第二章 随机过程的基本概念第一节 随机过程的定义及其分类第二节 随机过程的分布及其数字特征第三节 复随机过程第四节 几种重要的随机过程简介第一节 随机过程的定义及其分类一、直观背景及例电话站在时刻 t时以前接到的呼叫次数例 1
一般情况下它是一个随机变数 X,并且依赖时间 t，即随机变数 X（ t）,t?[0,24]。
例 2 研究某一商品的销售量一般情况下它是一个随机变数 X,并且依赖时间 t，即随机变数 X（ t）,t=1,2,… 首页例 3 国民收入问题表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。
随着各种随机因素的影响而随机变化，
一般地有其中 C（ t）,I（ t）分别表示 t年的消费和积累随机过程
)()()( tItCtY
首页二、随机过程的定义
1．随机过程设 E是随机试验,{?}是它的的样本空间,T是一个参数集，若对于每一个都有随机变量,与之对应，
则称依赖于 t的随机变量 为随机过程，或称为随机函数，
通常记作
Tt?
),(?tX
),(?tX
{ )( tX,Tt? } 或 )( tX 。
说明 1 参数集 T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。首页说明 2
因为随机过程 { )( tX,Tt? } 是一个二元函数对于每一个固定的时刻 Tt?0,
)( 0tX
是一个随机变量，
并称作随机过程 )( tX 在 0tt? 时的一个状态，
它反映了 )( tX 的,随机”性；
对于每一个0?,
)( tX 是一个确定的样本函数，
它反映了 )( tX 的变化,过程”。
首页
2．贝努利过程设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现的结果。如果出现正面，记其结果为 1；如果出现反面，记其结果为 0。一直抛掷下去，便可得到一无穷序列因为每次抛掷的结果是一个随机变量（ 1或 0），
所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列，
称为随机序列，也可称为随机过程。
每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独立的，并且出现 1或 0的概率与抛掷的时间 n无关。
{ 0121 或；，，； nn xnx? }
首页设
P { 1?nx } = p （第 n 次抛掷出现正面的概率）
P { 0?nx } = q = 1? p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P { 1?nx } = p 与 n 无关，
且 ix,kx ( ki? 时 ) 是相互独立的随机变量。
称具有这种特性的随机过程为 贝努利型随机过程 。
注 如果固定观测时刻 t，则它的试验结果是属于两个样本点（ 0,1）所组成的样本空间如果在二个不同时刻 1t,2t 观测试验结果则样本空间出现的值为（ 0,0）,（ 0,1）,（ 1,0）,（ 1,1）
则 { 21,xx } 是一个二维随机变量首页三、随机过程的分类
1,按参数集和状态分类参数集 T的是一个可列集 T={0,1,2,…}
离散参数连续参数参数分类参数集 T的是一个不可列集 }0|{ ttT
状态分类离散状态连续状态
)(tX
取值是离散的取值是连续的 首页
T离散,I离散
T离散,I非离散（连续）参数 T
状态 I
分类概率结构分类
2．按过程的概率结构分类
T非离散（连续）,I离散
T非离散（连续）,I非离散（连续）
独立随机过程独立增量随机过程马尔可夫过程平稳随机过程 首页
（ 1）独立随机过程简称独立随机过程。
设 { )( tX,Tt? } 对任意 n 个不同的 1t,2t,?,Tt n?
)( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX 是相互独立的则称 )( tX 为具有独立随机变量的随机过程，
首页
（ 2）独立增量随机过程是相互独立的，
设 { )( tX,Tt? } 对任意 n 个不同的 1t,2t,?,Tt n?
且 nn tttt 121?
)()( 12 tXtX?,)()( 23 tXtX?,?,)()( 1 nn tXtX
则称 )( tX 为具有独立增量的随机过程。
首页
（ 3）马尔可夫过程简称马氏过程。
设 { )( tX,Tt? } 对任意 n 个不同的 1t,2t,?,Tt n?
且 nn tttt 121?
|)(( nn xtXP? 11 )( nn xtX,?,))( 11 xtX?
= |)(( nn xtXP? 11 )( nn xtX ），
则称 )( tX 为马尔可夫过程首页马氏过程的特点马氏性实质上是无后效性,所以也称马氏过程为 无后效过程 。
称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。
当随机过程在时刻 1?nt 的状态已知的条件下，
它在时刻 nt （ 1 nn tt ）所处的状态仅与时刻 1?nt 的状态有关，
而与过程在时刻 1?nt 以前的状态无关首页
（ 4）平稳随机过程平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对
“未来”有不可忽视的影响。
返回首页第二节 随机过程的分布及其数字特征一、随机过程的分布函数一维分布函数 其分布函数为设 { )( tX,Tt? } 是一个随机过程，
对于固定的 Tt?1,)( 1tX 是一个随机变量，
})({)( 1111 xtXPxtF；,Tt?1
称 )( 11 xtF ； 为随机过程 )( tX 的一维分布函数。
一维概率密度若存在二元非负函数 )( 11 xtf ；,使
11111 )()(
1 dyytfxtF x ；；?
则称 )( 11 xtf ； 为随机过程 )( tX 的一维概率密度首页二维分布函数联合分布函数二维概率密度二维随机向量 （ )( 1tX,)( 2tX ） Ttt?),( 21
})(,)({),,( 22112121 xtXxtXPxxttF；,
称为随机过程 )( tX 的二维分布函数若存在非负函数 ),,( 2121 xxttf ；
),,( 2121 xxttF ； = 212121 ),,(1 2 dydyyyttfx x ；
则称 ),,( 2121 xxttf ； 为 )( tX 的二维概率密度首页
n 维分布函数 联合分布函数
n维概率密度
n 维随机向量 （ )( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX ）
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
})(,)(,)({ 2211 nn xtXxtXxtXP,?
若存在非负函数 ),,,,,,( 2121 nn xxxtttf ；
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
= nnnx x x dydydyyyytttfn 212121 ),,,,,,(1 2 ；
首页有限维分布族一维，二维,…,n维分布函数的全体：
易知
}1,,,,),,,,,,,({ 212121 nTtttxxxtttF nnn ；
它不仅刻划了每一时刻 Tt?1 随机过程 )( tX 的状态
)( 1tX 的分布规律，而且也刻划了任意时刻
Tttt n?,,,21? 随机过程 )( tX 的状态
)( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX 之间的关系因此,一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表达出来 。
首页联合分布函数 n + m维随机向量分布函数设 )( tX 和 )( tY,nttt,,,21?,Tttt m,,,21?
