第八章 随机积分 — Ito积分第一节 引 言第二节 Ito积分的理论第三节 Ito积分的特征第四节 Ito定理及应用第五节 更复杂情况下的 Ito公式第一节 引 言一,Ito积分的导出在物理现象中是用微分方程来描述其模型，
而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系，建立相应的积分方程。
但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分 —
Ito积分，建立积分方程。
首页前面讨论的随机微分等式，其中的项都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出
Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。
即若用微分方程代表资产价格 的动态行为,那么能否对两边取积分，即
,),(),( tttt dWtSdttSadS
tS
u
t
u
t
u
t
u dWuSduuSadS ),(),( 000
也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？
为解释此项积分的含义，需引进 Ito积分
tt dWdS,
首页也就是说，一旦定义 Ito积分，则上积分等式才有意义即有其中 h为一定的时间间隔。
若则上等式改写为
u
ht
t u
ht
t utht dWuSduuSaSS ),(),(
htt uthttttht dWtSdutSaSS ),(),(?
即
])[,(),( thttttht WWtShtSaSS
或
tttt WtShtSaS ),(),(?
这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式
),( uSa u 和 ),( uS u? 是 uS 和 u 的平滑函数，
即当 h 很小，它们在 ],[ httu 内变化都不大首页此表示式为一近似式，其精确公式为
tttt dWtSdttSadS ),(),(
二,Ito积分的重要性首先 随机微分方程只能根据 Ito积分方程来定义，要理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解
Ito积分。
其次 在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔，
得出随机微分方程的近似值，然后再通过 Ito积分就可以给出近似值的精确形式。
返回首页第二节 Ito积分的理论
Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。
布朗运动维纳过程 { )( tW,0?t }
0)]([?tWE
),m i n (),( 2 tstsR
||)]()([ 2 stsWtWV a r
如果
1
1
)(tW 标准布朗运动?/)(tW
一,Ito积分的定义首页定义 1
满足设 { )( tX,],[ bat? } 为二阶矩过程,ba0 。
)( tW 是标准布朗运动
),m in(),( tstsR?
||)]()([ stsWtWV a r
对 ],[ ba 的一组分点 bttta
n10
)(ma x 11 kknkn tt
作和式
)]()()[( 11
1
kkk
n
k
n tWtWtXI
如果均方极限
nInl,i,m
存在则称 此极限为 )( tX 关于 )( tW 的 I to 积分，
记为
)()()( tWdtXI ba?
首页注意 在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式原因是即所以这里取固定的左端点。
)]()()[( 1
1
kkk
n
k
n tWtWtXY
],[ 1 kkk ttt
当 kt? 在 ],[ 1 kk tt? 中任意选择时,nY 的均方极限将不存在定理 1
设 )( tX 均方连续，且对任意 kk ttss 121,及 121 ktss
),(),(( 21 sXsX ))()( 12 sWsW? 与 )()( 1 kk tWtW 相互独立则 )( tX 关于 )( tW 的 I to 积分存在且唯一首页定理 2 设 { )( tW,0?t } 是维纳过程对 ],[ ba 的一组分点：
bttta n10
)(ma x 11 kknkn tt
则
n
l,i,m 21
1
))()((?
kk
n
k
tWtW )( ab
证 令
)()( 1 kkk tWtWW 1 kkk ttt
则
22
1
)]([ abWE k
n
k
22
1
)]([ kk
n
k
tWE
22
1
)( kk
n
k
tWE
))(([ 22 jjii
ji
tWtWE
)2( 224
1
kkkk
n
k
ttWWE
首页因为
)23( 222
1
kkk
n
k
ttt
])[]2[][( 224
1
kkkk
n
k
tEtWEWE
2
1
2 k
n
k
t
k
n
k
n t
1
2 )(2 abn
0 n 0
),0(~)( kk tNtW
4)]([ ktWE?
dxex
t
kt
x
k
24
2
2
1
dxex
t
t
kt
x
k
k?
22
2
2
3
2)]([3 kk tWEt
首页例 1
解试求
)()()( tWdtWI ba?
对 ],[ ba 的一组分点：
bttta n10
)(ma x 11 kknkn tt
)]()()[( 11
1
kkk
n
k
n tWtWtWI
)()()([ 1002 tWtWtW
)()()( 2112 tWtWtW +? )]()()( 112 nnn tWtWtW
)([21 02 tW )]())()(( 221
1
nkk
n
k
tWtWtW
)]()([21 22 aWbW 21
1
))()((21?
kk
n
k
tWtW故
)()()( tWdtWI ba? )]()([21 22 aWbW nl.i.m2
1 2
1
1
))()((?
kk
n
k
tWtW
)]()([21 22 aWbW )(
2
1 ab 首页注 表明 Ito随机积分不同于黎曼积分二,Ito积分的性质性质 1 则因为如果 )( tW 是普通函数，积分不能有 )(21 ab
若 I to 积分 )()( tWdtXba?,)()( tWdtYba? 存在
（ 1） )())()(( tWdtYtXb
a )()( tWdtX
b
a )()( tWdtY
b
a
（ 2）
)()( tWdtXba? )()( tWdtXca )()( tWdtXbc
bca证明与黎曼积分相仿（略） 首页性质 2
则证明设维纳过程 )()()( sWdsXtY ta,
)( tY 的均值和相关函数为
0)]([?tYE
),m i n (0 221 21 )(),( ttY dssXttR
略首页性质 3 则存在且关于 t是均方连续的。
证明若 )()( tWdtXba? 存在，
)()()( sWdsXtY ta
bta
})]()({[ 2tYhtYE
2)()( sWdsXE ht
t
sdsXEhtt )}({ 2 0? （ 0?h ）
故 )( tY 关于 t 是均方连续首页三,Ito微分法则
)()()()()( sWdsBdssAaXtX tata
其中 )( sA 为二阶矩过程且均方可积,
设二阶矩过程 )( tX ( bta ) 满足
)( sB 满足定理 1 的条件则第二个积分作为 Ito积分存在，且 )( aX 与 )( tW,at? 相互独立
（ 1）
这时 称 (1)式定义的随机过程 有 (Ito)随机微分
)(tX
)()()( tdWtBdttA?
