第六章 鞅和鞅表示第一节 离散鞅第二节 连续时间鞅第三节 鞅轨迹的特征第四节 鞅举例第五节 鞅表示第一节 离散鞅一、离散鞅的定义及性质定义 1
若随机序列?,2,1,0},{?nX n
对任意 0?n,有
（ 1）||
nXE
（ 2）
nnn XXXXE ),,|( 01?
则称 }{ nX 为离散鞅序列 简称为鞅首页注 无后效性鞅的直观背景解释设想赌徒在从事赌博过程中，他在第 n年的赌本为表示在已知前 n年的赌本的条件下，第 n+1年的平均赌本。
而鞅 则表示这种赌博使第 n+1年的平均赌本仍为第 n年的赌本，
这种赌博称为公平赌博。
如果 }{ nX 为鞅，则它有某种即当已知时刻 n 以及它以前的值 nXX,,0?,
那么 n +1 时刻的值 1?nX 对 nXX,,0? 的条件期望与时刻 n 以前的值 10,,?nXX? 无关，并且等于 nX
nX
),,|( 01 nn XXXE nXX,,0?
nnn XXXXE ),,|( 01?
首页定义 2
对任意 0?n,有
（ 1）||
nXE
（ 2）
简称 为鞅设 }{ nX 及 }{ nY,?,2,1,0?n,为两个随机序列，
nX 是 nYY,,?0 的函数；
（ 3）
nnn XYYXE ),,|( 01?
则称 }{ nX 关于 }{ nY 为鞅，}{ nX
首页定理 1
充分性显然证
}{ nX 关于 }{ nY 是鞅的充要条件为，
对任意非负整数 m,n （ nm? ）有
nnm XYYXE?),,|( 0?
必要性用归纳法来证由假设知
（ 1）
当 1 nm 时 （ 1 ）成立。
设当 knm （ 1?k ）时 （ 1 ）成立，则有
),,|( 01 nkn YYXE
],,|),,|([ 001 nknkn YYYYXEE
),,|( 0 nkn YYXE
nX?
即当 1 knm 时 （ 1 ）成立。
首页性质 1 常数序列 为鞅。
证性质 2
即证
}{ nc 其中 cc n?
),,|( 01 nn YYcE ),,|( 0 nYYcE ncc
若 }{ nX 为鞅，则对任意 0?n,有
0EXEX n?
nX 的数学期望 nEX 是一常数 0EX
)],,|([ 011 nnn YYXEEEX nEX?
依次递推，可得
01 EXEXEX nn
首页例 1
令且对任意 有证 由条件期望的性质可得设 }{ nY （?,2,1,0?n ）为独立随机序列，
00?Y
k
n
k
n YX?
0
),,|( 01 nn YYXE? ],,|)[( 01 nnn YYYXE
),,|( 0 nn YYXE ),,|( 01 nn YYYE
1 nn EYX nX?
0?nEY0?n
则 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅
||||
0
k
n
k
n YEXE
且所以 }{
nX 关于 }{ nY 是鞅首页例 2
令证 （ 1）
设 }{ nY 是任一随机序列，X 为满足|| XE 的任一随机变量
),,|( 0 nn YYXEX 0?n
则 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅
|),,|(||| 0 nn YYXEEXE
)],,||(|[ 0 nYYXEE || XE
（ 2） ),,|(
01 nn YYXE
],,|),,|([ 010 nn YYYYXEE
),,|( 0 nYYXE nX?
所以
}{ nX 关于 }{ nY 是鞅。
],,|),,|([ 100 nn YYYYXEE
首页定义 3
对任意 0?n,有
（ 1）
|| nXE
（ 2）
简称 为上鞅设 }{ nX 及 }{ nY,?,2,1,0?n,为两个随机序列，
nX 是 nYY,,?0 的函数；
（ 3）
}{ nX
二、上、下鞅的定义及性质
nnn XYYXE ),,|( 01?
则称 }{ nX 关于 }{ nY 为上鞅类似 下鞅
nnn XYYXE ),,|( 01?
首页关于上、下鞅的的直观解释：
上鞅表示第 n+1年的平均赌本不多于第 n年的赌本，
即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；
下鞅表示第 n+1年的平均赌本不少于第 n年的赌本，
即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。
性质 3 为鞅的充分必要条件是,既为上鞅也为下鞅。
性质 4 上鞅
}{ nX }{ nX
}{ nX 下鞅}{ nX?
下鞅}{
nX
上鞅}{ nX?
首页性质 5
上鞅}{
nX
nnm XYYXE?),,|( 0?
nm?0,0 nm
下鞅}{
nX
nnm XYYXE?),,|( 0?
nm?0,0 nm
证明 同定理 1类似。用数学归纳法首页性质 6
上鞅}{
nX
下鞅}{
nX
nk EXEXEX0
nk0
nk0
证 由性质 5得
kkn XYYXE?),,|( 0?
上鞅}{
nX
kkn EXYYXEE?)],,|([ 0?
nEX
nk EXEXEX0
首页上鞅性质 7
,上鞅}{
nX }{ nY }{ nn YX?
下鞅,下鞅}{
nX }{ nY }{ nn YX?
证对 nm? 有
)],,|)[( 0 nmm YYYXE
),,|( 0 nm YYXE ),,|( 0 nm YYYE
上鞅}{
nX }{ nY nn
YX
首页上鞅性质 8
上鞅下鞅}{ nX
}{ nY
证
}{ nn YX?
下鞅下鞅上鞅}{ nX
}{ nY
}{ nn YX?
由性质 4及性质 7立即可得结果首页性质 9
鞅}{
nX
下鞅证明
|}{| nX
对 nm? 有
),,||(| 0 nm YYXE?
|),,|(| 0 nm YYXE || nX?
例 3
设 {,}是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵满足
nX?,2,1,0?n
},2,1,0{I
)( ijpP?
首页其中则
（ 1）
1||,0
1,
1,
ij
ijq
ijp
p i
i
ij
pp i?,qq i?,10 p,1 qp
{ nX,?,2,1,0?n } 是下鞅的充要条件是 qp?