{ )( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX,)( 1tY?,)( 2tY?,?,)( mtY? }
nXY ttF,,( 1? ； mtt,,1? ； nxx,,1? ； myy,,1? ）；nn xtXxtXP )(,,)({ 11?
mm ytYytY ）（）（,,11? }
称为随机过程和的 n + m维联合分布函数首页相互独立 n + m维随机向量 分布函数设 )( tX 和 )( tY,nttt,,,21?,Tttt m,,,21?
nXY ttF,,( 1? ； mtt,,1? ； nxx,,1? ； myy,,1? ）
则称随机过程 相互独立；nX ttF,,( 1 nxx,,1? ） (YF mtt,,1? ； myy,,1? ）
)( tX 和 )( tY
首页例 1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t
对应随机变量
时取得白球如果时取得红球如果
t
t
te
t
tX
,
,
3)(
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求概率密度首页所以解对每一个确定的时刻 t,)( tX 的概率密度为
3
t
te)(tX
3
2
3
1P
)(
11
xtF ； ))((
11
xtXP
t
t
ex
ex
t
t
x
，1
3
,
3
2
3
,0
1
1
首页二、随机过程的数字特征
1．均值函数或称为数学期望说明设随机过程 { )( tX,Tt? },
则 )]([)( tXEtm?,Tt?,
称为随机过程 )( tX 的均值函数
)( tm 是 )( tX 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均它表示随机过程 )( tX 在时刻 t 的摆动中心首页
2．方差函数说明随机过程 { )( tX,Tt? } 的二阶中心矩
]))()([()]([)( 2tmtXEtXDtD
称为随机过程 )( tX 的方差函数
)( tD 的平方根?)( t? )( tD
均方差函数它表示 )( tX 在各个时刻 t 对于 )( tm 的偏离程度首页
3．协方差函数二阶中心混合矩简称协方差函数随机过程 )( tX 在 Ttt?21,的状态 )( 1tX 和 )( 2tX
),( 21 ttK ) ) ]()() ) (()([( 2211 tmtXtmtXE
称为随机过程 )( tX 的自协方差函数当 Tttt 21,有注
),()( ttKtD? ]))()([( 2tmtXE
首页
4．互协方差函数其中设 )( tX 和 )( tY 是两个随机过程对任意 Ttt?21,，则
),( 21 ttK XY )]()()][()([ 2211 tmtYtmtXE YX
称为随机过程 )( tX 与 )( tY 的互协方差函数
)]([)( 11 tXEtm X?
)]([)( 22 tYEtm Y?
首页
5．相关函数简称相关函数注对任意 Ttt?21,
)( 1tX 和 )( 2tX 的二阶原点混合矩
),( 21 ttR )]()([ 21 tXtXE?
称为随机过程 )( tX 的自相关函数，
当 0)(?tm 时，有
),( 21 ttR = ),( 21 ttK
首页
6．互相关函数注对任意 Ttt?21,
设 )( tX 和 )( tY 是两个随机过程
),( 21 ttR XY )]()([ 21 tYtXE?
称为随机过程 )( tX 与 )( tY 的互相关函数
),( 21 ttK XY = ),( 21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?
则首页
7．互不相关注对任意 Ttt?21,
设 )( tX 和 )( tY 是两个随机过程
),( 21 ttK XY =0
则称随机过程 )( tX 与 )( tY 互不相关有若随机过程 )( tX 与 )( tY 互不相关则 ),(
21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?
即 )]([)]([)]()([ 2121 tYEtXEtYtXE?
若首页例 2
解求,（ 1） 均值函数； （ 2） 协方差函数； （ 3） 方差函数 。
设随机过程 tUtX 2c os)(?,其中 U 是随机变量且 5)(?UE,6)(?UD
（ 1） )(tm ]2c o s[)]([ tUEtXE
][2c os UtE? t2c o s5?（ 2）
),( 21 ttK )]()()(()([( 2211 tmtXtmtXE
]2c os)5(2c os)5[( 21 tUtUE
])5[(2c o s2c o s 221 UEtt
][2c o s2c o s 21 UDtt? 21 2c o s2c o s6 tt?（ 3）
令 ttt 21得 ttXD 2c o s6)]([ 2?首页例 3
解试求它们的互协方差函数 。
所以设两个随机过程 2)( UttX?,3)( UttY?
其中 U 是随机变量且 5)(?UD
)( tX 和 )( tY 的均值函数
][)( 2UtEtm X? ][2 UEt?
][)( 3UtEtm Y? ][3 UEt?
),( 21 ttK XY ) ] }()() ] [()({[ 322211 UEttYUEttXE
]))([( 23221 UEUEtt )(3221 UDtt? 32215 tt?
)( tX 和 )( tY 的 互 协方差 函数首页三、随机过程的特征函数
1．一维特征函数 则注设 )( tX 是一个随机过程对固定的 Tt?1
][),( )(11 11 tXieEt
111 )(
11 dxxtfe xi ；
（ )( 11 xtf ； 是 )( 1tX 的一维密度函数,1? 是实数）
称为随机过程 )( tX 的一维特征函数它是 1t 与 1? 的二元函数首页
2,n维特征函数 则
3.有限维特征函数族设 )( tX 是一个随机过程对固定的 Ttt n?,1?，,
][),,,,( )()((11 11 nn tXtXinn eEtt ；
称为随机过程 )( tX 的 n 维特征函数其中 1?,n?,? 是实数。
{ )( tX,Tt? } 的一维，,? n 维特征函数的全体
{ ),,,,( 11 nntt ；,Ttt n?,,1?,1?n }
注 随机过程 )( tX 的有限维分布函数族与有限维特征函数族相互唯一决定 返回首页第三节 复随机过程一、定义是两个实随机过程 则设 { )( tX,Tt? } 与 { )( tY,Tt? }
)()()( tiYtXtZ,Tt?
称为复随机过程记作 { )( tZ,Tt? },简记作 )( tZ
并称实随机过程 )( tX,)( tY 的联合分布为复随机过程 )( tZ 的分布首页二、数字特征
1．均值函数
2．自协方差函数其中记号,—,表示“共轭”
)]([)]([)]([)( tYiEtXEtZEtm Z
)()( timtm YX
{ )( tZ,Tt? } 在时刻 Ttt?21,的状态
)( 1tZ 与 )( 2tZ 的二阶中心混合矩
),( 21 ttK Z ]})()() ] [()({[ 2211 tmtZtmtZE ZZ
称为复随机过程 )( tZ 的自协方差函数首页
3,自相关函数自协方差函数与自相关函数的关系
4,方差函数
])()([E),( 2121 tZtZttR Z?
)()(),(),( 212121 tmtmttRttK ZZZZ
]|)()([|)( 2tmtZEtD ZZ
它实际上等于自协方差函数
),( ttK Z
且有 )( tD
Z )()( tDtD YX
首页证 由于所以即 )( tD
Z )()( tDtD YX
)()( tmtZ Z?
