第十章 强度理论与组合变形的强度计算
§ 7–1 应力状态的概念
§ 7–2 平面应力状态分析 ——解析法
§ 7–3 平面应力状态分析 ——图解法
10–１ 应力状态分析一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
M
低碳钢铸铁
P
P 铸铁拉伸 P
铸铁压缩
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
P
x
y
z
sx
sz
sy
txy
二、一点的应力状态概念,前面学习了杆件只产生拉压、扭转、弯曲等某一种基本变形时，可分别运用 smax ≤ [s],tmax ≤ [t ] 进行强度计算。但当杆件受组合变形时，横截面上往往同时存在正应力 s和剪应力 t 。 因此要研究 一点处各个不同方位截面上的应力情况，即点的应力状态构件上某一点处的应力变化情况称为该点的应力状态,
单元体 ——为了研究点的应力状态，围绕被研究点切取边长趋于零无限小正六面体,称为该点的单元体。
单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布,大小等于所研究点对应截面上应力；
b、平行平面上，应力大小相等,符号 相同。
三、单元体：
x
y
z
sx
sz
sy
txy
单元体 ——为了研究点的应力状态，围绕被研究点切取边长趋于零无限小正六面体,称为该点的单元体。
单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布,大小等于所研究点对应截面上应力；
b、平行平面上，应力大小相等,符号 相同。
三、单元体：
x
y
z
sx
sz
sy
txy
单元体 ——为了研究点的应力状态，围绕被研究点切取边长趋于零无限小正六面体,称为该点的单元体。
单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布,大小等于所研究点对应截面上应力；
b、平行平面上，应力大小相等,符号 相同。
三、单元体：
x
y
z
sx
sz
sy
txy
二向 (平面 )应力状态分析 ——解析法等价sx
txy
sy
x
y
z
x
y
sx
txy
sy
O
七、主单元体、主平面、主应力：
主单元体 各侧面上剪应力均为零的单元体。
主平面,剪应力为零的平面。
主应力,主面上的正应力。
主应力排列规定,
按代数值从大到小
321 sss
单向应力状态 ）：
一个主应力不为零的应力状态。
二向 (平面 )应力状态,
一个主应力为零的应力状态。
.
三向 (空间 )应力状态,
三个主应力都不为零的应力状态。
A
sxsx
tzx
sx B
txz
纯剪应力状态 (p119) 圆轴扭转时,其表面上任一点的单元体,其左,右面是横截面上一点附近的微小面,仅有剪应力 txy,上下面上有剪应力 tyx,txy=-tyx,而前后面上没有剪应力,这种应力状态称为纯剪应力状态 。
sxt
xy
sy
x
y
z
sy
二向 (平面 )应力状态分析 ——解析法等价sx
txy
sy
x
y
z
x
y
sx
txy
sy
O
二向 (平面 )应力状态分析 ——解析法等价sx
txy
sy
x
y
z
x
y
sx
txy
sy
O
2
1 m a x 2
2 m i n 22
x y x y
x
s s s sss
t
ss
比较 (10 – 2 )与 (10 – 3)可知,最大、最小正应力作用平面上的剪应力必为零。满足此条件者是主平面,smax,smin 为两个主应力。
工程中构件上的各点,大多为二向应力状态,二向应力状态主应力的计算公式 为
2
1 m a x 2
2 m i n 22
x y x y
x
s s s sss
t
ss
正负号规定正应力 -- s与截面外法线同向为正；反向为负,即 拉应力正,压应力为负,
剪应力t与截面外法线顺时针转 90?方向一致为正,反之为负,
最大剪应力计算公式
2
2 m a x m i n 12
m a x 2 2 2
xy
x
ss ss ss
tt
极值剪应力面与主平面的关系
0
2
t a n 2 x
xy
t
ss
0
10 45,4 成即极值剪应力面与主面
x
y
sx
txy
sy
O
sy txy
sx
s
t?