并记为
)()()()( tdWtBdttAtdX首页例 2 求随机微分解 由例１可知
))(( 2 tWd
)()(
0
tWdtWt? ttW 21)(21 2
即
ttW?)(2 )()(2 0 tWdtWt
由随机微分的定义
)()(2))(( 2 tdWtWdttWd
首页定理 3 Ito公式的二次微分函数，
则设 ))(,( tXtf 是关于 t 和随机过程 ｛ )( tX,Tt? ｝
若 )( tX 的随机微分是
)()()()( tdWtBdttAtdX
))(,()( tXtftY? 在 Ｔ 上也有随机微分，且
)())(,())(,([)( tAtXtftXtftdY Xt
dttBtXtf XX )]())(,(21 2
)()())(,( tdWtBtXtf X首页例 3 求随机微分解 设因为所以由 Ito公式得
))(( 2 ttWd
)())(,( 2 ttWtXtf?
)()(10)( tdWtdWdttdX
))(( 2 ttWd dtttW ])([ 2 )()(2 tdWttW?
)())(,( 2 tWtXtf t
)(2))(,( ttWtXtf X ttXtf XX 2))(,(
首页定理 4
设普通函数 ),,,,(),( 21 mxxxtFxtF 及其导数
),,,,(),,,,(),( 212100 mm xxxtFtxxxtFxtF
),,,,(),,,,(),( 2121 m
i
mii xxxtFxxxxtFxtF
),,,,(),,,,(),( 21
2
21 m
ji
mijij xxxtFxxxxxtFxtF
mji,,1,都是连续函数．
如果随机过程 有随机微分)(tX
i
)()()()( tdWtBdttAtdX iii
则 ))(,),(),(,())(,()(
21 tXtXtXtFtXtFtY m 有随机微分首页
m
i
ii tAtXtFtXtFtdY
1
0 )]())(,([))(,({)(
dttBtBtXtF
m
ji
jiij?
1,
) ] }()())(,([21
)(})]())(,([{
1
tdWtBtXtF
m
i
ii?
注 是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现，
称为 Ito公式首页四,Ito随机微分方程则在 Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程称为 Ito随机微分方程设 ｛ )( tW,Tt? ｝是布朗运动，
00 )(
)())(,())(,()(
XtX
tdWtXtgdttXtftdX
与 Ito随机微分方程等价的 Ito随机积分方程
tttt sdWsXsgdssXsfXtX 00 )())(,())(,()( 0
其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是 Ito积分首页例 4 考虑 Ito方程
1)0(
)()()(
2
1)(
X
tdWtXdttXtdX
取 xxtf ln),(? 由 Ito公式得
))(,( tXtdf dttX
tXtXtX
)(
)(
1
2
1)()
2
1(
)(
1 2
2
)()()(1 tdWtXtX
即
)())(( l n tdWdttXd
所以
)()(ln tWttX
即
)}(e x p {)( tWttX
注 将 看作普通函数，则解为)(tW
)}(21e x p {)( tWttX
返回首页第三节 Ito积分的特征资产价格理论意义下 Ito积分
t
T
t dWtS ),(0
其中 在信息集 下是非预期的),( tS
t?
一,Ito积分是鞅在间隔 内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为
u
t
t u
dW
tI
则此 Ito积分就是鞅。
因为首页给定时间 t的信息集,如果每个增量是不可预测的，
则这些增量的总和也是不可预测的，即于是故 Ito积分 是鞅。
0t
t uut
dWE?
t uus dWE
0
s t
s uuuus
dWdWE
0
s uu dW0?
][][ 0 s ts uusuus dWEdWE
ts0
u
t
u dW?0?
首页下面考虑两种有意思的情况：
1．第一种情况假设 方差 ),( tS
t? 是独立于资产价格 tS 和时间 t 的常数
),( tS t
此时 Ito积分就等同于 Riemann积分 即有
tttt u WWdW
则
t ut t uu dWdWdWE 00 0
即积分是鞅 首页因为 维纳过程的增量具有 0均值且是非相关的，
t t
uu dWdWE 0 0
故此积分是鞅
00 WWWWE tt
00 )( WWWWWWE tttt
)( 0WW t t udW
0?
注 当 是常数时,Riemann和 Ito积分是相同的且都是鞅),( tS t
首页
2．第二种情况若此时 Ito积分就不同于 Riemann积分。 Ito积分将保持鞅特性，而 Riemman将不再具有鞅特性。
例如 如果衍生产品的标的资产具有几何分布，其方差
与 tS 有关，进而也与 tW 有关，
tt StS),(
则可表明 Ito积分就不同于 Riemann积分。
用 Riemann求和来大致估计 Ito积分会导致自相矛盾，
方法具体过程如下例,首页
3．一个例子其中偏移量和方差率分别为假设资产价格满足随机微分方程即两个参数都比例于资产价格考虑一个小时间间隔,对随机微分方程积分
tttt dWtSdttSadS ),(),(
tt StSa),( tt StS),(
tS?
u
t
t u
t
t u
t
t u dWSduSdS
现在用 Rieman求和来讨论上式右边的第二项积分的近似计算，看会有什么结果？
首页
Rieman求和的一种近似计算是用子间隔的中点处的维纳过程测值来计算。
首先计算然后再乘以矩形的底得
))(2( tttt WWWWS
)2( tt WWS
tt WW
从而有
0)])(2([ tttt WWWWSE?
两项相关下面考虑上随机微分方程的简单形式 ttt dWWdS
则其新增项形式为
u
t
t u dWW?
首页用 Riemann求和来大致估计这样一个积分,根据底和高为矩形的面积可得由于期望这意味着上式右边的条件期望不为 0，即是可预测的，
ttttut
t u
WWWWdWW )2(
]|))(2[( ttttt WWWWWE
]|)(21[ 22 ttt WWWE
2
1 0
)(2)( 222 ttttttt WWWWWWW
首页从而可知,用 Riemann求和来估计 Ito积分意味着新增干扰项有一个非零期望值,即但由于 Ito积分存在条件：
即有
0 0),(?
t
t tt
dWtSE?
),( tS t? 的非预期性则 Ito积分 的近似计算必须是
))(,( ttt WWtSt
t tt dWtS ),(?
其中 ),( tS t? 与增量 tW? 不相关的矛盾
0]),([tt tt dWtSE?
首页注 如果被积函数不是非预期的，则不能保证用来构建 Ito积分的部分求和的均方值会收敛为一个有效的随机变量，即 Ito积分根本就不存在。
二、路径积分考察在期间 [0,T]内资产价格
tS
Tttt n100 间隔长度为?
p
pSS
ii tt 11 以概率以概率
nT分割：
且有这个过程的一个通常路径是由 和 组成的序列首页
tT t dSSf?0假设一个金融分析家要计算积分其有限求和形式为
][)
11
1
0
iii tt
n
i
tn SSSfV
（
取特殊路径
,,,,,?