))()(())()(( timtmtiYtX YX
))()(())()(( tmtYitmtX YX
)( tD Z ]))()(())()([( 22 tmtYtmtXE YX
]))()([(]))()([( 22 tmtYEtmtXE YX
)()( tDtD YX
首页
5,互协方差函数
6,互相关函数设 )(1 tZ,)(2 tZ 是两个复随机过程对固定的 Ttt?21,
),( 2121 ttK ZZ ]})()()][()({[ 222111
21 tmtZtmtZE ZZ
称为 )(1 tZ 与 )(2 tZ 的互协方差函数。
])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ?
首页自相关关系 )()()( tiYtXtZ 的自相关函数可有 )( tX 和 )( tY 的自相关函数和互相关函数表示即
])()([E),( 2121 tZtZttR Z?
)],(),([),(),( 21212121 ttRttRittRttR XYYXYX
类似地
])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ?
),(),( 2121 2121 ttRttR YYXX
)],(),([ 2121 2112 ttRttRi YXXY
互相关关系首页例 1 已知复随机过程
tietZ)(,1Rt?
其中 N （ 0,1 ）,? 是给定常数，
求 )( tZ 的均值函数和相关函数。
解
][)]([ tieEtZE 0][ Ee ti
),( 21 ttR ][ 21 titi eeE
][ 2)( 21 Ee tti )( 21 ttie
][ 21 titi eeE
返回首页第四节 几种重要的随机过程简介一、独立增量过程
1,定义随机变量的增量是相互独立的设 { )( tX,Tt? } 是一随机过程，
若对任意正整数 n 及 Ttt n?,1?，,nn tttt 121?
)()( 12 tXtX?,)()( 23 tXtX?,?,)()( 1 nn tXtX
则称 )( tX 为独立增量的过程首页
2,齐次性或称时齐的注若对任意的 t,Tt,
增量 )()( tXtX 的概率分布只依赖于? 而与t 无关，
则称随机过程 )( tX 为齐次的，
若 )( tX 是齐次的，
所以只要时间间隔? 相同那么增量服从的分布也相同，具有平稳性增量所服从的分布与时间起点无关首页例 1
证设 { )( nX,?,2,1,0?n } 是相互独立的随机变量序列，令
)()(
0
nXiY
i
n
则 { )( iY,?,2,1,0?i } 是一个独立增量过程。
)1()( iYiY )( iX （?,2,1?i ）
而 )( iX （?,2,1?i ）是相互独立的所以 { )( iY,?,2,1,0?i } 是一个独立增量过程。
首页二,泊松过程
1．计数过程则且满足：
如果用 )( tX 表示 [0,t ] 内 随 机 事件 发 生 的总 数,
随机过程 { )( tX,0?t } 称 为 一 个计 数 过 程
（ 1 ） 0)(?tX（ 2 ） )( tX 是整数值
（ 3 ） 对 任 意 两 个 时 刻 210 tt,有 )()( 21 tXtX?
（ 4 ） 对 任 意 两 个 时 刻 210 tt,
)()( 12 tXtX? 等于在区间 ],( 21 tt 中 发 生 的 事 件 的 个 数首页注 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。
2,泊松过程满足若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。
设随机过程 { )( tX,0?t } 是一个计数过程，
（ 1 ） 0)0(?X
（ 2 ） )( tX 是独立增量过程首页则称注意
（ 3 ）对任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为 t? （ 0 ）的泊松分布，
即对一切 0,?ts,有
})()({ ksXstXP t
k
ekt !)(
,2,1,0?k
)( tX 为具有参数? 的泊松过程从条件（ 3）可知泊松过程有平稳增量，且
ttXE)]([ 并称? 为此过程的生起率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
首页说明 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：
为此给出一个与泊松过程等价的定义满足设随机过程 { )( tX,0?t } 是一个计数过程，
条件 （ 1 ）只是说明事件的计数是从时刻 0?t 开始条件 （ 2 ）通常可从对过程的了解的情况去直接验证然而全然不清楚如何去确定条件 （ 3 ）是否满足参数为? （ 0 ），
首页则称
)( tX 为具有参数? 的泊松过程
（ 3 ） )(}1)({ hhhXP
（ 4 ） )(}2)({ hhXP
其中 )( h? 表示当 0?h 时对 h 的高阶无穷小，
（ 1 ） 0)0(?X
（ 2 ）过程有平稳与独立增量首页例 2 顾客到达某商店服从参数 4 人 / 小时的泊松过程，
已知商店上午 9,00开门，试求到 9,30时仅到一位顾客，而到 11,30时总计已达 5位顾客的概率。
解
)5)5.2(,1)5.0(( XXP
)4)5.0()5.2(,1)5.0(( XXXP
)4)2(()1)5.0(( XPXP
5.04
1
!1
)5.04( e 24
4
!4
)24( e
0155.0?
设 表示在时间 t时到达的顾客数)(tX
首页
3,到达时间间隔和等待时间的分布定义则称设 { )( tX,0?t } 为泊松过程，
)( tX 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数
iW （?,2,1?i ）表示事件第 i 次发生的等待时间
{ nW,1?n } 为等待时间序列以 nT （ 1?n ）表示第 1?n 次发生到第 n 次发生之间的时间间隔则称 {
nT,1?n } 为到达时间间隔序列首页定理 1
证或设 { )( tX,0?t } 是参数为? （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列?，,21 TT 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为?/1 的指数分布。
事件 { tT?1 } 的发生当且仅当没有泊松事件在 ]0[ t,内发生故当 0?t 时，有
}0)({}{ 1 tXPtTP tt eet
!0
)( 0
}{ 1 tTP? te 1
故 1T 的分布函数为首页那么类似地有
0,0
0,1
)(
1 t
te
tF
t
T
即 1T 是服从均值为?/1 的指数分布。
又因 2T 为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，
}|{ 112 sTtTP
}|],({ 1111 sTtssP 内没有事件发生在
}],({ 11 内没有事件发生在 tssP （增量的独立性）
}0)()({ 11 sXtsXP
}0)0()({ XtXP （齐次独立增量过程）
tetXP }0)({
首页可见一般地
2T 也服从均值为?/1 的指数分布且 2T 与 1T 独立同分布。
对 1?n 和 0121nssst,，，,?
},,,|{ 112211 nnn sTsTsTtTP?
内没有事件发生在 ],({ 1111 tssssP nn
},,,| 112211 nn sTsTsT?
