第四章 随机分析及均方微分方程第一节 二阶矩过程第二节 均方极限第三节 均方连续性第四节 均方导数第五节 均方积分第六节 均方黎曼 — 司蒂吉斯积分第七节 均方导数与均方积分的分布第八节 均方微分方程第一节 二阶矩过程定义若随机过程 { )( tX,Tt? },对任意 Tt?,有
)( tm )]([ tXE
]))()([()( 2tmtXEtD
则称为二阶矩过程首页例 1
其中 和 V是相互独立且都服从正态分布 N（ 0,1）
的随机变量，
解 由于 和 V都服从正态分布，所以 也具有正态分布，
设 VtXtX 0)(,bta,
0X
试判断 )( tX 为二阶矩过程。
0X )(tX且
)]([)( tXEtm X? ][ 0 VtXE 0][][ 0 VtEXE
)]()([),( 2121 tXtXEttK? )])([( 2010 VtXVtXE
][][ 22120 VEttXE 211 tt
令 ttt 21,得)( tD X 21 t
故 )( tX 为二阶矩过程。
首页性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在证
)](),(c ov[),( 2121 tXtXttK?
) ] }()() ] [()({[ 2211 tmtXtmtXE
由许瓦兹不等式得
22211221 |) ] }()() ] [()({[||),(| tmtXtmtXEttK
})]()({[})]()({[ 222211 tmtXEtmtXE
)]([)]([ 21 tXDtXD
故2
21 |),(| ttK
即二阶矩过程 的协方差函数存在)(tX
注二阶矩过程的相关函数 ),( 21 ttR 也一定存在。
首页说明 在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，
这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。
返回首页第二节 均方极限一、均方收敛定义 1 设随机变量序列 {,n = 1,2,…} 和随机变量 X都存在二阶矩,nX 如果
0])[(li m 2 XXE nn
则称 { }均方收敛于 X，
nX
或称 X是 { }的均方极限
nX
记作
XX nnl,i,m
或简记为
XX n?l,i,m
首页二、均方收敛准则定理 1 柯西准则则 均方收敛的充要条件为
nX
证 只证必要性因为 均方收敛于 X,所以有设 { nX,n = 1,2,… } 是二阶矩随机变量序列，
0])[(lim 2
mn
m
n
XXE
nX
0])[(l i m 2 XXE nn
0])[(lim 2 XXE mm 首页又由所以故
0])[(lim 2
mn
m
n
XXE
22 )]()[()( XXXXXX mnmn
22 )(2)(2 XXXX mn
当n,m 时，得
])[(lim0 2mn
m
n
XXE
]})[(lim])[(lim{2 22 XXEXXE mmnn
0?
首页注 等价 存在其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。
nX
三、均方收敛性质性质 1 若 则
0])[(lim 2
mn
m
n
XXE )(lim mn
m
n
XXE
XX n?l,i,m
)(][lim XEXE n
n
)nXE (l.i.m?
证 由许瓦兹不等式得
2|)()(| XEXE n 2|)(| XXE n?2|| XXE n
因 故得证
0])([lim 2 XXE nn
注 当 均方收敛于 X时,的期望收敛于 X的期望
nX nX
首页性质 2
若则证 由许瓦兹不等式得
XX n?l,i,m YY n?l,i,m
)(][lim XYEYXE mn
m
n
)nn YXE l,i,m( l,i,m
|)(||)()(| XYYXEXYEYXE mnmn
|)])(()()([| YYXXYXXYYXE mnnm
|])[(||)]([| YXXEYYXE nm |)])([(| YYXXE mn
2
1
22 ]})()({ YYEXE
m 2
1
2 )}(])[({ YEXXE
n
2
1
22 ]})[(])[({ YYEXXE
mn
因
0])([lim 2 XXE nn 0])([l i m 2 YYE nn
故得证首页性质 3
若则对任意常数 a,b都有证 因为
XX n?l,i,m YY n?l,i,m
故得证
bYaXbYaX nn )(l.i.m
2)]([ bYaXbYaXE nn
2)]()([ YYbXXaE nn
])[(2])[(2 2222 YYEbXXEa nn 0n
首页性质 4
若则注因
XX n?l,i,m YX n?l,i,m
=
YX?
若 1)( YXP,则称 X 与 Y 相等证
][][2][])[( 222 YEYXEXEYXE nnn
XX n?l,i,m
])[( 2YXE?
YX n?l,i,m
0][][2][ 222 YEYEYE
于是
1)( YXP
即 YX?
返回首页第三节 均方连续性均方收敛定义 1
即则称 在点 t均方连续。
设随机变量 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程若对某一确定的 ),(t,有
)()(
0
tXhtX
h
l,i,m
0]))()([(lim 20 tXhtXEh
)(tX
一、均方连续
0]))([(lim 20
0
XtXEtt
称 在 时均方收敛于)(tX
0tt? 0X
首页二、均方连续准则定理 1
则证 充分性设随机变量 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程
),( tsR 为其相关函数，
)( tX 在t 处均方连续? ),( tsR 在 ),( 连续设 ),( tsR 在 ),( 连续则
]))()([(lim 20 XhXEh
),(),([l i m 0 hRhhRh )],(),( RhR
0?
所以
)()(0 XhXhl,i,m 首页再证必要性 又由均方收敛性质 2得定理 2
证设 )( tX 在? 处均方连续，
）（ )()((),( kXhXEkhR
),()()(),(lim
0
0
RXXEkhR
k
h
）（
即 ),( tsR 在 ),( 连续。
如果 ),( tsR 在 { ),( tt,),(t } 处连续，
则 ),( tsR 在 { ),( ts,),(,ts } 处连续。
因 ),( tsR 在 { ),( tt,),(t } 处连续，
由定理 1知,)( tX 在 t ),( 点 均方连续,
即对于 ),(,ts,有首页再由均方收敛性质 2，得即
)()(
0
sXhsX
h
l,i,m
)()(
0
tXhtX
h
l,i,m
),(lim
0
0
kthsR
k
h
)]()([l i m
0
0
ktXhsXE
k
h
),()]()([ tsRtXsXE
),( tsR 在 { ),( ts,),(,ts } 处连续。
首页定理 3
则证 由均方连续定义若二阶矩过程 { )( tX,Tt? } 是均方连续的，
)]([)]([lim 0 tXEhtXEh
0]))()([(lim 20 tXhtXEh
从而
)]([lim 0 htXEh )]([)(
0 tXEhtXhE ）（ l,i,m
说明 在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。首页例 1
试讨论其均方连续性。
解 泊松过程的均值、方差函数为则相关函数设 { )( tX,0?t } 是具有参数为? 的泊松过程，
ttXEtm )]([)(
ttXDtD )]([)(
若 ts0,
)]()([),( tXsXEtsR? ) ] }()()()[({ sXsXtXsXE
)]()([)]([)]([ 2 sXtXEsXEsXE
)()]([)]([ 2 stssmsXD
stsstsss 22 )()(
首页同样因此由于当 st0 时，有
stttsR 2),(
sttstsR 2),m i n (),(
),( tsR 在 （ t,t ）处二元连续故
)( tX 在 0?t 时均方连续。
注 此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不一定是连续的。
返回首页第四节 均方导数一、均方导数的定义定义 1
如果均方极限存在设随机变量 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程对于确定的 ),(t,
0?h
l.i.m
h
tXhtX )()(
则称 在 t处均方可微，)(tX 并将此极限记作 )(tX?