则
)())(([ ffV n ])())(( ff?
显然
nV 的值依靠 tS 的特定轨线如果 nV 收敛，就可叫做路径积分但路径积分在随机过程中并不一定收敛。 如首页取符号函数则有即故此路径积分在随机过程中不收敛。
)( 11 iii ttt SSs i g nSf
nV
n
i
n
1
0?
T
当 0 时,nV 会趋于无穷大注 路径积分意义在计算路径积分时，没有用到与 相联系的概率，而是用实际测值来计算的。另一方面,Ito积分是用均方收敛值来计算并由随机等式来决定。
1 itS
非预期重要性由于可预测 的符号,函数能,看到未来情况,,则求和公式中各部分都为正,当 n增加时,就会发散 。
ii tt SS1 )(?f
nV
首页三,Ito积分存在性随机函数 ),( tSf t 的 I t o 积分
ut u dSuSf?0,
存在的条件是
)(?f 连续且非预期也就是说
1
0
])[,(
1
n
i
ttit iii SStSf
的均方会收敛到某个称为 Ito积分的随机变量首页四、相关性
Ito积分是一随机过程，因此它有各种不同的量一次量即
0,
0
T tt dWtWfE
非预期函数 )(?f 关于维纳过程 tW 的积分具有鞅特性二次量协方差
duuWfEdWuWfE t
uu
t
u
2
0
2
0
),(),(
方差
t t uuuu dWuWgdWuWfE
0 0
,),(
duuWguWfEt uu 0 ),(),(
返回首页第四节 Ito定理及应用在随机环境中，导数的概念是不存在的，资产价格的变动被认为是不可预测的，且在连续时间内变动太不规则，导致资产价格可能连续却不光滑，必须用随机微分来代替导数进行计算。 Ito规则给出了一个简化随机微分的公式，并给出了详细的计算。
一,导数类型在标准计算中，所有变量都是确定型的，
可以有三种类型的导数：
设 ),( tSF t 是由变量 tS 和t 决定的函数，
tS 是随着 t 变化而变化的一个随机过程。
首页偏导数全微分链式导数
t
t
s S
tSFF
,
t
tSFF t
t?
,
dtFdSFdF ttst
t
t
s
t F
dt
dSF
dt
tSdF,
导数在金融市场中作用偏导数为计算资产价格相对于风险因子的变化反应提供了一个“乘数”。
典型例子：是在计算套期保值参数 中用到偏导数，?
假设一个市场参与者知道 的函数形式，tSF
t,
偏导数 sF 衡量的是 tS 每变动一单位衍生资产价格会变动多少
1
则首页因此 对维纳过程定义一个关于时间的导数不会有任何困难，但需要知道的不是 随时间的变化，而是假定在时间固定情况下，它对的小变化有什么反应。
2
3
),( tSF t
tS
全微分是在假定时间和标的资产的价格都发生变动，而导致 的变化，其结果就是随机微分。它代表了在时间间隔内衍生资产价格的变化，
对市场交易者很有用。
),( tSF t
在标准计算中，链式导数表示一个变量相对于初始变量经过某些连锁效应的最终变化速率。
在随机计算中，链式导数指的是随机微分相互间的关系，也就是全微分的随机形式。 首页例 1 设 ),(
1 trF 是到期日为 T 的票据的价格，
1r 为固定的无风险连续复利，
且
tTrt tetrF 1 0 0,
则
t
r r
FF
tTr tetT 1 0 0
t
FF
t?
tTr
t ter
1 0 0
trdF t, ttTr dretT t 100 dter tTrt t 1 0 0
注无论 tr 是确定性的还是随机变量，偏导数不变但全微分同随机事件的实际发生率有关，二者不同。
上式给出的是对 为非随机变量的情况。
tr
首页二,Ito定理的应用
（一） Ito定理则有 Ito公式可得设 ),( tSF t 是关于 t 和随机过程 tS 的二次微分函数，
tttt dWdtadS
tS 具有正常的漂移和波动参数 ta 和 t?
tt
t
t
t
t
t
t dWS
Fdt
S
F
t
Fa
S
FdF
2
2
2
2
1
dt
S
Fdt
t
FdS
S
FdF
t
t
t
t
t
2
2
2
2
1?
或首页说明 在分析金融衍生产品时，一旦知道标的资产的随机微分方程，运用 Ito公式就可得到金融衍生产品的随机微分方程，即知道衍生资产价格的变化。
例 2 设标准维纳过程
tW 的函数
2,tt WtWF?
tt dWdtdW 10
求
tdF
解
ttt dWWdtdF 2
因故有 Ito定理可得首页因此 得到在信息集 下的 的随机微分方程，
其偏移率和方差项为即漂移率是常数，方差依赖于信息集。
tWF t,
例 3
tI
1,?tIa t 和 tt WtI 2,
tWt ettWF 3,
若
tW 为标准维纳过程则有
t
WW
t dWedtedF
tt
2
11
此时 得到在信息集 下的 的随机微分方程，
其偏移率和方差项为
tWF t,tI
tWt etIa 211, tWt etI?,?
首页例 4 计算 Ito积分解 设
s
t
sdWW?0
221,tt WtWF?
对tWF t,运用 I t o 定理得
ttt dWWdtdF 2
1
其相关积分等式
st stt dWWdstWF
002
1,
故 t
t
t
s dstWFdWW 00 2
1,
即
tWdWW tt s 2121 2
0
注 这个结果与本章第二节计算出来的结果相同，
可 作为计算 Ito积分的工具。
首页例 5 计算积分解 定义
t ssd W0 其中 tW 是一个维纳过程
tt tWtWF?,
由 Ito定理得
ttt td WdtWdF
其对应的积分等式
t st st s s d WdsWsWd 000
t stt s dsWtWs d W 00
故首页注 用 Ito定理计算 Ito积分的步骤
1
2
3 对新得到的随机微分方程两边进行积分处理，得到一个新的积分等式，该等式所包含的积分的计算要比原积分简单。
写出函数tWF t,的形式根据 I t o 定理得到tWF t,的随机微分方程
4 重新排列积分等式各项，得到最终结果。
首页
（二）伊托定理在远期合约定价中的应用
（补充内容）
现在以不支付股息的股票为例说明伊托定理在远期合约领域中的应用。
假定各个时期的无风险利率 r 等于常数，远期价格用 F表示，则远期价格 F与即期价格 S之间的关系可表示为
)( tTrSeF
所以 )( tTre
S
F
0
2
2
SF
)( tTrr S e
t
F
首页如果股票价格 S遵循几何布朗运动，并且预期收益和波动率分别是 和,即那么由伊托公式可得远期价格 F变化的随机过程为
将 代入上式，得)( tTrSeF
dWSedtr S eSedF tTrtTrtTr )()()( ][
S dWS dtdS
F d WF d trdF )(
可见，远期价格 F与股票价格 S一样，也遵循几何布朗运动。但是，远期价格的预期增长率是,
而不是 。 r
首页三,Ito定理的积分形式微分形式进而可得 Ito定理的另一特性：
dtFdtFdSFtSdF tssttst 221,
ut st ussut dSFduFFSFtSF
00
2
0 2
10,,?