内没有事件发生在 ],({ 1111 tssssP nn
}0)()({ 1111 nn sstssXP X
}0)0()({ XtXP tetXP }0)({
首页这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列,且都具有相同均值为的指数分布 。
例 3
nT （ 1?n ）
/1
甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从 10分钟 1辆（甲）,15分钟 1
辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。
解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布
)(1 tX 和 )(2 tX 的生起率分别为 10/11,15/12
下面证明两路车混合到达过程 服从生起率为)(tX
21 的泊松分布首页事实上且所以由泊松过程的定义可知因此
)( tX = )(1 tX + )(2 tX 是独立增量
)()( tXstX 是相互独立地服从泊松分布的随机变量
)()( 11 tXstX 及 )()( 22 tXstX 的和，
)(tX 服从均值为 s? 的泊松分布。
)( tX 服从生起率为 6/115/110/1 的泊松过程。
由定理 1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为 6分钟的指数分布。 再由指数分布的无记忆性，
这位乘客的等待时间也服从均值为 6分钟的指数分布。 首页定理 2
其概率密度为设 { )( tX,0?t } 为泊松过程，
证则等待时间 nW （ 1?n ）服从 ),(?n? 分布，
)( tf
)!1(
)( 1
n
te nt
,0?t
因为事件 }{ tW n? 等价于事件 { ntX?)( }
所以
nW 的分布函数为
}{)( tWPtF n })({ ntXP
t
nk
k
e
k
t
!)( 0?t 首页于是
nW 的概率密度为
)()( tFtf t
nk
k
ek t
)!1( )(
1 t
nk
k
e
k
t
)!( )(
t
n
en t
)!1(
)( 1 t
nk
k
ek t
1
1
)!1(
)(
t
nk
k
e
k
t
)!( )(
)!1(
)( 1
n
te nt
首页三,维纳过程
1．定义则称 或布朗运动过程如果随机过程 { )( tX,),0[ Tt } 满足
（ 1 ） 0)0(?X
（ 2 ） )( tX 是齐次的独立增量过程
（ 3 ）对于每一个 0?t,有 )( tX? ),0( 2 tN?
随机过程 )( tX 为维纳过程当 1 时，称为标准维纳过程特别首页
2,均值,方差,协方差及相关函数均值协方差及相关函数证
0)]([?tXE
方差 ttXD 2)]([
),( 21 ttK ),( 21 ttR? ),m i n ( 212 tt
由定义可得 均值、方差公式首页下证
),( 21 ttK ),( 21 ttR? ),m i n ( 212 tt
当 21 tt? 时
)]()([),( 2121 tXtXEttR?
)[({ 1tXE? )()( 12 tXtX? ]+ )( 12 tX }
)]([ 12 tXE? )]0()({[ 1 XtXE [ )()( 12 tXtX? ]}
)]([ 1tXD? 12 t
同理当 12 tt? 时 ),(
21 ttR 22 t
故
),m i n (),( 21221 ttttR
显然 ),(
21 ttK ),( 21 ttR?首页
3．
对任意 nttt,,21?, 210 tt nt
维纳过程 )( tX 有
)()( 1 ii tXtX? ))(,0( 12 ii ttN?,ni,,2,1
证 由于增量
)()( 1 ii tXtX,ni,,2,1
是相互独立的正态变量。
所以
)]()([ 1 ii tXtXE
0)]([)]([ 1ii tXEtXE
首页
)]()([ 1 ii tXtXD })]()({[ 21 ii tXtXE
)]()()(2)([ 1212 iiii tXtXtXtXE
)]([)]()([2)]([ 1212 iiii tXEtXtXEtXE
it2 1
22 it? 12 it?
ii tt1
)( 12 ii tt?
首页
4,具有马氏性证因此所以因 )( tX 是维纳过程增量 )()( sXstX 与时刻 s 以前的状态
)(?X ( s0 ) 独立，
xsXastXP )(|)({,)(?X,s0 }
xsXxasXstXP )(|)()({,)(?X,s0 }
xsXxasXstXP )(|)()({ }
xsXastXP )(|)({ }
所以维纳过程是马氏过程。 首页例 4
试求的协方差函数。
且解设 { )( tW,0?t } 是一个维纳过程，
0)0(?W )()( tWltW （ 0?l 常数）
),( 21 ttK ))()([( 11 tWltWE ))]()(( 22 tWltW
)]()([ tWltWE
)]()([ 21 ltWtWE
)]()([ 21 tWltWE )]()([
21 tWtWE?
),m i n ( 212 ltlt ),m i n ( 212 ltt
),m in ( 212 tlt ),m in ( 212 tt
)(tm 0?
)]()([ 21 ltWltWE
首页当 21 tt? 时，可得
),( 21 ttK
1221
2
12
),(
,0
ttltlt
ttl
当 21 tt?,可得
),( 21 ttK
2112
2
21
),(
,0
ttltlt
ttl
所以
),( 21 ttK
||| ),|(
||,0
2121
2
21
ttlttl
ttl
首页四,正态过程
1．定义为 n维正态分布,其密度函数为也称高斯过程则称设 { )( tX,Rt? } 是一随机过程，
对任意正整数 n 及 Rttt n?,,,21?,
随机变量 )( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX 的联合分布函数
),,,,,,( 2121 nn xxxtttf ；
)}()(21e x p {||)2( 1 12/12/ mxKmxKn
)( tX 为正态过程 首页其中
nx
x
x
x
2
1
)(
)(
)(
2
1
ntm
tm
tm
m
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
21
22212
12111
nnnn
n
n
ttKttKttK
ttKttKttK
ttKttKttK
K
且
)]([)( ii tXEtm?
) ] }()() ] [()({[),( jjiiji tmtXtmtXEttK ),( ij ttK?
K为协方差矩阵
1?K 是 K 的逆矩阵
)( mx 表示 )( mx? 的转置矩阵首页注
2,维纳过程是正态过程由正态过程的 n维概率密度表达式知,正态过程的统计特性,由它的均值函数 及自协方差函数 完全确定 。
由维纳过程定义知
)(tm
),( 21 ttK
设 { )( tX,0?t } 是一维纳过程，0)0(?X
对任意 nttt21,
)( 1tX（,?)( 2tX )( 1tX,?,）)()( 1 nn tXtX
服从 n维正态分布首页故知
)( 1tX（,)( 2tX,?,）)( ntX
)( 1tX（?,?)( 2tX )( 1tX,?,）)()( 1 nn tXtX
100
110
111
)( 1tX（,)( 2tX,?,）)( ntX 服从 n 维正态分布，
所以 )( tX
为正态过程又因首页例 5
证可得设 { )( tX,Rt? } 是一个独立的正态过程，
则其协方差函数 0),( 21?ttK （ 21 tt? ）。
若 21 tt?,)( 1tX 与 )( 2tX 相互独立，
)()()]()([),( 212121 tmtmtXtXEttK
0)()()()( 2121 tmtmtEXtEX
注 逆命题也成立返回首页
一般情况下它是一个随机变数 X,并且依赖时间 t，即随机变数 X（ t）,t?[0,24]。
例 2 研究某一商品的销售量一般情况下它是一个随机变数 X,并且依赖时间 t，即随机变数 X（ t）,t=1,2,… 首页例 3 国民收入问题表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。
随着各种随机因素的影响而随机变化，
一般地有其中 C（ t）,I（ t）分别表示 t年的消费和积累随机过程
)()()( tItCtY
首页二、随机过程的定义
1．随机过程设 E是随机试验,{?}是它的的样本空间,T是一个参数集，若对于每一个都有随机变量,与之对应，
则称依赖于 t的随机变量 为随机过程，或称为随机函数，
通常记作
Tt?
