第五章 平稳过程第一节 基本概念第二节 平稳过程相关函数的性质第三节 平稳正态过程与正交增量过程第四节 遍历性定理第一节 基本概念一、严平稳过程定义 1 设随机过程 { )( tX,Tt? },若对任意 n，任意
Tttt n?,,21?,nttt21
当1t,2t,?,Tt n 时，有
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
)})(,,)(,({ 2211 nn xtXxtXxtXP）
)})(,,)(,({ 2211 nn xtXxtXxtXP）
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
则 称为严平稳过程)(tX 首页二、严平稳过程的特点
1
二维概率密度 仅与时间差 有关，
而与时间起点无关。
证严平稳过程 )( tX 的一维概率密度 )( xtf ； 与 t 无关，
),,( 2121 xxttf ； 21 tt
对任意的?,必有
)()( xtfxtf ；；
若令 t,得
)()0()( xfxfxtf ；；
即一维概率密度 )( xtf ； 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与 t无关，
即 )0()( xFxtF ；；?
一维首页对于二维概率密度，有证 二维
),,( 2121 xxttf ； ),,( 2121 xxttf ；
若令 2t,得
),,( 2121 xxttf ； ),0,( 2121 xxttf ；
),( 21 xxf ； 其中
21 tt
同理 二维分布函数也仅与时间差 有关，
而与时间起点无关，即
21 tt
),,( 2121 xxttF ； ),( 21 xxF ；
首页
2 若严平稳过程存在二阶矩，则证
（ 2）相关函数仅是时间差 的函数：
记
（ 1）均值函数为常数,mtXEtm )]([)(
21 tt
),()( 21 ttRB
只对连续型的情况
dxxtxftXEtm )()]([)( ；
mdxxxf )(
首页
)]()([),( 2121 tXtXEttR?
21212121 ),,( dxdxxxttfxx ；
212121 ),( dxdxxxfxx ；
)(?B?
记三、宽平稳过程定义 2 设随机过程 { )( tX,Tt? },如果它满足：
（ 1 ） )( tX 是二阶矩过程；
（ 2 ）均值函数为常数，即 mtXEtm )]([)(
（ 3 ）相关函数 ),( 21 ttR 仅依赖 21 tt,即
)]()([),( 2121 tXtXEttR? )(?B?
则称 为宽平稳过程，)(tX 简称 平稳过程 首页当 T为整数集 或注 2
注 1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
平稳时间序列因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。
若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
{ tn?,n = 0,1,2,? } 时则称 )( tX 为宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。
注 3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。
首页因为 均值函数协方差函数即表示协方差函数仅依赖于,而与 t无关，与相关函数相同。
mtm?)(
)](),(co v [),( tXtXttK
)]}()()][()({[ tmtXtmtXE
2)]([)]([)]()({[ mtXmEtXmEtXtXE
2),( mttR 2)( mB
)(?K
首页例 1
试讨论随机变量序列 的平稳性。
设 { )( tX,Tt? } 是相互独立同分布的随机变量序列，
其中?，，,210T,且均值和方差为
0)]([?tXE 2)]([tXD
)(tX
解 因为
0)]([?tXE
),( ttR )]()([ tXtXE
00
02
，当
，当故 )( tX 是一个平稳时间序列。
注 在科学和工程中，例 1中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。
首页试讨论随机序列 的平稳性。
例 2
是在 [0,1]上服从均匀分布的随机变量，
其中 T={1,2,…}
)(tX
解设随机序列 { ttX 2s i n)(?,Tt? },
的密度函数为?
其它,0
10,1)( xxf
所以
02s i n)]([ 10 t xd xtXE?
),( ttR t xd xxt 2s i n)(2s i n10
00
0
2
1
，当
，当故 )( tX 是平稳随机序列。
注 例 2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的 返回首页性质 1
第二节 平稳过程相关函数的性质一、自相关函数的性质证性质 2
证 由许瓦兹不等式得
0)0(?B
),()0( ttRB? 0])([ 2 tXE
)0(|)(| BB
2|)(|?B 2|)]()([| tXtXE
]))([(]))([( 22 tXEtXE
)]()([)]()([ tXtXEtXtXE 2)]0([B?