x
y
O t
n
极值剪应力面与主平面的关系
0
2
ta n 2 x
xy
t
ss
0
10 45,4 成即极值剪应力面与主面
x
y
sx
txy
sy
O
sy txy
sx
s
t?
x
y
O t
n
极值剪应力面与主平面的关系
0
2
ta n 2 x
xy
t
ss
0
10 45,4 成即极值剪应力面与主面
x
y
sx
txy
sy
O
sy txy
sx
s
t?
x
y
O t
n
极值剪应力面与主平面的关系
0
2
ta n 2 x
xy
t
ss
0
10 45,4 成即极值剪应力面与主面
x
y
sx
txy
sy
O
sy txy
sx
s
t?
x
y
O t
n
解,
m a xx
T
T
W
tt yxtt
3
3
3
16 700 10
55.7
40
16
x
T
Tm
W
d
t
例 10-1 圆轴受力偶矩 m=700kN·m作用 试求圆轴表面 K点的主应力和最大剪应力。
（ 1）取单元体。
txyC
tyx
txy
tyxM
C
MPa
（ 2）求主应力和最大剪应力，因为轴扭转变形时其横截面上只有剪应力，所以 sx=sy=0
2
2
1 m a x 5 5,722
x y x y
x
s s s s
s s t
2
2
3 5 5,722
x y x y
x
s s s s
st
0
2t a n 2 x
xy
t?
ss
02 9 0 0
45
2
2
m a x 5 5,72
xy
x
ss
tt
MPa
MPa
例 2 分析受扭构件的破坏规律。
解：
求极值应力
0 yx ss
P
n
xy W
Mtt
22
2
1
22 xy
yxyx tssss
s
s
）（
tt 2xy
txyC
tyx M
C
x
y
O
txy
tyx
确定危险点并画其单元体
破坏分析
tt
ss
t
t
22
m i n
m a x
2 xy
yx ）（
tssts 321 ;0;?4522tg 00ss t?
yx
xy
0022tg 11t ss?
xy
yx
M P a200;M P a240, ss ts低碳钢
M P a300~198;M P a960~640
M P a280~98:
byb
Lb
ts
s灰口铸铁低碳钢铸铁四,三向应力状态的最大应力
s1
=
s2
s1 s1 s1≥≥
s1 s3t
max =
-
2
s1 s3smax = smin =
五,广义虎克定律 在复杂应力状态下,主单元体三个主应力 s1,s2,s3 方向的线应变?1,?2,?3 （主应变），对于各向同性材料，应力不超过比例极限时，可用叠加法求得。
+ +
s1 s1
s2
s2 s3
s3
由?1 = s1/E,?2 = -?s2/E,?3 = -?s3/E,则三个主应力共同引起的 s1方向的总线应变为（叠加）：
1= 1E [ s1 -?（ s2 + s3） ] 同理得
2= 1E [ s2 -?（ s1 + s3） ]
3= 1E [ s3 -?（ s1 + s2） ]
平面应力状态分析 —— 图解法
2
2
2
2
22
xy
yxyx
t
ss
t
ss
s
一、应力圆
x
y
sx
txy
sy
O
sy txy
sx
s
t?
