第七章 金融市场中的维纳过程和小概率事件第一节 随机环境中的微分第二节 两个一般模型第三节 罕见和正常事件的描述第四节 小概率事件的模型设一资产价格 为时间 上随机变量第一节 随机环境中的微分
)(tS ],0[ Tt?
则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的，
其随机微分形式为
tttt dWtSbdttSadS ),(),(
其中 tdW 表示在无穷小间隔 dt 的不可测事件，
),( tSa t 和 ),( tSb t 是漂移核扩散因子，且与 tI 相适应。
首页先构建离散时间的随机微分等式
Ttttt nk100
将时间段 ],0[ T 插点分成长度为 h 的 n 等份,
htt kk1
h
Tn? khtk?
则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为：
)( hkSS k?
))1(()( hkShkSS k
nk,,2,1
定义一个随机变量 kW?
一、随机微分的构建首页其中
][][ 111 kkkkkk SSESSW
][ 1 kk SS 表示在间隔 结束时的可得信息的情况下，完全不可知；反映在第 k
个间隔内资产价格 的真实变化。
1?k
)(tS
][1kE
表示在间隔 结束时的可得信息的期望条件，反映在给出信息集情况下市场参与者的预期。
1?k
1?kI
kW?
则 是 中的一部分，称为“革新项” ][ 1 kk SS
革新项具有特征
1、在间隔 结束时未知，而在间隔 k
结束时可观察到。即知道信息,就能说出其确切值，且
1?k
kkk WWE ][
kI
首页表示在鞅过程中的变化，称作鞅微分。
2
kW?
在给出时刻 的信息集的情况下，其值是不可测的。
3
1?k
即对于所有的 k
0][1 kk WE
记累加的误差过程：
kk WWW1 00?W
则 kW 是鞅原因是 ][
111 kkkk WWEWE
][][][ 11111 kkkkk WEWEWE
11 kWW? 1 kW 首页对于一个金融市场参与者来说，其在资产价格中的重要信息是 。这些不可测的信息连续发生并且能被在线观察到。因此，资产价格的在线运动就由 控制。
说明
kW?
二,递增误差的大小革新项 表示一个不可测的变化，其平方项 是不可忽略的。（这与传统微分不同）
kW?
kW?
2)( kW?
设 的方差为,即
kW? kV ][ 20 kk WEV
累积误差的方差
n
k
k
n
k
k VWEV
11
2
0 ][
且 之间不相关，以及干扰项的期望是 0。
kW?
首页假设 1
默顿方法注 此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消除所有的风险，即资产价格具有不确定性。
假设 2
01 AV 1A 独立于 n
V
2AV 2A 独立于 n
注 这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。
当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限制的不稳定性。首页在假设 1,2,3的前提下,的方差与 h有关：
假设 3
注 假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是不集中的。无论市场什么时候开始，至少会存在一些可变性。即 说明在金融市场上可预测不确定性定理 1
其中 是一个有限的定数，它并不取决于 h而取决于时刻 的信息,
10,33
m a x
AAV V k
],,1,[m a xm a x nkVV kk
3A 独立于 n
hWE kk 22][
k?
1?k
kW?
首页证明 由假设 3
在所有的间隔上对两边同时求和：
由假设 2
即
m a x3VAV k?
m a x3
1
VnAV k
n
k
m a x3
1
2 VnAVA k
n
k
m a x
3
21 V
A
A
n?
又因
h
Tn?
则
kVVA
A
T
h
m a x
3
2
故得出 有取决于 h的上限,
kV
首页由假设 1
得 即再假设 3
h
Tn?得故得出 有取决于 h的下限,
kV
1
1
AV k
n
k
1m a x AnV?
n
AV 1
m a x?
m a x3VAV k?
hT AAn AAV k 1313
因此
hT AAVhTAA k 13
3
2
这意味着能找到一个取决于 k的定数,使与 h成比例：
k?
kV
hWEV kkk 22][
即可表为首页其中 在间隔开始给出信息的情况下是不可测的设 是任意一个的随机过程定理可以引申为
tS
其相应的期望存在，
则在有限的间隔 t 内，有
kkkkkkk WSSESS][ 111
kW?
三、随机微分等式为构建时间连续的随机微分等式，对上式右边第一项进行估计：
][ 11 kkk SSE
是一个资产价格变化的预期，其变化的大小取决于最近的信息集和所考虑的时间间隔的长度。首页它可写成
),(][ 111 hIASSE kkkk
如果 )(?A 是 h 的光滑函数，它在 0?h 的泰勒展开式为
),()()0,(),( 1111 hIRhIaIAhIA kkkk
其中 )( 1?kIa 是在 0?h 时 ),( 1 hIA k? 对 h 求的一阶导数。
),( 1 hIR k? 是泰勒展开式的余项。
如果 0?h 时间就会跳过，并且在资产价格的预测变化就是 0。即 0)0,(
1kIA
同普通微分一样，处理随机微分等式时余项可忽略不计，即 0),(
1 hIR k
故
hkhIaSSE kkkk ),(][ 111 首页其中 是漂移项,扩散项。
从而有令 得即为随机微分等式。
][),( )1(1)1( hkkhkkhkkh WWhkhIaSS
0?h
)(),()( tdWdttIatdS tt
),( tIa t t?
返回首页第二节 两个一般模型一、维纳过程在连续时间下，正常事件可用维纳过程或布朗运动来建模,
（一）讨论维纳过程的方法
1 设一个随机变量
itW?