（ 2）
（ 3）
{ nX,?,2,1,0?n } 是上鞅的充要条件是 qp?
{ nX,?,2,1,0?n } 是鞅的充要条件是 qp?
首页证 设其中所以故
nn XX210
0X 表示初始位置{ n? } 与 0X 独立
{ n?,?,2,1,0?n } 相互独立，且具有同分布：
pP n )1(? qP
n )1(? 1?n
由 nX 的定义知，1?n? 与 { 0X,1X,?,nX } 独立
),,,|( 011 XXXXE nnn
),,,|( 011 XXXE nnn ),,,|( 01 XXXXE nnn
)( 1 nE? nX? qp
nX?
),,,|( 011 XXXXE nnn nX?qp
下鞅>0
<0
=0
上鞅鞅首页三、停时定义 5 设 }{ nY （?,2,1,0?n ）是一随机序列，
是取值 0,1,?,? 的一个随机变量，
若对任意 0?n,
事件 }{ n 由 nYY,,0? 决定，
意即只从 nYY,,0? 的知识判别 n 与否，也即
),,( 0}{}{ nnn YY
则称? 关于 }{ nY 为停时，简称 为停时?
首页停时的直观背景解释：
设想赌徒在前 n+1次赌博的赌本为,
那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。
停时的性质表示 这一事件只依赖于 n时刻以前（包括 n时刻）的赌本，而与将来的赌本无关，即赌徒在时刻 n是否停止赌博，只依赖于他过去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。
nYY,,0?
}{ n
,1?nY
定理 2 设? 是取值 0,1,?,? 的一个随机变量，
}{ nY 是随机序列下列命题等价：
0?n
首页
（ 1）
（ 2）
（ 3）
关于 }{ nY 为停时
其它0
1
),,( 0}{}{
n
YY nnn
其它0
1
),,( 0}{}{
n
YY nnn
证明 （ 1）与（ 2）的等价性一方面
),,( 0}{
0
}{
0
}{ mm
n
m
m
n
m
n YY
另一方面
}1{}{}{ nnn 首页例 4
（ 2）与（ 3）的等价性由如下两个等式关系即得证所以 为停时。
}{}{ 1 nn
}{}{ 1 nn
设 k （ k 为一常数），则? 为停时。
对任意随机序列 }{ nY,有
kn
kn
YY nn
0
1
),,( 0}{
首页令例 5
即 为首次进入 A的时刻,则 是停时。
设 A 为 }{ nY 的状态空间 T 的一个子集，
}m i n {)( AYnA n,?
)(A? )(A?
证从 )( A? 的定义直接得到
),,( 0})({ nnA YY
其他若
0
,1,,0,1 AYnjAY nj?
即 )( A? 是停时。
注 若令 为最后进入 A的时刻，则 不是停时。
)(A? )(A?
原因是要确定,不仅要看 是否取值在 A中，还需知道全部 的情况。
nA?)(? nYY,,0?
,1?nY 返回首页第二节 连续时间鞅一、定义设 表示观测由时间 t为连续时间随机过程，
表示随时间流逝可得到的一系列信息集信息集满足
],0[,tS t
],0[,tI t
若 Tts
Tts III
则称集合],0[,TtI t? 为过滤如果 的值在每一 时包含于信息集 中，
tS 0?t tI
],0[,tS t],0[,tI t则称 适应于即表示 给出信息集,就会知道价值
tI tS
首页使用不同的信息集 就会产生顺序 的不同的预期。
从而可用条件期望表示成：
设 是一个随机过程，鞅信息集为 和概率为 P
tI
],0[,tS t
即未被观测的未来价值的最好预测是 的最近观测称过程 是鞅
tI tS
TtISESE tTTt ],[][
如果对所有 0?t,有
（ 1 ）给出 tI,tS 就可知
（ 2 ）非条件期望是有限的，即][ tSE
（ 3 ）并且如果 tTt SSE?][,对于所有 Tt? 有概率 1
],0[,tS t
tS
首页鞅过程的基本特征鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全不可测的随机变量。
鞅的未来变化的方向是不可能预测的。换句话例如 设 是一个鞅
tS
则在长度为 0?u 的间隔内 tS 变化的预期：
ttutttutt SESESSE ][
0 tt SS
即在一给定区间 0?u,tS 变化的最好的预期是 0
反之 如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长或短期趋向，则这个过程不是鞅。
首页鞅过程重要特征一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，
这个过程就不再是鞅。
若一过程 不是鞅，就能通过修改相关的概率标准 P并且使 称为鞅。
二、鞅在资产定价方面的应用反之有 tX
tX
1
通常贴现债券的价格随时间而增加，平均起来是上涨如果 tB 代表在时间 T 到期的贴现债券的价格Tt?
则有 ][
utt BEB? Tut
债券的价格即贴现债券价格的运动不是鞅首页
2
通常一风险股票会有一正的期望收益 。
其中 是一个正的期望收益率股票价格即风险股票不是鞅对于一小间隔 可大体写成?