duFFSFtSFdSF t ussutut s
0
2
00 2
10,,?
两边取积分，得积分形式该式说明关于维纳过程和其它连续时间随机过程的积分是用时间的积分函数表达出来的。
注返回首页第五节 更复杂情况下的 Ito公式第一种是在某些条件下，函数 可能不只是依赖于单一随机变量,这样就要用到多变量的 Ito公式。
不能直接使用 Ito公式的两种情况：
第二种考虑金融市场受到小概率事件影响,这样需要对随机微分方程加上跳跃过程来决定资产价格,
相应的 Ito公式会改变很多 。
F
tS
首页一、多变量情况设 为 两个受维纳过程影响的随机过程)(),(
21 tStS
tdWttdWtdttatdS 21211111
tdWttdWtdttatdS 22212122
其中
2,1,),(),(?jitta iji? 为依赖于 )( tS i 的漂移和方差参数，
)(),( 21 tWtW 为两个独立的维纳过程。
设ttStSF ),(),( 21 是 )(),( 21 tStS 的连续、二重微分函数则
tdF
首页是两个独立的维纳过程的增量结果这个问题可由下面 Ito定理的多变量形式得到解决：
由于
21 21 dSFdSFdtFdF sstt
212221
212221
2)()(21 dSdSFdSFdSF ssssss
在单变量 Ito定理中，
等交叉项在均方意义下都等于 0。 2)( dt 和 )(1 td t d W,)(2 td t d W
且
)()( 21 tdWtdW
若在一个固定的间隔内，有 0
21 tWtWE
则在均方意义下，有 0
21?tdWtdW
首页由此可得
dttttdS 21221121 ][
dttttdS 22222122 ][
dttttttdStdS 2212211121
这些等式代入上式即得双变量 Ito公式首页例 1 （金融衍生品）
在评价利率期权衍生品的价值时，收益曲线起到很大作用。
利率期权的模型之一是假设收益曲线依赖于两个状态变量，分别是短期利率 和长期利率
tr tR
则利率衍生品的价格就可表示为TttRrF
tt,0,,,?
假定利率服从随机微分方程
tdWttdWtdttadr t 2121111
tdWttdWtdttadR t 2221212
其中,长短期利率误差项具有相关性,在固定间隔 h内,
相关系数为
httttRrC o r r tt 22122111,
首页市场参与者可通过参数 的选择，由该等式得到长短期利率的相关性和方差特性。
在评估利率期权时，需要知道期权价格对收益曲线的变化 和 会怎样变化，也就是要知道随机微分,即有 Ito公式的多变量形式可得
)(tij?
tdr tdR
tdF
tRtrtt dRFdrFdtFdF
dtFFF rRRRrr 22122111222221212211 221
首页例 2 财富 假设市场有 n种资产，
一个投资者以价格 )( tP i 购买了 )( tN i 份第i 种资产且 )( tN i 和 )( tP i 都是连续时间的随机过程，
都是受同一随机变动影响的连续时间的随机过程
)( tN i 和 )( tP i
投资总价格可由财富函数 表示tW
tPtNtW i
n
i
i?
1
则由 Ito定理可得随着时间的变化而财富的增量
tdPtNtdW in
i
i?
1
n
i
ii tdNtP
1
tdPtdN in
i
i?
1
首页二,Ito公式和跳跃假设观测一个过程,它服从随机微分方程：
tS
ttttt dJdWdtadS
其中
tdW 是一个标准的维纳过程，
tdJ 表示的是不可预测的跳跃，
且假定在一个固定间隔 h内该跳跃有零均值：
0 tJE
原因：任何可预测的跳跃成分可被包含在漂移项 中
ta
对跳跃过程，作如下假定：
1 在两个跳跃之间,tJ 保持不变，
而在跳跃时间,,2,1,jt j tJ 是离散和随机的首页
2
假定有 k 种跳跃，跳跃大小为kia i,,1,
跳跃发生率 t? 依赖于 tS 的最终观测值。
每一大小的跳跃 ia 发生的概率为 ip
跳跃类型是随机和独立的。
则在一个小的固定间隔 h 内，增量 tJ? 为
k
i
iittt pahNJ
1
其中 tN 表示的是至时间 t 所有发生的跳跃大小总和若在间隔 h 内发生一次大小为 ta 的跳跃，则 tt aN
ht? 表示的是跳跃发生的概率
i
k
i
i pa?
1
为跳跃的期望值则 tJ? 是不可预测。
首页在这些条件下漂移参数 可被看作为两个分散的漂移的总和：
ta
k
i
iittt paa
1
其中 是连续运动的维纳过程部分，第二项为中纯跳跃部分 t
tS
跳跃过程两个随机性 跳跃的发生为随机事件，发生大小也是随机的。假定这两个随机性是相互独立的。
则 Ito公式为首页
ititttt ptSFtaSFFtSdF ),(),([),(
Ftsss dJdSFdtF ]2
1 2?
其中
)],(),([ tSFtSFdJ ttF
dtptSFtaSF
k
i
ititt?