注 说明相关函数 )(?B 在 0 时取得最大值首页性质 3
证性质 4 即对任意的 2n个实数证
)(?B 为偶函数：)()( BB
)(?B )]()([ tXtXE
)]())(([ tXtXE )( B
)(?B 具有非负定性
naaa,,,21? 与 n,,,21?,有
0)(
1 1
jiji
n
i
n
j
aaB
jiji
n
i
n
j
aaB )(
1 1
jiji
n
i
n
j
aaXXE )]()([
1 1
])()([[
1 1
jiji
n
i
n
j
aaXXE
)])(())(([
1 1
jj
n
i
n
j
ii aXaXE
0]))(([ 2
1
n
i
ii aXE?
首页对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关，
因此先给出平稳相关概念。
二、互相关函数性质定义 1
平稳相关注两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于时，它们才是平稳相关的。
设 { )( tX,Tt? },{ )( tY,Tt? } 是两个平稳过程，
如果对于任意的 Tt,，有
)()]()([ XYBtYtXE
则称 )( tX 与 )( tY
首页证性质 5
性质 6
证性质 7
证
)0()0( YXXY BB?
)0(XYB )]()([ tYtXE? )]()([ tXtYE? )0(YXB?
)()( YXXY BB
)]()([)( tYtXEB XY
)]()([ tXtYE )( YXB
)0()0(|)(| 2 YXXY BBB
2|)(|?XYB 2|)]()([| tYtXE
22 |)(||)(| tYEtXE )0()0(
YX BB?
首页证性质 8
由性质 7得而有两个数的几何平均值不超过它们的算术平均值得证性质 9 则和
)0()0(|)(|2 YXXY BBB
)0()0(|)(| YXXY BBB
))0()0((21)0()0( YXYX BBBB
若平稳过程 )( tX 和 )( tY 是平稳相关，
)( tZ )( tX + )( tY
也是平稳过程。 其相关函数为
)(?ZB )(?XB? )(?YB? )(?XYB? )(?YXB?
若 )( tX 与 )( tY 正交 （即 0)]()([( 21?tYtXE ）
则 )(?
ZB )(?XB? )(?YB?
首页则积性质 10
也是平稳过程 其相关函数为例 1 设有两个随机过程若平稳过程 )( tX 与 )( tY 是独立的
)( tW )( tX )( tY
)(?WB )(?XB? )(?YB
tVtUtX s i nc os)(
tVtUtY c oss i n)( t
其中 U和 V是均值都为零、方差都为 的不相关随机变量，
2?
试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相关函数。
首页因为解所以
0)()( VEUE 2)()( VDUD
)]([)( tXEtm X? ]s i nc os[ tVtUE 0?
)]([)( tYEtm Y? ]c oss i n[ tVtUE 0?
)( tX 的自相关函数
)(?XB )]()([ tXtXE
))(s i n)(c o s[( tVtUE )]s ic os( tVtU
ttUE c o s)(c o s)( 2 ttVE s i n)(s i n)( 2
c os2?
同样可求得 )(?
YB c o s2?
故 )( tX,)( tY 都是平稳过程。
首页
)( tX,)( tY 的互相关函数为
)]()([)( tYtXEB XY
))(s i n)(c os[( tVtUE )]c oss i n( tVtU
tt s i n)(c os(2 )c os)(s in tt
s in2?