x
y
O t
n 此方程曲线为圆 —应力圆（或莫尔圆，由德国工程师,Otto Mohr引入）
(1)建立应力坐系，如下图所示,按比例量取横坐标 OB1= sx,纵坐标 B1D1= tx,得到 D1 。 该点的横、纵坐标分别对应以 x 轴为法线的面上的 s 和 t ；
二、
应力圆的画法
（ 2）量取 OB2 = sy,B2 D2= ty,得到 D2 （ ty 为负值 ） D2 点对应以 y 轴为法线面上的 sy 和 ty ； 交点 C便是圆心。
2
2
2
2
22 xy
yxyx tsstsss
二、
应力圆的用途以 C为圆心，以 CD1为半径画圆 ——应力圆；（ 3）连接 D1D2，交横坐标轴于 C,
若要确定单元体? 平面上的应力，当? 为正时，将半径 CD1 逆时针转动 2? 角到 CE,则 E 点对应? 截面上的 s?和 t? 。
利用应力圆可以方便地确定主应力及剪应力的数值及作用平面的方位,
(1)A1,A2点的纵坐标即剪应力 tx,ty 均为零，是主应力对应的点，两点的横坐标即是 smax,smin 。
（ 2） G1,G2两点纵坐标分别为 tmax,tmin 。
二、
应力圆的用途利用应力圆可以方便地确定主应力及剪应力的数值及作用平面的方位,
22
3
1
22
xy
yxyx
ROC
t
ssss
s
s
）（
半径max=s
smin =
tt
ss
t
t
22
m i n
m a x
2 xy
yx ）（
mint
t max=
=±
s1 - s2
2
主平面的方位：由应力圆上 D1 点（其坐标值代表法线与 x 轴平行的平面上的应力 sx、
ty ）到 A1 点，顺时针转动 角度 2?，这就确定了 s1 所在主平面的法线的方向。从 A1 到
A2,2?= 180?,?= 90?,说明 两个主平面互相垂直。
例 10 – 3 已知图示单元体的 sx = 80 MPa,sy = - 40 MPa txy = - 60
MPa,tyx = 60 MPa,试用应力圆求主应力,并确定主平面位置 。
x
y
1
s3
60MPa
80MPa
40MPa
1?3
A1A2 C
t
s
D1
D2
O
解,按比例以 sx =80 MPa
tx = -60 MPa 为坐标确定
D1(80,-60),同理确定
D2(-40,60).连接 D1D2,交横坐标轴于 C 点,以 C 为圆心,
以 D1D2为直径画圆,由 OC= = = 10 MPa
2?
sx + sy
(sx,tx )
(sy,ty )
2
80-40
2
22
3
1
22
xy
yxyx
ROC
t
ssss
s
s
）（
半径由 s1 = OC + R = 10 +√
280+40
2
( )+60 2
=10 + 60 √ 2 = 10 +84.84
=94.84 MPa
s3 =10 -84.84 = - 74.84 MPa
得由 D1到 A1为逆时针方向,且 2?=45?,故从 x
轴以逆时针方向量取? = 22.5?确定 s1所在主平面的法线方向,
22
3
1
22
xy
yxyx
ROC
t
ssss
s
s
）（
半径在应力圆上标出极值应力
22
m i nm a x
m i n
m a x
2
2
xy
yx
R
t
ss
ss
t
t
）（
半径
O C s
t?
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
x
2?1
mint
maxt
2?0
s1s2s3
例 10 – 4 由实验测得图示梁上 A 点的线应变?x = 500× 10- 6,
y = - 165× 10– 6,已知材料的弹性模量 E = 200 GPa,泊松比
= 0.33,试求该点的正应力 sx 和 sy。
x
x
y
y
sx
syty
tx
A解,围绕 A 点截取单元体如图（ b),其中 sz = 0,
由广义虎克定律得,
x = 1
E
( sx -?s y )?y=
E
( sy -?s x )1
将以上两式联立求解,得,
Es
x= 1-? 2 (?x+ y ) = [500× 10
–6 +0.33× (- 165 × 10–6 )]=100MPa200 × 10 9
1 – 0.33 2
Es
y= 1-? 2 (?y+ x )
200 × 10 9
1 – 0.33 2= (-165× 10
– 6 +0.33× 500× 10– 6 ) =0
强度理论的概念杆件基本变形的强度条件,
当杆件承受组合变形时的强度怎样确定?强度理论 是关于“构件发生强度失效起因”的假说材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂伽利略播下了第一强度理论的种子；
马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；