1
,,?
tsSS s
tst
,lim
首页首先要计算由可能发生的随机跳跃的期望变化，
也就是上式右边的第二项，
要计算此项，需要用到在时间 内跳跃发生的概率和由 跳跃所引起的函数 跳跃的大小期望值。 tS
在实际中如何计算 呢？
FdJ
dt
F
其次如果在特定的时间内发生跳跃,还应包含式上式的第一项。 FdJ
首页在随机计算中,Ito定理是核心微分工具。
第一，在给定标的资产运动方程情况下，由 Ito
定理可得到金融衍生品的随机微分方程；
本章说明第二,Ito定理完全独立 Ito积分的。
返回 首页
而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系，建立相应的积分方程。
但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分 —
Ito积分，建立积分方程。
首页前面讨论的随机微分等式，其中的项都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出
Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。
即若用微分方程代表资产价格 的动态行为,那么能否对两边取积分，即
,),(),( tttt dWtSdttSadS
tS
u
t
u
t
u
t
u dWuSduuSadS ),(),( 000
也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？
为解释此项积分的含义，需引进 Ito积分
tt dWdS,
首页也就是说，一旦定义 Ito积分，则上积分等式才有意义即有其中 h为一定的时间间隔。
若则上等式改写为
u
ht
t u
ht
t utht dWuSduuSaSS ),(),(
htt uthttttht dWtSdutSaSS ),(),(?
即
])[,(),( thttttht WWtShtSaSS
或
tttt WtShtSaS ),(),(?
这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式
),( uSa u 和 ),( uS u? 是 uS 和 u 的平滑函数，
即当 h 很小，它们在 ],[ httu 内变化都不大首页此表示式为一近似式，其精确公式为
tttt dWtSdttSadS ),(),(
二,Ito积分的重要性首先 随机微分方程只能根据 Ito积分方程来定义，要理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解
Ito积分。
其次 在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔，
得出随机微分方程的近似值，然后再通过 Ito积分就可以给出近似值的精确形式。
返回首页第二节 Ito积分的理论
Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。
布朗运动维纳过程 { )( tW,0?t }
0)]([?tWE
),m i n (),( 2 tstsR
||)]()([ 2 stsWtWV a r
如果
1
1
)(tW 标准布朗运动?/)(tW
一,Ito积分的定义首页定义 1
满足设 { )( tX,],[ bat? } 为二阶矩过程,ba0 。
)( tW 是标准布朗运动
),m in(),( tstsR?
||)]()([ stsWtWV a r
对 ],[ ba 的一组分点 bttta
n10
)(ma x 11 kknkn tt
作和式
)]()()[( 11
1
kkk
n
k
n tWtWtXI
如果均方极限
nInl,i,m
存在则称 此极限为 )( tX 关于 )( tW 的 I to 积分，
记为
)()()( tWdtXI ba?
首页注意 在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式原因是即所以这里取固定的左端点。
)]()()[( 1
1
kkk
n
k
n tWtWtXY
],[ 1 kkk ttt
当 kt? 在 ],[ 1 kk tt? 中任意选择时,nY 的均方极限将不存在定理 1
设 )( tX 均方连续，且对任意 kk ttss 121,及 121 ktss
),(),(( 21 sXsX ))()( 12 sWsW? 与 )()( 1 kk tWtW 相互独立则 )( tX 关于 )( tW 的 I to 积分存在且唯一首页定理 2 设 { )( tW,0?t } 是维纳过程对 ],[ ba 的一组分点：
bttta n10
)(ma x 11 kknkn tt
则
n
l,i,m 21
1
))()((?
kk
n
k
tWtW )( ab
证 令
)()( 1 kkk tWtWW 1 kkk ttt
则
22
1
)]([ abWE k
n
k
22
1
)]([ kk
n
k
tWE
22
1
)( kk
n
k
tWE
))(([ 22 jjii
ji
tWtWE
)2( 224
1
kkkk
n
k
ttWWE
首页因为
)23( 222
1
kkk
n
k
ttt
])[]2[][( 224
1
kkkk
n
k
tEtWEWE
2
1
2 k
n
k
t
k
n
k
n t
1
2 )(2 abn
0 n 0
),0(~)( kk tNtW
4)]([ ktWE?
dxex
t
kt
x
k
24
2
2
1
dxex
t
t
kt
x
k
k?
22
2
2
3
2)]([3 kk tWEt
首页例 1
解试求
)()()( tWdtWI ba?
对 ],[ ba 的一组分点：
bttta n10
)(ma x 11 kknkn tt
)]()()[( 11
1
kkk
n
k
n tWtWtWI
)()()([ 1002 tWtWtW
)()()( 2112 tWtWtW +? )]()()( 112 nnn tWtWtW
)([21 02 tW )]())()(( 221
1
nkk
n
k
tWtWtW
)]()([21 22 aWbW 21
1
))()((21?
kk
n
k
tWtW故
)()()( tWdtWI ba? )]()([21 22 aWbW nl.i.m2
1 2
1
1
))()((?
kk
n
k
tWtW
)]()([21 22 aWbW )(
2
1 ab 首页注 表明 Ito随机积分不同于黎曼积分二,Ito积分的性质性质 1 则因为如果 )( tW 是普通函数，积分不能有 )(21 ab
若 I to 积分 )()( tWdtXba?,)()( tWdtYba? 存在
（ 1） )())()(( tWdtYtXb
a )()( tWdtX
b
a )()( tWdtY
b
a
（ 2）
)()( tWdtXba? )()( tWdtXca )()( tWdtXbc
bca证明与黎曼积分相仿（略） 首页性质 2
则证明设维纳过程 )()()( sWdsXtY ta,
)( tY 的均值和相关函数为
0)]([?tYE
),m i n (0 221 21 )(),( ttY dssXttR
略首页性质 3 则存在且关于 t是均方连续的。
证明若 )()( tWdtXba? 存在，
)()()( sWdsXtY ta
bta
})]()({[ 2tYhtYE
2)()( sWdsXE ht
t
sdsXEhtt )}({ 2 0? （ 0?h ）
故 )( tY 关于 t 是均方连续首页三,Ito微分法则
)()()()()( sWdsBdssAaXtX tata
其中 )( sA 为二阶矩过程且均方可积,
设二阶矩过程 )( tX ( bta ) 满足
)( sB 满足定理 1 的条件则第二个积分作为 Ito积分存在，且 )( aX 与 )( tW,at? 相互独立
（ 1）
这时 称 (1)式定义的随机过程 有 (Ito)随机微分
)(tX
)()()( tdWtBdttA?