返回首页第三节 平稳正态过程与正交增量过程一,平稳正态过程定义 1 若正态随机过程 { )( tX,),(t },满足
mtXE?)]([
)()]()([),( 2121?BtXtXEttR
21 tt则称 为平稳正态过程。
)(tX
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证 由于 首页正态过程 的 n维特征函数为由过程的平稳性得
)(tX
所以对任一,有
),,,,,,( 2121 nnttt ；
lkk
n
k
n
l
n
k
k ttKim ),(2
1e xp
1
1 11
]})(][)({[),( mtXmtXEttK lklk
22 )(),( mBmttR lklk tt
),,,,,,( 2121 nnttt ；
),,,,,,( 2121 nnttt ；? 首页即 是一个严平稳过程。
即特征函数不因时间推移而改变。
由特征函数与分布函数的唯一确定性，必有这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，
)(tX
说明
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；?
对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；
严平稳过程也一定是宽平稳过程。
首页则 称为正交增量过程。
二、正交增量过程定义 2
有
)(tX
定理 1
且若二阶矩过程 { )( tX,Tt? } 对于任意的
4321 tttt 4321,,,tttt T?
0)]}()()][()({[ 3412 tXtXtXtXE
设 { )( tX,],[ bat? } 为均值为零的正交增量过程，
),( tsR,)( tD 为其相关函数和方差，
X （ a ） = 0则
)],[ mi n (),( tsDtsR? 首页证 取 其中
at?1,stt 32,tt?4,ts?
则有 0)]}()()[({ sXtXsXE
即 )]([)]()([ 2 sXEtXsXE?
所以 )( tX 的相关函数
)()]([)]()([),( 2 sDsXEtXsXEtsR
同样 若 st?可得
)](),( tDtsR?
故
)],[ mi n (),( tsDtsR? 返回首页第四节 遍历性定理介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和自相关函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。
定义 1
一、基本概念称 为沿整个时间数轴上的时间均值；
称 为沿整个时间数轴上的时间相关函数设 { )( tX, t } 为随机过程，
T T dttXtX TT )()( 2 1l,i,m
)(tX
T T dttXtXtXtX TT )()()()( 2 1l,i,m
)(tX
首页定义 2
若则称 的 均值具有遍历性 ；
则称 的 自相关函数具有遍历性如果 均值、相关函数都具有遍历性
)(tX
)(tX
设 )( tX 是一个均方连续平稳过程，
XmtXEtX )]([)(
若
)()]()([)()( XRtXtXEtXtX
)(tX
则称 具有 遍历性,)(tX 或者说 是 遍历的)(tX
首页例 1
是否具有遍历性。
解试讨论 )ωc o s ()( UtatX, t
其中 a,ω 是常数，
U 是在 ]20[?,上服从均匀的随机变量。
)]([ tXE )]ωc os ([ UtaE
dxxta 2 1)ωc o s (20 0?
)]()([ tXtXE
20 2 2 1)ωc os (])(ωc os [ dxxtxta
ωco s2
2a
首页故有
0?
)(tX?
T
T
dtUtaT
T
)ωco s (2 1l,i,m
T
TUa
T ω
ωs inc o sl,i,m
)()( tXtX?
T T dtUtUtaTT )ωco s (])(ωco s [22 1l,i,m?
ωco s2
2a
)]([)( tXEtX
)]()([)()( tXtXEtXtX
即此过程是遍历的。 首页例 2 研究随机过程的遍历性其中 Y为随机变量，且
YtX?)( t
0)(?YD)(YD
解 因为 Y为随机变量，且存在有限的二阶矩，
所以常数 )()]([ YEtXE
][)]()([ 2YEtXtXE
2)]([)( YEYD
由此知 是平稳过程，)(tX 由于
YY d ttX T
TTT
2
1l,i,m)( 不是常数故 )]([)( tXEtX 即 不是遍历的
)(tX
首页注 遍历性随机过程一定是平稳过程，但平稳过程不一定具备遍历性。
引理二、遍历性定理且则设 { )( tX, t } 为均方连续平稳过程，
mtXE?)]([?
T
T
dttXY T )(2 1
mtXEYE )]([][
2121 )()( 2
4
1 dtdtttKYD T
T
T
TT
其中 2)()( mBK
21 tt
首页证 由均方可积条件得
])()( [2 1?