称为 )( tX 在 t 处的均方导数即有
)( tX
0?h
l.i.m h tXhtX )()(
或
0)()()(lim
2
0
tX
h
tXhtXE
h
首页二次均方可微二阶均方导数定义 2 广义二次可微存在若 { )( tX?,),(t } 在t 处均方可微，
则称 )( tX 在 t 处二次均方可微
)( tX? 的均方导数记为 )( tX
设 ),( tsR 为随机过程 { )( tX,Tt? } 的相关函数，
若它在 ),( ts 点当 0,?kh 时，极限
kh
tsRktsRthsRkthsR
k
h?
),(),(),(),(lim
0
0
则称 ),( tsR 在 ),( ts 处广义二次可微，
而此极限称为 ),( tsR 在 ),( ts 处广义二阶导数首页二、均方可微准则定理 1
证设 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程，
则 )( tX,),(t 在t 处均方可微的充要条件是其相关函数 ),( tsR 在 ),( tt 处广义二次可微。
由均方收敛准则知
0?h
l.i.m h tXhtX )()(
的充要条件是
k
tXktX
h
tXhtXE
k
h
)()()()(lim
0
0
存在而
kh
ttRkttRthtRkthtR
),(),(),(),(
当 0,0 kh 时正是 ),( tsR 在 ),( tt 处广义二次可微。
存在首页三、均方导数的性质性质 1
性质 2
设 )( tX 和 )( tY 均方可微,a,b 为常数，
则?)( taX )( tbY 也均方可微，且
dt
d [?)( taX )( tbY ]
dt
tdXa )(
dt
tdYb )(
设 )( tX 为均方可微,)( tf 为一个普通可微函数，
则 )( tf )( tX 也均方可微，且
dt
d [ )( tf )( tX ] )()( tX
dt
tdf
dt
tdXtf )()(
首页性质 3
性质 4
设 )( tX 在 t 处均方可微，则 )( tX 在 t 处均方连续。
设 )( tX 均方可微,),( tsR 为其相关函数，则
)]()([),( tXsXEtsRs
)]()([),( tXsXEtsRt
)]()([),(),(
22
tXsXEtsRsttsRts
证 1 首页其它类似可证性质 5
)]()([ tXsXE
0?
h
E l,i,m?)()()( tXh sXhsX
E
h 0
lim
)()()( tXh sXhsX
0
lim
h h
tsRthsR ),(),(
),( tsRs
若 XtX )(,YtX )(,
则 YX?
首页四
1．
证
)()( tYtX 的均值、相关函数与 )( tX 的关系均方导数 )()( tXtY 的均值 )( tm Y
)]([)]([ tXEdtdtXE
)( tm Y )]([ tXE
0?
h
E l,i,m?h tXhtX )()(
E
h 0
lim
h tXhtX )()(
0
lim
h h
tXEhtXE )]([)]([
)]([ tXEdtd?
注 均方导数 的均值等于均值函数的导数。
而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。
)(tX?
)]([ tXE
首页
2.
证
)( tX 和 )()( tXtY 的互相关函数
),(),( tsRttsR XXY
),(),( tsRstsR XYX
)]()([),( tYsXEtsR XY?
h
tXhtX
h
sXE )()(
0
)( l.i.m
hh
1lim
0?
)]()()()([ tXsXhtXsXE
hh
1lim
0?
)],(),([ tsRhtsR XX),( tsR
t X?
首页注求偏导数得到。
3．
随机过程 )( tX 和其均方导数过程 )( tY 的互相关函数
),( tsR XY,),( tsR YX 可以通过 ),( tsR X 分别对变量 s 和 t
)()( tXtY 的相关函数
),( tsR Y ),(
2
tsRts X
证明
)]()([),( tYsYEtsR Y?
)()()(
0
tY
h
sXhsX
h
E l,i,m
hh
1lim
0?
)]()()()([ tYsXtYhsXE
首页即同理可得
hh
1lim
0?
)],(),([ tsRthsR XYXY ),( tsRs XY
),( tsR Y ),( tsRs XY
),( tsR Y ),( tsRt YX
又因
),(),( tsRttsR XXY
),(),( tsRstsR XYX
故
),( tsR Y ),(
2
tsRts X
首页注随机过程 的相关函数求两次混合偏导数。
例 1
证明求导数过程 )()( tXtY 的相关函数，只需对
)(tX
设 AttX s i n)(?,其中 A 是随机变量，
][ 4AE 则 AtAtX c os)(
2co ss i n)(s i n AtA
h
AthtAE
2)( s i nco s)1( co ss i n
h
AhAhAtAhAtE
2
22 )1( c o ss i n
2
h
AhAtE?
2
22 )( s i nc o s
2
h
AhAhAtE
][4 42 AEh? 0? ( 0?h )
21c os
2s in
返回首页第五节 均方积分一、均方黎曼可积定义 1 设 { )( tX,Tt? } 为二阶矩过程,],[ baT?,
分割 ],[ baT?
btttta n210
)(ma x 11 kknkn tt
作和式
))(( 1
1
kkk
n
k
n ttuXY
kkk tut 1
如果在 0 n 时,nY 均方收敛于 J,且与对 ],[ ba 分法及 ku 的取法无关，
则称 )( tX 在 ],[ ba 上 （黎曼）均方可积，并称
nY 的极限 J 为 )( tX 在 ],[ ba 上的均方积分记作
dttXba )(?
dttXb
a
)(?