Tttt n100
htt ii 1
itW? 与 jtW? 独立 （ ji? ），
在某一瞬时，只可能出现 h 或 h? 两个值之一
n
i
tt in WW
1
且 则当 有弱收敛于一个维纳过程
n
首页设 为一具有有限方差的连续过程，
说明 维纳过程是在概率意义下，对独立同分布的随机变量的总和求极限得到的，而这些增量的可能出现的结果，当 时会变得越来越小。
可知维纳过程服从高斯（正态）分布。
把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析2
0?h
tW
且在给定信息集 下，具有不可预测的增量，
tI
则 tW 的增量服从均值为 0,方差为 dt2? 的正态分布即 是一 维纳过程
tW
首页
（二）利用鞅来定义维纳过程
（ 1）
定义 1
（ 2）
则称 是一 维纳过程
tW
设 tW 是一随机过程，在信息集tI 下，满足：
tW 是一平方可积鞅，且 00?W,
,])[( 2 stWWE st ts?
tW 的轨线随时间 t 变化是连续的首页对于具有不可预测的增量和随时间连续运动的资产价格，维纳过程是一个很好的描述模型。
定义 2
设TtB t,0,? 是 一 随机过程，若满足
（ 1 ） tB 初始值为 0,即 00?B
（ 2 ） tB 的增量是相互独立的即则称 为布朗运动。
（ 3 ） tB 在时间 ],0[ Tt? 内连续
（ 4 ）增量 st BB? 服从均值为 0,方差为 || st? 的正态分布
|)|,0(~ stNBB st
tB
首页注 维纳过程假定是一个平方可积鞅，没有提到的分布问题；而布朗运动假定服从正态分布。但这两个过程没有差异，这可由著名的 Levy定理来说明。
定理 1 在信息集下的任何维纳过程都是布朗运动过程。
（三）维纳过程特征（补充内容）
特征 1 在很小的时间间隔 内，维纳过程的变化增量 为
t?
tW?
tW t
其中 表示从标准正态分布中的一种随机抽取。
或
dtdW
首页特征 2
特征 3 维纳过程 是连续的。
tW
任意两个不同时间区间内的 值都是相互独立的。 tW?
（因 是鞅，而鞅具有不可预测的增量 ）
tW t
W?
在无穷小的间隔内,的变化也是无穷小的
tW
意味着维纳过程是遵循马尔可夫过程。
注 期望是正态分布，且 方差
0][ tWE
tWD t ][
tW t ][?标准差
tW?
首页注 2
期望在一段较长时间 T内，维纳过程服从的正态分布，且有方差
0][ 0 WWE T
TWWD T ][ 0
TWW T ][ 0?标准差例 1 假设某资产的价值变化遵循维纳过程，其初始值为 25，估算的时间为一年。在一年结束时，
若资产价值按正态分布，其期望值为 25，标准差为 1，那么在两年期结束时，资产价值依然是期望值为 25，但标准差是 。2
即 在未来某一时间（时间间隔 T），资产价值的期望值等于现值，不确定性由标准差 估算。T
首页表示附加到 S轨迹上的噪声或波动率，且这些噪声或波动率的值为维纳过程的 b倍表示 S变量在单位时间的漂移率期望值为 a
（四）一般化的维纳过程（补充内容）
基本维纳过程讨论的变量是漂移率为零，方差率为 1的过程。下面将维纳过程推广到任意的变量 S，
则它的定义可以由 表示为dW
bdWadtdS （ a和 b是常数）
其中 adt
bdW
若在小的时间间隔,则 S的变化 可表示为t? S?
tbtaS
其中 表示从标准正态分布中的一种随机抽取。
首页具有正态分布，且同样若在任意时间间隔 T后,则 S的变化具有正态分布，且
S?
期望方差
taSE ][
tbSD 2][
tbS ][?标准差期望方差
aTSE T?][
TbSD T 2][?
TbS T?][?标准差 首页因此一般化的维纳过程描述的是的漂移率（单位时间的平均漂移）为 a，方差率（单位时间的方差）为的正态分布。这就是说，若零时刻变量的值是 S，则在 T时刻它变为均值为,标准差为的正态分布。
2b
aTS?Tb
例 2
假定某公司的现金头寸（以千美元计算）遵循一般性维纳过程，每年的漂移率为 20，每年的方差为 900。
若最初的现金头寸为 50，则在六个月月末的现金头寸将具有均值为 60，方差为 450 的正态分布 ；在第一年末将具有均值为 70，方差为 900 的正态分布 。
首页
（五）伊托过程（补充内容）
若一般化的维纳过程中的参数 a和 b，分别是基础变量 S和时间 t 的函数，即有则称它为伊托过程。
dWtSbdttSadS ),(),(
伊托过程也是一种推广的维纳过程，它的漂移率和方差率是随着时间的变化而变化。
在研究基础资产价格的变化时，我们通常用伊托过程来描述。如在研究不支付股息的股票时，
其价格的变化特征可用下式表示：
S dWS dtdS 首页即瞬态漂移率和瞬态方差率都按股票价格的比例变化，这就是最为广泛的描述股价变化的模型，
有时称为几何布朗运动模型。
此模型的离散时间形式为
ttS S
其中 表示股票价格 S在很小的时间区间中的变化； 表示从标准正态分布中的一种随机抽取；参数 为单位时间内股票的预期收益率，参数 为股票价格的波动率，且这两个参数都为常数。
S? t?
首页
ttS S30.015.0
例 3 考虑一种无红利支付的股票，每年的漂移率为 30%、预期收益率为 15%（以连续复利计），
即,,15.0 30.0
dWdtSdS 30.015.0
或设时间间隔长度为 1周或 0.0192年，股票价格的初始值为 100美元，即 0 1 9 2.0 t 100?S
则 )0416.000288.0(100 S
即?16.4288.0 S
表示股票价格的增加是均值为 0.288美元，标准差为 4.16美元的正态分布的随机抽样值。
则股票价格的过程为首页二、泊松过程考虑一种与正常事件明显不同的随机环境，
即在一段时间内，一个金融市场所发生的极端事件的总次数，且这些事件都是不可预测的。
设 表示所发生的极端事件的总次数，
tN
若 只可能出现两种值，或是等于 0，意味着没有新的重大事件发生；或是等于 1，表示有重大事件发生。
tdN 表示在无穷小的时间长度 dt 内 tN 的增量变化，
tdN
即可表为
dt
dtdN
t?