杜奎特（ C.Duguet)提出了最大剪应力理论麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论 ；
这是后来人们在他的书信出版后才知道的。
smax ≤[ s ] tmax ≤[ t ]
162
3p
p
D
D
IWs= A
N t = T
WP
10–2 四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论：
认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。
1、破坏判据：
2、强度准则,
0)( ; 11 sss3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件,适用于脆性材料因拉伸、扭转变形产生的破坏。
sjx = sb [ s ] =
sb
n
二、最大伸长线应变（第二强度）理论,
认为构件的断裂是由最大伸长线应变 e1引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。
1、破坏判据：
0)(; 11 b
2、强度准则：
3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
EE bsss?s 3211 1
bsss?s 321
sss?s 321
jx =
sjx
E
s1
s2
s3
=
sb
E (p146 -7-3a)?jx =?b
三、最大剪应力（第三强度）理论：
认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。
1、破坏判据
stt?m a x
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件即塑性材料构件。
s
s tssst
22
31
ma x
ssss 31
2、强度准则sss 31
= tjx
s
t
四、形状改变比能（第四强度）理论：
认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时
，构件就破坏了。
1、破坏判据：
2、强度准则
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
ssssssss 21323222121
sssssss 21323222121
s1
s2
s3
三,相当应力
由公式, 0)( ;
11 sss
sss?s 321
sssssss 21323222121
按不同强度理论推得的三个主应力组合值,称为相当应力,
记为 sxd,四个强度理论统一公式为 sxd ≤ [ s ]
( )= sxd2
sxd1
sxd4
sxd3
( )=
( )=
( )=
s
t
2
1 m a x 2
2 m i n 22
x y x y
x
s s s sss t
ss
右图为常见平面应力状态,相应主应力为,
s1 = s2 + s
2√ ( )
2 + t 2
s3 = 2 - s2√ ( ) 2 + t 2s
s2= 0
代入 sxd3,sxd4 得,
sxd3 = s 2 + 4t 2 sxd4 =√ ≤ [ s] s 2 + 3t 2√ ≤ [ s] (接 kj-57)
sjx = sb
例 10 -5 悬臂吊车计算简图如图,横梁 AC 用工字钢制成,已知最大吊重 P = 15 kN,? = 30?,梁的许用应力 [s] = 100 MPa,试选择工字钢的型号,
D
A B C
P
2.5m 1.5m
30?
A CB
HA HB
A
RAHA HB
C C
B
A
41.75kN
N
22.5kNm
M
T RB RB
PP B
s? s” s
(b)
(a)
(e)
(d)
(c)
(f)
解,(1)外力分析,取梁 AC
为研究对象,画受力图 (b).
列当小车移到 C 点时平衡方程,
MA = 0 T?AB sin? - P?AC= 0
T = P?AC?
AB sin?
= 15× 4Sin 30?× 2.5
=48 kN
X i = 0 HA– T cos 30?= 0
Y i= 0 - RA + T sin30?- P = 0
解得,HA= T cos30?= 41.57 kN
HB = HA = 41.57 kN
RA = T sin 30? - P = 48 × 0.5 - 15 = 9 kN 外力 HA与 HB对梁产生压缩变形
(图 c);RA与 RB和 P 对梁产生弯曲变形 (图 e).
T
例 10 -5 悬臂吊车计算简图如图,横梁 AC 用工字钢制成,已知最大吊重 P = 15 kN,? = 30?,梁的许用应力 [?] = 100 MPa,试选择工字钢的型号,
D
A B C
P
2.5m 1.5m
30?