并记为
)()()()( tdWtBdttAtdX首页例 2 求随机微分解 由例１可知
))(( 2 tWd
)()(
0
tWdtWt? ttW 21)(21 2
即
ttW?)(2 )()(2 0 tWdtWt
由随机微分的定义
)()(2))(( 2 tdWtWdttWd
首页定理 3 Ito公式的二次微分函数，
则设 ))(,( tXtf 是关于 t 和随机过程 ｛ )( tX,Tt? ｝
若 )( tX 的随机微分是
)()()()( tdWtBdttAtdX
))(,()( tXtftY? 在 Ｔ 上也有随机微分，且
)())(,())(,([)( tAtXtftXtftdY Xt
dttBtXtf XX )]())(,(21 2
)()())(,( tdWtBtXtf X首页例 3 求随机微分解 设因为所以由 Ito公式得
))(( 2 ttWd
)())(,( 2 ttWtXtf?
)()(10)( tdWtdWdttdX
))(( 2 ttWd dtttW ])([ 2 )()(2 tdWttW?
)())(,( 2 tWtXtf t
)(2))(,( ttWtXtf X ttXtf XX 2))(,(
首页定理 4
设普通函数 ),,,,(),( 21 mxxxtFxtF 及其导数
),,,,(),,,,(),( 212100 mm xxxtFtxxxtFxtF
),,,,(),,,,(),( 2121 m
i
mii xxxtFxxxxtFxtF
),,,,(),,,,(),( 21
2
21 m
ji
mijij xxxtFxxxxxtFxtF
mji,,1,都是连续函数．
如果随机过程 有随机微分)(tX
i
)()()()( tdWtBdttAtdX iii
则 ))(,),(),(,())(,()(
21 tXtXtXtFtXtFtY m 有随机微分首页
m
i
ii tAtXtFtXtFtdY
1
0 )]())(,([))(,({)(
dttBtBtXtF
m
ji
jiij?
1,
) ] }()())(,([21
)(})]())(,([{
1
tdWtBtXtF
m
i
ii?
注 是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现，
称为 Ito公式首页四,Ito随机微分方程则在 Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程称为 Ito随机微分方程设 ｛ )( tW,Tt? ｝是布朗运动，
00 )(
)())(,())(,()(
XtX
tdWtXtgdttXtftdX
与 Ito随机微分方程等价的 Ito随机积分方程
tttt sdWsXsgdssXsfXtX 00 )())(,())(,()( 0
其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是 Ito积分首页例 4 考虑 Ito方程
1)0(
)()()(
2
1)(
X
tdWtXdttXtdX
取 xxtf ln),(? 由 Ito公式得
))(,( tXtdf dttX
tXtXtX
)(
)(
1
2
1)()
2
1(
)(
1 2
2
)()()(1 tdWtXtX
即
)())(( l n tdWdttXd
所以
)()(ln tWttX
即
)}(e x p {)( tWttX
注 将 看作普通函数，则解为)(tW
)}(21e x p {)( tWttX
返回首页第三节 Ito积分的特征资产价格理论意义下 Ito积分
t
T
t dWtS ),(0
其中 在信息集 下是非预期的),( tS
t?
一,Ito积分是鞅在间隔 内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为
u
t
t u
dW
tI
则此 Ito积分就是鞅。
因为首页给定时间 t的信息集,如果每个增量是不可预测的，
则这些增量的总和也是不可预测的，即于是故 Ito积分 是鞅。
0t
t uut
dWE?
t uus dWE
0
s t
s uuuus
dWdWE
0
s uu dW0?
][][ 0 s ts uusuus dWEdWE
ts0
u
t
u dW?0?
首页下面考虑两种有意思的情况：
1．第一种情况假设 方差 ),( tS
t? 是独立于资产价格 tS 和时间 t 的常数
),( tS t
此时 Ito积分就等同于 Riemann积分 即有
tttt u WWdW
则
t ut t uu dWdWdWE 00 0
即积分是鞅 首页因为 维纳过程的增量具有 0均值且是非相关的，
t t
uu dWdWE 0 0
故此积分是鞅
00 WWWWE tt
00 )( WWWWWWE tttt
)( 0WW t t udW
0?
注 当 是常数时,Riemann和 Ito积分是相同的且都是鞅),( tS t
首页
2．第二种情况若此时 Ito积分就不同于 Riemann积分。 Ito积分将保持鞅特性，而 Riemman将不再具有鞅特性。
例如 如果衍生产品的标的资产具有几何分布，其方差
与 tS 有关，进而也与 tW 有关，
tt StS),(
则可表明 Ito积分就不同于 Riemann积分。
用 Riemann求和来大致估计 Ito积分会导致自相矛盾，
方法具体过程如下例,首页
3．一个例子其中偏移量和方差率分别为假设资产价格满足随机微分方程即两个参数都比例于资产价格考虑一个小时间间隔,对随机微分方程积分
tttt dWtSdttSadS ),(),(
tt StSa),( tt StS),(
tS?
u
t
t u
t
t u
t
t u dWSduSdS
现在用 Rieman求和来讨论上式右边的第二项积分的近似计算，看会有什么结果？
首页
Rieman求和的一种近似计算是用子间隔的中点处的维纳过程测值来计算。
首先计算然后再乘以矩形的底得
))(2( tttt WWWWS
)2( tt WWS
tt WW
从而有
0)])(2([ tttt WWWWSE?
两项相关下面考虑上随机微分方程的简单形式 ttt dWWdS
则其新增项形式为
u
t
t u dWW?
首页用 Riemann求和来大致估计这样一个积分,根据底和高为矩形的面积可得由于期望这意味着上式右边的条件期望不为 0，即是可预测的，
ttttut
t u
WWWWdWW )2(
]|))(2[( ttttt WWWWWE
]|)(21[ 22 ttt WWWE
2
1 0
)(2)( 222 ttttttt WWWWWWW
首页从而可知,用 Riemann求和来估计 Ito积分意味着新增干扰项有一个非零期望值,即但由于 Ito积分存在条件：
即有
0 0),(?
t
t tt
dWtSE?
),( tS t? 的非预期性则 Ito积分 的近似计算必须是
))(,( ttt WWtSt
t tt dWtS ),(?
其中 ),( tS t? 与增量 tW? 不相关的矛盾
0]),([tt tt dWtSE?
首页注 如果被积函数不是非预期的，则不能保证用来构建 Ito积分的部分求和的均方值会收敛为一个有效的随机变量，即 Ito积分根本就不存在。
二、路径积分考察在期间 [0,T]内资产价格
tS
Tttt n100 间隔长度为?
p
pSS
ii tt 11 以概率以概率
nT分割：
且有这个过程的一个通常路径是由 和 组成的序列首页
tT t dSSf?0假设一个金融分析家要计算积分其有限求和形式为
][)
11
1
0
iii tt
n
i
tn SSSfV
（
取特殊路径
,,,,,?
