第十章 衍生产品的定价
--------偏微分方程 (PDE)
第一节 无风险组合与偏微分方程第二节 衍生产品期权的定价第一节 无风险组合与偏微分方程一、无风险组合衍生产品是以其它证券为基础签订的合同，此合同有一定的期限，用 T来表示到期日，
则衍生工具的价格 只取决于基础证券的价值 和时间 T，即有 TF
tS
()TTF F S T?,
即在到期日,能确切的知道函数 的形式()
TF S T，
首页如果知道基础证券的价值的运动规律,那么我们就可以用 Ito定理来确定衍生产品的价格的变化 。
这意味 和 都与基础证券的不确定性，即扰动项 有关，则这就使得在连续时间下构造无风险组合成为可能。
其中 分别是购买的衍生工具和基础证券的数量，其代表组合的权重。 当其为常数时
tdS
tdF
tdS tdF
tdW
假定将 tP 元投资于 )( tSF t,和 tS 的组合
1,2()t t tP F S t S
12,
12t t tdP dF dS
则有具体方法首页假定基础资产遵循随机方程模型用 Ito定理得到衍生资产价格函数的偏微分方程首先，由市场参与者来决定组合的权重再连同 和 一起代入
12,
12t t tdP dF dS
则有
(,) (,)t t t td S a S t d t S t d W
21
2t s t ss t t s t tdF F a F F dt F dW
tdS tdF
若取
1 1 2 sF
212()t t s s td P F F d t
上式没有扰动项,完全可预见，在任意时刻都是一个确定的增量，这也就意味着组合无风险。 tdP
表明首页由于无风险,为了避免套利,在相同的时间间隔 里,
增量 一定等于无风险投资的收益 。
假定无风险收益为常数 r，则以不支付红利的情况为例，则
tdP
当 不支付红利时，预期的资本收益一定等于
tS trPdt
dt
当 每单位时间支付红利 时，预期的资本收益一定等于 tS
trP dt dt
212t t s s trP dt F dt F dt
即
212t t s s tr P F F
t s tP F F S
又故 21
2t s t t s sr S F F F r F
偏微分方程首页由于以 S 作为基础产品的衍生产品有许多种，因而该方程就有许多不同解。要想解出某种特定的衍生产品，必须用到其边界条件。
即一旦给出 S 和 t 的边界值，则衍生产品的价值也就随之确定。
,,TTF S T G S T?
这里 )(?G 是一个关于 tS,T 的已知函数。
边界条件衍生产品的到期日是 T，基础证券的价格与衍生证券的价格之间的关系在到期日是可明确确定的，即在到期日衍生产品的价格可由下式给出：
又因为则称此式为偏微分方程的边界条件首页如 欧式看涨期权,若执行价格为 K，则边界条件为即表示：若到期时股票价格低于执行价格，即
，则此看涨期权就不被执行，期权就是无价值的。否则期权价值等于股票价格与执行价格之差。
,m a x,0TTF S T S K
0TSK
当 时tT?
同样，对欧式看跌期权,则边界条件为
,m a x,0TTF S T K S 当 时tT?
首页二、偏微分方程的 一般形式形如边界条件为
0 1 2 3 0s t s sa F a S F a F a F
,,TTF S T G S T?
即为衍生产品的 偏微分方程的一般形式。
说明 1
为得出衍生工具的无套利价格，需构造无风险组合，由此方法导出偏微分方程。另外，
边界条件和偏微分方程都受相关衍生产品的影响。
其中，一般变量为 S,G（）是一个已知函数。
首页说明 2 这种方法的核心即解一个偏微分方程。即求函数,对其 求不同的偏导数,代入方程使其成立。同样，当,函数 F一定等于已知函数 G---必需满足的边界条件。
()tF S t，
tT?
在金融领域中边界条件代表各种衍生产品的约束条款。从现有的金融产品和问题来看，边界条件是变化的。最明显的边界价值是衍生合同最初和最终的价值。通常，由金融理论得出一些衍生合同的价格是基础证券到期日价值的函数，它可作为必须满足的边界条件。
首页三、二阶偏微分方程的类型对二阶偏微分方程：
0 1 2 3 4 5 0t s s s tt s ta a F a F a F a F a F
若 2
5 3 440a a a
则称其为椭圆型偏微分方程若 25 3 440a a a
则称其为抛物线型偏微分方程若
25 3 440a a a
则称其为双曲线型偏微分方程首页例 衍生产品的偏微分方程：
0 1 2 3 0s t s sa F a S F a F a F
由于
4 0a? 5 0a?