),(?tX
),(?tX
{ )( tX,Tt? } 或 )( tX 。
说明 1 参数集 T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。首页说明 2
因为随机过程 { )( tX,Tt? } 是一个二元函数对于每一个固定的时刻 Tt?0,
)( 0tX
是一个随机变量，
并称作随机过程 )( tX 在 0tt? 时的一个状态，
它反映了 )( tX 的,随机”性；
对于每一个0?,
)( tX 是一个确定的样本函数，
它反映了 )( tX 的变化,过程”。
首页
2．贝努利过程设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现的结果。如果出现正面，记其结果为 1；如果出现反面，记其结果为 0。一直抛掷下去，便可得到一无穷序列因为每次抛掷的结果是一个随机变量（ 1或 0），
所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列，
称为随机序列，也可称为随机过程。
每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独立的，并且出现 1或 0的概率与抛掷的时间 n无关。
{ 0121 或；，，； nn xnx? }
首页设
P { 1?nx } = p （第 n 次抛掷出现正面的概率）
P { 0?nx } = q = 1? p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P { 1?nx } = p 与 n 无关，
且 ix,kx ( ki? 时 ) 是相互独立的随机变量。
称具有这种特性的随机过程为 贝努利型随机过程 。
注 如果固定观测时刻 t，则它的试验结果是属于两个样本点（ 0,1）所组成的样本空间如果在二个不同时刻 1t,2t 观测试验结果则样本空间出现的值为（ 0,0）,（ 0,1）,（ 1,0）,（ 1,1）
则 { 21,xx } 是一个二维随机变量首页三、随机过程的分类
1,按参数集和状态分类参数集 T的是一个可列集 T={0,1,2,…}
离散参数连续参数参数分类参数集 T的是一个不可列集 }0|{ ttT
状态分类离散状态连续状态
)(tX
取值是离散的取值是连续的 首页
T离散,I离散
T离散,I非离散（连续）参数 T
状态 I
分类概率结构分类
2．按过程的概率结构分类
T非离散（连续）,I离散
T非离散（连续）,I非离散（连续）
独立随机过程独立增量随机过程马尔可夫过程平稳随机过程 首页
（ 1）独立随机过程简称独立随机过程。
设 { )( tX,Tt? } 对任意 n 个不同的 1t,2t,?,Tt n?
)( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX 是相互独立的则称 )( tX 为具有独立随机变量的随机过程，
首页
（ 2）独立增量随机过程是相互独立的，
设 { )( tX,Tt? } 对任意 n 个不同的 1t,2t,?,Tt n?
且 nn tttt 121?
)()( 12 tXtX?,)()( 23 tXtX?,?,)()( 1 nn tXtX
则称 )( tX 为具有独立增量的随机过程。
首页
（ 3）马尔可夫过程简称马氏过程。
设 { )( tX,Tt? } 对任意 n 个不同的 1t,2t,?,Tt n?
且 nn tttt 121?
|)(( nn xtXP? 11 )( nn xtX,?,))( 11 xtX?
= |)(( nn xtXP? 11 )( nn xtX ），
则称 )( tX 为马尔可夫过程首页马氏过程的特点马氏性实质上是无后效性,所以也称马氏过程为 无后效过程 。
称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。
当随机过程在时刻 1?nt 的状态已知的条件下，
它在时刻 nt （ 1 nn tt ）所处的状态仅与时刻 1?nt 的状态有关，
而与过程在时刻 1?nt 以前的状态无关首页
（ 4）平稳随机过程平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对
“未来”有不可忽视的影响。
返回首页第二节 随机过程的分布及其数字特征一、随机过程的分布函数一维分布函数 其分布函数为设 { )( tX,Tt? } 是一个随机过程，
对于固定的 Tt?1,)( 1tX 是一个随机变量，
})({)( 1111 xtXPxtF；,Tt?1
称 )( 11 xtF ； 为随机过程 )( tX 的一维分布函数。
一维概率密度若存在二元非负函数 )( 11 xtf ；,使
11111 )()(
1 dyytfxtF x ；；?
则称 )( 11 xtf ； 为随机过程 )( tX 的一维概率密度首页二维分布函数联合分布函数二维概率密度二维随机向量 （ )( 1tX,)( 2tX ） Ttt?),( 21
})(,)({),,( 22112121 xtXxtXPxxttF；,
称为随机过程 )( tX 的二维分布函数若存在非负函数 ),,( 2121 xxttf ；
),,( 2121 xxttF ； = 212121 ),,(1 2 dydyyyttfx x ；
则称 ),,( 2121 xxttf ； 为 )( tX 的二维概率密度首页
n 维分布函数 联合分布函数
n维概率密度
n 维随机向量 （ )( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX ）
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
})(,)(,)({ 2211 nn xtXxtXxtXP,?
若存在非负函数 ),,,,,,( 2121 nn xxxtttf ；
),,,,,,( 2121 nn xxxtttF ；
= nnnx x x dydydyyyytttfn 212121 ),,,,,,(1 2 ；
首页有限维分布族一维，二维,…,n维分布函数的全体：
易知
}1,,,,),,,,,,,({ 212121 nTtttxxxtttF nnn ；
它不仅刻划了每一时刻 Tt?1 随机过程 )( tX 的状态
)( 1tX 的分布规律，而且也刻划了任意时刻
Tttt n?,,,21? 随机过程 )( tX 的状态
)( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX 之间的关系因此,一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表达出来 。
首页联合分布函数 n + m维随机向量分布函数设 )( tX 和 )( tY,nttt,,,21?,Tttt m,,,21?