T
T
dttXYE ET mdttXET
TT
)]([2 1
)( 2YE ])()(
24 2211[
1
T
T
T
T
dttXdttX
T
E
2121 )]()([2
4
1 dtdttXtXE
T
T
T
T
T
2121 )(2
4
1 dtdtttB
T
T
T
T
T
所以
)( YD )( 2YE 2)]([ YE?
2121 )(2
4
1 dtdtttB
T
T
T
T
T
2m? 首页为应用方便，化简上式令
21
2
21 ])([24
1 dtdtmttB
T
T
T
T
T
2121 )(24
1 dtdtttK
T
T
T
T
T
21 tt 22 tt?
则 1
),(
),(
2
21?
t
tt
于是
)(YD
ddtK
T T
T
T
])([2
4
2
0
2
1
ddtKT T
T ])([ 2
2
0
首页
dKT
T T
0
2
)()2(2
4
1 dKTT 2
0 )()2(
dKT
T
T
T
2
2
)(|)|2(2
4
1
dmBT
T
T
T
2
2
2 ))()(
2
||1(
2
1
定理 1 均值遍历性定理设 { )( tX, t } 是均方连续平稳过程，
则 )( tX 有均值遍历性的充要条件为
0))()(2 ||1(
2
lim 2
2
21
dmBT
T
T
TT
其中 mtXE?)]([,)(?B 是相关函数,21 tt 。
首页证 由引理得从而
)( YD )( 2YE 2)]([ YE?
2)]([)(2 1 tXEdttXE T
TT
dmBT
T
T
T
2
2
2 ))()(
2
||1(
2
1
0)]([)(lim 22 1
tXEdttXE T
TT T
0))()(2 ||1(2lim 2
2
21
dmBTT T
TT
故
)( tX )]([)(..
2
1 tXEdttXmil T
TT T
0))()(2 ||1(
2
lim 2
2
21
dmBT
T
T
TT
首页注 则
0))()(2 ||1(2lim 2
2
21
dmBTT T
TT
可表示为若 t0
0))()(1(lim
0
21
dmBTT T
T
定理 2 自相关函数遍历性定理设 { )( tX, t } 是均方连续平稳过程，
)()( tXtXZ
则相关函数 具有遍历性的充要条件为
)(?ZB
0))()(2 ||1(
2
lim 2
2
21
dmBT
T
T
T zzT
首页其中证注 则
)]()()()([)( tXtXtXtXEB Z
)]()([ tXtXEm Z
将定理 1 中的 )( tX 换成 )()( tXtX 即可证明若 t0
0))()(1(lim
0
21
dmBT
T
T
ZZT
首页三、均值函数与自相关函数的估计式
1
求相关函数常用的两种方法：
已知 )( tX 表达式，用 )()()( tXtXB 求 )(?B
2 未知 的表达形式时，用统计试验的数据求相关函数的近似值。
)(tX
在实际应用中,的表达形式常常不能给出，
因此下面介绍第二种方法。 )(tX
如果试验只在时间 [0,T]上给出了 的一个样本函数，则均值和相关函数有以下近似估计式：
)(tX
首页用上式估计 m与 的方法，通常称为数字方法，
或称均值与相关函数的测量。
T dttXTmm 0 )(1?
dttXtXTTBB )()(
0
1)(?)(
)(?B
其具体做法如下：
把 [0,T ] 等分为 N 个长 NTt 的小区间，
在时刻 tkt k )21( （ Nk,,2,1 ）对 )( tX 取样，
1
得样本函数的 N个值
)( kk tXX?,Nk,,2,1
将上面的积分表示为和式
2
3 首页
tXTm k
N
k
1
1?
k
N
k
XN?
1
1
)(B tXX
T rkk
rN
kr
1
1
rkk
rN
k
XXrN?
1
1
其中 trr,mr,,2,1,0,Nm?