A CB
HA HB
A
RAHA HB
C C
B
A
41.75kN
N
22.5kNm
M
T RB RB
PP B
s? s” s
(b)
(a)
(e)
(d)
(c)
(f)
(2) 内力分析,分别绘出
AC梁的轴力图 (d)和弯矩图
(g),由内力图可见,B截面为危险截面,其上的内力绝对值分别为,
(g)
N = 41.57 kN
|M|max =| -P× 1.5 |=15 × 1.5 =22.5 kNm
(3)应力分析,B截面上由轴力产生的压应力 s’ 和弯矩产生的正应力 s” 及二者叠加后的应力分布图 (f),危险点在 B 截面的下边缘处,最大压应力值为,
scmax = s? + s” = NA MmaxW
z
+ = 2250041570A W
z
+
由于危险点只存在正应力,可用正应力强度条件计算,
例 10 -5 悬臂吊车计算简图如图,横梁 AC 用工字钢制成,已知最大吊重 P = 15 kN,? = 30?,梁的许用应力 [s] = 100 MPa,试选择工字钢的型号,
D
A B C
P
2.5m 1.5m
30?
A CB
HA HB
A
RAHA HB
C C
B
A
41.75kN
N
22.5kNm
M
T RB RB
PP B
(b)
(a)
(e)
(d)
(c)
(f) (g)
(2) 内力分析,分别绘出
AC梁的轴力图 (d)和弯矩图 (g),由内力图可见,B
截面为危险截面,其上的内力绝对值分别为,
N = 41.57 kN
(3)应力分析,B截面上由轴力产生的压应力 s’ 和弯矩产生的正应力 s” 及二者叠加后的应力分布图 (f),危险点在 B 截面的下边缘处,最大压应力值为,
Mmax = P× 1.5 =15 × 1.5 =22.5 kNm
smax = s? + s” = NA MmaxW
z
+ = 2250041570A W
z
+
由于危险点只存在正应力,可用正应力强度条件校核,
例 10 -5 悬臂吊车计算简图如图,横梁 AC 用工字钢制成,已知最大吊重 P = 15 kN,? = 30?,梁的许用应力 [s] = 100 MPa,试选择工字钢的型号,
D
A B C
P
2.5m 1.5m
30?
A CB
HA HB
A
RAHA HB
C C
B
A
41.75kN
N
22.5kNm
M
T RB RB
PP B
(b)
(a)
(e)
(d)
(c)
(f) (g)
(4)选择工字钢的型号,
由弯曲正应力强度条件
smax = s? + s” =
N
A
Mmax
Wz+ =
2250041570
A + Wz
s” = Mmax
Wz ≥
≤ [ s ] 得,
Mmax
[ s ]
Wz
=
22.5× 10 3
100× 10 6
=225cm3
查型钢表选取 20a号工钢,A=35.5
cm2,WZ=237 cm3.按组合变形校核强度,
smax= 41750 2250035.5× 10- 4
237× 10- 6
+ = 106.6 MPa﹥ [ s ]
TT
=225× 10 –6m3
=225× 10 –6 × (10 2) 3
=225 cm3
(4)选择工字钢的型号,
由弯曲正应力强度条件例 10 -5 悬臂吊车计算简图如图,横梁 AC 用工字钢制成,已知最大吊重 P = 15 kN,? = 30?,梁的许用应力 [?] = 100 MPa,试选择工字钢的型号,
D
A B C
P
2.5m 1.5m
30?