{ )( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX,)( 1tY?,)( 2tY?,?,)( mtY? }
nXY ttF,,( 1? ； mtt,,1? ； nxx,,1? ； myy,,1? ）；nn xtXxtXP )(,,)({ 11?
mm ytYytY ）（）（,,11? }
称为随机过程和的 n + m维联合分布函数首页相互独立 n + m维随机向量 分布函数设 )( tX 和 )( tY,nttt,,,21?,Tttt m,,,21?
nXY ttF,,( 1? ； mtt,,1? ； nxx,,1? ； myy,,1? ）
则称随机过程 相互独立；nX ttF,,( 1 nxx,,1? ） (YF mtt,,1? ； myy,,1? ）
)( tX 和 )( tY
首页例 1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t
对应随机变量
时取得白球如果时取得红球如果
t
t
te
t
tX
,
,
3)(
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求概率密度首页所以解对每一个确定的时刻 t,)( tX 的概率密度为
3
t
te)(tX
3
2
3
1P
)(
11
xtF ； ))((
11
xtXP
t
t
ex
ex
t
t
x
，1
3
,
3
2
3
,0
1
1
首页二、随机过程的数字特征
1．均值函数或称为数学期望说明设随机过程 { )( tX,Tt? },
则 )]([)( tXEtm?,Tt?,
称为随机过程 )( tX 的均值函数
)( tm 是 )( tX 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均它表示随机过程 )( tX 在时刻 t 的摆动中心首页
2．方差函数说明随机过程 { )( tX,Tt? } 的二阶中心矩
]))()([()]([)( 2tmtXEtXDtD
称为随机过程 )( tX 的方差函数
)( tD 的平方根?)( t? )( tD
均方差函数它表示 )( tX 在各个时刻 t 对于 )( tm 的偏离程度首页
3．协方差函数二阶中心混合矩简称协方差函数随机过程 )( tX 在 Ttt?21,的状态 )( 1tX 和 )( 2tX
),( 21 ttK ) ) ]()() ) (()([( 2211 tmtXtmtXE
称为随机过程 )( tX 的自协方差函数当 Tttt 21,有注
),()( ttKtD? ]))()([( 2tmtXE
首页
4．互协方差函数其中设 )( tX 和 )( tY 是两个随机过程对任意 Ttt?21,，则
),( 21 ttK XY )]()()][()([ 2211 tmtYtmtXE YX
称为随机过程 )( tX 与 )( tY 的互协方差函数
)]([)( 11 tXEtm X?
)]([)( 22 tYEtm Y?
首页
5．相关函数简称相关函数注对任意 Ttt?21,
)( 1tX 和 )( 2tX 的二阶原点混合矩
),( 21 ttR )]()([ 21 tXtXE?
称为随机过程 )( tX 的自相关函数，
当 0)(?tm 时，有
),( 21 ttR = ),( 21 ttK
首页
6．互相关函数注对任意 Ttt?21,
设 )( tX 和 )( tY 是两个随机过程
),( 21 ttR XY )]()([ 21 tYtXE?
称为随机过程 )( tX 与 )( tY 的互相关函数
),( 21 ttK XY = ),( 21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?
则首页
7．互不相关注对任意 Ttt?21,
设 )( tX 和 )( tY 是两个随机过程
),( 21 ttK XY =0
则称随机过程 )( tX 与 )( tY 互不相关有若随机过程 )( tX 与 )( tY 互不相关则 ),(
21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?
即 )]([)]([)]()([ 2121 tYEtXEtYtXE?
若首页例 2
解求,（ 1） 均值函数； （ 2） 协方差函数； （ 3） 方差函数 。
设随机过程 tUtX 2c os)(?,其中 U 是随机变量且 5)(?UE,6)(?UD
（ 1） )(tm ]2c o s[)]([ tUEtXE
][2c os UtE? t2c o s5?（ 2）
),( 21 ttK )]()()(()([( 2211 tmtXtmtXE
]2c os)5(2c os)5[( 21 tUtUE
])5[(2c o s2c o s 221 UEtt
][2c o s2c o s 21 UDtt? 21 2c o s2c o s6 tt?（ 3）
令 ttt 21得 ttXD 2c o s6)]([ 2?首页例 3
解试求它们的互协方差函数 。
所以设两个随机过程 2)( UttX?,3)( UttY?
其中 U 是随机变量且 5)(?UD
)( tX 和 )( tY 的均值函数
][)( 2UtEtm X? ][2 UEt?
][)( 3UtEtm Y? ][3 UEt?
),( 21 ttK XY ) ] }()() ] [()({[ 322211 UEttYUEttXE
]))([( 23221 UEUEtt )(3221 UDtt? 32215 tt?
)( tX 和 )( tY 的 互 协方差 函数首页三、随机过程的特征函数
1．一维特征函数 则注设 )( tX 是一个随机过程对固定的 Tt?1
][),( )(11 11 tXieEt
111 )(
11 dxxtfe xi ；
（ )( 11 xtf ； 是 )( 1tX 的一维密度函数,1? 是实数）
称为随机过程 )( tX 的一维特征函数它是 1t 与 1? 的二元函数首页
2,n维特征函数 则
3.有限维特征函数族设 )( tX 是一个随机过程对固定的 Ttt n?,1?，,
][),,,,( )()((11 11 nn tXtXinn eEtt ；
称为随机过程 )( tX 的 n 维特征函数其中 1?,n?,? 是实数。
{ )( tX,Tt? } 的一维，,? n 维特征函数的全体
{ ),,,,( 11 nntt ；,Ttt n?,,1?,1?n }
注 随机过程 )( tX 的有限维分布函数族与有限维特征函数族相互唯一决定 返回首页第三节 复随机过程一、定义是两个实随机过程 则设 { )( tX,Tt? } 与 { )( tY,Tt? }
)()()( tiYtXtZ,Tt?
称为复随机过程记作 { )( tZ,Tt? },简记作 )( tZ
并称实随机过程 )( tX,)( tY 的联合分布为复随机过程 )( tZ 的分布首页二、数字特征
1．均值函数
2．自协方差函数其中记号,—,表示“共轭”
)]([)]([)]([)( tYiEtXEtZEtm Z
)()( timtm YX
{ )( tZ,Tt? } 在时刻 Ttt?21,的状态
)( 1tZ 与 )( 2tZ 的二阶中心混合矩
),( 21 ttK Z ]})()() ] [()({[ 2211 tmtZtmtZE ZZ
称为复随机过程 )( tZ 的自协方差函数首页
3,自相关函数自协方差函数与自相关函数的关系
4,方差函数
])()([E),( 2121 tZtZttR Z?
)()(),(),( 212121 tmtmttRttK ZZZZ
]|)()([|)( 2tmtZEtD ZZ
它实际上等于自协方差函数
),( ttK Z
且有 )( tD
Z )()( tDtD YX
首页证 由于所以即 )( tD
Z )()( tDtD YX
)()( tmtZ Z?