10
1
概率为概率为其中? 为在时间 dt 内发生的概率首页则 是泊松过程若令
tNM tt
则 tM 是一个不连续的平方可积鞅。
且 0?
tME tME t2
tM
泊松过程与维纳过程间的比较
（ 1）轨迹不同：
tW 是连续的,tM 是纯跳跃的
（ 2）一次和二次量运动具有相同特征：两个过程的增量方差都比例于小的时间间隔 h
注首页
（ 3）泊松过程的轨线比维纳过程轨线更规则。
泊松过程在大部分时间内保持恒定，尽管有离散的跳跃，但在小的时间间隔，出现跳跃的概率会趋于 0，即它的方差有界。
因为维纳过程虽显示出无穷小的变化，且这些变化多的不可计量，因此，方差是无界的。
由此可知定义维纳过程的积分比定义泊松过程积分困难的多。
tTt t dWWf?
0
tTt t dMMf?
0
一般说 泊松过程积分可用 Riemann-Stieltjes来定义；
维纳过程积分可用 Ito积分来表示。
返回首页第三节 罕见和正常事件的描述设 只会出现一些固定的可能值，假设 4
kW?
mm
kk
pw
pw
pw
W
,
,
,
22
11
其中
iw 表示 kk W 可能出现的结果,ip 是相对应的概率
m 表示可能出现结果的总数目，是一个整数则 kW? 的可能取值及其相应的概率为注 分为两种类型：
iw
正常事件和小概率事件 首页正常事件小概率事件
1w 表示上升一个点
2w 表示下降一个点
3w 表示资产价格不动
,,54 ww 表示很少会发生的各种特殊事件假设对于标的资产是谷物期货的衍生品，
4w 表示由一次大干旱所带来的影响
5w 表示农作物收成有一个好的预期带来的效应很明显 由 这些罕见事件，引起的价格变化程度要比一个点大的多。否则，价格变化就是由正常事件 所引起的。
,,54 ww
321,,www首页在假设 4下，扩展这个结论：
据假设 4
在假设 1— 3下，证明了一个很重要的结论：
hWE kkk 22
kW? 只可能出现固定数目的值 iw 及其对应的 ip
故可直接得到 kk W 的方差
2
1
i
m
i
ikk wpWV a r?
这意味着
hwp ki
m
i
i
22
1
首页由于总和与 h 成比例，且每一数为非负数，则总和中的每一项都与 h成比例或等于 0,即有从而
hcwp iii?2 0?ic
表明 2ii wp 都是 h 的线性函数
ip 和 iw 可视为关于 h 的两个函数
)( hpp ii? )( hww ii?
因此可得 hchwhp
iii?2)()(
再据 M e r t o n ( 1 9 9 0 ) 假定函数 )( hp i 和 )( hw i 为特定的指数形式：
irii hwhw?)( iqii hphp?)(
其中 ir 和 iq 都是非负常数，
但与观测间隔长度 h 无关。
iw 和 ip 为与 i 和 k 有关的常数，
首页事件大小和概率都与间隔长度 h有关,。当 h 越来越大时，所观测的价格变化尺度（绝对值）和概率也会越来越大，除非 等于 0。
说明 1
ir 或 iq
当观测间隔越来越小时
ir
iq
决定事件趋于 0的速率，
说明 2
两者可能消失,但不可能同时消失,
从而有 ii qr
iiii hhpwwp 222? hci?
即 hchpw
i
rq
ii ii?
)2(2
意味着
12 ii rq iii pwc 2?
决定事件的概率趋于 0的速率。
首页故参数 ii rq,必须满足条件：
2
10
ir
10 iq
这样，只可能出现两种情况：
(1)
2/1?ir,0?iq
(2) 0?
ir,1?iq
第一种情况所引起的就是正常事件，
第二种情况对应的就是小概率事件,
注 1
注 2 所引起的也是正常事件
2
10
ir10 iq
首页
1．正常事件当
2/1?ir,0?iq
则决定发生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔 h越来越小,事件的大小也会越来越小 ; 而事件发生的概率与 h 无关 。
因此
hwhww iii 2/1
ii pp?
即当观测间隔越来越小时,发生结果的大小会很小且具有一个固定的概率,这就是正常事件 。
首页样本路径的特征
（ 1）连续性当
hww ii?
0?h iw 值相邻间会靠得越来越近
0limlim 2/100 hww ihih
即一方面故对每一正常事件 iw,kW? 将趋于 0
所以 过程
kW 是连续的
5.0?ir
另一方面
0?iq 当 0?h iw 的概率 ii pp? 不趋于 0
以上可看出，正常事件可产生连续时间路径。
首页
(2)不光滑性
hww ii?5.0?ir
故在任何时间 t,是不可导,即轨迹是不光滑的,
意味着从而得知,资产价格变化是连续的却不规则
h
w
h
WW i
h
tht
h 00
limlim
h
hw
ih
2/1
0
lim
2/10
1li m
hw hi
tW
当间隔 h 越来越小时,tW 会以一固定速率变化。
首页
2、小概率事件当则决定发生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔 h越来越小,事件发生的概率也会越来越小,且因此
ii ww?
而事件的大小与 h 无关 。 故是小概率事件,
1,0 ii qr
hpp ii?
当 0?h 时，概率就消失样本路径特征不连续性 ii ww? 与 h无关因所以当 0?h 时,kW? 值将不会变小，
即 轨迹是不连续的,
tW 首页又因则出现跳跃的概率取决于 h,当 h越来越小时，跳跃出现的概率也会下降，即这些跳跃不是会经常出现,
hpp ii?
跳跃性
3,正常事件 （续） 若
ir 和 iq 值的变化范围为
2
10
ir10 iq
则样本路径是连续的却不光滑 同正常事件的维纳过程
irii hwhw?)( iqii hphp?)(因当 0?h 时,iw 将趋于 0,故不是小概率事件注意
ip 也会趋于 0
但只要它们的大小会越来越小，
就不能称为小概率事件返回首页第四节 小概率事件的模型维纳过程描述的随机微分方程,在小时间间隔内,不可预期的价格变化分布是正态分布 。 而正态分布具有一个无穷扩展的尾巴,当时间间隔越来越小,尾巴并没有完全消失,说明维纳过程所描述的价格变化也就越来越小,几乎不变 。
而小概率事件表示在极短的间隔内,价格运动能出现巨烈变动时,显然再用维纳过程所描述就不合适 。
因此需要加上一个可在极其短的时间间隔产生巨大变化的事件的干扰项，即需要一个可产生跳跃的过程，且这个过程所产生的结果要与 h无关，
这样，该过程的路径才与小概率事件相符合。 首页一、资产价格的小概率事件模型离散间隔随机微分等式
kkkkk WkShkSaSS,,111?