0
n
l,i,m ))(( 1
1
kkk
n
k
ttuX
即 首页二、均方可积准则定理 1
即黎曼积分 存在设 )( tX 是一个二阶矩过程，它在 ],[ ba 上均方可积的充要条件是 )( tX 的相关函数
),( tsR 在区域 bsa,bta 黎曼可积，
d s d ttsRba ba ),(
证 由均方收敛准则可知,)( tX 在 ],[ ba 上均方可积，
即
))(( 1
1
iii
n
i
ttuX 均方收敛的充要条件是
m
n
lim )])(([ 1
1
iii
n
i
ttuXE （ )])(([ 1
1
jjj
m
j
ttvX
存在
m
n
lim ))())(()(( 11
1 1
jjiiji
n
i
m
j
ttttvXuXE首页
m
n
lim ))())(()(( 11
1 1
jjiiji
n
i
m
j
ttttvXuXE
m
n
l i m ))()(,( 11
1 1
jjii
n
i
m
j
tttttsR
如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分
d s d ttsRba ba ),(
即 ),( tsR 在区域 bsa,bta 黎曼可积。
首页定理 2
证明设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，则 )( tX 在 ],[ ba 上均方可积。
因为 )( tX 在 ],[ ba 均方连续，
由均方连续准则知相关函数 ),( tsR
在正方形区域,bsa,bta 上连续，
因而其黎曼积分存在,由定理 1知，
)( tX 必在 ],[ ba 上均方可积。
三、均方积分的性质性质 1设 )( tX,)( tY 在 ],[ ba 均方可积,?,? 为常数，则
dttYdttXdttYtX bababa )()()]()([
dttXdttXdttX bccaba )()()(
首页性质 2
其中性质 3
设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，则
22 )()( abMdttXE ba
)]([m a x 2 tXEM
bta
设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，则
dttXtY t
a
)()( （ bta ）
在 ],[ ba 上均方连续，均方可微，且 )()( tXtY
首页性质 4
性质 5
设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，且 )( tX? 均方连续，则
)()()( aXbXdttXba
（均方可积的唯一性）
)( tX 在 ],[ ba 上的均方积分是唯一的。
四、均方积分的数字特征
1．随机过程 积分的期望)(tX
若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，则有
dttXEdttXE baba )]([])([
首页证注 1
])([ dttXE baE?
0 n
l,i,m ))(( 1
1
kkk
n
k
ttuX
0
l i m
n
))(( 1
1
kkk
n
k
ttuXE
0
l i m
n
))](([ 1
1
kkk
n
k
ttuXE
dttXEba )]([
若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，则均值与积分可以交换次序注 2
dssmtm Xt
aY
)()(
首页
2．均方积分的方差及协方差函数则证若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，即 dttXY ba )( 存在
][ 2YEdssXdttXE baba )()(
d s d ttXsXEba ba )]()([ d s d ttsRba ba X ),(
YD 22 ])[(][ YEYE?
2])[( YE dssXEdttXE baba )]([)]([
d s d tsmtm XXba ba )()(
d s d tsmtmtsR XXba ba X )]()(),([
d s d ttsKba ba X ),(
d s d ttsKD ba ba XY ),(
首页注 同样可以证明
3．均方积分的自相关函数及互相关函数
dssXtY ta )()( 的协方差函数
d s d ttsKttK t
a
t
a XY
),(),( 1 221
若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，即 dssXtY ta )()( 存在，
则
),( 21 ttR Y d s d ttsR Xt
a
t
a
),(1 2
dsstRttR t
a XXY
),(),( 121 2
dstsRttR t
a XYX
),(),( 221 1 首页证 只证明其他类似可证
),( 21 ttR Y d s d ttsR Xt
a
t
a
),(1 2
),( 21 ttR Y
d s d ttXsXE t
a
t
a
)()([ 1 2
)]()([ 21 tYtYE?
dssXE ta )({ 1 })(2 dttXta?
d s d ttXsXEta ta )]()([1 2
d s d ttsR Xt
a
t
a
),(1 2
首页例 1
解设 tAtX 22)(?,其中 A 是随机变量,][ 4AE
试求? t dttX0 )(
在定义中可取
)(21 1 kkk ttu
则
))(( 1
1
kkk
n
k
ttuX )])((
2
12[
11
1
2
kkkk
n
k
ttttA
)0(212 22 tA 22 tA?
所以
t dttX0 )( t t d tA0 22 22 tA?
首页例 2
解讨论维纳过程 的均方可积性。
且有由于
)(tX
因 )()( sXtX? 服从 N （ 0,)(2 st ）分布，
0)0(?X
),m i n (),( 2 tstsR
d s d ttsRu u ),(0 0
2 ][
0 0 dsts d sdt
u
t
u t
3
3
2 u
对一切有穷的 u存在，
故均方积分 dttXuY u )()( 0 存在。
首页例 3
解 设设随机过程 { )( tX,0?t } 的相关函数为
||),( tsMetsR
试求 )( tX 的积分的相关函数。
dttXsY s )()( 0
所以 ),(
21 ssR Y
1 2
0 0 )(
s s d s d ttsR,
1 20 0 ||s s ts d s d teM?
1 20 )(0 )(s ss sts ts dsdtedteM
21 ss?
12 )(21 1221 ssss eeeMsM
首页同样可得故得当 21 ss? 时，
),( 21 ssR Y
12 )(22 2121 ssss eeeMsM
),( 21 ssR Y
),m in (2 21 ssM1||
2
1221 ssss eeeM
返回首页第六节 均方黎曼 — 司蒂吉斯积分一、定义
1、有界变差函数设 )( xf 是区间 [ a,b ] 上的有界函数，对任意一组点
],[,,,10 battt n bttta n10
作和式
|)()(|),,,(
1
0
110 i
n
i
inf tftftttI
则称 f 是对分组点 nttt,,,10? 的变差如果对一切可能的分组点，变差所形成的数集有界,|),,,(|
10 nf tttI? 则称 f 是在 [ a,b ] 上的有界变差函数 首页
2,Rieman— Stieltjes积分记设 { )( tX,Tt? } 为二阶矩过程，
)( tf 是在 [ a,b ] 上的有界变差函数，
],[ baT?
