工程力学习题答案
第十章 组合变形已知单元体应力状态如图示（应力单位为），试求：（1）指定斜截面上的正应力和剪应力；（2）主应力的大小、主平面位置；（3）在单元体上画出平面位置和主应力方向；（4）最大剪应力.
解：（1）斜截面上的应力：
（2）主应力和主平面
（3）图
（4）
2.图示起重机的最大起重吊重量为P=40 kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235，许用应力[]=120Mpa,试校核横梁的强度。
解：（1）外力分析：取AC为研究对象，受力如图，小车位于AC中点（此时梁的弯矩最大），平衡条件
,
kN
,
kN
,
kN
（2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC梁为压，弯组合变形，危险截面位于AC中点。
（=YC ×3.5/2）
kN.m
应力分析
18号槽钢 (P388)
((拉+(弯max = N/A + Mmax /wz，二应力均为拉应力 )
（4）强度分析,
满足要求（分母应为 [(] ）
为什么小车位于AC的中点时AC杆的弯矩最大：
（1）由截面法可知：小车左侧剪力为 YC＞0，右侧为YC-P＜0，
故小车P的作用点为弯矩图直线升、降区间的转折点，该截面弯矩最大。求小车位于距C端为x截面上的弯矩：
由∑MA=0，P×(L-x)-YC.L=0,得 YC=(L-x)P/L
由YC 对小车作用点之矩:M= YC?x=(L-x)P/L?x=-Px2/L+Px，当M’=-2Px/L+P=0时,
即x=L/2时,弯矩M值最大.
3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径d=30mm,材料为Q235钢，，试按第三强度理论求最大起重载荷Q。
解：（1）轴的外力
Q向轴简化为Q—弯曲力偶Q = T —扭转
（2）内力—见图危险截面位中点：
Q （ T = 200Q）
（Nmm）
轴发生弯曲与扭转组合变形
（3）强度计算：
（Mn 应为T）
N
最大起重载为860N.
4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C直径为=300mm,其上作用着铅直切向力=5 kN，齿轮D的直径为=150mm,其上作用着水平切向力=10kN。若[]=100Mpa，试用第四强度理论求轴的直径。
解：（1）外力分析，
将,向AB轴简化，如图
KN.mm
（2）内力分析：
在m作用下轴发生扭转，在、作用下轴发生弯曲变形，所以AB轴为弯曲组合变形。
,
KN.mm
KN.mm
,
KN.mm
KN.mm
M,
KN.mm
KN.mm
(3) 强度运算：
mm
5．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa）。
（1）分别用图解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的应力；
（2）用图解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置，求最大剪应力。
（1）（a）解析法解：
MPa
MPa
解析法求解：
MPa
MPa
（2）图解法：
MPa
主平面位置
（d）解：作应力图
MPa
MPa
MPa
（e）解：作应力图
MPa
MPa
MPa
（f）MPa
MPa
MPa
6.图示一钢质圆杆，直径D=200mm,已知A点在与水平线方向上的正应变，试求载荷P。已知,。
解：（1）绕A点取一单元体，
应力状态如图：
（2）由广义虎克定律得,
（3）载荷P：
7．扭矩作用在直径D=60mm的钢轴上，若,，试求圆轴表面上任一点在与母线成方向上的正应变。
解：（1）绕A点取一单元体，
应力状态如图：
（2）
（3）
8．薄壁圆筒扭转一拉伸试验的示意图如图所示。若P=20k N,m=600N.m,且d=50mm,mm,试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主应力的大小及方向（用单元体表示）。
解：（1）绕A点取单元体，应力为：
σ1
（2）
（3）
第十章 组合变形已知单元体应力状态如图示（应力单位为），试求：（1）指定斜截面上的正应力和剪应力；（2）主应力的大小、主平面位置；（3）在单元体上画出平面位置和主应力方向；（4）最大剪应力.
解：（1）斜截面上的应力：
（2）主应力和主平面
（3）图
（4）
2.图示起重机的最大起重吊重量为P=40 kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235，许用应力[]=120Mpa,试校核横梁的强度。
解：（1）外力分析：取AC为研究对象，受力如图，小车位于AC中点（此时梁的弯矩最大），平衡条件
,
kN
,
kN
,
kN
（2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC梁为压，弯组合变形，危险截面位于AC中点。
（=YC ×3.5/2）
kN.m
应力分析
18号槽钢 (P388)
((拉+(弯max = N/A + Mmax /wz，二应力均为拉应力 )
（4）强度分析,
满足要求（分母应为 [(] ）
为什么小车位于AC的中点时AC杆的弯矩最大：
（1）由截面法可知：小车左侧剪力为 YC＞0，右侧为YC-P＜0，
故小车P的作用点为弯矩图直线升、降区间的转折点，该截面弯矩最大。求小车位于距C端为x截面上的弯矩：
由∑MA=0，P×(L-x)-YC.L=0,得 YC=(L-x)P/L
由YC 对小车作用点之矩:M= YC?x=(L-x)P/L?x=-Px2/L+Px，当M’=-2Px/L+P=0时,
即x=L/2时,弯矩M值最大.
3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径d=30mm,材料为Q235钢，，试按第三强度理论求最大起重载荷Q。
解：（1）轴的外力
Q向轴简化为Q—弯曲力偶Q = T —扭转
（2）内力—见图危险截面位中点：
Q （ T = 200Q）
（Nmm）
轴发生弯曲与扭转组合变形
（3）强度计算：
（Mn 应为T）
N
最大起重载为860N.
4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C直径为=300mm,其上作用着铅直切向力=5 kN，齿轮D的直径为=150mm,其上作用着水平切向力=10kN。若[]=100Mpa，试用第四强度理论求轴的直径。
解：（1）外力分析，
将,向AB轴简化，如图
KN.mm
（2）内力分析：
在m作用下轴发生扭转，在、作用下轴发生弯曲变形，所以AB轴为弯曲组合变形。
,
KN.mm
KN.mm
,
KN.mm
KN.mm
M,
KN.mm
KN.mm
(3) 强度运算：
mm
5．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa）。
（1）分别用图解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的应力；
（2）用图解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置，求最大剪应力。
（1）（a）解析法解：
MPa
MPa
解析法求解：
MPa
MPa
（2）图解法：
MPa
主平面位置
（d）解：作应力图
MPa
MPa
MPa
（e）解：作应力图
MPa
MPa
MPa
（f）MPa
MPa
MPa
6.图示一钢质圆杆，直径D=200mm,已知A点在与水平线方向上的正应变，试求载荷P。已知,。
解：（1）绕A点取一单元体，
应力状态如图：
（2）由广义虎克定律得,
（3）载荷P：
7．扭矩作用在直径D=60mm的钢轴上，若,，试求圆轴表面上任一点在与母线成方向上的正应变。
解：（1）绕A点取一单元体，
应力状态如图：
（2）
（3）
8．薄壁圆筒扭转一拉伸试验的示意图如图所示。若P=20k N,m=600N.m,且d=50mm,mm,试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主应力的大小及方向（用单元体表示）。
解：（1）绕A点取单元体，应力为：
σ1
（2）
（3）