价格变化分两部分第一部分为在给定信息下可预测的，
第二部分则是不可预测的。
连续时间随机微分形式
tttt dWtSdttSadS,,
正常事件维纳过程首页描述小概率事件也可采用此微分形式：
与维纳过程唯一不同点：样本路径的连续性 。
小概率事件的发生也是不可预测的,且它的方差也比例于时间间隔 h,即第一部分相同 。
因此,只要对第二部分作一小的修改即可,
建立新模型的随机不可预测误差项由于小概率事件，当时间间隔趋于 0时，概率可忽略，但事件发生的大小并不是无穷小的。
因此，新增项应该能代表资产价格变化中极少出现的跳跃，更进一步说，该模型应该能足够捕捉跳跃发生概率的任何潜在变化。
tdW
首页首先 把误差项 分为两部分：
其中 表示由发生的正常事件引起的变化，
表示由发生的跳跃事件引起的变化其次精确说明
tdW kW? 与 kN?
kW?
kN?
kN?
则在 时刻有1?k
h
h
NN kk
10
1
1 概率为概率为其中? 不依赖于在时间 1?k 时可得的信息集令 1 kkk NNN
kN? 表示以固定发生率? 发生的大小为 1 的跳跃设资产价格变化的跳跃大小为 1，
首页显然泊松过程特征
（ 1）在小时间间隔 h,最多有一个事件发生的概率接近于 1
（ 2）至时间 t 的信息不会有助于预测下一间隔 h 事件是否会发生；
kN? 能用泊松累积过程来建模
（ 3）在固定概率 下发生。
由于只有泊松过程能同时满足这些条件，所以用它来为不连续的跳跃事件建模是很好的选择，但还需要作两个修改。
1 某一资产价格的跳跃发生率会随时间变化，而泊松过程中为一固定的发生率，不能解释这种行为，有必要作些调整。
首页
2 中的增量具有非零均值，而随机微分方程中的新增项只具有零均值，因此，需要作些修改以消除均值。 考虑变量进一步则跳跃的大小就是独立于时间的。
tN
tNJ tt
则增量 kJ? 具有零均值且是不可预测的如果用一个独立于时间的常数kS k,12 乘以 tJ
因此 用来 表示资产价格中不可预测的跳跃是很好的选择。? kk JkS,12?
意味着 如果金融工具市场受零星发生的小概率事件影响,则随机微分方程可写为首页离散间隔随机微分等式注 1 这个随机微分方程可同时处理正常和小概率事件连续时间随机微分形式
kkkkk WkShkSaSS,,1111 kk JkS,12?
tttttt dJtSdWtSdttSadS,,,21
跳跃部分 和维纳过程部分 在每一时间 t 是独立的。
tdJtdW
当 h 越来越小时，正常事件的变化幅度会变得越小，而小概率事件的大小保持不变。在这些条件下，这两种事件相互之间没有关系，它们的瞬时相关性一定为 0。
注 2
首页二、考虑各次量对观测资料的处理都是直接或间接采用标的资产价格过程的适当“量”。“量”就是标的资产价格过程的各种期望值,如一次量二次量2)(
ttt XEXEXV a r
高次量
ktt XEXE )(? 2?k
tXE
方差能衡量价格的变动程度，三次量衡量的是价格变化分布的歪斜度，四次量衡量的是分布的宽尾巴。
量反映过程的信息首页在分析无穷小间隔 h的价格变化时,对正常事件只考虑了前两次量,高次项量被忽略了,然而,对小概率事件则需要考虑所有的量 。
其不可预测误差项前两次量为再看一下
iw 表示具有 m 种可能事件的不可预测组成部分
mmkk wpwpJWE1121
221121 mmkk wpwpJWV a r
mmk wpwphWE112/11?
当一次量不等于 0，有
2/1hww ii?5.0?ir
一次量
1、正常事件首页则不可预期的价格变化的期望率
2/1
111
h
wpwp
h
WE mmk
当 h 越来越小时，上式会变得越来越大。
当一次量不为 0时,对小时间间隔,
一次量的值会很大而不可忽略 。
结论二次量
m
i
iik wphWV ar
1
2
1?
方差率
m
i
ii
k wp
h
WV a r
1
21? 首页当 h变小时，方差率将保持不变。
当 时，方差不可忽略。即在正常事件中，即使在无穷小的时间间隔，方差也会提供有关标的资产随机性的重要信息。
结论高次量其比率
0?h
nmmnnk wpwpWE111?
2?n
m
i
n
i
n
n
k wh
h
WE
1
2/21?
当 h 越来越小时，上式会变为 0
结论 对小间隔，如果所有事件都为正常的，则不可预测的价格变化的高次量不会带来任何有用信息。
首页依靠两个参数 （ 其中一个表示一次量,另一个表示方差 ） 的概率模型就足以捕捉价格资料的所有相关信息 。 因此,如果没有小概率事件,维纳过程是一个很好的选择 。
正常事件结 论
2、小概率事件
ii ww?
1,0 ii qr
hpp ii?
二次量
m
i
iik pwhJE
1
22
2?
则方差率
m
i
ii
k pw
h
JE
1
2
2
2?
当 h变小时，方差率将保持不变。故方差（二次量）
不能忽略。
首页高次量其比率
2?n
概括结论
m
i
i
n
i
n
k pwhJE
1
2?
m
i
i
n
i
n
k pw
h
JE
1
2?
当 h变小时，比率也不会变小。故高次量不能忽略。
这意味着如果价格受小概率事件影响，高次量会给市场参与者带来有用的信息。
如果可以确信金融市场所发生的事件类型为正常事件,则仅用前两次量有关的分布函数来对价格变化作近似估计,即维纳过程 。
但如果是小概率事件,则需考虑高次量,即可用泊松过程来讨论 。返回首页
)(tS ],0[ Tt?