对区间 [ a,b ] 进行分割：bttta n10
1 iii ttt ni1 }1,m a x { nit i
作和式 nI 1 和 nI 2,
)]()()[( 1
1
1?
iii
n
i
n tXtXtfI
)]()()[( 1
1
2?
iii
n
i
n tftftXI
iii ttt1
如果均方极限
11 )(0l,i,m II n 22 )(0l,i,m II n
存在并与分割和 的取法无关，it? 首页则均方黎曼 — 司蒂吉斯积分
1I 和 2I 分别称为 )( tf 对 )( tX 和 )( tX 对 )( tf 的记为
ba tdXtfI )()(1
ba tdftXI )()(2
二,和 积分存在条件
1I 2I
定理 1
设 { )( tX,],[ bat? } 为二阶矩过程，
其相关函数为 ),( stR X
首页则 存在则 存在
（ 1）
ba tdXtfI )()(1
ba tdftXI )()(2
（ 2）
若 )( tf 是 [ a,b ] 上连续有界函数，
),( stR X 在 ],[],[ baba? 上为有界变差，
若 ),( stR X 在 ],[],[ baba? 上连续，
)( tf 是 ],[ ba 上的有界变差函数，
定理 2 若
1I 存在，则 2I 也存在。
且有
12 )]()([ ItXtfI ba注反之也成立。
首页定理 3
三、期望与二阶矩若 1I 和 2I 都存在，则有
ba tdXtf )()( batXtf )]()([ ba tdftX )()(
ba tdftX )()( batXtf )]()([ ba tdXtf )()(
])([)(][ 1 ba tXdEtfIE
ba tdftXEIE )()]([][ 2
][ 21IE ),()()( 2 ba Xba stKdsftf
][ 22IE ba ba X sdftdfstK )()(),(
返回首页第七节 均方导数与均方积分的分布一、特征函数族问题 如何利用随机过程的特征函数族，求出其均方导数及均方积分的特征函数族定理 1
其有穷维特征函数族为设 { )( tX,],[ bat? } 为二阶矩过程，
),,,,({ 11 nntt ；
（ 1） 若 的均方导数存在，
TX
则对任意 Ttt n?,,1?,
Ththt nn,,11? 有
),,,,( 11 nnX tt ；?；nnnhh thtthttht
n
,,,,,,(lim 2221110,,
1
),,,,,,
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
hhhhhh
首页
（ 2）
则对任意 Ttt n?,,1?,有若 TX 的均方积分 dttXtY ta )()( 存在，
),,,,( 11 nnY tt ；
,,,,,,( )()(1)1()1(1
,,1
0
1
)(
lim nmnm
ni
n
i
im
uuuu
),,),)1( 111)1(0111 11 mm tttt ）（）（ （（ )),),,)( 1)()(01 nmnmnnnn
nn tttt （（
）（
其中
],[ ita 的分点为 iimii tttta i )()(1)(0?
],[ )()( 1)( ikikik ttu imk1
)(m a x )( 1)(1)( ikikmkim tt
ii
ni,,1 首页二、正态过程的均方导数、积分的性质性质 1
设 ),,,( )()(2)(1)( nknnn XXXX? 为 k 维正态随机向量，
且 )( nX 均方收敛于 ),,,( 21 kXXXX?,
即对每个 i有
0][l i m 2)( inin XXE ki1
则 X也是 k维正态随机向量。
性质 2
设 { )( tX,Tt? } 是正态过程，且在 T 上均方可微，
则 { )( tX?,Tt? } 也是正态过程。
首页性质 3
则也是正态过程设 { )( tX,Tt? } 是正态过程，且在 T 上均方可积，
dssXtY ta )()( ),( Tta?
三、正态过程的均方导数、积分的特征函数定理 2设正态过程 )( tX 的均值函数为 )( tm,协方差为 ),( tsK
（ 1） 若 )( tX 均方可微，
则 ），（ )(,),()( 21 ntXtXtX 的特征函数为
),,,,( 11 nnX tt ；?
}
),(
2
1)(e xp {
1,
2
1
n
kj
kj
kj
n
j
jj ts
ttK
tmi
首页
（ 2）
则若 )( tX 均方可积,dssXtY ta )()(,
），（ )(,),()( 21 ntYtYtY? 的特征函数为
),,;,,( 11 nnY tt
n
j
t
a
t
a kj
n
kj
kj
t
aj
j kj d s d tttKdssmi
1 1,
}),(
2
1)(ex p {
返回 首页第八节 均方微分方程一、考察随机微分方程其中 是二阶矩过程,是二阶矩随机变量。
1
00 )(
],[),()(
XtX
baTttYtX
)(tY 0X
微分方程在均方意义下的唯一解是
tt dssYXtX 0 )()( 0
2 微分方程解的均值和相关函数首页
（在 与 独立时 ）
的均值函数的相关函数 )(tY
0X
)(tX
tt dssYEXEtXE 0 )]([][)]([ 0
)(tX
),( tsR X ][ 20XE s
t
t
t dudvvuR0 0 ),(
)]()([),( tXsXEtsR X?
][][ 020 XEXE
t
t
duuYE
0
)(
][ 0XE
s
t
duuYE
0
)(
s
t
t
t dudvvYuYE 0 0 )()(
当 0)]([?sYE
][)]([ 0XEtXE?
注 有此时有首页微分方程的解 的均值函数与相关函数完全由 与 的相关函数所决定。
注二、考察一阶线性微分方程
)(tY0X
)(tX
00 )(
)()()()(
XtX
tYtXtatX
其中 是普通的函数,是二阶矩过程,是二阶矩随机变量。
)(ta )(tY 0X
1．方程的解定理 1 一阶线性微分方程的解为
tt duua
duua
dsesYeXtX
t
s
t
t
0
0
)()(
0 )()(
首页证 显然
00 )( XtX?
其次，利用求导验证即可。
)(tX
t
t
duua
etaX 0
)(
0 )(
ts duuaetY )()(
tt duuaeXta 0 )(
0)[(
t
t
duua
dsesY
t
s
0
])(
)( )(tY?
)()( tXta? )(tY?
t
t t
duua
dsesY
t
s
0
])([
)(
首页
2,均值与相关函数均值相关函数
)(tX
)]([ tXE
t
t
duuaeXE
0
)(
0 ][
t
t
duua
dsesYE
t
s
0
)(
)]([
),( 21 ttR X
t
t
t
t
duuaduua
eeXE 0
1
0
)()(2
0 ][
dsesYXEe
t
s
t
t duua
t
t
duua?
2
2
0
1
0
)(
0
)(
)]([
dsesYXEe
t
s
t
t duua
t
t
duua?
1
1
0
2
0
)(
0
)(
)]([
10 20 )]()([tt tt tYsYE d s d tee tsts duuaduua 21 )()(
首页随机微分方程例 1 )(tX
其中
0)0(
)()()(
X
tYtXtX?
],[ aTt
0 为平稳过程)(tY 且)]([ tYE
)()( 2YB 0
试求 的均值与自相关函数)(tX
解 直接对所给方程两边取均值
0)]0([
)]([})]([{
XE
tXEtXE
首页解之得自相关函数当 时，只要在上式中 交换的位置便可求得
)1()]([ tetXE
),( 21 ttR X
)1)(1( 122
2
tt ee
)1(
2
112 2)( ttt ee
)( 21 tt?