))()(())()(( timtmtiYtX YX
))()(())()(( tmtYitmtX YX
)( tD Z ]))()(())()([( 22 tmtYtmtXE YX
]))()([(]))()([( 22 tmtYEtmtXE YX
)()( tDtD YX
首页
5,互协方差函数
6,互相关函数设 )(1 tZ,)(2 tZ 是两个复随机过程对固定的 Ttt?21,
),( 2121 ttK ZZ ]})()()][()({[ 222111
21 tmtZtmtZE ZZ
称为 )(1 tZ 与 )(2 tZ 的互协方差函数。
])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ?
首页自相关关系 )()()( tiYtXtZ 的自相关函数可有 )( tX 和 )( tY 的自相关函数和互相关函数表示即
])()([E),( 2121 tZtZttR Z?
)],(),([),(),( 21212121 ttRttRittRttR XYYXYX
类似地
])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ?
),(),( 2121 2121 ttRttR YYXX
)],(),([ 2121 2112 ttRttRi YXXY
互相关关系首页例 1 已知复随机过程
tietZ)(,1Rt?
其中 N （ 0,1 ）,? 是给定常数，
求 )( tZ 的均值函数和相关函数。
解
][)]([ tieEtZE 0][ Ee ti
),( 21 ttR ][ 21 titi eeE
][ 2)( 21 Ee tti )( 21 ttie
][ 21 titi eeE
返回首页第四节 几种重要的随机过程简介一、独立增量过程
1,定义随机变量的增量是相互独立的设 { )( tX,Tt? } 是一随机过程，
若对任意正整数 n 及 Ttt n?,1?，,nn tttt 121?
)()( 12 tXtX?,)()( 23 tXtX?,?,)()( 1 nn tXtX
则称 )( tX 为独立增量的过程首页
2,齐次性或称时齐的注若对任意的 t,Tt,
增量 )()( tXtX 的概率分布只依赖于? 而与t 无关，
则称随机过程 )( tX 为齐次的，
若 )( tX 是齐次的，
所以只要时间间隔? 相同那么增量服从的分布也相同，具有平稳性增量所服从的分布与时间起点无关首页例 1
证设 { )( nX,?,2,1,0?n } 是相互独立的随机变量序列，令
)()(
0
nXiY
i
n
则 { )( iY,?,2,1,0?i } 是一个独立增量过程。
)1()( iYiY )( iX （?,2,1?i ）
而 )( iX （?,2,1?i ）是相互独立的所以 { )( iY,?,2,1,0?i } 是一个独立增量过程。
首页二,泊松过程
1．计数过程则且满足：
如果用 )( tX 表示 [0,t ] 内 随 机 事件 发 生 的总 数,
随机过程 { )( tX,0?t } 称 为 一 个计 数 过 程
（ 1 ） 0)(?tX（ 2 ） )( tX 是整数值
（ 3 ） 对 任 意 两 个 时 刻 210 tt,有 )()( 21 tXtX?
（ 4 ） 对 任 意 两 个 时 刻 210 tt,
)()( 12 tXtX? 等于在区间 ],( 21 tt 中 发 生 的 事 件 的 个 数首页注 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。
2,泊松过程满足若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。
设随机过程 { )( tX,0?t } 是一个计数过程，
（ 1 ） 0)0(?X
（ 2 ） )( tX 是独立增量过程首页则称注意
（ 3 ）对任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为 t? （ 0 ）的泊松分布，
即对一切 0,?ts,有
})()({ ksXstXP t
k
ekt !)(
,2,1,0?k
)( tX 为具有参数? 的泊松过程从条件（ 3）可知泊松过程有平稳增量，且
ttXE)]([ 并称? 为此过程的生起率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
首页说明 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：
为此给出一个与泊松过程等价的定义满足设随机过程 { )( tX,0?t } 是一个计数过程，
条件 （ 1 ）只是说明事件的计数是从时刻 0?t 开始条件 （ 2 ）通常可从对过程的了解的情况去直接验证然而全然不清楚如何去确定条件 （ 3 ）是否满足参数为? （ 0 ），
首页则称
)( tX 为具有参数? 的泊松过程
（ 3 ） )(}1)({ hhhXP
（ 4 ） )(}2)({ hhXP
其中 )( h? 表示当 0?h 时对 h 的高阶无穷小，
（ 1 ） 0)0(?X
（ 2 ）过程有平稳与独立增量首页例 2 顾客到达某商店服从参数 4 人 / 小时的泊松过程，
已知商店上午 9,00开门，试求到 9,30时仅到一位顾客，而到 11,30时总计已达 5位顾客的概率。
解
)5)5.2(,1)5.0(( XXP
)4)5.0()5.2(,1)5.0(( XXXP
)4)2(()1)5.0(( XPXP
5.04
1
!1
)5.04( e 24
4
!4
)24( e
0155.0?
设 表示在时间 t时到达的顾客数)(tX
首页
3,到达时间间隔和等待时间的分布定义则称设 { )( tX,0?t } 为泊松过程，
)( tX 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数
iW （?,2,1?i ）表示事件第 i 次发生的等待时间
{ nW,1?n } 为等待时间序列以 nT （ 1?n ）表示第 1?n 次发生到第 n 次发生之间的时间间隔则称 {
nT,1?n } 为到达时间间隔序列首页定理 1
证或设 { )( tX,0?t } 是参数为? （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列?，,21 TT 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为?/1 的指数分布。
事件 { tT?1 } 的发生当且仅当没有泊松事件在 ]0[ t,内发生故当 0?t 时，有
}0)({}{ 1 tXPtTP tt eet
!0
)( 0
}{ 1 tTP? te 1
故 1T 的分布函数为首页那么类似地有
0,0
0,1
)(
1 t
te
tF
t
T
即 1T 是服从均值为?/1 的指数分布。
又因 2T 为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，
}|{ 112 sTtTP
}|],({ 1111 sTtssP 内没有事件发生在
}],({ 11 内没有事件发生在 tssP （增量的独立性）
}0)()({ 11 sXtsXP
}0)0()({ XtXP （齐次独立增量过程）
tetXP }0)({
首页可见一般地
2T 也服从均值为?/1 的指数分布且 2T 与 1T 独立同分布。
对 1?n 和 0121nssst,，，,?
},,,|{ 112211 nnn sTsTsTtTP?
内没有事件发生在 ],({ 1111 tssssP nn
},,,| 112211 nn sTsTsT?
