服从 [a,b]上的均匀分布,求 X的特征函数 。
解 X的概率密度为所以
其它0
1
)(
bxa
abxf
dx
ab
et
b
a
itx
X
1)(?
)( abit
ee itaitb
首页例 4 设 X~B（ n,p）,求 X的特征函数 及和 。
解 X的分布律为所以
)(tX? ）（ XE
）（ XD
knkk
n qpckXP
）（
)(tX?
knkk
n
n
k
itk qpce?
0
knkitk
n
n
k
qpec?
)(
0
nit qpe )(
由性质 4知
npqpedtdiXE tnit 0|)(）（
22
02
2
22 |)()( pnn p qqpe
dt
diXE
t
nit
）（故
）（ XD 22 )][ XEXE （）（ npq?首页常见分布的数学期望、方差和特征函数返回见教材首页一、条件期望的定义第五节 条件期望离散型其中连续型其中
)|( jyYXE? )|(
1
ji
i
i yYxXPx
)(
),(
)|(
j
ji
ji yYP
yYxXP
yYxXP
)|( yYXE? dxyxfx )|(
)|( yxf
条件概率密度首页二、全数学期望公式定理 1 对一切随机变量 X和 Y,有连续型是随机变量 Y的函数，当 时取值因而它也是随机变量。)|( YXE
yY? )|( yYXE?
离散型
)]|([ YXEE?)(XE
)()|()(
1
jj
j
yYPyYXEXE
dyyfyYXEXE Y )()|()(
首页证 只证（ X,Y）是离散型随机向量时的情况
)()|(
1
jj
j
yYPyYXE
)()|(
1 1
jji
j i
i yYPyYxXPx
),(
1 1
ji
j i
i yYxXPx
),(
11
ji
ji
i yYxXPx
)()(
1
XExXPx i
i
i
首页一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走 3个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走 5个小时又返回原处，从第三个通道出去要走 7个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，
试问他到达安全地点平均要花多长时间。
例 1
解 设 X表示矿工到达安全地点所需时间,Y表示他选定的通道，则由定理 1可知
)( XE )]|([ YXEE
)1()1|( YPYXE )2()2|( YPYXE
)3()3|( YPYXE
)]7()5(3[31 EXEX
15)(?XE
所以 首页设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于 100的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学期望是 10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客化钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的一天内，顾客们在该店所化钱的期望值为多少？
例 2
解 设 N 表示进入该店的顾客人数,表示第 i个顾客所花的钱数，
iX
则 N 个顾客所花钱的总数为
N
i
iX
1
则一天内顾客们在该店所化钱的期望值是
N
i
iXE
1
N
i
i NXEE
1
| ）（
首页而从而由假设所以
N
i
i nNXE
1
| ）（?
n
i
i nNXE
1
| ）（
n
i
iXE
1
）（ )( XnE?
N
i
i NXE
1
| ）（ )( XNE?
N
i
iXE
1
)()()]([ XENEXNEE
100)(?NE 10)()( iXEXE
于是
N
i
iXE
1
1 0 0 0101 0 0
它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000元。 首页三、条件期望的应用定理 2 设 X,Y是随机变量,是 Borel函数，
证下面的命题说明在均方意义下,在已知随机变量
X的条件下,是 Y的最佳预测 。
则
)|( XYE
)(xg
]))([( 2XgYE? ]))|([( 2XYEYE
]|))([( 2 XXgYE?
]|))()|()|([( 2 XXgXYEXYEYE首页
]|))|([( 2 XXYEYE
]|))()|([( 2 XXgXYEE
))|([(2 XYEYE ]|))()|(( XXgXYE?
由于 当 X取定值时是常数，)()|( XgXYE?
所以
))()|(( XgXYE? 0]|))|([( XXYEYE
故得
]|))([( 2 XXgYE? ]|))|([( 2 XXYEYE
由定理 1，两边取数学期望，即得证。
首页通常当我们观察到 时，
是一切对 Y的估值中均方误差最小的一个，我们称之为 Y关于 X的回归 。
例 3 设身高为 x（ cm） 的男子,其成年儿子的身高服从均值为,方差为 10的正态分布,问身高为 175cm的男子,其成年儿子的身高的最佳预测值是多少？
令 X表示父亲身高,Y表示儿子身高，则
xX? )|( xXYE?