则
)())(([ ffV n ])())(( ff?
显然
nV 的值依靠 tS 的特定轨线如果 nV 收敛，就可叫做路径积分但路径积分在随机过程中并不一定收敛。 如首页取符号函数则有即故此路径积分在随机过程中不收敛。
)( 11 iii ttt SSs i g nSf
nV
n
i
n
1
0?
T
当 0 时,nV 会趋于无穷大注 路径积分意义在计算路径积分时，没有用到与 相联系的概率，而是用实际测值来计算的。另一方面,Ito积分是用均方收敛值来计算并由随机等式来决定。
1 itS
非预期重要性由于可预测 的符号,函数能,看到未来情况,,则求和公式中各部分都为正,当 n增加时,就会发散 。
ii tt SS1 )(?f
nV
首页三,Ito积分存在性随机函数 ),( tSf t 的 I t o 积分
ut u dSuSf?0,
存在的条件是
)(?f 连续且非预期也就是说
1
0
])[,(
1
n
i
ttit iii SStSf
的均方会收敛到某个称为 Ito积分的随机变量首页四、相关性
Ito积分是一随机过程，因此它有各种不同的量一次量即
0,
0
T tt dWtWfE
非预期函数 )(?f 关于维纳过程 tW 的积分具有鞅特性二次量协方差
duuWfEdWuWfE t
uu
t
u
2
0
2
0
),(),(
方差
t t uuuu dWuWgdWuWfE
0 0
,),(
duuWguWfEt uu 0 ),(),(
返回首页第四节 Ito定理及应用在随机环境中，导数的概念是不存在的，资产价格的变动被认为是不可预测的，且在连续时间内变动太不规则，导致资产价格可能连续却不光滑，必须用随机微分来代替导数进行计算。 Ito规则给出了一个简化随机微分的公式，并给出了详细的计算。
一,导数类型在标准计算中，所有变量都是确定型的，
可以有三种类型的导数：
设 ),( tSF t 是由变量 tS 和t 决定的函数，
tS 是随着 t 变化而变化的一个随机过程。
首页偏导数全微分链式导数
t
t
s S
tSFF
,
t
tSFF t
t?
,
dtFdSFdF ttst
t
t
s
t F
dt
dSF
dt
tSdF,
导数在金融市场中作用偏导数为计算资产价格相对于风险因子的变化反应提供了一个“乘数”。
典型例子：是在计算套期保值参数 中用到偏导数，?
假设一个市场参与者知道 的函数形式，tSF
t,
偏导数 sF 衡量的是 tS 每变动一单位衍生资产价格会变动多少
1
则首页因此 对维纳过程定义一个关于时间的导数不会有任何困难，但需要知道的不是 随时间的变化，而是假定在时间固定情况下，它对的小变化有什么反应。
2
3
),( tSF t
tS
全微分是在假定时间和标的资产的价格都发生变动，而导致 的变化，其结果就是随机微分。它代表了在时间间隔内衍生资产价格的变化，
对市场交易者很有用。
),( tSF t
在标准计算中，链式导数表示一个变量相对于初始变量经过某些连锁效应的最终变化速率。
在随机计算中，链式导数指的是随机微分相互间的关系，也就是全微分的随机形式。 首页例 1 设 ),(
1 trF 是到期日为 T 的票据的价格，
1r 为固定的无风险连续复利，
且
tTrt tetrF 1 0 0,
则
t
r r
FF
tTr tetT 1 0 0
t
FF
t?
tTr
t ter
1 0 0
trdF t, ttTr dretT t 100 dter tTrt t 1 0 0
注无论 tr 是确定性的还是随机变量，偏导数不变但全微分同随机事件的实际发生率有关，二者不同。
上式给出的是对 为非随机变量的情况。
tr
首页二,Ito定理的应用
（一） Ito定理则有 Ito公式可得设 ),( tSF t 是关于 t 和随机过程 tS 的二次微分函数，
tttt dWdtadS
tS 具有正常的漂移和波动参数 ta 和 t?
tt
t
t
t
t
t
t dWS
Fdt
S
F
t
Fa
S
FdF
2
2
2
2
1
dt
S
Fdt
t
FdS
S
FdF
t
t
t
t
t
2
2
2
2
1?
或首页说明 在分析金融衍生产品时，一旦知道标的资产的随机微分方程，运用 Ito公式就可得到金融衍生产品的随机微分方程，即知道衍生资产价格的变化。
例 2 设标准维纳过程
tW 的函数
2,tt WtWF?
tt dWdtdW 10
求
tdF
解
ttt dWWdtdF 2
因故有 Ito定理可得首页因此 得到在信息集 下的 的随机微分方程，
其偏移率和方差项为即漂移率是常数，方差依赖于信息集。
tWF t,
例 3
tI
1,?tIa t 和 tt WtI 2,
tWt ettWF 3,
若
tW 为标准维纳过程则有
t
WW
t dWedtedF
tt
2
11
此时 得到在信息集 下的 的随机微分方程，
其偏移率和方差项为
tWF t,tI
tWt etIa 211, tWt etI?,?
首页例 4 计算 Ito积分解 设
s
t
sdWW?0
221,tt WtWF?
对tWF t,运用 I t o 定理得
ttt dWWdtdF 2
1
其相关积分等式
st stt dWWdstWF
002
1,
故 t
t
t
s dstWFdWW 00 2
1,
即
tWdWW tt s 2121 2
0
注 这个结果与本章第二节计算出来的结果相同，
可 作为计算 Ito积分的工具。
首页例 5 计算积分解 定义
t ssd W0 其中 tW 是一个维纳过程
tt tWtWF?,
由 Ito定理得
ttt td WdtWdF
其对应的积分等式
t st st s s d WdsWsWd 000
t stt s dsWtWs d W 00
故首页注 用 Ito定理计算 Ito积分的步骤
1
2
3 对新得到的随机微分方程两边进行积分处理，得到一个新的积分等式，该等式所包含的积分的计算要比原积分简单。
写出函数tWF t,的形式根据 I t o 定理得到tWF t,的随机微分方程
4 重新排列积分等式各项，得到最终结果。
首页
（二）伊托定理在远期合约定价中的应用
（补充内容）
现在以不支付股息的股票为例说明伊托定理在远期合约领域中的应用。
假定各个时期的无风险利率 r 等于常数，远期价格用 F表示，则远期价格 F与即期价格 S之间的关系可表示为
)( tTrSeF
所以 )( tTre
S
F
0
2
2
SF
)( tTrr S e
t
F
首页如果股票价格 S遵循几何布朗运动，并且预期收益和波动率分别是 和,即那么由伊托公式可得远期价格 F变化的随机过程为
将 代入上式，得)( tTrSeF
dWSedtr S eSedF tTrtTrtTr )()()( ][
S dWS dtdS
F d WF d trdF )(
可见，远期价格 F与股票价格 S一样，也遵循几何布朗运动。但是，远期价格的预期增长率是,
而不是 。 r
首页三,Ito定理的积分形式微分形式进而可得 Ito定理的另一特性：
dtFdtFdSFtSdF tssttst 221,
ut st ussut dSFduFFSFtSF
00
2
0 2
10,,?
duFFSFtSFdSF t ussutut s
0
2
00 2
10,,?