][ ttt SSE
3 期权期权有时间价值，并且随时间流逝欧式期权价格会下降。故也不是鞅。 首页尽管大多数金融资产不是鞅，但可以把它们转化成鞅
4 下鞅转化成鞅方法第一种 这是围绕趋向的偏离完全不可测，只要减去期望趋向，变形的变量即是鞅。
道布 — 迈耶分解 在一些普通条件下，一任意的连续时间过程能被分解成一个鞅和一个增长（或下降）过程，
后部分的消除即可产生鞅。
第二种 找一个与给定的概率 P等价的概率,
计算新的条件期望，使其成为一个鞅。
P~
首页债券价格例如股票价格可以找一概率分布 以使债券或股票价格通过无风险利率贴现变成鞅
P~
tTuBBeE tutruPt 0,][~
uSSeE tutruPt 0,][~
uSSeE tutruPt 0,][
][ utt BEB? Tut
返回首页第三节 鞅轨迹的特征一、鞅轨迹的描述设 tX 表示一资产价格考虑在信息集tI 和概率 P~ 情况下，
则鞅的特征
tttP XIXE ][
~
0 是小的时间间隔考虑鞅变化
tX? =tX tX
由于 tX 是鞅，则0][~
tt
P IXE
它意味着鞅的增量是完全不可测的。 首页则无论 多么小，鞅就会呈现出非常不规则的轨迹。
事实上
若 呈现出任何肉眼能看出的趋势，则就是可测的。
不规则轨迹在两种方式下发生，即连续或跳跃。其对应的是连续鞅和右连续鞅
tX
连续鞅轨迹对于任意 0
0)(tXP
0
时间连续鞅轨迹是连续的首页右连续鞅轨迹轨迹被偶然的跳跃所干扰,从而使轨迹成为右连续 。 即在跳跃点是鞅右连续 。
时间图 2
连续平方可积鞅设 是一连续鞅，且具有有限二阶矩：
tX
][ 2tXE
则称具有有限方差的过程 为连续平方可积鞅。
tX
注 连续平方可积鞅非常接近于布朗运动。 首页例 1 构造一个具有两个相互独立泊松过程的鞅假设金融市场由“好”和“坏”的消息影响。忽略消息内容，但保留其好或坏的信息。且用假定到达金融市场的信息与过去完全无关，并且好、坏信息是完全独立的。
假定在一微小间隔 内至多有一个好或坏信息能发生，并且这两种信息发生的概率一样。
GtN 表示到 t 时间所有好信息数,BtN 则代表坏信息数即增量变化的概率可表示为
)1( GtNP = )1( BtNP
则变量 是鞅
tM = GtN BtN?
首页证明则条件期望其中故
tM 的增量在微小间隔? 内可表示成
tM? = GtN? BtN
][][][ BttGtttt NENEME
1)1(0][ Gtt NE
][ Btt NE
0][tt ME
因此在信息 tI 下 tM 的增量是不可预测的，
即 是鞅。
tM
首页说明 假设好消息的概率比坏消息的概率大，
则 就不是鞅。
tM
若
GGtNP?)1( BBtNP?)1(
则
0][ BGtt ME
故 不是鞅。
tM
首页二、鞅轨迹的特征设tX 代表连续平方可积鞅的轨迹，
选一时间间隔 ],0[ T,并考虑时间it
Tttttt nn 1210 0?
定义轨迹的变化
n
i
tt ii XXV
1
1
1
2
1
2
1?
n
i
tt ii XXV
4
1
4
1?
n
i
tt ii XXV
首页观察 重要特征首先
1V,2V,4V
设 tX 连续且有非 0 方差即
0)( 1ii tt XXP,（ 1 ii tt ）
对任意的 0 有且当间隔 ],0[ T 分的越来越小时，有
0)0( 2
1
1
ii tt
n
i
XXP
由于
||m a x
11
2
1
iiii tti
n
i
tt XXXX?
n
i
tt ii XX
1
1
意味着
12
1m a x VXXV ii tti
首页有
12
1m a x VXXV ii tti
当 1 ii tt 时
0m a x 1ii tti XX
又因为
tX 是一个有非 0 方差随机过程即有
02?V
故1V
224 ]m ax[
1 VXXV ii tti
由于故有
04?V
首页
1 变化 会趋向于无穷大并且连续鞅会变得非常不规则二次变化 收敛于一定义的随机变量
1V
2 2V
3 所有更高级变化在一些概率情形下会消失意味着更高级变化并不包括比 更多的信息，即如果人们确信标的的过程是连续鞅，则更高级变化可被忽略。
1V,2V
意味着无论轨迹如何不规则，鞅是平方可积且小于间隔的增量的平方和是收敛。即能被用于一有意义的等式。
意味着在连续平方可积鞅中不是非常有用的实用的量。
鞅轨迹特征返回首页第四节 鞅举例布朗运动例 1
即若增量 相互独立，
设 tX 是一连续过程，其 tX? 增量服从正态分布
tX? ～ ),( 2N
tX?
0)])([( tu XXE
则有问 是鞅吗？
tX
首页由于即则在给出的概率分布以及到时间 t 观察到的信息 的期望故 不是鞅。
tX
过程 tX 是无穷小增量 tdX 的累积
Tt uTt dXXX 00
][][ Ttt uttTtt dXXEXE
][][ Ttt uttt dXEXE
][ tTttt XXEX
][ Tttt XEX
TX t
tX
首页说明 1 若做新过程则 是一个鞅。
tXZ tt
tZ
因为
)]([][ TtXEZE TttTtt
)()]([ TtXXXE tTttt
)(][ TtXXEX tTttt
)( TtTX t
tX t
tZ?
则 是一个鞅。
tZ
首页此为例 3：指数过程说明 2 考虑转换
}2e x p {
2
tXS tt
其中? 是任意实数,tX 的均值是 0
则此转换能将 变成鞅，
tX
即 是鞅。
tS
首页平方过程例 2
初始点为令问 是鞅吗？
考虑一个在小间隔? 内有不相关增量的过程 tS,
tS? ～ ),0( 2N
00?S
2tt SZ?
tZ
解给一间隔?,考虑 tZ 增量的预期][
tt ZE?
首页这说明 的增量是可测的，故 不是鞅。
可将 转换成是鞅。
tZ
说明
][ tt ZE
]))([( 22 ttttt SSSSE
][ 22 ttt SSE
2][ ttt SSE
2?
tZ
tZ
tZY tt 2
tZYE tTtt 2][
若令则
tY?