根据这两个估计式，可以算出 各不同数值时相关函数的一系列近似值，从而可以作出相关函数的近似曲线。
,2,1,0?r
返回首页
Tttt n?,,21?,nttt21
当1t,2t,?,Tt n 时，有
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
)})(,,)(,({ 2211 nn xtXxtXxtXP）
)})(,,)(,({ 2211 nn xtXxtXxtXP）
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
则 称为严平稳过程)(tX 首页二、严平稳过程的特点
1
二维概率密度 仅与时间差 有关，
而与时间起点无关。
证严平稳过程 )( tX 的一维概率密度 )( xtf ； 与 t 无关，
),,( 2121 xxttf ； 21 tt
对任意的?,必有
)()( xtfxtf ；；
若令 t,得
)()0()( xfxfxtf ；；
即一维概率密度 )( xtf ； 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与 t无关，
即 )0()( xFxtF ；；?
一维首页对于二维概率密度，有证 二维
),,( 2121 xxttf ； ),,( 2121 xxttf ；
若令 2t,得
),,( 2121 xxttf ； ),0,( 2121 xxttf ；
),( 21 xxf ； 其中
21 tt
同理 二维分布函数也仅与时间差 有关，
而与时间起点无关，即
21 tt
),,( 2121 xxttF ； ),( 21 xxF ；
首页
2 若严平稳过程存在二阶矩，则证
（ 2）相关函数仅是时间差 的函数：
记
（ 1）均值函数为常数,mtXEtm )]([)(
21 tt
),()( 21 ttRB
只对连续型的情况
dxxtxftXEtm )()]([)( ；
mdxxxf )(
首页
)]()([),( 2121 tXtXEttR?
21212121 ),,( dxdxxxttfxx ；
212121 ),( dxdxxxfxx ；
)(?B?
记三、宽平稳过程定义 2 设随机过程 { )( tX,Tt? },如果它满足：
（ 1 ） )( tX 是二阶矩过程；
（ 2 ）均值函数为常数，即 mtXEtm )]([)(
（ 3 ）相关函数 ),( 21 ttR 仅依赖 21 tt,即
)]()([),( 2121 tXtXEttR? )(?B?
则称 为宽平稳过程，)(tX 简称 平稳过程 首页当 T为整数集 或注 2
注 1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
平稳时间序列因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。
若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
{ tn?,n = 0,1,2,? } 时则称 )( tX 为宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。
注 3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。
首页因为 均值函数协方差函数即表示协方差函数仅依赖于,而与 t无关，与相关函数相同。
mtm?)(
)](),(co v [),( tXtXttK
)]}()()][()({[ tmtXtmtXE
2)]([)]([)]()({[ mtXmEtXmEtXtXE
2),( mttR 2)( mB
)(?K
首页例 1
试讨论随机变量序列 的平稳性。
设 { )( tX,Tt? } 是相互独立同分布的随机变量序列，
其中?，，,210T,且均值和方差为
0)]([?tXE 2)]([tXD
)(tX
解 因为
0)]([?tXE
),( ttR )]()([ tXtXE
00
02
，当
，当故 )( tX 是一个平稳时间序列。
注 在科学和工程中，例 1中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。
首页试讨论随机序列 的平稳性。
例 2
是在 [0,1]上服从均匀分布的随机变量，
其中 T={1,2,…}
)(tX
解设随机序列 { ttX 2s i n)(?,Tt? },
的密度函数为?
其它,0
10,1)( xxf
所以
02s i n)]([ 10 t xd xtXE?
),( ttR t xd xxt 2s i n)(2s i n10
00
0
2
1
，当
，当故 )( tX 是平稳随机序列。
注 例 2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的 返回首页性质 1
第二节 平稳过程相关函数的性质一、自相关函数的性质证性质 2
证 由许瓦兹不等式得
0)0(?B
),()0( ttRB? 0])([ 2 tXE
)0(|)(| BB
2|)(|?B 2|)]()([| tXtXE
]))([(]))([( 22 tXEtXE
)]()([)]()([ tXtXEtXtXE 2)]0([B?