12 tt? 21,tt
返回首页
)( tm )]([ tXE
]))()([()( 2tmtXEtD
则称为二阶矩过程首页例 1
其中 和 V是相互独立且都服从正态分布 N（ 0,1）
的随机变量，
解 由于 和 V都服从正态分布，所以 也具有正态分布，
设 VtXtX 0)(,bta,
0X
试判断 )( tX 为二阶矩过程。
0X )(tX且
)]([)( tXEtm X? ][ 0 VtXE 0][][ 0 VtEXE
)]()([),( 2121 tXtXEttK? )])([( 2010 VtXVtXE
][][ 22120 VEttXE 211 tt
令 ttt 21,得)( tD X 21 t
故 )( tX 为二阶矩过程。
首页性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在证
)](),(c ov[),( 2121 tXtXttK?
) ] }()() ] [()({[ 2211 tmtXtmtXE
由许瓦兹不等式得
22211221 |) ] }()() ] [()({[||),(| tmtXtmtXEttK
})]()({[})]()({[ 222211 tmtXEtmtXE
)]([)]([ 21 tXDtXD
故2
21 |),(| ttK
即二阶矩过程 的协方差函数存在)(tX
注二阶矩过程的相关函数 ),( 21 ttR 也一定存在。
首页说明 在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，
这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。
返回首页第二节 均方极限一、均方收敛定义 1 设随机变量序列 {,n = 1,2,…} 和随机变量 X都存在二阶矩,nX 如果
0])[(li m 2 XXE nn
则称 { }均方收敛于 X，
nX
或称 X是 { }的均方极限
nX
记作
XX nnl,i,m
或简记为
XX n?l,i,m
首页二、均方收敛准则定理 1 柯西准则则 均方收敛的充要条件为
nX
证 只证必要性因为 均方收敛于 X,所以有设 { nX,n = 1,2,… } 是二阶矩随机变量序列，
0])[(lim 2
mn
m
n
XXE
nX
0])[(l i m 2 XXE nn
0])[(lim 2 XXE mm 首页又由所以故
0])[(lim 2
mn
m
n
XXE
22 )]()[()( XXXXXX mnmn
22 )(2)(2 XXXX mn
当n,m 时，得
])[(lim0 2mn
m
n
XXE
]})[(lim])[(lim{2 22 XXEXXE mmnn
0?
首页注 等价 存在其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。
nX
三、均方收敛性质性质 1 若 则
0])[(lim 2
mn
m
n
XXE )(lim mn
m
n
XXE
XX n?l,i,m
)(][lim XEXE n
n
)nXE (l.i.m?
证 由许瓦兹不等式得
2|)()(| XEXE n 2|)(| XXE n?2|| XXE n
因 故得证
0])([lim 2 XXE nn
注 当 均方收敛于 X时,的期望收敛于 X的期望
nX nX
首页性质 2
若则证 由许瓦兹不等式得
XX n?l,i,m YY n?l,i,m
)(][lim XYEYXE mn
m
n
)nn YXE l,i,m( l,i,m
|)(||)()(| XYYXEXYEYXE mnmn
|)])(()()([| YYXXYXXYYXE mnnm
|])[(||)]([| YXXEYYXE nm |)])([(| YYXXE mn
2
1
22 ]})()({ YYEXE
m 2
1
2 )}(])[({ YEXXE
n
2
1
22 ]})[(])[({ YYEXXE
mn
因
0])([lim 2 XXE nn 0])([l i m 2 YYE nn
故得证首页性质 3
若则对任意常数 a,b都有证 因为
XX n?l,i,m YY n?l,i,m
故得证
bYaXbYaX nn )(l.i.m
2)]([ bYaXbYaXE nn
2)]()([ YYbXXaE nn
])[(2])[(2 2222 YYEbXXEa nn 0n
首页性质 4
若则注因
XX n?l,i,m YX n?l,i,m
=
YX?
若 1)( YXP,则称 X 与 Y 相等证
][][2][])[( 222 YEYXEXEYXE nnn
XX n?l,i,m
])[( 2YXE?
YX n?l,i,m
0][][2][ 222 YEYEYE
于是
1)( YXP
即 YX?
返回首页第三节 均方连续性均方收敛定义 1
即则称 在点 t均方连续。
设随机变量 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程若对某一确定的 ),(t,有
)()(
0
tXhtX
h
l,i,m
0]))()([(lim 20 tXhtXEh
)(tX
一、均方连续
0]))([(lim 20
0
XtXEtt
称 在 时均方收敛于)(tX
0tt? 0X
首页二、均方连续准则定理 1
则证 充分性设随机变量 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程
),( tsR 为其相关函数，
)( tX 在t 处均方连续? ),( tsR 在 ),( 连续设 ),( tsR 在 ),( 连续则
]))()([(lim 20 XhXEh
),(),([l i m 0 hRhhRh )],(),( RhR
0?
所以
)()(0 XhXhl,i,m 首页再证必要性 又由均方收敛性质 2得定理 2
证设 )( tX 在? 处均方连续，
）（ )()((),( kXhXEkhR
),()()(),(lim
0
0
RXXEkhR
k
h
）（
即 ),( tsR 在 ),( 连续。
如果 ),( tsR 在 { ),( tt,),(t } 处连续，
则 ),( tsR 在 { ),( ts,),(,ts } 处连续。
因 ),( tsR 在 { ),( tt,),(t } 处连续，
由定理 1知,)( tX 在 t ),( 点 均方连续,
即对于 ),(,ts,有首页再由均方收敛性质 2，得即
)()(
0
sXhsX
h
l,i,m
)()(
0
tXhtX
h
l,i,m
),(lim
0
0
kthsR
k
h
)]()([l i m
0
0
ktXhsXE
k
h
),()]()([ tsRtXsXE
),( tsR 在 { ),( ts,),(,ts } 处连续。
首页定理 3
则证 由均方连续定义若二阶矩过程 { )( tX,Tt? } 是均方连续的，
)]([)]([lim 0 tXEhtXEh
0]))()([(lim 20 tXhtXEh
从而
)]([lim 0 htXEh )]([)(
0 tXEhtXhE ）（ l,i,m
说明 在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。首页例 1
试讨论其均方连续性。
解 泊松过程的均值、方差函数为则相关函数设 { )( tX,0?t } 是具有参数为? 的泊松过程，
ttXEtm )]([)(
ttXDtD )]([)(
若 ts0,
)]()([),( tXsXEtsR? ) ] }()()()[({ sXsXtXsXE
)]()([)]([)]([ 2 sXtXEsXEsXE
)()]([)]([ 2 stssmsXD
stsstsss 22 )()(
首页同样因此由于当 st0 时，有
stttsR 2),(
sttstsR 2),m i n (),(
),( tsR 在 （ t,t ）处二元连续故
)( tX 在 0?t 时均方连续。
注 此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不一定是连续的。
返回首页第四节 均方导数一、均方导数的定义定义 1
如果均方极限存在设随机变量 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程对于确定的 ),(t,
0?h
l.i.m
h
tXhtX )()(
则称 在 t处均方可微，)(tX 并将此极限记作 )(tX?