3?x
解
3XY?
N（ 0,10）
与 X独立Y的最佳预测是
)175|(?XYE )175|3( XXE?
)175|(3175 XE? 17 8)(17 8E
即其成年儿子的身高的最佳预测值是 178cm。 返回首页一、指数分布的定义第六节 指数分布若连续型随机变量 X的概率密度为分布函数为则称 X具有参数为 的指数分布。
0,0
0,
)(
x
xe
xf
x
0,0
0,1
)()(
x
xe
dyyfxF
x
x
)0（ 首页二、无记忆性若随机变量 X满足则称随机变量 X是 无记忆的 。
如果我们把 X看作某仪器的寿命，则 X的无记忆性表示,
}{}|{ sXPtXtsXP
0?ts，
在仪器已工作了 t 小时的条件下，它至少工作小时的概率与它原来至少工作 s 小时的概率是相同的。
换句话说如果仪器在时刻 t是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布。
ts?
首页考虑一个有两名营业员的邮局。假设当 A进去时，他发现一名营业员正在给 B办事而另一名营业员正在为 C服务。还假设已告诉 A，一旦 B或 C离开就为他服务。如果一个营业员为一个顾客所花的时间服从均值是 的指数分布。三个顾客中 A最后离开邮局的概率是多少？
例 1
解 考虑 A发现一个营业员有空的时刻，此时 B与 C中有一个刚好离开而另一个仍在接受服务。
由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花费的时间也服从指数分布，其均值仍为,
即仿佛他才开始服务,
/1
/1
因此由对称性，他在 A之前结束服务的概率为，
故 A最后离开邮局的概率也是 。
2/1
2/1首页三、失效率函数指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。
1．定义 设 是一个非负连续随机变量 X的分布函数，其密度函数,
)(tF
)(tf
则
)(
)(
)(
tF
tf
t
称为 X 的 失效（或风险）率函数 。
)(1)( tFtF )( tXP
存活函数首页
2．
的直观解释为了阐明的意义，把 X设想为某种元件的寿命，且 X假定已经存活 t小时，我们要求再过时间 dt它失效的概率，即考虑由于可见 表示一个 t 岁的元件将失效的可能性大小，
即元件将失效的概率强度。
}|{ tXdttXtP
}|{ tXdttXtP
}{
},{
tXP
tXdttXtP
}{
}{
tXP
dttXtP
)(
)(
tF
dttf? dtt)(
)(t?
)(t?
首页
3．生起率 假设寿命分布是指数分布，那么由无记忆性，
一个 t 岁的元件的剩余寿命的分布与一个新元件的寿命分布相同，因此应当是常数。
事实上指数分布的失效率函数是常数。参数 常称为分布的 生起率 （或速率）。
)(
)()(
tF
tft
t
t
e
e
于是
4．失效率函数 与分布函数关系
)(t? )(tF（ 1）失效率函数 唯一决定分布原因是
)(
)(
)(
tF
tF
dt
d
t
首页积分得即令 得因而即
kdtttF t )()(lo g 0?
})(e x p {)( 0 dttctF t
0?t 1?c
})(ex p {)( 0 dtttF t
})(ex p {1)( 0 dtttF t
（ 2） 决定 )(t?)(tF （有的定义可知）
一个概率分布可用它的失效率（如果存在的话）来描述 。
因此 返回首页一、收敛性第七节 收敛性和极限定理
1．概率 1收敛（或几乎处处收敛）
如果随机变量序列 以概率 1收敛于 X，或称几乎处处收敛于 X，记作
1}lim{ XXP nn
则称 nX
nX
XX san,
首页如果
2．均方收敛对于所有的 有随机变量序列 以均方收敛于 X，记作且
nX
nX]|[| 2nXE
]|[| 2XE
则称
0]|[|lim 2 XXE nn
XX n
n
l.i.m
首页如果
3．依概率收敛对于任意给定的正数,有随机变量序列 依概率收敛于 X，记作
nX
则称
0
0}|{|lim
XXP n
n
XX Pn
首页如果
4．依分布收敛设,分别为随机变量 及 X 的分布函数随机变量序列 以分布收敛于 X，记作
nX
则称
)(xFn )(xF nX
对于的每一个连续点 x，有)(xF
)()(lim xFxF nn
XX dn
首页
（ 1）若 均方收敛，则 必为依概率收敛；
收敛性之间的关系
nXnX
（ 2）若 以概率 1收敛，则 必为依概率收敛；
nX nX
（ 3）若 依概率收敛，则 必为依分布收敛。
nX nX
均方收敛与以概率 1收敛不存在确定的关系。注二、极限定理
1．强大数定理 如果 独立同分布，
具有均值,则
，,21 XX
1}/)(lim{ 21
nXXXP n
n
首页
2．中心极限定理 如果 独立同分布，
具有均值 与方差,则
，,21 XX
2?
a
n
nXXP n
n?