A CB
HA HB
A
RAHA HB
C C
B
A
41.75kN
N
22.5kNm
M
T RB RB
PP B
(b)
(a)
(e)
(d)
(c)
(g)(f)
smax= 41750 22500
35.5× 10- 4 237× 10- 6
+
= 106.6 MPa﹥ [ s ],在工程中工作应力不高于 [s]的 5℅,一般是允许的,
这里 smax – [s]
[s] =
106.6 - 100
100
= 6.6℅ 偏于不安全,重新选取
20 b 号工字钢,A=39.5 cm 2,
WZ=250 cm 3,则
41750 22500
39.5× 10- 4 250× 10- 6
+smax= = 100.52MPa 只超过 [s]的 0.52℅,故选用 20b号工字钢能满足梁的强度要求,
例 10 -6 小型压力机的铸铁框架如图,已知材料的许用拉应力 [st]=30 MPa,许用压应力 [sc] = 160 MPa,试按立柱的强度条件确定压力机的最大许可载荷 P,立柱截面尺寸如图,其中 O 为形心,zO = 7.5 cm,Iy =5310 cm4,A=15 × 10 –3 m 2
My =(0.35 + zo ) P = (0.35 + 0.075 ) P = 0.425 P (kNm) 可见立柱受轴向拉伸和弯曲组合变形,
(3)应力分析,如图 (c),由轴力 N 引起的正应力 s’ 沿截面均匀分布,其值为,
解,(1) 外力分析,由于外力 P 与立柱轴线平行而不重合,故立柱受偏心拉伸作用,
(2)内力分析,用截面法,将立柱沿 m-n 截面切开,取上部分为研究对象,如图 (c),截面上有通过截面形心的轴力 N 和弯矩 My,由平衡方程得,N = P kN
s? = NA = P× 10 315× 10 - 3 = P15 MPa
(∑Yi = 0 )
N N
例 10 -6 小型压力机的铸铁框架如图,已知材料的许用拉应力 [st]=30 MPa,许用压应力 [sc] = 160 MPa,试按立柱的强度条件确定压力机的最大许可载荷 P,立柱截面尺寸如图,其中 O 为形心,zO = 7.5 cm,Iy =5310 cm4,A=15 × 10 – 3 m 2
由弯矩 My 引起的正应力 s” 沿 z 方向成线性分布,沿 y方向成均匀分布,内有最大拉应力,外侧有最大压应力,其值分别为,
= M y zOst max
Iy =
0.425 P× 10 3 × 0.075
5310× 10 –8 = 0.6 P
= M y z1sc max
Iy =
0.425 P× 10 3 × (0.075 –0.2 )
5310× 10 –8
= - P (MPa)
“
“
s? 与 s” 叠加得总应力 s,仍在截面内侧有最大拉应力,外侧有最大压应力,分别为,s t max = s? + s”t max = P/15 + 0.6 P = 0.667 P ( MPa )
( MPa )
s c max |= |s? + s”c max |= P/15 - P = 0.933 P ( MPa )
例 10 -6 小型压力机的铸铁框架如图,已知材料的许用拉应力 [st]=30 MPa,许用压应力 [sc] = 160 MPa,试按立柱的强度条件确定压力机的最大许可载荷 P,立柱截面尺寸如图,其中 O 为形心,zO = 7.5 cm,Iy =5310 cm4,A=15 × 10 – 3 m 2
(4) 由应力强度条件确定许可载荷,据抗拉强度条件
s t max≤ [ st ] 得,
P ≤ [ st ]0.667 300.667= =45 kN
据抗拉强度条件
sc max≤ [ sc ] 得,
[ sc ]
0.933
160
0.933=P ≤ =171.5 kN
为使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件,压力 P 不应超过 45 kN,
§ 10.4 扭转与弯曲的组合如图水平曲拐轴,(1 )轴 AB的扭矩和最大弯矩 ;(2)作扭矩图和弯矩图 ;(3)用第三强度理论求危险点的弯扭组合应力,
解 (1),将 F向截面 B的形心平移,平移后的力 F 截面 A的弯矩即为 AB轴的最大弯矩 M = P?
即为力 F对轴 AB的扭矩 T
2,作扭矩图力图和弯矩图如图,(注意正负号 )
截面 A为危险截面
l
F
.,d
a
C
B
x
y
.
A z
..
B
A F' = Fz
x
y
M = Fae
Fl
M
Fa
T
附加力偶 矩,m =Fa
m = F a
Mn
(3)用第三强度理论校核 AB轴的强度,
3.确定危险点截面 A的 上缘 1点 和 下缘 2点
y
1
z
x
s
t
2
s
t
§ 10.4 扭转与弯曲的组合 l
F
.,d
a
C
B
x
y
.
A z
..
B
A F' = Fz
x
y
M = Fae
T = Mn
1 22r3 TM
W z
s ≤[s]
32
3d
W z
补充习题,在如图的水平拐轴上力 F=3kN垂直作用于 C
点,已知,a=120mm,?=140mm,d=40mm,[s]=90MPa.