25 3 440a a a满足因此它是抛物线型的偏微分方程。
返回首页第二节 衍生产品期权的定价
（补充内容）
若 假设 基础资产为股票，即股票的价格变化遵循微分方程
2212s t t s sr S F F S F r F
此式即为著名的
d S S d t S d W
则 在第一节推出的偏微分方程，将变成布莱克 -----斯科尔斯方程一、布莱克 -----斯科尔斯方程首页例 1 设有某种不支付股息的股票的远期合约，
其价值 F与股票 S的关系为：
则价值 F满足布莱克 -----斯科尔斯方程。
解
()r T tF S K e
（ K为交割价格）
因为
()r T tF rK e
dt
1FdS
2
2 0
F
S
2212s t t ssrSF F S F
则有
()r T tr S r K e rF?
即满足布莱克 -----斯科尔斯方程。首页函数 即为布莱克 -----斯科尔斯方程的解。
说明 ()r T tF S K e
因此，可用偏微分方程来求出衍生产品的价格。
二、定价公式在风险中立化条件下，欧式看涨期权的期望价值为布莱克 -----斯科尔斯微分方程，解决了欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价问题。
[ m a x(,0) ]TE S K?
其中 表示远期合约到期时间 T时的股票价格，
K表示交割价格。TS首页根据风险中立化原理，欧式看涨期权的价格 c 就是将此期望值按无风险利率进行贴现后的值，即
() [ m a x(,0)]r T t
Tc e E S K
又在风险中立化条件下,的概率分布满足
TS
2
l n [ l n ( ) ( ),]2TS S r T t T t
利用期望的积分定义，可估算出 c的值为
()12( ) ( )r T tc SN d Ke N d
其中 2
1
l n ( / ) ( / 2 ) ( )S K r T td
Tt
首页表示变量的期望值表示期权被执行的概率
N（ X）是均值为 0，标准差为 1的累积正态分布函数
2
2
l n( / ) ( / 2)( )S K r T td
Tt
1d T t
注 价格 c的公式可改写为
( ) ( )12[ ( ) ( ) ]r T t r T tc e SN d e K N d
其中
2()Nd
2()KN d
表示期权协定价格与协定价格将会被执行的概率的积
()1() r T tSN d e?
为TSK?
TSK?
为 0TS当首页同样 欧式看跌期权的价格公式为
() 21( ) ( )r T tp Ke N d SN d
说明当股票价格 S变得非常大,和 都会随之增大,和 都趋于 1，则欧式看涨期权的价值
1d 2d
1()Nd 2()Nd
()r T tc S K e
当股票价格 S变得非常大,和都趋于 0，则看跌期权的价值 0。1()Nd? 2()Nd?
首页三、累积正态分布函数利用定价公式，需要计算累积正态分布函数
()Nx
下面给出多项式的近似计算方法：
23
1 2 31 ( ) ( ) 0()
1 ( ) 0
N x a M a M a M xNx
N x x
其中
1
1M x
0,3 3 2 6 7 1 0.4361836a?
2 0.1 20 16 76a 3 0.9 37 29 80a?
2
21()
2
x
N x e
首页按此公式可以求出累积正态分布函数 的值，
并且通常可以精确到小数点四位数，其误差也总是在
0.0002的范围之内。
例 2
()Nx
假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，
此时股票价格为 42美元，股票期权的协定价格是 40美元，无风险利率是 10%，每年的易变性是 20%。求欧式看涨期权 和看跌期权的价值 。
解 由于
42S? 40K? 0.1r?
0.2 0,5Tt
因此
1
l n 1,0 5 0,1 2 0,5 0,7 6 9 3
0,2 0,5
d
首页
2
l n 1,0 5 0,0 8 0,5 0,6 2 7 8
0,2 0,5
d
( ) 0,0 54 0 3 8,0 4 9r T tK e e
故欧式看涨期权的价值为
()12( ) ( )r T tc SN d Ke N d
4 2 (0,7 6 9 3 ) 3 8,0 4 9 (0,6 2 7 8 )NN
欧式看跌期权的价值为
() 21( ) ( )r T tp Ke N d SN d
3 8,0 4 9 ( 0,6 2 7 8 ) 4 2 ( 0,7 6 9 3 )NN
首页利用多项式近似计算法，求得
(0,7 6 9 3 ) 0,7 7 9 1N?
因此
( 0,6 2 7 8 ) 0,2 6 5 1N(0,6 2 7 8 ) 0,7 3 4 9N?
( 0,7 6 9 3 ) 0,2 2 0 9N
4,7 6c? 0,8 1p?