1lim dxe
x
a
2
2
2
1?
注 若令,其中 独立同分布
i
n
i
n XS?
1
，,21 XX
则 强大数定理 表明 以概率 1收敛于 ；
nSn /
][ iXE
中心极限定理 表明当 时,有渐进正态分布。
n nS
首页
1．随机试验 其结果在事先不能确定的试验。
具有三个特性：
（ 1）可以在相同的条件下 重复 进行；
（ 2）每次试验的结果不止一个，并能事先 明确试验的所有可能的结果；
（ 3）每次试验前 不 能 确定 哪个结果会出现。
首页
2．样本空间 随机试验所有可能结果的集合，
记为?。其中每一个结果，称为 样本点 。
样本空间的一个 子集 E。
对样本空间?的每一个事件 E，都有一实数 P（ E）与之对应，且满足：
（ 1）
3．随机事件
4．概 率
10 ）（ EP 1 ）（P
，,21 EE（ 3）对 两两互不相容 的事件序列
（ 2）
)
11
i
ii
i
EPEP （）（?
则称 P（ E）为事件 E的 概率 。
首页二、概率的性质：
1
0?）（?P
2
）（）（）（）（ EFPFPEPFEP
3 )(1)( EPEP c
4 设
nEEE,，,?21
两两互不相容,则
)
11
n
i
ii
n
i
EPEP （）（?
5 设两两互不相容的事件
，，,?21 EE
ii
E
1
则对于任意事件 A，有
)
1
i
iEAPAP?（）（
首页三、概率的连续性
1．极限事件 对于事件若
，，,?21 EE
1 nn EE
1?n 则称事件序列 }1{?nE n,递增,
若
1 nn EE
1?n 则称事件序列 }1{?nE n，
递减。
这样可定义一个 新的事件,记为
nn Elim
iinn EE
1
lim? 1 nn EE
iinn EE
1
lim?
1?n
1 nn EE
1?n
首页
2．连续性定理若 是递增的或递减的事件序列，}1{?nE
n，
)limlim n
nnn
EPEP
（）（
证明
}1{?nE n,nF
11 EF? c
nn
c
i
n
inn
EEEEF 1
1
1
)(?
1?n
nF nE
iE ni?
则即 由包含在 中但不在任何前面的 （ ）中的点组成。
设 是递增序列,并定义事件,
定理 1
11 EF?
2F
3F
首页容易验证 （ ）是互不相交的事件,且满足
iiii EF
11
in
ii
n
i
EF
11
nF
1?n
和于是
）（）（ i
iii
FPEP?
11
)
1
i
iFP （
)lim
1
n
i
in FP （
)(lim
1 i
n
in
FP
)(lim 1 i
n
in
EP
)(lim
nn EP
首页设 E为随机试验,?为其样本空间,A,B
为任意两个事件,
四,条件概率
0?）（ AP
）（
）（）（
AP
ABPABP?|
为事件 A出现的情况下，事件 B的 条件概率,
或简称事件 B关于事件 A的 条件概率 。
若
1,定义则称首页定理 2（ 乘法公式 ）
2,基本公式假设 为任意 n个事件（ ），
nAAA,，,?21
2?n
021?）（ nAAAP?
)|()|()( 21312121 AAAPAAPAPAAAP n?）（
）（ 121|?nn AAAAP?
若则首页定理 3（ 全概率公式与贝叶斯公式 ）
设事件 两两互不相容，
nBBB,，,?21
i
n
i
B
1
0?）（ iBP ni,21?，，?
则（ 1）对任意事件 A，有
)|)(
1
ii
n
i
BAPBPAP （）（?