两边取积分，得积分形式该式说明关于维纳过程和其它连续时间随机过程的积分是用时间的积分函数表达出来的。
注返回首页第五节 更复杂情况下的 Ito公式第一种是在某些条件下，函数 可能不只是依赖于单一随机变量,这样就要用到多变量的 Ito公式。
不能直接使用 Ito公式的两种情况：
第二种考虑金融市场受到小概率事件影响,这样需要对随机微分方程加上跳跃过程来决定资产价格,
相应的 Ito公式会改变很多 。
F
tS
首页一、多变量情况设 为 两个受维纳过程影响的随机过程)(),(
21 tStS
tdWttdWtdttatdS 21211111
tdWttdWtdttatdS 22212122
其中
2,1,),(),(?jitta iji? 为依赖于 )( tS i 的漂移和方差参数，
)(),( 21 tWtW 为两个独立的维纳过程。
设ttStSF ),(),( 21 是 )(),( 21 tStS 的连续、二重微分函数则
tdF
首页是两个独立的维纳过程的增量结果这个问题可由下面 Ito定理的多变量形式得到解决：
由于
21 21 dSFdSFdtFdF sstt
212221
212221
2)()(21 dSdSFdSFdSF ssssss
在单变量 Ito定理中，
等交叉项在均方意义下都等于 0。 2)( dt 和 )(1 td t d W,)(2 td t d W
且
)()( 21 tdWtdW
若在一个固定的间隔内，有 0
21 tWtWE
则在均方意义下，有 0
21?tdWtdW
首页由此可得
dttttdS 21221121 ][
dttttdS 22222122 ][
dttttttdStdS 2212211121
这些等式代入上式即得双变量 Ito公式首页例 1 （金融衍生品）
在评价利率期权衍生品的价值时，收益曲线起到很大作用。
利率期权的模型之一是假设收益曲线依赖于两个状态变量，分别是短期利率 和长期利率
tr tR
则利率衍生品的价格就可表示为TttRrF
tt,0,,,?
假定利率服从随机微分方程
tdWttdWtdttadr t 2121111
tdWttdWtdttadR t 2221212
其中,长短期利率误差项具有相关性,在固定间隔 h内,
相关系数为
httttRrC o r r tt 22122111,
首页市场参与者可通过参数 的选择，由该等式得到长短期利率的相关性和方差特性。
在评估利率期权时，需要知道期权价格对收益曲线的变化 和 会怎样变化，也就是要知道随机微分,即有 Ito公式的多变量形式可得
)(tij?
tdr tdR
tdF
tRtrtt dRFdrFdtFdF
dtFFF rRRRrr 22122111222221212211 221
首页例 2 财富 假设市场有 n种资产，
一个投资者以价格 )( tP i 购买了 )( tN i 份第i 种资产且 )( tN i 和 )( tP i 都是连续时间的随机过程，
都是受同一随机变动影响的连续时间的随机过程
)( tN i 和 )( tP i
投资总价格可由财富函数 表示tW
tPtNtW i
n
i
i?
1
则由 Ito定理可得随着时间的变化而财富的增量
tdPtNtdW in
i
i?
1
n
i
ii tdNtP
1
tdPtdN in
i
i?
1
首页二,Ito公式和跳跃假设观测一个过程,它服从随机微分方程：
tS
ttttt dJdWdtadS
其中
tdW 是一个标准的维纳过程，
tdJ 表示的是不可预测的跳跃，
且假定在一个固定间隔 h内该跳跃有零均值：
0 tJE
原因：任何可预测的跳跃成分可被包含在漂移项 中
ta
对跳跃过程，作如下假定：
1 在两个跳跃之间,tJ 保持不变，
而在跳跃时间,,2,1,jt j tJ 是离散和随机的首页
2
假定有 k 种跳跃，跳跃大小为kia i,,1,
跳跃发生率 t? 依赖于 tS 的最终观测值。
每一大小的跳跃 ia 发生的概率为 ip
跳跃类型是随机和独立的。
则在一个小的固定间隔 h 内，增量 tJ? 为
k
i
iittt pahNJ
1
其中 tN 表示的是至时间 t 所有发生的跳跃大小总和若在间隔 h 内发生一次大小为 ta 的跳跃，则 tt aN
ht? 表示的是跳跃发生的概率
i
k
i
i pa?
1
为跳跃的期望值则 tJ? 是不可预测。
首页在这些条件下漂移参数 可被看作为两个分散的漂移的总和：
ta
k
i
iittt paa
1
其中 是连续运动的维纳过程部分，第二项为中纯跳跃部分 t
tS
跳跃过程两个随机性 跳跃的发生为随机事件，发生大小也是随机的。假定这两个随机性是相互独立的。
则 Ito公式为首页
ititttt ptSFtaSFFtSdF ),(),([),(
Ftsss dJdSFdtF ]2
1 2?
其中
)],(),([ tSFtSFdJ ttF
dtptSFtaSF
k
i
ititt?
1
,,?
tsSS s
tst
,lim
首页首先要计算由可能发生的随机跳跃的期望变化，
也就是上式右边的第二项，
要计算此项，需要用到在时间 内跳跃发生的概率和由 跳跃所引起的函数 跳跃的大小期望值。 tS
在实际中如何计算 呢？
FdJ
dt
F
其次如果在特定的时间内发生跳跃,还应包含式上式的第一项。 FdJ
首页在随机计算中,Ito定理是核心微分工具。
第一，在给定标的资产运动方程情况下，由 Ito
定理可得到金融衍生品的随机微分方程；
本章说明第二,Ito定理完全独立 Ito积分的。
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