表示 对看涨期权的购买者而言，股票价格必须上涨 2.76美元才能达到盈亏平衡。
对看跌期权的购买者而言，股票价格必须下跌 2.81美元才能形成盈亏平衡。返回首页
--------偏微分方程 (PDE)
第一节 无风险组合与偏微分方程第二节 衍生产品期权的定价第一节 无风险组合与偏微分方程一、无风险组合衍生产品是以其它证券为基础签订的合同，此合同有一定的期限，用 T来表示到期日，
则衍生工具的价格 只取决于基础证券的价值 和时间 T，即有 TF
tS
()TTF F S T?,
即在到期日,能确切的知道函数 的形式()
TF S T，
首页如果知道基础证券的价值的运动规律,那么我们就可以用 Ito定理来确定衍生产品的价格的变化 。
这意味 和 都与基础证券的不确定性，即扰动项 有关，则这就使得在连续时间下构造无风险组合成为可能。
其中 分别是购买的衍生工具和基础证券的数量，其代表组合的权重。 当其为常数时
tdS
tdF
tdS tdF
tdW
假定将 tP 元投资于 )( tSF t,和 tS 的组合
1,2()t t tP F S t S
12,
12t t tdP dF dS
则有具体方法首页假定基础资产遵循随机方程模型用 Ito定理得到衍生资产价格函数的偏微分方程首先，由市场参与者来决定组合的权重再连同 和 一起代入
12,
12t t tdP dF dS
则有
(,) (,)t t t td S a S t d t S t d W
21
2t s t ss t t s t tdF F a F F dt F dW
tdS tdF
若取
1 1 2 sF
212()t t s s td P F F d t
上式没有扰动项,完全可预见，在任意时刻都是一个确定的增量，这也就意味着组合无风险。 tdP
表明首页由于无风险,为了避免套利,在相同的时间间隔 里,
增量 一定等于无风险投资的收益 。
假定无风险收益为常数 r，则以不支付红利的情况为例，则
tdP
当 不支付红利时，预期的资本收益一定等于
tS trPdt
dt
当 每单位时间支付红利 时，预期的资本收益一定等于 tS
trP dt dt
212t t s s trP dt F dt F dt
即
212t t s s tr P F F
t s tP F F S
又故 21
2t s t t s sr S F F F r F
偏微分方程首页由于以 S 作为基础产品的衍生产品有许多种，因而该方程就有许多不同解。要想解出某种特定的衍生产品，必须用到其边界条件。
即一旦给出 S 和 t 的边界值，则衍生产品的价值也就随之确定。
,,TTF S T G S T?
这里 )(?G 是一个关于 tS,T 的已知函数。
边界条件衍生产品的到期日是 T，基础证券的价格与衍生证券的价格之间的关系在到期日是可明确确定的，即在到期日衍生产品的价格可由下式给出：
又因为则称此式为偏微分方程的边界条件首页如 欧式看涨期权,若执行价格为 K，则边界条件为即表示：若到期时股票价格低于执行价格，即
，则此看涨期权就不被执行，期权就是无价值的。否则期权价值等于股票价格与执行价格之差。
,m a x,0TTF S T S K
0TSK
当 时tT?
同样，对欧式看跌期权,则边界条件为
,m a x,0TTF S T K S 当 时tT?
首页二、偏微分方程的 一般形式形如边界条件为
0 1 2 3 0s t s sa F a S F a F a F
,,TTF S T G S T?
即为衍生产品的 偏微分方程的一般形式。
说明 1
为得出衍生工具的无套利价格，需构造无风险组合，由此方法导出偏微分方程。另外，
边界条件和偏微分方程都受相关衍生产品的影响。
其中，一般变量为 S,G（）是一个已知函数。
首页说明 2 这种方法的核心即解一个偏微分方程。即求函数,对其 求不同的偏导数,代入方程使其成立。同样，当,函数 F一定等于已知函数 G---必需满足的边界条件。
()tF S t，
tT?
在金融领域中边界条件代表各种衍生产品的约束条款。从现有的金融产品和问题来看，边界条件是变化的。最明显的边界价值是衍生合同最初和最终的价值。通常，由金融理论得出一些衍生合同的价格是基础证券到期日价值的函数，它可作为必须满足的边界条件。
首页三、二阶偏微分方程的类型对二阶偏微分方程：
0 1 2 3 4 5 0t s s s tt s ta a F a F a F a F a F
若 2
5 3 440a a a
则称其为椭圆型偏微分方程若 25 3 440a a a
则称其为抛物线型偏微分方程若
25 3 440a a a
则称其为双曲线型偏微分方程首页例 衍生产品的偏微分方程：
0 1 2 3 0s t s sa F a S F a F a F
由于
4 0a? 5 0a?