（ 2）对任意事件 A,若,有0?）（ AP
)|
)|
)|(
1
ii
n
i
ii
i
BAPBP
BAPBP
ABP
（）（
（）（
首页五、独立性如果事件 A,B满足
）（）（）（ BPAPABP?
设 是 n个事件，如果对于任意和,有
nAAA,，,?21
)2( nss niii s211
）（）（）（）（ ss iiiiii APAPAPAAAP 2121?
则称事件 相互独立 。
nAAA,，,?21
则称事件 A,B相互独立 。
1．定义两个
n个首页
2．独立性的性质定理 4 若事件 A,B相互独立，则 ； ；
分别也相互独立,
定理 5 设事件 相互独立,若其中任意 个事件相应地换成它们的对立事件,则所得的 n个事件仍然相互独立 。
nAAA,，,?21
BA与 BA与
BA与
)1( nmm
推论 若事件 相互独立，则
nAAA,，,?21
)(11)(
11
i
n
i
n
i
i APAP
首页
)(11)(
11
i
n
i
n
i
i APAP
证
)(1)(
11
n
i
i
n
i
i APAP
)(1
1
n
i
iAP
n
i
iAP
1
)(1
))(1(1
1
n
i
iAP
返回 首页一,一维随机变量的分布第二节 随机变量及其分布
1．随机变量设随机试验的样本空间为,如果对于每一个 都有唯一的一个实数 与之对应，这种对应关系称为一个随机变量，记作 或 X。
)(?X
)(?X
2．分布函数随机变量 X取值不超过 x的概率,
称为 X的分布函数 （ 其中 x为任意实数 ）,记为即
)( xXP?
)(xF
)()( xXPxF x 首页分布函数 F（ x） 具有下列性质：
1
2 是非降函数,即当 时,有)(xF
1)(0 xF x
21 xx?
)()( 21 xFxF?
0)(lim xFx 1)(lim?
xFx
3
4 )()0( xFxFF（ x）是右连续的，即首页
3．分布密度最常见的随机变量是离散型和连续型两种 。
离散型随机变量随机变量 X的可能取值仅有有限个或可列无穷多个 。
设 是离散型随机变量 X的所有可能的取值,是 的概率：
),2,1(kx k
kp kx
kk pxXP )( ),2,1(k
则称上式为 X的 概率分布 或 分布率 。且满足
0?kp 1
1
k
k
p 首页
3．分布密度连续型随机变量如果对于随机变量 X的分布函数为 F（ x）,
存在非负的函数 f（ x）,使对任意的实数 x
有则称 X为连续型随机变量,f（ x） 称为 X的概率密度,且满足
x dttfxF )()(
0)(?xf 1)(
dxxf
首页二,随机变量的联合分布
1．联合分布函数设 是样本空间?的 n个随机变量,为任意实数，则称特别地为随机变量的 n维联合分布函数
nXXX,，,?21
nxxx,，,?21
),,,(),,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF，
),()( yYxXPyxF，
即是 X,Y的二维联合分布函数 首页
2．二维分布密度离散型设 （ X,Y） 所有可能的取值为,而是 （ X,Y） 取值 为 的概率,即则称上式为二维离散型随机向量 （ X,Y） 的 联合分布律 。
它满足
),( ji yx
,2,1(?i ),2,1j
ijp
),( ji yx
ijji pyYxXP ),(
0?ijp 1
1 1
ij
i j
p
首页
2,二维分布密度连续型如果存在一个非负的二元函数 f（ x,y）,使对任意的实数 x,y有则称 （ X,Y） 为二维连续型随机变量,f（ x,y） 称为
（ X,Y） 的概率密度,满足：
x y d u d vvufyxF ),()(,
0),(?yxf 1),(
d x d yyxf 首页
3,边缘分布及独立性边缘分布设 （ X,Y） 的分布函数为,则 X,Y
的分布函数,,依次称为关于 X和关于 Y
的边缘分布函数,且有
)( yxF,
)(xFX )(yFY
),()( xFxF X ),()( yFyF Y
独 立 性
)( yxF, )(xF X )(yFY
则称随机变量 X和 Y是相互独立的。 首页离散型 若随机变量 （ X,Y） 的联合分布律分别称为 （ X,Y） 关于 X和 Y的边缘分布律 。
,2,1(?i
),2,1j
ijji pyYxXP ),(
ij
j
ii pxXPp?