2][ tt SE
][ tSD
首页但由 表示的补偿泊松分布例 4 右连续鞅所以有一个明显的向上趋势,即 不是鞅。
考虑泊松累加过程 tN
由于 tN 是累加过程并且跳跃的数量会随时间增长
tN
tN
tNN tt
就是鞅。 且是方差有限、平方可积鞅。
首页注 例子再次描述了同一理论如果一随机过程不是鞅，那么通过抽取一适当的均值就能变成鞅。
在金融市场中，人不能预期所观察市场风险证券的价值能等于由无风险利率贴现的期望价值，
这有一个风险溢价。因此，任何风险资产价格，
若由无风险利率贴现就不是鞅。但前期讨论表明这样的资产价格或许能被转化成鞅，这样的转换在定价金融资产中非常有用。
返回首页第五节 鞅表示一、例子假设一个交易者观察 it 时刻金融资产 itS 的价格
Ttttt kk 110?
若每一时间间隔非常小，且市场是“流动”的，则资产价格就有可能表现出至多一个向上或向下的过程即 的变化可表示为
p
pS
it 1,1
,1
概率为概率为
itS
并且假设 是相互独立的。
itS?
首页若特别 则 的期望价值就等于 0。2/1?p
itS?
如何构造标的的概率空间：
首先需要构造一个由所有可能价格变化的样本路径或轨迹组成的集合，即样本空间。它的元素由一系列 构成。
问题 1
11 和其次定义与这些轨迹有关的概率，当价格变化是相互独立的（且是有限的），则序列的概率是每一价格变化的概率相乘。
1,1,,1,1 121 kk tttt SSSSS?
如轨迹为则有 22 )1()( kk ppSP
这就解决了资产价格变化的序列。首页如其次 资产价格水平衍生证券通常写成其本身的价格就可从随后的变化中得到资产价格的水平
5 0 0& PS 的期权在给出开盘价 0tS 情况下，
k
i
tttt iik SSSS
1
)(
10
由于 是由 的和构成，那么可以用轨迹概率的方法得到 的概率分布。
ktS it
SS
ktS
如果所有的 是由 +1的变化组成的，即
itS?
ktt pkSSP
k )( 0
ktS 的最高的可能的价值是 kS t?0
则概率取例如首页同样其产出的概率是
ktS 的最低的可能的价值是 kS t?0
ktt pkSSP
k )1()( 0
一般地 通常价格会落在之间的某处 kSS tt k 0 和 kSS tt k 0
如在所有 k个增量变化中，有 m个 +1的变化、
个 的变化，mk? 1? km?
则 itS 的价值是
)(0 mkmSS tt k
其概率为
mkmmkktt ppCkmSSP
k
)1()2(
0
此概率为二项分布，当,它收敛于正态分布k
首页问题 2
考虑由上式给出的概率的期望：
ktS 是鞅吗？
],,,[ 110 kk ttttp SSSSE?
)]1)(1()1[(1 ppS kt
kkk ttt SSS 1
如果
2/1?p
则
1110 ],,,[ kkk ttttt
p SSSSSE?
这意味着考虑到包括过去价格变化 的信息以及这个特殊的概率分布而定义的 是鞅。 itS
ktS
)]21[1 pS kt
][ ktp SE ],,,[ 1101 kk ttttp SSSSE?
首页如果然而定义中心过程则 就转成鞅。
2/1?p 则ktS 就不再是鞅
k
i
ttt pSpSZ iki
1
)]21([)]21([
itZ
说明 提供了一个概率空间的具体的讨论以及如何把概率理论应用于与资产定价有关的各种轨迹。
或
)1)(21( kpSZ ki tt
首页二、道布 —— 迈耶分解考虑一个在任何时间 向上的概率大于向下的概率的情况的特殊资产，以此期望一个在观察轨迹中的向上趋势。
则意味着
it
2/11 p
)21(],,,[ 1110 pSSSSSE kkk tttttp
1110 ],,,[ kkk ttttt
p SSSSSE?
即
ktS 是一下鞅又因
kk tt ZkpS )1)(21(
其中
itZ 是鞅首页因此 一个下鞅可分解成两部分：
第一部分是一个递增的决定变量，
表示的是一种简单的道布 —— 迈耶分解得情形一般地定理 1
把在一个连续间隔的有限时间点上所观察的过程中的向上趋势的下鞅分解成有一个决定趋向和一个鞅。
第二部分是在 0t 时刻有 )21(0 pS t 的价值的鞅设 tX t 0,是一个有连续的下鞅，
tI 为信息集，][ tXE
则 tX 有如下分解
ttt AMX
其中 tM 是一右连续鞅，tA 是一个考虑到 tI 时的递增过程首页注 此理论表明即使连续观察的资产价格包含有明显的跳跃和向上的趋势，则通过抽掉一个趋势把它们转换成鞅。
如果起初的连续时间过程并不呈现出任何的跳跃，但是连续的，则产生的鞅就会是连续的。
三、道布分解的应用设
],0[ Tt?
一个标的资产 tS 的买权 tC 在到期日 T 的价值
]0,m a x [ KSC TT
即 如果标的资产价格高于执行价格 K，期权的值为如果标的资产的价格低于 K，则期权的价值就是 0
由于不知 TC 的确切价值所以使用在时间 t（ ）
的信息 计算它的预期价值
Tt?
tI
KST?
首页从而说明确实给出了买权 的公平市场价值。
问：是否有公平的市场价值 等于的适当贴现价值？
例如 假设使用无风险利率 r对进行贴现，取
]]0,[ m a x [][ tTPtTP IKSEICE
tC ]]0,[ m a x [ tTP IKSE?
]]0,[ m a x [ tTP IKSE?
]]0,[ m a x [)( tTPtTrt IKSEeC
则 即是鞅
tC
trtCe?
原因是
TtCeICeE trttTrTP,][或
TtCICeE ttTrTrP,][ )(
首页其中是 一个递增的随机变量,是一个考虑信息集 的鞅。
假设投资者是在风险厌恶者的前提下，对于一个典型的风险资产 有
tS
ttTP SISE?][
ttTtTrP SISeE ][ )(
由于即 trt Se? 是一个鞅根据道布 —— 迈耶分解可得
trtt SeZ
表明：如果函数 能很明显的得到，就能得到在时刻
t 时买权的公平市场价值。
tA
问题：是否 在概率 P下也是鞅？
trt Se?
ttT ZAS
tA
tI
返回首页
若随机序列?,2,1,0},{?nX n
对任意 0?n,有
（ 1）||
nXE
（ 2）
nnn XXXXE ),,|( 01?