称为 )( tX 在 t 处的均方导数即有
)( tX
0?h
l.i.m h tXhtX )()(
或
0)()()(lim
2
0
tX
h
tXhtXE
h
首页二次均方可微二阶均方导数定义 2 广义二次可微存在若 { )( tX?,),(t } 在t 处均方可微，
则称 )( tX 在 t 处二次均方可微
)( tX? 的均方导数记为 )( tX
设 ),( tsR 为随机过程 { )( tX,Tt? } 的相关函数，
若它在 ),( ts 点当 0,?kh 时，极限
kh
tsRktsRthsRkthsR
k
h?
),(),(),(),(lim
0
0
则称 ),( tsR 在 ),( ts 处广义二次可微，
而此极限称为 ),( tsR 在 ),( ts 处广义二阶导数首页二、均方可微准则定理 1
证设 { )( tX,),(t } 为二阶矩过程，
则 )( tX,),(t 在t 处均方可微的充要条件是其相关函数 ),( tsR 在 ),( tt 处广义二次可微。
由均方收敛准则知
0?h
l.i.m h tXhtX )()(
的充要条件是
k
tXktX
h
tXhtXE
k
h
)()()()(lim
0
0
存在而
kh
ttRkttRthtRkthtR
),(),(),(),(
当 0,0 kh 时正是 ),( tsR 在 ),( tt 处广义二次可微。
存在首页三、均方导数的性质性质 1
性质 2
设 )( tX 和 )( tY 均方可微,a,b 为常数，
则?)( taX )( tbY 也均方可微，且
dt
d [?)( taX )( tbY ]
dt
tdXa )(
dt
tdYb )(
设 )( tX 为均方可微,)( tf 为一个普通可微函数，
则 )( tf )( tX 也均方可微，且
dt
d [ )( tf )( tX ] )()( tX
dt
tdf
dt
tdXtf )()(
首页性质 3
性质 4
设 )( tX 在 t 处均方可微，则 )( tX 在 t 处均方连续。
设 )( tX 均方可微,),( tsR 为其相关函数，则
)]()([),( tXsXEtsRs
)]()([),( tXsXEtsRt
)]()([),(),(
22
tXsXEtsRsttsRts
证 1 首页其它类似可证性质 5
)]()([ tXsXE
0?
h
E l,i,m?)()()( tXh sXhsX
E
h 0
lim
)()()( tXh sXhsX
0
lim
h h
tsRthsR ),(),(
),( tsRs
若 XtX )(,YtX )(,
则 YX?
首页四
1．
证
)()( tYtX 的均值、相关函数与 )( tX 的关系均方导数 )()( tXtY 的均值 )( tm Y
)]([)]([ tXEdtdtXE
)( tm Y )]([ tXE
0?
h
E l,i,m?h tXhtX )()(
E
h 0
lim
h tXhtX )()(
0
lim
h h
tXEhtXE )]([)]([
)]([ tXEdtd?
注 均方导数 的均值等于均值函数的导数。
而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。
)(tX?
)]([ tXE
首页
2.
证
)( tX 和 )()( tXtY 的互相关函数
),(),( tsRttsR XXY
),(),( tsRstsR XYX
)]()([),( tYsXEtsR XY?
h
tXhtX
h
sXE )()(
0
)( l.i.m
hh
1lim
0?
)]()()()([ tXsXhtXsXE
hh
1lim
0?
)],(),([ tsRhtsR XX),( tsR
t X?
首页注求偏导数得到。
3．
随机过程 )( tX 和其均方导数过程 )( tY 的互相关函数
),( tsR XY,),( tsR YX 可以通过 ),( tsR X 分别对变量 s 和 t
)()( tXtY 的相关函数
),( tsR Y ),(
2
tsRts X
证明
)]()([),( tYsYEtsR Y?
)()()(
0
tY
h
sXhsX
h
E l,i,m
hh
1lim
0?
)]()()()([ tYsXtYhsXE
首页即同理可得
hh
1lim
0?
)],(),([ tsRthsR XYXY ),( tsRs XY
),( tsR Y ),( tsRs XY
),( tsR Y ),( tsRt YX
又因
),(),( tsRttsR XXY
),(),( tsRstsR XYX
故
),( tsR Y ),(
2
tsRts X
首页注随机过程 的相关函数求两次混合偏导数。
例 1
证明求导数过程 )()( tXtY 的相关函数，只需对
)(tX
设 AttX s i n)(?,其中 A 是随机变量，
][ 4AE 则 AtAtX c os)(
2co ss i n)(s i n AtA
h
AthtAE
2)( s i nco s)1( co ss i n
h
AhAhAtAhAtE
2
22 )1( c o ss i n
2
h
AhAtE?
2
22 )( s i nc o s
2
h
AhAhAtE
][4 42 AEh? 0? ( 0?h )
21c os
2s in
返回首页第五节 均方积分一、均方黎曼可积定义 1 设 { )( tX,Tt? } 为二阶矩过程,],[ baT?,
分割 ],[ baT?
btttta n210
)(ma x 11 kknkn tt
作和式
))(( 1
1
kkk
n
k
n ttuXY
kkk tut 1
如果在 0 n 时,nY 均方收敛于 J,且与对 ],[ ba 分法及 ku 的取法无关，
则称 )( tX 在 ],[ ba 上 （黎曼）均方可积，并称
nY 的极限 J 为 )( tX 在 ],[ ba 上的均方积分记作
dttXba )(?
dttXb
a
)(?