1
)(
则
ij
i
jj pyYPp?
1
)(
X和 Y相互独立 的充要条件是
jiij ppp 首页连续型 若随机变量 （ X,Y） 的概率密度为则
X和 Y相互独立 的充要条件是
),( yxf
分别称为（ X,Y）关于 X和 Y边缘概率密度。
dyyxfxf X ),()(
dxyxfyf Y ),()(
),( yxf )(xf X? )(yfY
首页
4,条件分布函数离散型 若,则称为在条件 下，随机变量 X的条件分布律 。
0) jyYP （
j
ij
j
ji
ji p
p
yYP
yYxXP
yYxXP
)
),
)|
（
（
（
ixX?
jyY?
i
ij
i
ji
ij p
p
xXP
yYxXP
xXyYP
)
),
)|
（
（
（
同样为在条件 下，随机变量 Y的条件分布律。 首页
4,条件分布函数连续型称为在条件 下，随机变量 X的条件分布律 。
同样称为在条件 下，随机变量 Y的条件分布律。
)(
),()|(
yf
yxfyxf
Y
yY?
)(
),()|(
xf
yxfxyf
X
xX?
注意,分母不等于 0
返回首页第三节 随机变量的数字特征一、期望和方差
1．期望 设 离散型 随机变量 X的分布律为则
kk pxXP )(?,2,1?k
)(XE kk
k
px?
1
设 连续型 随机变量 X的概率密度为,)(xf
则
)(XE dxxxf )( 首页函数期望当 X为 离散型 随机变量则当 X为 连续型 随机变量，
则
)( XgY?
)]([)( XgEYE
kk
k
pxg )(
1
)]([)( XgEYE dxxfxg )()(
首页
2。方差 称随机变量 的期望为 X的方差，即计算方差时通常用下列关系式：
2)]([ XEX?
)(XD ]))([( 2XEXE
)(XD 22 )]([][ XEXE
首页
3,性质
（ 1）
（ 2）
（ 3） 若 X和 Y相互独立，则
CCE?)( 0)(?CD
)()( XCECXE? )()( 2 XDCCXD?
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)()(
)()()( YEXEXYE?
（ 4） 0)(?XD 的充要条件是 1)]([ XEXP
返回首页
3,性质
（ 5）（柯西 — 许瓦兹不等式）
等式成立当且仅当
（ 6） 若 X为非负整数值的随机变量，则证
)()(|)(| 222 YEXEXYE
1)( 0 XtYP
)()(
1
iXPXE
i
首页
（ 7）若 X为非负值的随机变量，则
1
( ) ( )
k
E X k P X k
0 )(1)( dxxFXE ）（
)1( XP
)2()2( XPXP
)3()3()3( XPXPXP
)()()( nXPnXPnXP
最后对每一丛向列求和，即得。
首页
1．协方差计算协方差时通常用下列关系式：
二、协方差和相关系数
),(C ov YX ) ) ]() ) (([( YEYXEXE
),(C ov YX )()()( YEXEXYE
2.相关系数
)()(
),(C ov
YDXD
YXr
XY?
首页
3,性质
（ 1）
（ 2）若 X和 Y相互独立，则
（ 4） 的充要条件是 X与 Y以概率 1
线性相关，即
),(C ov2)()(
1,11
j
n
ji
ji
i
n
i
i
n
i
i XXXDXD
0),(C ov?YX
1||?XYr（ 3）
1||?XYr
1)( baXYP
返回首页例 1 设 X?N（ 0,1），求解当 n为偶数时，由分部积分得当 n为奇数时，
)( nXE
)( nXE dxex xn 2
2
2
1
0)(?nXE
)( nXE dxexn
x
n 22
2
2
1
)()1( 2 nXEn
依次递推，注意到,故1)( 0?xE
偶数奇数
2!)!1(135)3)(1(
0)(
nnnn
nXE n
首页在一次集会上,n个人把他们的帽子放到房间的中央混合在一起，而后每个人随机地选取一项，求每人拿到自己的帽子的人数 X的均值和方差。
例 2（匹配问题）
解 利用表达式
nXXXX21
其中
其它个人拿到自己的帽子如果第
，
，
0
1 i
iX
即求 EX,DX
故因
nXP i /1)1(
nXE i /1)(? 22 1)1(1)( nnnnXD i
首页又 ),(C o v
ji XX )()()( jiji XEXEXXE
而
其它个人都拿到自己的帽子个人与第如果第
，
，
0
1 ji
ji XX
得 }11{)(
jiji XXPXXE,
}1|1{}1{ iji XXPXP 111 nn
故
),(C o v ji XX )1( 1 nn
21
n
所以 1)(?XE
1)1( 121)( 22 nnCnnXD n
)1(
1
2 nn
返回首页一、矩母函数第四节 矩母函数和特征函数
1．定义 称 的数学期望为 X的矩母函数
2．原点矩的求法
tXe ][)( tXeEt
利用矩母函数可求得 X的各阶矩，即对逐次求导并计算在 点的值：)(t? 0?t
][)( tXXeEt ][)() tXnn eXEt?（?