则称 }{ nX 为离散鞅序列 简称为鞅首页注 无后效性鞅的直观背景解释设想赌徒在从事赌博过程中，他在第 n年的赌本为表示在已知前 n年的赌本的条件下，第 n+1年的平均赌本。
而鞅 则表示这种赌博使第 n+1年的平均赌本仍为第 n年的赌本，
这种赌博称为公平赌博。
如果 }{ nX 为鞅，则它有某种即当已知时刻 n 以及它以前的值 nXX,,0?,
那么 n +1 时刻的值 1?nX 对 nXX,,0? 的条件期望与时刻 n 以前的值 10,,?nXX? 无关，并且等于 nX
nX
),,|( 01 nn XXXE nXX,,0?
nnn XXXXE ),,|( 01?
首页定义 2
对任意 0?n,有
（ 1）||
nXE
（ 2）
简称 为鞅设 }{ nX 及 }{ nY,?,2,1,0?n,为两个随机序列，
nX 是 nYY,,?0 的函数；
（ 3）
nnn XYYXE ),,|( 01?
则称 }{ nX 关于 }{ nY 为鞅，}{ nX
首页定理 1
充分性显然证
}{ nX 关于 }{ nY 是鞅的充要条件为，
对任意非负整数 m,n （ nm? ）有
nnm XYYXE?),,|( 0?
必要性用归纳法来证由假设知
（ 1）
当 1 nm 时 （ 1 ）成立。
设当 knm （ 1?k ）时 （ 1 ）成立，则有
),,|( 01 nkn YYXE
],,|),,|([ 001 nknkn YYYYXEE
),,|( 0 nkn YYXE
nX?
即当 1 knm 时 （ 1 ）成立。
首页性质 1 常数序列 为鞅。
证性质 2
即证
}{ nc 其中 cc n?
),,|( 01 nn YYcE ),,|( 0 nYYcE ncc
若 }{ nX 为鞅，则对任意 0?n,有
0EXEX n?
nX 的数学期望 nEX 是一常数 0EX
)],,|([ 011 nnn YYXEEEX nEX?
依次递推，可得
01 EXEXEX nn
首页例 1
令且对任意 有证 由条件期望的性质可得设 }{ nY （?,2,1,0?n ）为独立随机序列，
00?Y
k
n
k
n YX?
0
),,|( 01 nn YYXE? ],,|)[( 01 nnn YYYXE
),,|( 0 nn YYXE ),,|( 01 nn YYYE
1 nn EYX nX?
0?nEY0?n
则 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅
||||
0
k
n
k
n YEXE
且所以 }{
nX 关于 }{ nY 是鞅首页例 2
令证 （ 1）
设 }{ nY 是任一随机序列，X 为满足|| XE 的任一随机变量
),,|( 0 nn YYXEX 0?n
则 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅
|),,|(||| 0 nn YYXEEXE
)],,||(|[ 0 nYYXEE || XE
（ 2） ),,|(
01 nn YYXE
],,|),,|([ 010 nn YYYYXEE
),,|( 0 nYYXE nX?
所以
}{ nX 关于 }{ nY 是鞅。
],,|),,|([ 100 nn YYYYXEE
首页定义 3
对任意 0?n,有
（ 1）
|| nXE
（ 2）
简称 为上鞅设 }{ nX 及 }{ nY,?,2,1,0?n,为两个随机序列，
nX 是 nYY,,?0 的函数；
（ 3）
}{ nX
二、上、下鞅的定义及性质
nnn XYYXE ),,|( 01?
则称 }{ nX 关于 }{ nY 为上鞅类似 下鞅
nnn XYYXE ),,|( 01?
首页关于上、下鞅的的直观解释：
上鞅表示第 n+1年的平均赌本不多于第 n年的赌本，
即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；
下鞅表示第 n+1年的平均赌本不少于第 n年的赌本，
即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。
性质 3 为鞅的充分必要条件是,既为上鞅也为下鞅。
性质 4 上鞅
}{ nX }{ nX
}{ nX 下鞅}{ nX?
下鞅}{
nX
上鞅}{ nX?
首页性质 5
上鞅}{
nX
nnm XYYXE?),,|( 0?
nm?0,0 nm
下鞅}{
nX
nnm XYYXE?),,|( 0?
nm?0,0 nm
证明 同定理 1类似。用数学归纳法首页性质 6
上鞅}{
nX
下鞅}{
nX
nk EXEXEX0
nk0
nk0
证 由性质 5得
kkn XYYXE?),,|( 0?
上鞅}{
nX
kkn EXYYXEE?)],,|([ 0?
nEX
nk EXEXEX0
首页上鞅性质 7
,上鞅}{
nX }{ nY }{ nn YX?
下鞅,下鞅}{
nX }{ nY }{ nn YX?
证对 nm? 有
)],,|)[( 0 nmm YYYXE
),,|( 0 nm YYXE ),,|( 0 nm YYYE
上鞅}{
nX }{ nY nn
YX
首页上鞅性质 8
上鞅下鞅}{ nX
}{ nY
证
}{ nn YX?
下鞅下鞅上鞅}{ nX
}{ nY
}{ nn YX?
由性质 4及性质 7立即可得结果首页性质 9
鞅}{
nX
下鞅证明
|}{| nX
对 nm? 有
),,||(| 0 nm YYXE?
|),,|(| 0 nm YYXE || nX?
例 3
设 {,}是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵满足
nX?,2,1,0?n
},2,1,0{I
)( ijpP?
首页其中则
（ 1）
1||,0
1,
1,
ij
ijq
ijp
p i
i
ij
pp i?,qq i?,10 p,1 qp
{ nX,?,2,1,0?n } 是下鞅的充要条件是 qp?