注 说明相关函数 )(?B 在 0 时取得最大值首页性质 3
证性质 4 即对任意的 2n个实数证
)(?B 为偶函数：)()( BB
)(?B )]()([ tXtXE
)]())(([ tXtXE )( B
)(?B 具有非负定性
naaa,,,21? 与 n,,,21?,有
0)(
1 1
jiji
n
i
n
j
aaB
jiji
n
i
n
j
aaB )(
1 1
jiji
n
i
n
j
aaXXE )]()([
1 1
])()([[
1 1
jiji
n
i
n
j
aaXXE
)])(())(([
1 1
jj
n
i
n
j
ii aXaXE
0]))(([ 2
1
n
i
ii aXE?
首页对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关，
因此先给出平稳相关概念。
二、互相关函数性质定义 1
平稳相关注两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于时，它们才是平稳相关的。
设 { )( tX,Tt? },{ )( tY,Tt? } 是两个平稳过程，
如果对于任意的 Tt,，有
)()]()([ XYBtYtXE
则称 )( tX 与 )( tY
首页证性质 5
性质 6
证性质 7
证
)0()0( YXXY BB?
)0(XYB )]()([ tYtXE? )]()([ tXtYE? )0(YXB?
)()( YXXY BB
)]()([)( tYtXEB XY
)]()([ tXtYE )( YXB
)0()0(|)(| 2 YXXY BBB
2|)(|?XYB 2|)]()([| tYtXE
22 |)(||)(| tYEtXE )0()0(
YX BB?
首页证性质 8
由性质 7得而有两个数的几何平均值不超过它们的算术平均值得证性质 9 则和
)0()0(|)(|2 YXXY BBB
)0()0(|)(| YXXY BBB
))0()0((21)0()0( YXYX BBBB
若平稳过程 )( tX 和 )( tY 是平稳相关，
)( tZ )( tX + )( tY
也是平稳过程。 其相关函数为
)(?ZB )(?XB? )(?YB? )(?XYB? )(?YXB?
若 )( tX 与 )( tY 正交 （即 0)]()([( 21?tYtXE ）
则 )(?
ZB )(?XB? )(?YB?
首页则积性质 10
也是平稳过程 其相关函数为例 1 设有两个随机过程若平稳过程 )( tX 与 )( tY 是独立的
)( tW )( tX )( tY
)(?WB )(?XB? )(?YB
tVtUtX s i nc os)(
tVtUtY c oss i n)( t
其中 U和 V是均值都为零、方差都为 的不相关随机变量，
2?
试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相关函数。
首页因为解所以
0)()( VEUE 2)()( VDUD
)]([)( tXEtm X? ]s i nc os[ tVtUE 0?
)]([)( tYEtm Y? ]c oss i n[ tVtUE 0?
)( tX 的自相关函数
)(?XB )]()([ tXtXE
))(s i n)(c o s[( tVtUE )]s ic os( tVtU
ttUE c o s)(c o s)( 2 ttVE s i n)(s i n)( 2
c os2?
同样可求得 )(?
YB c o s2?
故 )( tX,)( tY 都是平稳过程。
首页
)( tX,)( tY 的互相关函数为
)]()([)( tYtXEB XY
))(s i n)(c os[( tVtUE )]c oss i n( tVtU
tt s i n)(c os(2 )c os)(s in tt
s in2?
返回首页第三节 平稳正态过程与正交增量过程一,平稳正态过程定义 1 若正态随机过程 { )( tX,),(t },满足
mtXE?)]([
)()]()([),( 2121?BtXtXEttR
21 tt则称 为平稳正态过程。
)(tX
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证 由于 首页正态过程 的 n维特征函数为由过程的平稳性得
)(tX
所以对任一,有
),,,,,,( 2121 nnttt ；
lkk
n
k
n
l
n
k
k ttKim ),(2
1e xp
1
1 11
]})(][)({[),( mtXmtXEttK lklk
22 )(),( mBmttR lklk tt
),,,,,,( 2121 nnttt ；
),,,,,,( 2121 nnttt ；? 首页即 是一个严平稳过程。
即特征函数不因时间推移而改变。
由特征函数与分布函数的唯一确定性，必有这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，
)(tX
说明
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；?