][)0() nn XE?（? 首页
3．和的矩母函数定理 1 设相互独立的随机变量 的矩母函数分别为,,…,,
则其和 的矩母函数为
rXXX,，,?21
)(1 t? )(2 t? )(tr?
rXXXY21
)(tY? )(1 t? )(2 t? )(tr?
…
首页例 1 设 X与 Y是独立的正态随机变量，各自的均值为与,方差为 与,求 X+Y的矩母函数。
解而正态分布的矩母函数为
1? 2? 21? 22?
][)( ）（ YXtYX eEt ][ tXeE? ][ tYeE
)(tX )(tY?
}2/e x p {)( 22 ttt
所以
)(tYX }2/)()e x p { ( 2222121 tt
首页二、特征函数
1,复随机变量设 X,Y为二维（实）随机变量，则称为复随机变量,
2.数学期望
3,特征函数
iYXZ
)()()( YiEXEZE
设 X为随机变量，称复随机变量的数学期望
itXe
)(tX? ][ itXeE
为 X的特征函数，其中 t是实数。
还可写成
)(tX? ][ s in][ c o s tXiEtXE 首页
4．特征函数与分布函数的关系特征函数与分布函数 相互唯一确定。
特别 当 存在时，有
)()( xfxF
)(t? dxxfe itx )(
)(xf dtte itx )(21
5．特征函数的性质性质 1 对任何实数 t,1|)(|?tX?
证 1|||)(||)(|
itXitXX eEeEt?
首页性质 2
证性质 3 设 a,b为任意实数，,则 Y的特征函数 有证
)()( tt XX
)( tX? ]s in[ c o s XtiXtE ）（）（
][ s in][ c o s tXiEtXE
][ s in][ co s tXiEtXE )(tX
baXY
)(tY? )()( atet XitbY
][)( )( baXitY eEt ][ ) itbXati eeE （
][ ) Xatiitb eEe （? )(ate Xitb 首页性质 4
性质 5 设相互独立的随机变量 的特征函数分别为,,…,
则和若随机变量 X的 n阶绝对矩存在，即|| nXE
则 X的特征函数 有 n阶导数，且有
)(tX?
)0()()( )( kXkk iXE nk,,2,1
rXXX,，,?21
)(1 t? )(2 t? )(tr?
rXXXY21
的特征函数为
)(tY? )(
1 t? )(2 t? )(tr?
…
首页例 2 设随机变量 X服从参数为 的泊松分布,
求 X的特征函数 。
解 由于所以
e
kkXP
k
！）（
)(tX
eke
k
k
itk
！0
！k
ee kit
k
)(
0
iteee )1( itee?
首页例 3 设随机变量 X服从 [a,b]上的均匀分布,求 X的特征函数 。
解 X的概率密度为所以
其它0
1
)(
bxa
abxf
dx
ab
et
b
a
itx
X
1)(?
)( abit
ee itaitb
首页例 4 设 X~B（ n,p）,求 X的特征函数 及和 。
解 X的分布律为所以
)(tX? ）（ XE
）（ XD
knkk
n qpckXP
）（
)(tX?
knkk
n
n
k
itk qpce?
0
knkitk
n
n
k
qpec?