则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的，
其随机微分形式为
tttt dWtSbdttSadS ),(),(
其中 tdW 表示在无穷小间隔 dt 的不可测事件，
),( tSa t 和 ),( tSb t 是漂移核扩散因子，且与 tI 相适应。
首页先构建离散时间的随机微分等式
Ttttt nk100
将时间段 ],0[ T 插点分成长度为 h 的 n 等份,
htt kk1
h
Tn? khtk?
则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为：
)( hkSS k?
))1(()( hkShkSS k
nk,,2,1
定义一个随机变量 kW?
一、随机微分的构建首页其中
][][ 111 kkkkkk SSESSW
][ 1 kk SS 表示在间隔 结束时的可得信息的情况下，完全不可知；反映在第 k
个间隔内资产价格 的真实变化。
1?k
)(tS
][1kE
表示在间隔 结束时的可得信息的期望条件，反映在给出信息集情况下市场参与者的预期。
1?k
1?kI
kW?
则 是 中的一部分，称为“革新项” ][ 1 kk SS
革新项具有特征
1、在间隔 结束时未知，而在间隔 k
结束时可观察到。即知道信息,就能说出其确切值，且
1?k
kkk WWE ][
kI
首页表示在鞅过程中的变化，称作鞅微分。
2
kW?
在给出时刻 的信息集的情况下，其值是不可测的。
3
1?k
即对于所有的 k
0][1 kk WE
记累加的误差过程：
kk WWW1 00?W
则 kW 是鞅原因是 ][
111 kkkk WWEWE
][][][ 11111 kkkkk WEWEWE
11 kWW? 1 kW 首页对于一个金融市场参与者来说，其在资产价格中的重要信息是 。这些不可测的信息连续发生并且能被在线观察到。因此，资产价格的在线运动就由 控制。
说明
kW?
二,递增误差的大小革新项 表示一个不可测的变化，其平方项 是不可忽略的。（这与传统微分不同）
kW?
kW?
2)( kW?
设 的方差为,即
kW? kV ][ 20 kk WEV
累积误差的方差
n
k
k
n
k
k VWEV
11
2
0 ][
且 之间不相关，以及干扰项的期望是 0。
kW?
首页假设 1
默顿方法注 此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消除所有的风险，即资产价格具有不确定性。
假设 2
01 AV 1A 独立于 n
V
2AV 2A 独立于 n
注 这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。
当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限制的不稳定性。首页在假设 1,2,3的前提下,的方差与 h有关：
假设 3
注 假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是不集中的。无论市场什么时候开始，至少会存在一些可变性。即 说明在金融市场上可预测不确定性定理 1
其中 是一个有限的定数，它并不取决于 h而取决于时刻 的信息,
10,33
m a x
AAV V k
],,1,[m a xm a x nkVV kk
3A 独立于 n
hWE kk 22][
k?
1?k
kW?
首页证明 由假设 3
在所有的间隔上对两边同时求和：
由假设 2
即
m a x3VAV k?
m a x3
1
VnAV k
n
k
m a x3
1
2 VnAVA k
n
k
m a x
3
21 V
A
A
n?
又因
h
Tn?
则
kVVA
A
T
h
m a x
3
2
故得出 有取决于 h的上限,
kV
首页由假设 1
得 即再假设 3
h
Tn?得故得出 有取决于 h的下限,
kV
1
1
AV k
n
k
1m a x AnV?
n
AV 1
m a x?
m a x3VAV k?
hT AAn AAV k 1313
因此
hT AAVhTAA k 13
3
2
这意味着能找到一个取决于 k的定数,使与 h成比例：
k?
kV
hWEV kkk 22][
即可表为首页其中 在间隔开始给出信息的情况下是不可测的设 是任意一个的随机过程定理可以引申为
tS
其相应的期望存在，
则在有限的间隔 t 内，有
kkkkkkk WSSESS][ 111
kW?
三、随机微分等式为构建时间连续的随机微分等式，对上式右边第一项进行估计：
][ 11 kkk SSE
是一个资产价格变化的预期，其变化的大小取决于最近的信息集和所考虑的时间间隔的长度。首页它可写成
),(][ 111 hIASSE kkkk
如果 )(?A 是 h 的光滑函数，它在 0?h 的泰勒展开式为
),()()0,(),( 1111 hIRhIaIAhIA kkkk
其中 )( 1?kIa 是在 0?h 时 ),( 1 hIA k? 对 h 求的一阶导数。
),( 1 hIR k? 是泰勒展开式的余项。
如果 0?h 时间就会跳过，并且在资产价格的预测变化就是 0。即 0)0,(
1kIA
同普通微分一样，处理随机微分等式时余项可忽略不计，即 0),(
1 hIR k
故
hkhIaSSE kkkk ),(][ 111 首页其中 是漂移项,扩散项。
从而有令 得即为随机微分等式。
][),( )1(1)1( hkkhkkhkkh WWhkhIaSS
0?h
)(),()( tdWdttIatdS tt
),( tIa t t?
返回首页第二节 两个一般模型一、维纳过程在连续时间下，正常事件可用维纳过程或布朗运动来建模,
（一）讨论维纳过程的方法
1 设一个随机变量
itW?