（ 2）
（ 3）
{ nX,?,2,1,0?n } 是上鞅的充要条件是 qp?
{ nX,?,2,1,0?n } 是鞅的充要条件是 qp?
首页证 设其中所以故
nn XX210
0X 表示初始位置{ n? } 与 0X 独立
{ n?,?,2,1,0?n } 相互独立，且具有同分布：
pP n )1(? qP
n )1(? 1?n
由 nX 的定义知，1?n? 与 { 0X,1X,?,nX } 独立
),,,|( 011 XXXXE nnn
),,,|( 011 XXXE nnn ),,,|( 01 XXXXE nnn
)( 1 nE? nX? qp
nX?
),,,|( 011 XXXXE nnn nX?qp
下鞅>0
<0
=0
上鞅鞅首页三、停时定义 5 设 }{ nY （?,2,1,0?n ）是一随机序列，
是取值 0,1,?,? 的一个随机变量，
若对任意 0?n,
事件 }{ n 由 nYY,,0? 决定，
意即只从 nYY,,0? 的知识判别 n 与否，也即
),,( 0}{}{ nnn YY
则称? 关于 }{ nY 为停时，简称 为停时?
首页停时的直观背景解释：
设想赌徒在前 n+1次赌博的赌本为,
那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。
停时的性质表示 这一事件只依赖于 n时刻以前（包括 n时刻）的赌本，而与将来的赌本无关，即赌徒在时刻 n是否停止赌博，只依赖于他过去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。
nYY,,0?
}{ n
,1?nY
定理 2 设? 是取值 0,1,?,? 的一个随机变量，
}{ nY 是随机序列下列命题等价：
0?n
首页
（ 1）
（ 2）
（ 3）
关于 }{ nY 为停时
其它0
1
),,( 0}{}{
n
YY nnn
其它0
1
),,( 0}{}{
n
YY nnn
证明 （ 1）与（ 2）的等价性一方面
),,( 0}{
0
}{
0
}{ mm
n
m
m
n
m
n YY
另一方面
}1{}{}{ nnn 首页例 4
（ 2）与（ 3）的等价性由如下两个等式关系即得证所以 为停时。
}{}{ 1 nn
}{}{ 1 nn
设 k （ k 为一常数），则? 为停时。
对任意随机序列 }{ nY,有
kn
kn
YY nn
0
1
),,( 0}{
首页令例 5
即 为首次进入 A的时刻,则 是停时。
设 A 为 }{ nY 的状态空间 T 的一个子集，
}m i n {)( AYnA n,?
)(A? )(A?
证从 )( A? 的定义直接得到
),,( 0})({ nnA YY
其他若
0
,1,,0,1 AYnjAY nj?
即 )( A? 是停时。
注 若令 为最后进入 A的时刻，则 不是停时。
)(A? )(A?
原因是要确定,不仅要看 是否取值在 A中，还需知道全部 的情况。
nA?)(? nYY,,0?
,1?nY 返回首页第二节 连续时间鞅一、定义设 表示观测由时间 t为连续时间随机过程，
表示随时间流逝可得到的一系列信息集信息集满足
],0[,tS t
],0[,tI t
若 Tts
Tts III
则称集合],0[,TtI t? 为过滤如果 的值在每一 时包含于信息集 中，
tS 0?t tI
],0[,tS t],0[,tI t则称 适应于即表示 给出信息集,就会知道价值
tI tS
首页使用不同的信息集 就会产生顺序 的不同的预期。
从而可用条件期望表示成：
设 是一个随机过程，鞅信息集为 和概率为 P
tI
],0[,tS t
即未被观测的未来价值的最好预测是 的最近观测称过程 是鞅
tI tS
TtISESE tTTt ],[][
如果对所有 0?t,有
（ 1 ）给出 tI,tS 就可知
（ 2 ）非条件期望是有限的，即][ tSE
（ 3 ）并且如果 tTt SSE?][,对于所有 Tt? 有概率 1
],0[,tS t
tS
首页鞅过程的基本特征鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全不可测的随机变量。
鞅的未来变化的方向是不可能预测的。换句话例如 设 是一个鞅
tS
则在长度为 0?u 的间隔内 tS 变化的预期：
ttutttutt SESESSE ][
0 tt SS
即在一给定区间 0?u,tS 变化的最好的预期是 0
反之 如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长或短期趋向，则这个过程不是鞅。
首页鞅过程重要特征一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，
这个过程就不再是鞅。
若一过程 不是鞅，就能通过修改相关的概率标准 P并且使 称为鞅。
二、鞅在资产定价方面的应用反之有 tX
tX
1
通常贴现债券的价格随时间而增加，平均起来是上涨如果 tB 代表在时间 T 到期的贴现债券的价格Tt?
则有 ][
utt BEB? Tut
债券的价格即贴现债券价格的运动不是鞅首页
2
通常一风险股票会有一正的期望收益 。
其中 是一个正的期望收益率股票价格即风险股票不是鞅对于一小间隔 可大体写成?