)(
0
nit qpe )(
由性质 4知
npqpedtdiXE tnit 0|)(）（
22
02
2
22 |)()( pnn p qqpe
dt
diXE
t
nit
）（故
）（ XD 22 )][ XEXE （）（ npq?首页常见分布的数学期望、方差和特征函数返回见教材首页一、条件期望的定义第五节 条件期望离散型其中连续型其中
)|( jyYXE? )|(
1
ji
i
i yYxXPx
)(
),(
)|(
j
ji
ji yYP
yYxXP
yYxXP
)|( yYXE? dxyxfx )|(
)|( yxf
条件概率密度首页二、全数学期望公式定理 1 对一切随机变量 X和 Y,有连续型是随机变量 Y的函数，当 时取值因而它也是随机变量。)|( YXE
yY? )|( yYXE?
离散型
)]|([ YXEE?)(XE
)()|()(
1
jj
j
yYPyYXEXE
dyyfyYXEXE Y )()|()(
首页证 只证（ X,Y）是离散型随机向量时的情况
)()|(
1
jj
j
yYPyYXE
)()|(
1 1
jji
j i
i yYPyYxXPx
),(
1 1
ji
j i
i yYxXPx
),(
11
ji
ji
i yYxXPx
)()(
1
XExXPx i
i
i
首页一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走 3个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走 5个小时又返回原处，从第三个通道出去要走 7个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，
试问他到达安全地点平均要花多长时间。
例 1
解 设 X表示矿工到达安全地点所需时间,Y表示他选定的通道，则由定理 1可知
)( XE )]|([ YXEE
)1()1|( YPYXE )2()2|( YPYXE
)3()3|( YPYXE
)]7()5(3[31 EXEX
15)(?XE
所以 首页设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于 100的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学期望是 10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客化钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的一天内，顾客们在该店所化钱的期望值为多少？
例 2
解 设 N 表示进入该店的顾客人数,表示第 i个顾客所花的钱数，
iX
则 N 个顾客所花钱的总数为
N
i
iX
1
则一天内顾客们在该店所化钱的期望值是
N
i
iXE
1
N
i
i NXEE
1
| ）（
首页而从而由假设所以
N
i
i nNXE
1
| ）（?
n
i
i nNXE
1
| ）（
n
i
iXE
1
）（ )( XnE?
N
i
i NXE
1
| ）（ )( XNE?
N
i
iXE
1
)()()]([ XENEXNEE
100)(?NE 10)()( iXEXE
于是
N
i
iXE
1
1 0 0 0101 0 0
它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000元。 首页三、条件期望的应用定理 2 设 X,Y是随机变量,是 Borel函数，
证下面的命题说明在均方意义下,在已知随机变量
X的条件下,是 Y的最佳预测 。
则
)|( XYE
)(xg
]))([( 2XgYE? ]))|([( 2XYEYE
]|))([( 2 XXgYE?
]|))()|()|([( 2 XXgXYEXYEYE首页
]|))|([( 2 XXYEYE
]|))()|([( 2 XXgXYEE
))|([(2 XYEYE ]|))()|(( XXgXYE?
由于 当 X取定值时是常数，)()|( XgXYE?
所以
))()|(( XgXYE? 0]|))|([( XXYEYE
故得
]|))([( 2 XXgYE? ]|))|([( 2 XXYEYE
由定理 1，两边取数学期望，即得证。
首页通常当我们观察到 时，
是一切对 Y的估值中均方误差最小的一个，我们称之为 Y关于 X的回归 。
例 3 设身高为 x（ cm） 的男子,其成年儿子的身高服从均值为,方差为 10的正态分布,问身高为 175cm的男子,其成年儿子的身高的最佳预测值是多少？
令 X表示父亲身高,Y表示儿子身高，则
xX? )|( xXYE?
3?x
解
3XY?
N（ 0,10）
与 X独立Y的最佳预测是
)175|(?XYE )175|3( XXE?
)175|(3175 XE? 17 8)(17 8E
即其成年儿子的身高的最佳预测值是 178cm。 返回首页一、指数分布的定义第六节 指数分布若连续型随机变量 X的概率密度为分布函数为则称 X具有参数为 的指数分布。
0,0
0,
)(
x
xe
xf
x
0,0
0,1
)()(
x
xe
dyyfxF
x
x
)0（ 首页二、无记忆性若随机变量 X满足则称随机变量 X是 无记忆的 。
如果我们把 X看作某仪器的寿命，则 X的无记忆性表示,
}{}|{ sXPtXtsXP
0?ts，
在仪器已工作了 t 小时的条件下，它至少工作小时的概率与它原来至少工作 s 小时的概率是相同的。
换句话说如果仪器在时刻 t是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布。
ts?