0
n
l,i,m ))(( 1
1
kkk
n
k
ttuX
即 首页二、均方可积准则定理 1
即黎曼积分 存在设 )( tX 是一个二阶矩过程，它在 ],[ ba 上均方可积的充要条件是 )( tX 的相关函数
),( tsR 在区域 bsa,bta 黎曼可积，
d s d ttsRba ba ),(
证 由均方收敛准则可知,)( tX 在 ],[ ba 上均方可积，
即
))(( 1
1
iii
n
i
ttuX 均方收敛的充要条件是
m
n
lim )])(([ 1
1
iii
n
i
ttuXE （ )])(([ 1
1
jjj
m
j
ttvX
存在
m
n
lim ))())(()(( 11
1 1
jjiiji
n
i
m
j
ttttvXuXE首页
m
n
lim ))())(()(( 11
1 1
jjiiji
n
i
m
j
ttttvXuXE
m
n
l i m ))()(,( 11
1 1
jjii
n
i
m
j
tttttsR
如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分
d s d ttsRba ba ),(
即 ),( tsR 在区域 bsa,bta 黎曼可积。
首页定理 2
证明设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，则 )( tX 在 ],[ ba 上均方可积。
因为 )( tX 在 ],[ ba 均方连续，
由均方连续准则知相关函数 ),( tsR
在正方形区域,bsa,bta 上连续，
因而其黎曼积分存在,由定理 1知，
)( tX 必在 ],[ ba 上均方可积。
三、均方积分的性质性质 1设 )( tX,)( tY 在 ],[ ba 均方可积,?,? 为常数，则
dttYdttXdttYtX bababa )()()]()([
dttXdttXdttX bccaba )()()(
首页性质 2
其中性质 3
设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，则
22 )()( abMdttXE ba
)]([m a x 2 tXEM
bta
设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，则
dttXtY t
a
)()( （ bta ）
在 ],[ ba 上均方连续，均方可微，且 )()( tXtY
首页性质 4
性质 5
设 )( tX 在 ],[ ba 上均方连续，且 )( tX? 均方连续，则
)()()( aXbXdttXba
（均方可积的唯一性）
)( tX 在 ],[ ba 上的均方积分是唯一的。
四、均方积分的数字特征
1．随机过程 积分的期望)(tX
若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，则有
dttXEdttXE baba )]([])([
首页证注 1
])([ dttXE baE?
0 n
l,i,m ))(( 1
1
kkk
n
k
ttuX
0
l i m
n
))(( 1
1
kkk
n
k
ttuXE
0
l i m
n
))](([ 1
1
kkk
n
k
ttuXE
dttXEba )]([
若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，则均值与积分可以交换次序注 2
dssmtm Xt
aY
)()(
首页
2．均方积分的方差及协方差函数则证若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，即 dttXY ba )( 存在
][ 2YEdssXdttXE baba )()(
d s d ttXsXEba ba )]()([ d s d ttsRba ba X ),(
YD 22 ])[(][ YEYE?
2])[( YE dssXEdttXE baba )]([)]([
d s d tsmtm XXba ba )()(
d s d tsmtmtsR XXba ba X )]()(),([
d s d ttsKba ba X ),(
d s d ttsKD ba ba XY ),(
首页注 同样可以证明
3．均方积分的自相关函数及互相关函数
dssXtY ta )()( 的协方差函数
d s d ttsKttK t
a
t
a XY
),(),( 1 221
若 )( tX 在 ],[ ba 均方可积，即 dssXtY ta )()( 存在，
则
),( 21 ttR Y d s d ttsR Xt
a
t
a
),(1 2
dsstRttR t
a XXY
),(),( 121 2
dstsRttR t
a XYX
),(),( 221 1 首页证 只证明其他类似可证
),( 21 ttR Y d s d ttsR Xt
a
t
a
),(1 2
),( 21 ttR Y
d s d ttXsXE t
a
t
a
)()([ 1 2
)]()([ 21 tYtYE?
dssXE ta )({ 1 })(2 dttXta?
d s d ttXsXEta ta )]()([1 2
d s d ttsR Xt
a
t
a
),(1 2
首页例 1
解设 tAtX 22)(?,其中 A 是随机变量,][ 4AE
试求? t dttX0 )(
在定义中可取
)(21 1 kkk ttu
则
))(( 1
1
kkk
n
k
ttuX )])((
2
12[
11
1
2
kkkk
n
k
ttttA
)0(212 22 tA 22 tA?
所以
t dttX0 )( t t d tA0 22 22 tA?
首页例 2
解讨论维纳过程 的均方可积性。
且有由于
)(tX
因 )()( sXtX? 服从 N （ 0,)(2 st ）分布，
0)0(?X
),m i n (),( 2 tstsR
d s d ttsRu u ),(0 0
2 ][
0 0 dsts d sdt
u
t
u t
3
3
2 u
对一切有穷的 u存在，
故均方积分 dttXuY u )()( 0 存在。
首页例 3
解 设设随机过程 { )( tX,0?t } 的相关函数为
||),( tsMetsR
试求 )( tX 的积分的相关函数。
dttXsY s )()( 0
所以 ),(
21 ssR Y
1 2
0 0 )(
s s d s d ttsR,
1 20 0 ||s s ts d s d teM?
1 20 )(0 )(s ss sts ts dsdtedteM
21 ss?
12 )(21 1221 ssss eeeMsM
首页同样可得故得当 21 ss? 时，
),( 21 ssR Y
12 )(22 2121 ssss eeeMsM
),( 21 ssR Y
),m in (2 21 ssM1||
2
1221 ssss eeeM
返回首页第六节 均方黎曼 — 司蒂吉斯积分一、定义
1、有界变差函数设 )( xf 是区间 [ a,b ] 上的有界函数，对任意一组点
],[,,,10 battt n bttta n10
作和式
|)()(|),,,(
1
0
110 i
n
i
inf tftftttI
则称 f 是对分组点 nttt,,,10? 的变差如果对一切可能的分组点，变差所形成的数集有界,|),,,(|
10 nf tttI? 则称 f 是在 [ a,b ] 上的有界变差函数 首页
2,Rieman— Stieltjes积分记设 { )( tX,Tt? } 为二阶矩过程，
)( tf 是在 [ a,b ] 上的有界变差函数，
],[ baT?