][ ttt SSE
3 期权期权有时间价值，并且随时间流逝欧式期权价格会下降。故也不是鞅。 首页尽管大多数金融资产不是鞅，但可以把它们转化成鞅
4 下鞅转化成鞅方法第一种 这是围绕趋向的偏离完全不可测，只要减去期望趋向，变形的变量即是鞅。
道布 — 迈耶分解 在一些普通条件下，一任意的连续时间过程能被分解成一个鞅和一个增长（或下降）过程，
后部分的消除即可产生鞅。
第二种 找一个与给定的概率 P等价的概率,
计算新的条件期望，使其成为一个鞅。
P~
首页债券价格例如股票价格可以找一概率分布 以使债券或股票价格通过无风险利率贴现变成鞅
P~
tTuBBeE tutruPt 0,][~
uSSeE tutruPt 0,][~
uSSeE tutruPt 0,][
][ utt BEB? Tut
返回首页第三节 鞅轨迹的特征一、鞅轨迹的描述设 tX 表示一资产价格考虑在信息集tI 和概率 P~ 情况下，
则鞅的特征
tttP XIXE ][
~
0 是小的时间间隔考虑鞅变化
tX? =tX tX
由于 tX 是鞅，则0][~
tt
P IXE
它意味着鞅的增量是完全不可测的。 首页则无论 多么小，鞅就会呈现出非常不规则的轨迹。
事实上
若 呈现出任何肉眼能看出的趋势，则就是可测的。
不规则轨迹在两种方式下发生，即连续或跳跃。其对应的是连续鞅和右连续鞅
tX
连续鞅轨迹对于任意 0
0)(tXP
0
时间连续鞅轨迹是连续的首页右连续鞅轨迹轨迹被偶然的跳跃所干扰,从而使轨迹成为右连续 。 即在跳跃点是鞅右连续 。
时间图 2
连续平方可积鞅设 是一连续鞅，且具有有限二阶矩：
tX
][ 2tXE
则称具有有限方差的过程 为连续平方可积鞅。
tX
注 连续平方可积鞅非常接近于布朗运动。 首页例 1 构造一个具有两个相互独立泊松过程的鞅假设金融市场由“好”和“坏”的消息影响。忽略消息内容，但保留其好或坏的信息。且用假定到达金融市场的信息与过去完全无关，并且好、坏信息是完全独立的。
假定在一微小间隔 内至多有一个好或坏信息能发生，并且这两种信息发生的概率一样。
GtN 表示到 t 时间所有好信息数,BtN 则代表坏信息数即增量变化的概率可表示为
)1( GtNP = )1( BtNP
则变量 是鞅
tM = GtN BtN?
首页证明则条件期望其中故
tM 的增量在微小间隔? 内可表示成
tM? = GtN? BtN
][][][ BttGtttt NENEME
1)1(0][ Gtt NE
][ Btt NE
0][tt ME
因此在信息 tI 下 tM 的增量是不可预测的，
即 是鞅。
tM
首页说明 假设好消息的概率比坏消息的概率大，
则 就不是鞅。
tM
若
GGtNP?)1( BBtNP?)1(
则
0][ BGtt ME
故 不是鞅。
tM
首页二、鞅轨迹的特征设tX 代表连续平方可积鞅的轨迹，
选一时间间隔 ],0[ T,并考虑时间it
Tttttt nn 1210 0?
定义轨迹的变化
n
i
tt ii XXV
1
1
1
2
1
2
1?
n
i
tt ii XXV
4
1
4
1?
n
i
tt ii XXV
首页观察 重要特征首先
1V,2V,4V
设 tX 连续且有非 0 方差即
0)( 1ii tt XXP,（ 1 ii tt ）
对任意的 0 有且当间隔 ],0[ T 分的越来越小时，有
0)0( 2
1
1
ii tt
n
i
XXP
由于
||m a x
11
2
1
iiii tti
n
i
tt XXXX?
n
i
tt ii XX
1
1
意味着
12
1m a x VXXV ii tti
首页有
12
1m a x VXXV ii tti
当 1 ii tt 时
0m a x 1ii tti XX
又因为
tX 是一个有非 0 方差随机过程即有
02?V
故1V
224 ]m ax[
1 VXXV ii tti
由于故有
04?V
首页
1 变化 会趋向于无穷大并且连续鞅会变得非常不规则二次变化 收敛于一定义的随机变量
1V
2 2V
3 所有更高级变化在一些概率情形下会消失意味着更高级变化并不包括比 更多的信息，即如果人们确信标的的过程是连续鞅，则更高级变化可被忽略。
1V,2V
意味着无论轨迹如何不规则，鞅是平方可积且小于间隔的增量的平方和是收敛。即能被用于一有意义的等式。
意味着在连续平方可积鞅中不是非常有用的实用的量。
鞅轨迹特征返回首页第四节 鞅举例布朗运动例 1
即若增量 相互独立，
设 tX 是一连续过程，其 tX? 增量服从正态分布
tX? ～ ),( 2N
tX?
0)])([( tu XXE
则有问 是鞅吗？
tX
首页由于即则在给出的概率分布以及到时间 t 观察到的信息 的期望故 不是鞅。
tX
过程 tX 是无穷小增量 tdX 的累积
Tt uTt dXXX 00
][][ Ttt uttTtt dXXEXE
][][ Ttt uttt dXEXE
][ tTttt XXEX
][ Tttt XEX
TX t
tX
首页说明 1 若做新过程则 是一个鞅。
tXZ tt
tZ
因为
)]([][ TtXEZE TttTtt
)()]([ TtXXXE tTttt
)(][ TtXXEX tTttt
)( TtTX t
tX t
tZ?
则 是一个鞅。
tZ
首页此为例 3：指数过程说明 2 考虑转换
}2e x p {
2
tXS tt
其中? 是任意实数,tX 的均值是 0
则此转换能将 变成鞅，
tX
即 是鞅。
tS
首页平方过程例 2
初始点为令问 是鞅吗？
考虑一个在小间隔? 内有不相关增量的过程 tS,
tS? ～ ),0( 2N
00?S
2tt SZ?
tZ
解给一间隔?,考虑 tZ 增量的预期][
tt ZE?
首页这说明 的增量是可测的，故 不是鞅。
可将 转换成是鞅。
tZ
说明
][ tt ZE
]))([( 22 ttttt SSSSE
][ 22 ttt SSE
2][ ttt SSE
2?
tZ
tZ
tZY tt 2
tZYE tTtt 2][
若令则
tY?
2][ tt SE
][ tSD
首页但由 表示的补偿泊松分布例 4 右连续鞅所以有一个明显的向上趋势,即 不是鞅。
考虑泊松累加过程 tN
由于 tN 是累加过程并且跳跃的数量会随时间增长
tN
tN
tNN tt
就是鞅。 且是方差有限、平方可积鞅。
首页注 例子再次描述了同一理论如果一随机过程不是鞅，那么通过抽取一适当的均值就能变成鞅。
在金融市场中，人不能预期所观察市场风险证券的价值能等于由无风险利率贴现的期望价值，
这有一个风险溢价。因此，任何风险资产价格，
若由无风险利率贴现就不是鞅。但前期讨论表明这样的资产价格或许能被转化成鞅，这样的转换在定价金融资产中非常有用。
返回首页第五节 鞅表示一、例子假设一个交易者观察 it 时刻金融资产 itS 的价格
Ttttt kk 110?