首页考虑一个有两名营业员的邮局。假设当 A进去时，他发现一名营业员正在给 B办事而另一名营业员正在为 C服务。还假设已告诉 A，一旦 B或 C离开就为他服务。如果一个营业员为一个顾客所花的时间服从均值是 的指数分布。三个顾客中 A最后离开邮局的概率是多少？
例 1
解 考虑 A发现一个营业员有空的时刻，此时 B与 C中有一个刚好离开而另一个仍在接受服务。
由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花费的时间也服从指数分布，其均值仍为,
即仿佛他才开始服务,
/1
/1
因此由对称性，他在 A之前结束服务的概率为，
故 A最后离开邮局的概率也是 。
2/1
2/1首页三、失效率函数指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。
1．定义 设 是一个非负连续随机变量 X的分布函数，其密度函数,
)(tF
)(tf
则
)(
)(
)(
tF
tf
t
称为 X 的 失效（或风险）率函数 。
)(1)( tFtF )( tXP
存活函数首页
2．
的直观解释为了阐明的意义，把 X设想为某种元件的寿命，且 X假定已经存活 t小时，我们要求再过时间 dt它失效的概率，即考虑由于可见 表示一个 t 岁的元件将失效的可能性大小，
即元件将失效的概率强度。
}|{ tXdttXtP
}|{ tXdttXtP
}{
},{
tXP
tXdttXtP
}{
}{
tXP
dttXtP
)(
)(
tF
dttf? dtt)(
)(t?
)(t?
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3．生起率 假设寿命分布是指数分布，那么由无记忆性，
一个 t 岁的元件的剩余寿命的分布与一个新元件的寿命分布相同，因此应当是常数。
事实上指数分布的失效率函数是常数。参数 常称为分布的 生起率 （或速率）。
)(
)()(
tF
tft
t
t
e
e
于是
4．失效率函数 与分布函数关系
)(t? )(tF（ 1）失效率函数 唯一决定分布原因是
)(
)(
)(
tF
tF
dt
d
t
首页积分得即令 得因而即
kdtttF t )()(lo g 0?
})(e x p {)( 0 dttctF t
0?t 1?c
})(ex p {)( 0 dtttF t
})(ex p {1)( 0 dtttF t
（ 2） 决定 )(t?)(tF （有的定义可知）
一个概率分布可用它的失效率（如果存在的话）来描述 。
因此 返回首页一、收敛性第七节 收敛性和极限定理
1．概率 1收敛（或几乎处处收敛）
如果随机变量序列 以概率 1收敛于 X，或称几乎处处收敛于 X，记作
1}lim{ XXP nn
则称 nX
nX
XX san,
首页如果
2．均方收敛对于所有的 有随机变量序列 以均方收敛于 X，记作且
nX
nX]|[| 2nXE
]|[| 2XE
则称
0]|[|lim 2 XXE nn
XX n
n
l.i.m
首页如果
3．依概率收敛对于任意给定的正数,有随机变量序列 依概率收敛于 X，记作
nX
则称
0
0}|{|lim
XXP n
n
XX Pn
首页如果
4．依分布收敛设,分别为随机变量 及 X 的分布函数随机变量序列 以分布收敛于 X，记作
nX
则称
)(xFn )(xF nX
对于的每一个连续点 x，有)(xF
)()(lim xFxF nn
XX dn
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（ 1）若 均方收敛，则 必为依概率收敛；
收敛性之间的关系
nXnX
（ 2）若 以概率 1收敛，则 必为依概率收敛；
nX nX
（ 3）若 依概率收敛，则 必为依分布收敛。
nX nX
均方收敛与以概率 1收敛不存在确定的关系。注二、极限定理
1．强大数定理 如果 独立同分布，
具有均值,则
，,21 XX
1}/)(lim{ 21
nXXXP n
n
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2．中心极限定理 如果 独立同分布，
具有均值 与方差,则
，,21 XX
2?
a
n
nXXP n
n?
1lim dxe
x
a
2
2
2
1?
注 若令,其中 独立同分布
i
n
i
n XS?
1
，,21 XX
则 强大数定理 表明 以概率 1收敛于 ；
nSn /
][ iXE
中心极限定理 表明当 时,有渐进正态分布。
n nS
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