Tttt n100
htt ii 1
itW? 与 jtW? 独立 （ ji? ），
在某一瞬时，只可能出现 h 或 h? 两个值之一
n
i
tt in WW
1
且 则当 有弱收敛于一个维纳过程
n
首页设 为一具有有限方差的连续过程，
说明 维纳过程是在概率意义下，对独立同分布的随机变量的总和求极限得到的，而这些增量的可能出现的结果，当 时会变得越来越小。
可知维纳过程服从高斯（正态）分布。
把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析2
0?h
tW
且在给定信息集 下，具有不可预测的增量，
tI
则 tW 的增量服从均值为 0,方差为 dt2? 的正态分布即 是一 维纳过程
tW
首页
（二）利用鞅来定义维纳过程
（ 1）
定义 1
（ 2）
则称 是一 维纳过程
tW
设 tW 是一随机过程，在信息集tI 下，满足：
tW 是一平方可积鞅，且 00?W,
,])[( 2 stWWE st ts?
tW 的轨线随时间 t 变化是连续的首页对于具有不可预测的增量和随时间连续运动的资产价格，维纳过程是一个很好的描述模型。
定义 2
设TtB t,0,? 是 一 随机过程，若满足
（ 1 ） tB 初始值为 0,即 00?B
（ 2 ） tB 的增量是相互独立的即则称 为布朗运动。
（ 3 ） tB 在时间 ],0[ Tt? 内连续
（ 4 ）增量 st BB? 服从均值为 0,方差为 || st? 的正态分布
|)|,0(~ stNBB st
tB
首页注 维纳过程假定是一个平方可积鞅，没有提到的分布问题；而布朗运动假定服从正态分布。但这两个过程没有差异，这可由著名的 Levy定理来说明。
定理 1 在信息集下的任何维纳过程都是布朗运动过程。
（三）维纳过程特征（补充内容）
特征 1 在很小的时间间隔 内，维纳过程的变化增量 为
t?
tW?
tW t
其中 表示从标准正态分布中的一种随机抽取。
或
dtdW
首页特征 2
特征 3 维纳过程 是连续的。
tW
任意两个不同时间区间内的 值都是相互独立的。 tW?
（因 是鞅，而鞅具有不可预测的增量 ）
tW t
W?
在无穷小的间隔内,的变化也是无穷小的
tW
意味着维纳过程是遵循马尔可夫过程。
注 期望是正态分布，且 方差
0][ tWE
tWD t ][
tW t ][?标准差
tW?
首页注 2
期望在一段较长时间 T内，维纳过程服从的正态分布，且有方差
0][ 0 WWE T
TWWD T ][ 0
TWW T ][ 0?标准差例 1 假设某资产的价值变化遵循维纳过程，其初始值为 25，估算的时间为一年。在一年结束时，
若资产价值按正态分布，其期望值为 25，标准差为 1，那么在两年期结束时，资产价值依然是期望值为 25，但标准差是 。2
即 在未来某一时间（时间间隔 T），资产价值的期望值等于现值，不确定性由标准差 估算。T
首页表示附加到 S轨迹上的噪声或波动率，且这些噪声或波动率的值为维纳过程的 b倍表示 S变量在单位时间的漂移率期望值为 a
（四）一般化的维纳过程（补充内容）
基本维纳过程讨论的变量是漂移率为零，方差率为 1的过程。下面将维纳过程推广到任意的变量 S，
则它的定义可以由 表示为dW
bdWadtdS （ a和 b是常数）
其中 adt
bdW
若在小的时间间隔,则 S的变化 可表示为t? S?
tbtaS
其中 表示从标准正态分布中的一种随机抽取。
首页具有正态分布，且同样若在任意时间间隔 T后,则 S的变化具有正态分布，且
S?
期望方差
taSE ][
tbSD 2][
tbS ][?标准差期望方差
aTSE T?][
TbSD T 2][?
TbS T?][?标准差 首页因此一般化的维纳过程描述的是的漂移率（单位时间的平均漂移）为 a，方差率（单位时间的方差）为的正态分布。这就是说，若零时刻变量的值是 S，则在 T时刻它变为均值为,标准差为的正态分布。
2b
aTS?Tb
例 2
假定某公司的现金头寸（以千美元计算）遵循一般性维纳过程，每年的漂移率为 20，每年的方差为 900。
若最初的现金头寸为 50，则在六个月月末的现金头寸将具有均值为 60，方差为 450 的正态分布 ；在第一年末将具有均值为 70，方差为 900 的正态分布 。
首页
（五）伊托过程（补充内容）
若一般化的维纳过程中的参数 a和 b，分别是基础变量 S和时间 t 的函数，即有则称它为伊托过程。
dWtSbdttSadS ),(),(
伊托过程也是一种推广的维纳过程，它的漂移率和方差率是随着时间的变化而变化。
在研究基础资产价格的变化时，我们通常用伊托过程来描述。如在研究不支付股息的股票时，
其价格的变化特征可用下式表示：
S dWS dtdS 首页即瞬态漂移率和瞬态方差率都按股票价格的比例变化，这就是最为广泛的描述股价变化的模型，
有时称为几何布朗运动模型。
此模型的离散时间形式为
ttS S
其中 表示股票价格 S在很小的时间区间中的变化； 表示从标准正态分布中的一种随机抽取；参数 为单位时间内股票的预期收益率，参数 为股票价格的波动率，且这两个参数都为常数。
S? t?
首页
ttS S30.015.0
例 3 考虑一种无红利支付的股票，每年的漂移率为 30%、预期收益率为 15%（以连续复利计），
即,,15.0 30.0
dWdtSdS 30.015.0
或设时间间隔长度为 1周或 0.0192年，股票价格的初始值为 100美元，即 0 1 9 2.0 t 100?S
则 )0416.000288.0(100 S
即?16.4288.0 S
表示股票价格的增加是均值为 0.288美元，标准差为 4.16美元的正态分布的随机抽样值。
则股票价格的过程为首页二、泊松过程考虑一种与正常事件明显不同的随机环境，
即在一段时间内，一个金融市场所发生的极端事件的总次数，且这些事件都是不可预测的。
设 表示所发生的极端事件的总次数，
tN
若 只可能出现两种值，或是等于 0，意味着没有新的重大事件发生；或是等于 1，表示有重大事件发生。
tdN 表示在无穷小的时间长度 dt 内 tN 的增量变化，
tdN
即可表为
dt
dtdN
t?