对区间 [ a,b ] 进行分割：bttta n10
1 iii ttt ni1 }1,m a x { nit i
作和式 nI 1 和 nI 2,
)]()()[( 1
1
1?
iii
n
i
n tXtXtfI
)]()()[( 1
1
2?
iii
n
i
n tftftXI
iii ttt1
如果均方极限
11 )(0l,i,m II n 22 )(0l,i,m II n
存在并与分割和 的取法无关，it? 首页则均方黎曼 — 司蒂吉斯积分
1I 和 2I 分别称为 )( tf 对 )( tX 和 )( tX 对 )( tf 的记为
ba tdXtfI )()(1
ba tdftXI )()(2
二,和 积分存在条件
1I 2I
定理 1
设 { )( tX,],[ bat? } 为二阶矩过程，
其相关函数为 ),( stR X
首页则 存在则 存在
（ 1）
ba tdXtfI )()(1
ba tdftXI )()(2
（ 2）
若 )( tf 是 [ a,b ] 上连续有界函数，
),( stR X 在 ],[],[ baba? 上为有界变差，
若 ),( stR X 在 ],[],[ baba? 上连续，
)( tf 是 ],[ ba 上的有界变差函数，
定理 2 若
1I 存在，则 2I 也存在。
且有
12 )]()([ ItXtfI ba注反之也成立。
首页定理 3
三、期望与二阶矩若 1I 和 2I 都存在，则有
ba tdXtf )()( batXtf )]()([ ba tdftX )()(
ba tdftX )()( batXtf )]()([ ba tdXtf )()(
])([)(][ 1 ba tXdEtfIE
ba tdftXEIE )()]([][ 2
][ 21IE ),()()( 2 ba Xba stKdsftf
][ 22IE ba ba X sdftdfstK )()(),(
返回首页第七节 均方导数与均方积分的分布一、特征函数族问题 如何利用随机过程的特征函数族，求出其均方导数及均方积分的特征函数族定理 1
其有穷维特征函数族为设 { )( tX,],[ bat? } 为二阶矩过程，
),,,,({ 11 nntt ；
（ 1） 若 的均方导数存在，
TX
则对任意 Ttt n?,,1?,
Ththt nn,,11? 有
),,,,( 11 nnX tt ；?；nnnhh thtthttht
n
,,,,,,(lim 2221110,,
1
),,,,,,
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
hhhhhh
首页
（ 2）
则对任意 Ttt n?,,1?,有若 TX 的均方积分 dttXtY ta )()( 存在，
),,,,( 11 nnY tt ；
,,,,,,( )()(1)1()1(1
,,1
0
1
)(
lim nmnm
ni
n
i
im
uuuu
),,),)1( 111)1(0111 11 mm tttt ）（）（ （（ )),),,)( 1)()(01 nmnmnnnn
nn tttt （（
）（
其中
],[ ita 的分点为 iimii tttta i )()(1)(0?
],[ )()( 1)( ikikik ttu imk1
)(m a x )( 1)(1)( ikikmkim tt
ii
ni,,1 首页二、正态过程的均方导数、积分的性质性质 1
设 ),,,( )()(2)(1)( nknnn XXXX? 为 k 维正态随机向量，
且 )( nX 均方收敛于 ),,,( 21 kXXXX?,
即对每个 i有
0][l i m 2)( inin XXE ki1
则 X也是 k维正态随机向量。
性质 2
设 { )( tX,Tt? } 是正态过程，且在 T 上均方可微，
则 { )( tX?,Tt? } 也是正态过程。
首页性质 3
则也是正态过程设 { )( tX,Tt? } 是正态过程，且在 T 上均方可积，
dssXtY ta )()( ),( Tta?
三、正态过程的均方导数、积分的特征函数定理 2设正态过程 )( tX 的均值函数为 )( tm,协方差为 ),( tsK
（ 1） 若 )( tX 均方可微，
则 ），（ )(,),()( 21 ntXtXtX 的特征函数为
),,,,( 11 nnX tt ；?
}
),(
2
1)(e xp {
1,
2
1
n
kj
kj
kj
n
j
jj ts
ttK
tmi
首页
（ 2）
则若 )( tX 均方可积,dssXtY ta )()(,
），（ )(,),()( 21 ntYtYtY? 的特征函数为
),,;,,( 11 nnY tt
n
j
t
a
t
a kj
n
kj
kj
t
aj
j kj d s d tttKdssmi
1 1,
}),(
2
1)(ex p {
返回 首页第八节 均方微分方程一、考察随机微分方程其中 是二阶矩过程,是二阶矩随机变量。
1
00 )(
],[),()(
XtX
baTttYtX
)(tY 0X
微分方程在均方意义下的唯一解是
tt dssYXtX 0 )()( 0
2 微分方程解的均值和相关函数首页
（在 与 独立时 ）
的均值函数的相关函数 )(tY
0X
)(tX
tt dssYEXEtXE 0 )]([][)]([ 0
)(tX
),( tsR X ][ 20XE s
t
t
t dudvvuR0 0 ),(
)]()([),( tXsXEtsR X?
][][ 020 XEXE
t
t
duuYE
0
)(
][ 0XE
s
t
duuYE
0
)(
s
t
t
t dudvvYuYE 0 0 )()(
当 0)]([?sYE
][)]([ 0XEtXE?
注 有此时有首页微分方程的解 的均值函数与相关函数完全由 与 的相关函数所决定。
注二、考察一阶线性微分方程
)(tY0X
)(tX
00 )(
)()()()(
XtX
tYtXtatX
其中 是普通的函数,是二阶矩过程,是二阶矩随机变量。
)(ta )(tY 0X
1．方程的解定理 1 一阶线性微分方程的解为
tt duua
duua
dsesYeXtX
t
s
t
t
0
0
)()(
0 )()(
首页证 显然
00 )( XtX?
其次，利用求导验证即可。
)(tX
t
t
duua
etaX 0
)(
0 )(
ts duuaetY )()(
tt duuaeXta 0 )(
0)[(
t
t
duua
dsesY
t
s
0
])(
)( )(tY?
)()( tXta? )(tY?
t
t t
duua
dsesY
t
s
0
])([
)(
首页
2,均值与相关函数均值相关函数
)(tX
)]([ tXE
t
t
duuaeXE
0
)(
0 ][
t
t
duua
dsesYE
t
s
0
)(
)]([
),( 21 ttR X
t
t
t
t
duuaduua
eeXE 0
1
0
)()(2
0 ][
dsesYXEe
t
s
t
t duua
t
t
duua?
2
2
0
1
0
)(
0
)(
)]([
dsesYXEe
t
s
t
t duua
t
t
duua?
1
1
0
2
0
)(
0
)(
)]([
10 20 )]()([tt tt tYsYE d s d tee tsts duuaduua 21 )()(
首页随机微分方程例 1 )(tX
其中
0)0(
)()()(
X
tYtXtX?
],[ aTt
0 为平稳过程)(tY 且)]([ tYE
)()( 2YB 0
试求 的均值与自相关函数)(tX
解 直接对所给方程两边取均值
0)]0([
)]([})]([{
XE
tXEtXE
首页解之得自相关函数当 时，只要在上式中 交换的位置便可求得
)1()]([ tetXE
),( 21 ttR X
)1)(1( 122
2
tt ee
)1(
2
112 2)( ttt ee
)( 21 tt?
12 tt? 21,tt
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