若每一时间间隔非常小，且市场是“流动”的，则资产价格就有可能表现出至多一个向上或向下的过程即 的变化可表示为
p
pS
it 1,1
,1
概率为概率为
itS
并且假设 是相互独立的。
itS?
首页若特别 则 的期望价值就等于 0。2/1?p
itS?
如何构造标的的概率空间：
首先需要构造一个由所有可能价格变化的样本路径或轨迹组成的集合，即样本空间。它的元素由一系列 构成。
问题 1
11 和其次定义与这些轨迹有关的概率，当价格变化是相互独立的（且是有限的），则序列的概率是每一价格变化的概率相乘。
1,1,,1,1 121 kk tttt SSSSS?
如轨迹为则有 22 )1()( kk ppSP
这就解决了资产价格变化的序列。首页如其次 资产价格水平衍生证券通常写成其本身的价格就可从随后的变化中得到资产价格的水平
5 0 0& PS 的期权在给出开盘价 0tS 情况下，
k
i
tttt iik SSSS
1
)(
10
由于 是由 的和构成，那么可以用轨迹概率的方法得到 的概率分布。
ktS it
SS
ktS
如果所有的 是由 +1的变化组成的，即
itS?
ktt pkSSP
k )( 0
ktS 的最高的可能的价值是 kS t?0
则概率取例如首页同样其产出的概率是
ktS 的最低的可能的价值是 kS t?0
ktt pkSSP
k )1()( 0
一般地 通常价格会落在之间的某处 kSS tt k 0 和 kSS tt k 0
如在所有 k个增量变化中，有 m个 +1的变化、
个 的变化，mk? 1? km?
则 itS 的价值是
)(0 mkmSS tt k
其概率为
mkmmkktt ppCkmSSP
k
)1()2(
0
此概率为二项分布，当,它收敛于正态分布k
首页问题 2
考虑由上式给出的概率的期望：
ktS 是鞅吗？
],,,[ 110 kk ttttp SSSSE?
)]1)(1()1[(1 ppS kt
kkk ttt SSS 1
如果
2/1?p
则
1110 ],,,[ kkk ttttt
p SSSSSE?
这意味着考虑到包括过去价格变化 的信息以及这个特殊的概率分布而定义的 是鞅。 itS
ktS
)]21[1 pS kt
][ ktp SE ],,,[ 1101 kk ttttp SSSSE?
首页如果然而定义中心过程则 就转成鞅。
2/1?p 则ktS 就不再是鞅
k
i
ttt pSpSZ iki
1
)]21([)]21([
itZ
说明 提供了一个概率空间的具体的讨论以及如何把概率理论应用于与资产定价有关的各种轨迹。
或
)1)(21( kpSZ ki tt
首页二、道布 —— 迈耶分解考虑一个在任何时间 向上的概率大于向下的概率的情况的特殊资产，以此期望一个在观察轨迹中的向上趋势。
则意味着
it
2/11 p
)21(],,,[ 1110 pSSSSSE kkk tttttp
1110 ],,,[ kkk ttttt
p SSSSSE?
即
ktS 是一下鞅又因
kk tt ZkpS )1)(21(
其中
itZ 是鞅首页因此 一个下鞅可分解成两部分：
第一部分是一个递增的决定变量，
表示的是一种简单的道布 —— 迈耶分解得情形一般地定理 1
把在一个连续间隔的有限时间点上所观察的过程中的向上趋势的下鞅分解成有一个决定趋向和一个鞅。
第二部分是在 0t 时刻有 )21(0 pS t 的价值的鞅设 tX t 0,是一个有连续的下鞅，
tI 为信息集，][ tXE
则 tX 有如下分解
ttt AMX
其中 tM 是一右连续鞅，tA 是一个考虑到 tI 时的递增过程首页注 此理论表明即使连续观察的资产价格包含有明显的跳跃和向上的趋势，则通过抽掉一个趋势把它们转换成鞅。
如果起初的连续时间过程并不呈现出任何的跳跃，但是连续的，则产生的鞅就会是连续的。
三、道布分解的应用设
],0[ Tt?
一个标的资产 tS 的买权 tC 在到期日 T 的价值
]0,m a x [ KSC TT
即 如果标的资产价格高于执行价格 K，期权的值为如果标的资产的价格低于 K，则期权的价值就是 0
由于不知 TC 的确切价值所以使用在时间 t（ ）
的信息 计算它的预期价值
Tt?
tI
KST?
首页从而说明确实给出了买权 的公平市场价值。
问：是否有公平的市场价值 等于的适当贴现价值？
例如 假设使用无风险利率 r对进行贴现，取
]]0,[ m a x [][ tTPtTP IKSEICE
tC ]]0,[ m a x [ tTP IKSE?
]]0,[ m a x [ tTP IKSE?
]]0,[ m a x [)( tTPtTrt IKSEeC
则 即是鞅
tC
trtCe?
原因是
TtCeICeE trttTrTP,][或
TtCICeE ttTrTrP,][ )(
首页其中是 一个递增的随机变量,是一个考虑信息集 的鞅。
假设投资者是在风险厌恶者的前提下，对于一个典型的风险资产 有
tS
ttTP SISE?][
ttTtTrP SISeE ][ )(
由于即 trt Se? 是一个鞅根据道布 —— 迈耶分解可得
trtt SeZ
表明：如果函数 能很明显的得到，就能得到在时刻
t 时买权的公平市场价值。
tA
问题：是否 在概率 P下也是鞅？
trt Se?
ttT ZAS
tA
tI
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