10
1
概率为概率为其中? 为在时间 dt 内发生的概率首页则 是泊松过程若令
tNM tt
则 tM 是一个不连续的平方可积鞅。
且 0?
tME tME t2
tM
泊松过程与维纳过程间的比较
（ 1）轨迹不同：
tW 是连续的,tM 是纯跳跃的
（ 2）一次和二次量运动具有相同特征：两个过程的增量方差都比例于小的时间间隔 h
注首页
（ 3）泊松过程的轨线比维纳过程轨线更规则。
泊松过程在大部分时间内保持恒定，尽管有离散的跳跃，但在小的时间间隔，出现跳跃的概率会趋于 0，即它的方差有界。
因为维纳过程虽显示出无穷小的变化，且这些变化多的不可计量，因此，方差是无界的。
由此可知定义维纳过程的积分比定义泊松过程积分困难的多。
tTt t dWWf?
0
tTt t dMMf?
0
一般说 泊松过程积分可用 Riemann-Stieltjes来定义；
维纳过程积分可用 Ito积分来表示。
返回首页第三节 罕见和正常事件的描述设 只会出现一些固定的可能值，假设 4
kW?
mm
kk
pw
pw
pw
W
,
,
,
22
11
其中
iw 表示 kk W 可能出现的结果,ip 是相对应的概率
m 表示可能出现结果的总数目，是一个整数则 kW? 的可能取值及其相应的概率为注 分为两种类型：
iw
正常事件和小概率事件 首页正常事件小概率事件
1w 表示上升一个点
2w 表示下降一个点
3w 表示资产价格不动
,,54 ww 表示很少会发生的各种特殊事件假设对于标的资产是谷物期货的衍生品，
4w 表示由一次大干旱所带来的影响
5w 表示农作物收成有一个好的预期带来的效应很明显 由 这些罕见事件，引起的价格变化程度要比一个点大的多。否则，价格变化就是由正常事件 所引起的。
,,54 ww
321,,www首页在假设 4下，扩展这个结论：
据假设 4
在假设 1— 3下，证明了一个很重要的结论：
hWE kkk 22
kW? 只可能出现固定数目的值 iw 及其对应的 ip
故可直接得到 kk W 的方差
2
1
i
m
i
ikk wpWV a r?
这意味着
hwp ki
m
i
i
22
1
首页由于总和与 h 成比例，且每一数为非负数，则总和中的每一项都与 h成比例或等于 0,即有从而
hcwp iii?2 0?ic
表明 2ii wp 都是 h 的线性函数
ip 和 iw 可视为关于 h 的两个函数
)( hpp ii? )( hww ii?
因此可得 hchwhp
iii?2)()(
再据 M e r t o n ( 1 9 9 0 ) 假定函数 )( hp i 和 )( hw i 为特定的指数形式：
irii hwhw?)( iqii hphp?)(
其中 ir 和 iq 都是非负常数，
但与观测间隔长度 h 无关。
iw 和 ip 为与 i 和 k 有关的常数，
首页事件大小和概率都与间隔长度 h有关,。当 h 越来越大时，所观测的价格变化尺度（绝对值）和概率也会越来越大，除非 等于 0。
说明 1
ir 或 iq
当观测间隔越来越小时
ir
iq
决定事件趋于 0的速率，
说明 2
两者可能消失,但不可能同时消失,
从而有 ii qr
iiii hhpwwp 222? hci?
即 hchpw
i
rq
ii ii?
)2(2
意味着
12 ii rq iii pwc 2?
决定事件的概率趋于 0的速率。
首页故参数 ii rq,必须满足条件：
2
10
ir
10 iq
这样，只可能出现两种情况：
(1)
2/1?ir,0?iq
(2) 0?
ir,1?iq
第一种情况所引起的就是正常事件，
第二种情况对应的就是小概率事件,
注 1
注 2 所引起的也是正常事件
2
10
ir10 iq
首页
1．正常事件当
2/1?ir,0?iq
则决定发生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔 h越来越小,事件的大小也会越来越小 ; 而事件发生的概率与 h 无关 。
因此
hwhww iii 2/1
ii pp?
即当观测间隔越来越小时,发生结果的大小会很小且具有一个固定的概率,这就是正常事件 。
首页样本路径的特征
（ 1）连续性当
hww ii?
0?h iw 值相邻间会靠得越来越近
0limlim 2/100 hww ihih
即一方面故对每一正常事件 iw,kW? 将趋于 0
所以 过程
kW 是连续的
5.0?ir
另一方面
0?iq 当 0?h iw 的概率 ii pp? 不趋于 0
以上可看出，正常事件可产生连续时间路径。
首页
(2)不光滑性
hww ii?5.0?ir
故在任何时间 t,是不可导,即轨迹是不光滑的,
意味着从而得知,资产价格变化是连续的却不规则
h
w
h
WW i
h
tht
h 00
limlim
h
hw
ih
2/1
0
lim
2/10
1li m
hw hi
tW
当间隔 h 越来越小时,tW 会以一固定速率变化。
首页
2、小概率事件当则决定发生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔 h越来越小,事件发生的概率也会越来越小,且因此
ii ww?
而事件的大小与 h 无关 。 故是小概率事件,
1,0 ii qr
hpp ii?
当 0?h 时，概率就消失样本路径特征不连续性 ii ww? 与 h无关因所以当 0?h 时,kW? 值将不会变小，
即 轨迹是不连续的,
tW 首页又因则出现跳跃的概率取决于 h,当 h越来越小时，跳跃出现的概率也会下降，即这些跳跃不是会经常出现,
hpp ii?
跳跃性
3,正常事件 （续） 若
ir 和 iq 值的变化范围为
2
10
ir10 iq
则样本路径是连续的却不光滑 同正常事件的维纳过程
irii hwhw?)( iqii hphp?)(因当 0?h 时,iw 将趋于 0,故不是小概率事件注意
ip 也会趋于 0
但只要它们的大小会越来越小，
就不能称为小概率事件返回首页第四节 小概率事件的模型维纳过程描述的随机微分方程,在小时间间隔内,不可预期的价格变化分布是正态分布 。 而正态分布具有一个无穷扩展的尾巴,当时间间隔越来越小,尾巴并没有完全消失,说明维纳过程所描述的价格变化也就越来越小,几乎不变 。
而小概率事件表示在极短的间隔内,价格运动能出现巨烈变动时,显然再用维纳过程所描述就不合适 。
因此需要加上一个可在极其短的时间间隔产生巨大变化的事件的干扰项，即需要一个可产生跳跃的过程，且这个过程所产生的结果要与 h无关，
这样，该过程的路径才与小概率事件相符合。 首页一、资产价格的小概率事件模型离散间隔随机微分等式
kkkkk WkShkSaSS,,111?