25 3 440a a a满足因此它是抛物线型的偏微分方程。
返回首页第二节 衍生产品期权的定价
（补充内容）
若 假设 基础资产为股票，即股票的价格变化遵循微分方程
2212s t t s sr S F F S F r F
此式即为著名的
d S S d t S d W
则 在第一节推出的偏微分方程，将变成布莱克 -----斯科尔斯方程一、布莱克 -----斯科尔斯方程首页例 1 设有某种不支付股息的股票的远期合约，
其价值 F与股票 S的关系为：
则价值 F满足布莱克 -----斯科尔斯方程。
解
()r T tF S K e
（ K为交割价格）
因为
()r T tF rK e
dt
1FdS
2
2 0
F
S
2212s t t ssrSF F S F
则有
()r T tr S r K e rF?
即满足布莱克 -----斯科尔斯方程。首页函数 即为布莱克 -----斯科尔斯方程的解。
说明 ()r T tF S K e
因此，可用偏微分方程来求出衍生产品的价格。
二、定价公式在风险中立化条件下，欧式看涨期权的期望价值为布莱克 -----斯科尔斯微分方程，解决了欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价问题。
[ m a x(,0) ]TE S K?
其中 表示远期合约到期时间 T时的股票价格，
K表示交割价格。TS首页根据风险中立化原理，欧式看涨期权的价格 c 就是将此期望值按无风险利率进行贴现后的值，即
() [ m a x(,0)]r T t
Tc e E S K
又在风险中立化条件下,的概率分布满足
TS
2
l n [ l n ( ) ( ),]2TS S r T t T t
利用期望的积分定义，可估算出 c的值为
()12( ) ( )r T tc SN d Ke N d
其中 2
1
l n ( / ) ( / 2 ) ( )S K r T td
Tt
首页表示变量的期望值表示期权被执行的概率
N（ X）是均值为 0，标准差为 1的累积正态分布函数
2
2
l n( / ) ( / 2)( )S K r T td
Tt
1d T t
注 价格 c的公式可改写为
( ) ( )12[ ( ) ( ) ]r T t r T tc e SN d e K N d
其中
2()Nd
2()KN d
表示期权协定价格与协定价格将会被执行的概率的积
()1() r T tSN d e?
为TSK?
TSK?
为 0TS当首页同样 欧式看跌期权的价格公式为
() 21( ) ( )r T tp Ke N d SN d
说明当股票价格 S变得非常大,和 都会随之增大,和 都趋于 1，则欧式看涨期权的价值
1d 2d
1()Nd 2()Nd
()r T tc S K e
当股票价格 S变得非常大,和都趋于 0，则看跌期权的价值 0。1()Nd? 2()Nd?
首页三、累积正态分布函数利用定价公式，需要计算累积正态分布函数
()Nx
下面给出多项式的近似计算方法：
23
1 2 31 ( ) ( ) 0()
1 ( ) 0
N x a M a M a M xNx
N x x
其中
1
1M x
0,3 3 2 6 7 1 0.4361836a?
2 0.1 20 16 76a 3 0.9 37 29 80a?
2
21()
2
x
N x e
首页按此公式可以求出累积正态分布函数 的值，
并且通常可以精确到小数点四位数，其误差也总是在
0.0002的范围之内。
例 2
()Nx
假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，
此时股票价格为 42美元，股票期权的协定价格是 40美元，无风险利率是 10%，每年的易变性是 20%。求欧式看涨期权 和看跌期权的价值 。
解 由于
42S? 40K? 0.1r?
0.2 0,5Tt
因此
1
l n 1,0 5 0,1 2 0,5 0,7 6 9 3
0,2 0,5
d
首页
2
l n 1,0 5 0,0 8 0,5 0,6 2 7 8
0,2 0,5
d
( ) 0,0 54 0 3 8,0 4 9r T tK e e
故欧式看涨期权的价值为
()12( ) ( )r T tc SN d Ke N d
4 2 (0,7 6 9 3 ) 3 8,0 4 9 (0,6 2 7 8 )NN
欧式看跌期权的价值为
() 21( ) ( )r T tp Ke N d SN d
3 8,0 4 9 ( 0,6 2 7 8 ) 4 2 ( 0,7 6 9 3 )NN
首页利用多项式近似计算法，求得
(0,7 6 9 3 ) 0,7 7 9 1N?
因此
( 0,6 2 7 8 ) 0,2 6 5 1N(0,6 2 7 8 ) 0,7 3 4 9N?
( 0,7 6 9 3 ) 0,2 2 0 9N
4,7 6c? 0,8 1p?
表示 对看涨期权的购买者而言，股票价格必须上涨 2.76美元才能达到盈亏平衡。
对看跌期权的购买者而言，股票价格必须下跌 2.81美元才能形成盈亏平衡。返回首页