对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；
严平稳过程也一定是宽平稳过程。
首页则 称为正交增量过程。
二、正交增量过程定义 2
有
)(tX
定理 1
且若二阶矩过程 { )( tX,Tt? } 对于任意的
4321 tttt 4321,,,tttt T?
0)]}()()][()({[ 3412 tXtXtXtXE
设 { )( tX,],[ bat? } 为均值为零的正交增量过程，
),( tsR,)( tD 为其相关函数和方差，
X （ a ） = 0则
)],[ mi n (),( tsDtsR? 首页证 取 其中
at?1,stt 32,tt?4,ts?
则有 0)]}()()[({ sXtXsXE
即 )]([)]()([ 2 sXEtXsXE?
所以 )( tX 的相关函数
)()]([)]()([),( 2 sDsXEtXsXEtsR
同样 若 st?可得
)](),( tDtsR?
故
)],[ mi n (),( tsDtsR? 返回首页第四节 遍历性定理介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和自相关函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。
定义 1
一、基本概念称 为沿整个时间数轴上的时间均值；
称 为沿整个时间数轴上的时间相关函数设 { )( tX, t } 为随机过程，
T T dttXtX TT )()( 2 1l,i,m
)(tX
T T dttXtXtXtX TT )()()()( 2 1l,i,m
)(tX
首页定义 2
若则称 的 均值具有遍历性 ；
则称 的 自相关函数具有遍历性如果 均值、相关函数都具有遍历性
)(tX
)(tX
设 )( tX 是一个均方连续平稳过程，
XmtXEtX )]([)(
若
)()]()([)()( XRtXtXEtXtX
)(tX
则称 具有 遍历性,)(tX 或者说 是 遍历的)(tX
首页例 1
是否具有遍历性。
解试讨论 )ωc o s ()( UtatX, t
其中 a,ω 是常数，
U 是在 ]20[?,上服从均匀的随机变量。
)]([ tXE )]ωc os ([ UtaE
dxxta 2 1)ωc o s (20 0?
)]()([ tXtXE
20 2 2 1)ωc os (])(ωc os [ dxxtxta
ωco s2
2a
首页故有
0?
)(tX?
T
T
dtUtaT
T
)ωco s (2 1l,i,m
T
TUa
T ω
ωs inc o sl,i,m
)()( tXtX?
T T dtUtUtaTT )ωco s (])(ωco s [22 1l,i,m?
ωco s2
2a
)]([)( tXEtX
)]()([)()( tXtXEtXtX
即此过程是遍历的。 首页例 2 研究随机过程的遍历性其中 Y为随机变量，且
YtX?)( t
0)(?YD)(YD
解 因为 Y为随机变量，且存在有限的二阶矩，
所以常数 )()]([ YEtXE
][)]()([ 2YEtXtXE
2)]([)( YEYD
由此知 是平稳过程，)(tX 由于
YY d ttX T
TTT
2
1l,i,m)( 不是常数故 )]([)( tXEtX 即 不是遍历的
)(tX
首页注 遍历性随机过程一定是平稳过程，但平稳过程不一定具备遍历性。
引理二、遍历性定理且则设 { )( tX, t } 为均方连续平稳过程，
mtXE?)]([?
T
T
dttXY T )(2 1
mtXEYE )]([][
2121 )()( 2
4
1 dtdtttKYD T
T
T
TT
其中 2)()( mBK
21 tt
首页证 由均方可积条件得
])()( [2 1?