价格变化分两部分第一部分为在给定信息下可预测的，
第二部分则是不可预测的。
连续时间随机微分形式
tttt dWtSdttSadS,,
正常事件维纳过程首页描述小概率事件也可采用此微分形式：
与维纳过程唯一不同点：样本路径的连续性 。
小概率事件的发生也是不可预测的,且它的方差也比例于时间间隔 h,即第一部分相同 。
因此,只要对第二部分作一小的修改即可,
建立新模型的随机不可预测误差项由于小概率事件，当时间间隔趋于 0时，概率可忽略，但事件发生的大小并不是无穷小的。
因此，新增项应该能代表资产价格变化中极少出现的跳跃，更进一步说，该模型应该能足够捕捉跳跃发生概率的任何潜在变化。
tdW
首页首先 把误差项 分为两部分：
其中 表示由发生的正常事件引起的变化，
表示由发生的跳跃事件引起的变化其次精确说明
tdW kW? 与 kN?
kW?
kN?
kN?
则在 时刻有1?k
h
h
NN kk
10
1
1 概率为概率为其中? 不依赖于在时间 1?k 时可得的信息集令 1 kkk NNN
kN? 表示以固定发生率? 发生的大小为 1 的跳跃设资产价格变化的跳跃大小为 1，
首页显然泊松过程特征
（ 1）在小时间间隔 h,最多有一个事件发生的概率接近于 1
（ 2）至时间 t 的信息不会有助于预测下一间隔 h 事件是否会发生；
kN? 能用泊松累积过程来建模
（ 3）在固定概率 下发生。
由于只有泊松过程能同时满足这些条件，所以用它来为不连续的跳跃事件建模是很好的选择，但还需要作两个修改。
1 某一资产价格的跳跃发生率会随时间变化，而泊松过程中为一固定的发生率，不能解释这种行为，有必要作些调整。
首页
2 中的增量具有非零均值，而随机微分方程中的新增项只具有零均值，因此，需要作些修改以消除均值。 考虑变量进一步则跳跃的大小就是独立于时间的。
tN
tNJ tt
则增量 kJ? 具有零均值且是不可预测的如果用一个独立于时间的常数kS k,12 乘以 tJ
因此 用来 表示资产价格中不可预测的跳跃是很好的选择。? kk JkS,12?
意味着 如果金融工具市场受零星发生的小概率事件影响,则随机微分方程可写为首页离散间隔随机微分等式注 1 这个随机微分方程可同时处理正常和小概率事件连续时间随机微分形式
kkkkk WkShkSaSS,,1111 kk JkS,12?
tttttt dJtSdWtSdttSadS,,,21
跳跃部分 和维纳过程部分 在每一时间 t 是独立的。
tdJtdW
当 h 越来越小时，正常事件的变化幅度会变得越小，而小概率事件的大小保持不变。在这些条件下，这两种事件相互之间没有关系，它们的瞬时相关性一定为 0。
注 2
首页二、考虑各次量对观测资料的处理都是直接或间接采用标的资产价格过程的适当“量”。“量”就是标的资产价格过程的各种期望值,如一次量二次量2)(
ttt XEXEXV a r
高次量
ktt XEXE )(? 2?k
tXE
方差能衡量价格的变动程度，三次量衡量的是价格变化分布的歪斜度，四次量衡量的是分布的宽尾巴。
量反映过程的信息首页在分析无穷小间隔 h的价格变化时,对正常事件只考虑了前两次量,高次项量被忽略了,然而,对小概率事件则需要考虑所有的量 。
其不可预测误差项前两次量为再看一下
iw 表示具有 m 种可能事件的不可预测组成部分
mmkk wpwpJWE1121
221121 mmkk wpwpJWV a r
mmk wpwphWE112/11?
当一次量不等于 0，有
2/1hww ii?5.0?ir
一次量
1、正常事件首页则不可预期的价格变化的期望率
2/1
111
h
wpwp
h
WE mmk
当 h 越来越小时，上式会变得越来越大。
当一次量不为 0时,对小时间间隔,
一次量的值会很大而不可忽略 。
结论二次量
m
i
iik wphWV ar
1
2
1?
方差率
m
i
ii
k wp
h
WV a r
1
21? 首页当 h变小时，方差率将保持不变。
当 时，方差不可忽略。即在正常事件中，即使在无穷小的时间间隔，方差也会提供有关标的资产随机性的重要信息。
结论高次量其比率
0?h
nmmnnk wpwpWE111?
2?n
m
i
n
i
n
n
k wh
h
WE
1
2/21?
当 h 越来越小时，上式会变为 0
结论 对小间隔，如果所有事件都为正常的，则不可预测的价格变化的高次量不会带来任何有用信息。
首页依靠两个参数 （ 其中一个表示一次量,另一个表示方差 ） 的概率模型就足以捕捉价格资料的所有相关信息 。 因此,如果没有小概率事件,维纳过程是一个很好的选择 。
正常事件结 论
2、小概率事件
ii ww?
1,0 ii qr
hpp ii?
二次量
m
i
iik pwhJE
1
22
2?
则方差率
m
i
ii
k pw
h
JE
1
2
2
2?
当 h变小时，方差率将保持不变。故方差（二次量）
不能忽略。
首页高次量其比率
2?n
概括结论
m
i
i
n
i
n
k pwhJE
1
2?
m
i
i
n
i
n
k pw
h
JE
1
2?
当 h变小时，比率也不会变小。故高次量不能忽略。
这意味着如果价格受小概率事件影响，高次量会给市场参与者带来有用的信息。
如果可以确信金融市场所发生的事件类型为正常事件,则仅用前两次量有关的分布函数来对价格变化作近似估计,即维纳过程 。
但如果是小概率事件,则需考虑高次量,即可用泊松过程来讨论 。返回首页