内没有事件发生在 ],({ 1111 tssssP nn
}0)()({ 1111 nn sstssXP X
}0)0()({ XtXP tetXP }0)({
首页这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列,且都具有相同均值为的指数分布 。
例 3
nT （ 1?n ）
/1
甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从 10分钟 1辆（甲）,15分钟 1
辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。
解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布
)(1 tX 和 )(2 tX 的生起率分别为 10/11,15/12
下面证明两路车混合到达过程 服从生起率为)(tX
21 的泊松分布首页事实上且所以由泊松过程的定义可知因此
)( tX = )(1 tX + )(2 tX 是独立增量
)()( tXstX 是相互独立地服从泊松分布的随机变量
)()( 11 tXstX 及 )()( 22 tXstX 的和，
)(tX 服从均值为 s? 的泊松分布。
)( tX 服从生起率为 6/115/110/1 的泊松过程。
由定理 1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为 6分钟的指数分布。 再由指数分布的无记忆性，
这位乘客的等待时间也服从均值为 6分钟的指数分布。 首页定理 2
其概率密度为设 { )( tX,0?t } 为泊松过程，
证则等待时间 nW （ 1?n ）服从 ),(?n? 分布，
)( tf
)!1(
)( 1
n
te nt
,0?t
因为事件 }{ tW n? 等价于事件 { ntX?)( }
所以
nW 的分布函数为
}{)( tWPtF n })({ ntXP
t
nk
k
e
k
t
!)( 0?t 首页于是
nW 的概率密度为
)()( tFtf t
nk
k
ek t
)!1( )(
1 t
nk
k
e
k
t
)!( )(
t
n
en t
)!1(
)( 1 t
nk
k
ek t
1
1
)!1(
)(
t
nk
k
e
k
t
)!( )(
)!1(
)( 1
n
te nt
首页三,维纳过程
1．定义则称 或布朗运动过程如果随机过程 { )( tX,),0[ Tt } 满足
（ 1 ） 0)0(?X
（ 2 ） )( tX 是齐次的独立增量过程
（ 3 ）对于每一个 0?t,有 )( tX? ),0( 2 tN?
随机过程 )( tX 为维纳过程当 1 时，称为标准维纳过程特别首页
2,均值,方差,协方差及相关函数均值协方差及相关函数证
0)]([?tXE
方差 ttXD 2)]([
),( 21 ttK ),( 21 ttR? ),m i n ( 212 tt
由定义可得 均值、方差公式首页下证
),( 21 ttK ),( 21 ttR? ),m i n ( 212 tt
当 21 tt? 时
)]()([),( 2121 tXtXEttR?
)[({ 1tXE? )()( 12 tXtX? ]+ )( 12 tX }
)]([ 12 tXE? )]0()({[ 1 XtXE [ )()( 12 tXtX? ]}
)]([ 1tXD? 12 t
同理当 12 tt? 时 ),(
21 ttR 22 t
故
),m i n (),( 21221 ttttR
显然 ),(
21 ttK ),( 21 ttR?首页
3．
对任意 nttt,,21?, 210 tt nt
维纳过程 )( tX 有
)()( 1 ii tXtX? ))(,0( 12 ii ttN?,ni,,2,1
证 由于增量
)()( 1 ii tXtX,ni,,2,1
是相互独立的正态变量。
所以
)]()([ 1 ii tXtXE
0)]([)]([ 1ii tXEtXE
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)]()([ 1 ii tXtXD })]()({[ 21 ii tXtXE
)]()()(2)([ 1212 iiii tXtXtXtXE
)]([)]()([2)]([ 1212 iiii tXEtXtXEtXE
it2 1
22 it? 12 it?
ii tt1
)( 12 ii tt?
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4,具有马氏性证因此所以因 )( tX 是维纳过程增量 )()( sXstX 与时刻 s 以前的状态
)(?X ( s0 ) 独立，
xsXastXP )(|)({,)(?X,s0 }
xsXxasXstXP )(|)()({,)(?X,s0 }
xsXxasXstXP )(|)()({ }
xsXastXP )(|)({ }
所以维纳过程是马氏过程。 首页例 4
试求的协方差函数。
且解设 { )( tW,0?t } 是一个维纳过程，
0)0(?W )()( tWltW （ 0?l 常数）
),( 21 ttK ))()([( 11 tWltWE ))]()(( 22 tWltW
)]()([ tWltWE
)]()([ 21 ltWtWE
)]()([ 21 tWltWE )]()([
21 tWtWE?
),m i n ( 212 ltlt ),m i n ( 212 ltt
),m in ( 212 tlt ),m in ( 212 tt
)(tm 0?
)]()([ 21 ltWltWE
首页当 21 tt? 时，可得
),( 21 ttK
1221
2
12
),(
,0
ttltlt
ttl
当 21 tt?,可得
),( 21 ttK
2112
2
21
),(
,0
ttltlt
ttl
所以
),( 21 ttK
||| ),|(
||,0
2121
2
21
ttlttl
ttl
首页四,正态过程
1．定义为 n维正态分布,其密度函数为也称高斯过程则称设 { )( tX,Rt? } 是一随机过程，
对任意正整数 n 及 Rttt n?,,,21?,
随机变量 )( 1tX,)( 2tX,?,)( ntX 的联合分布函数
),,,,,,( 2121 nn xxxtttf ；
)}()(21e x p {||)2( 1 12/12/ mxKmxKn
)( tX 为正态过程 首页其中
nx
x
x
x
2
1
)(
)(
)(
2
1
ntm
tm
tm
m
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
21
22212
12111
nnnn
n
n
ttKttKttK
ttKttKttK
ttKttKttK
K
且
)]([)( ii tXEtm?
) ] }()() ] [()({[),( jjiiji tmtXtmtXEttK ),( ij ttK?
K为协方差矩阵
1?K 是 K 的逆矩阵
)( mx 表示 )( mx? 的转置矩阵首页注
2,维纳过程是正态过程由正态过程的 n维概率密度表达式知,正态过程的统计特性,由它的均值函数 及自协方差函数 完全确定 。
由维纳过程定义知
)(tm
),( 21 ttK
设 { )( tX,0?t } 是一维纳过程，0)0(?X
对任意 nttt21,
)( 1tX（,?)( 2tX )( 1tX,?,）)()( 1 nn tXtX
服从 n维正态分布首页故知
)( 1tX（,)( 2tX,?,）)( ntX
)( 1tX（?,?)( 2tX )( 1tX,?,）)()( 1 nn tXtX
100
110
111
)( 1tX（,)( 2tX,?,）)( ntX 服从 n 维正态分布，
所以 )( tX
为正态过程又因首页例 5
证可得设 { )( tX,Rt? } 是一个独立的正态过程，
则其协方差函数 0),( 21?ttK （ 21 tt? ）。
若 21 tt?,)( 1tX 与 )( 2tX 相互独立，
)()()]()([),( 212121 tmtmtXtXEttK
0)()()()( 2121 tmtmtEXtEX
注 逆命题也成立返回首页