T
T
dttXYE ET mdttXET
TT
)]([2 1
)( 2YE ])()(
24 2211[
1
T
T
T
T
dttXdttX
T
E
2121 )]()([2
4
1 dtdttXtXE
T
T
T
T
T
2121 )(2
4
1 dtdtttB
T
T
T
T
T
所以
)( YD )( 2YE 2)]([ YE?
2121 )(2
4
1 dtdtttB
T
T
T
T
T
2m? 首页为应用方便，化简上式令
21
2
21 ])([24
1 dtdtmttB
T
T
T
T
T
2121 )(24
1 dtdtttK
T
T
T
T
T
21 tt 22 tt?
则 1
),(
),(
2
21?
t
tt
于是
)(YD
ddtK
T T
T
T
])([2
4
2
0
2
1
ddtKT T
T ])([ 2
2
0
首页
dKT
T T
0
2
)()2(2
4
1 dKTT 2
0 )()2(
dKT
T
T
T
2
2
)(|)|2(2
4
1
dmBT
T
T
T
2
2
2 ))()(
2
||1(
2
1
定理 1 均值遍历性定理设 { )( tX, t } 是均方连续平稳过程，
则 )( tX 有均值遍历性的充要条件为
0))()(2 ||1(
2
lim 2
2
21
dmBT
T
T
TT
其中 mtXE?)]([,)(?B 是相关函数,21 tt 。
首页证 由引理得从而
)( YD )( 2YE 2)]([ YE?
2)]([)(2 1 tXEdttXE T
TT
dmBT
T
T
T
2
2
2 ))()(
2
||1(
2
1
0)]([)(lim 22 1
tXEdttXE T
TT T
0))()(2 ||1(2lim 2
2
21
dmBTT T
TT
故
)( tX )]([)(..
2
1 tXEdttXmil T
TT T
0))()(2 ||1(
2
lim 2
2
21
dmBT
T
T
TT
首页注 则
0))()(2 ||1(2lim 2
2
21
dmBTT T
TT
可表示为若 t0
0))()(1(lim
0
21
dmBTT T
T
定理 2 自相关函数遍历性定理设 { )( tX, t } 是均方连续平稳过程，
)()( tXtXZ
则相关函数 具有遍历性的充要条件为
)(?ZB
0))()(2 ||1(
2
lim 2
2
21
dmBT
T
T
T zzT
首页其中证注 则
)]()()()([)( tXtXtXtXEB Z
)]()([ tXtXEm Z
将定理 1 中的 )( tX 换成 )()( tXtX 即可证明若 t0
0))()(1(lim
0
21
dmBT
T
T
ZZT
首页三、均值函数与自相关函数的估计式
1
求相关函数常用的两种方法：
已知 )( tX 表达式，用 )()()( tXtXB 求 )(?B
2 未知 的表达形式时，用统计试验的数据求相关函数的近似值。
)(tX
在实际应用中,的表达形式常常不能给出，
因此下面介绍第二种方法。 )(tX
如果试验只在时间 [0,T]上给出了 的一个样本函数，则均值和相关函数有以下近似估计式：
)(tX
首页用上式估计 m与 的方法，通常称为数字方法，
或称均值与相关函数的测量。
T dttXTmm 0 )(1?
dttXtXTTBB )()(
0
1)(?)(
)(?B
其具体做法如下：
把 [0,T ] 等分为 N 个长 NTt 的小区间，
在时刻 tkt k )21( （ Nk,,2,1 ）对 )( tX 取样，
1
得样本函数的 N个值
)( kk tXX?,Nk,,2,1
将上面的积分表示为和式
2
3 首页
tXTm k
N
k
1
1?
k
N
k
XN?
1
1
)(B tXX
T rkk
rN
kr
1
1
rkk
rN
k
XXrN?
1
1
其中 trr,mr,,2,1,0,Nm?
根据这两个估计式，可以算出 各不同数值时相关函数的一系列近似值，从而可以作出相关函数的近似曲线。
,2,1,0?r
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