(1)求出 AB轴的扭矩 T和最大弯矩 M;
(2)画出 AB轴的扭矩图和弯矩图 ;
(3)用第三强度理论校核 AB轴的强度,(58)
4.应力分析
5.强度条件式中 M——危险截面 的弯矩
T——危险截面 的扭矩 y
1
z
x
s
t
2
s
t
ss 1t t
ss 2t t
zW
M?s
pW
T?t
16
3
p
dW
32
3d
W z
2 p zWW?
223r 4 tss
1 22r3 TMW
z
s
][ s? 3 224r tss
22
r4 75.0
1 TM
W zs
][s?
§ 10.4 弯扭组合变形强度计算 l
F
.,d
a
C
B
x
y
.
A z
..
B
A F' = Fz
x
y
M = Fae
T = Mn
例 10 – 7 手摇绞车如图,已知轴的直径 d=30mm,卷筒直径 D=400mm,两轴承间距?= 0.8 m,轴的许用应力 [s] = 80 MPa,试用第四强度理论计算轴的许可载荷 [ Q ].
解,(1)外力分析,将载荷 Q 向绞车轴线简化,得横向 Q 力及附加力偶矩 M
= Q,D/2,Q 和 M分别使轴发生弯曲和扭转变形,如图 (b).
(2) 内力分析,分别作出轴的扭矩图、弯矩图 （ c）,可见 C 截面为危险截面，其上的扭矩、弯矩分别为：
/2? /2
M
C
M
M
BA
A C B
d
T
+
Q
D
(a)
(b)
(c)
1
2 = 2
1 × 0.4 Q = 0.2 Q (Nm)
M = 14 Q? = 14 × 0.8 Q = 0.2 Q ( Nm)
(3)由强度条件确定 [Q],由圆轴弯扭组合变形第四强度理论,
sxd4 = 1w
z√
√
M 2 + 0.75 T 2 =
(0.2Q)2 + 0.75 (0.2Q) 2√
,3 3
32 × 10 - 6
≤ 80 × 10 6 Pa
解得,Q ≤801.5 N
最大允许载荷取 [Q] =800 N
Q
RBRA
T= QD
例 10 – 8 一直径 d=72mm的钢轴上装有胶带轮 A,B，直径均为 D=1m及重量
P=5 kN。 A 轮上胶带张力水平,B 轮胶带张力铅直，大小如图。轴的许用应力 [s] = 80 MPa，试分别按第三、第四强度理论校核轴的强度。
解,将轮上胶带拉力向轴线简化,以作用在轴线上的集中力及力偶矩来代替,计算简图如图
(b).在截面 A 上作用有 向下 的轮子 重力 5kN、胶带 水平拉力 7kN，并有 力偶矩 （ 5-
2)× 0.5 = 1.5 kNm.在 B 截面上作用有 向下的重力 及胶带拉力 共 12 kN,力偶距 1.5 kNm.
圆轴的扭矩如图 ( c),AB段,T = 1.5 kNm,按照空间力系求出支座约束反力,分别画出两个平面的弯矩图 (d)、（ e），总合成弯矩如图（ f）。
A BC D
5kN
2kN5kN
2kN 300 500 500
x
y
RBz =2.1kN
B
5kN
7kN
4.5kN
A C D1.5kNm
1.5kNm
12kN
z
RCz =9.1kN
RAz =7kN
RCy=12.5kN
RAz =5kN
RBy=4.5kN(a)
(b)
(d)
(c)
(e)
1.5kNm 1.5kNm
+
T
x
+My
12kN
+
+M
Mz 2.25kNm
1.5kNm
2.58kNm 2.49kNm
(f)
莫尔强度理论及其相当应力莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，
但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。 °￠ íDa ( O,M o hr),1 8 3 5 1 9 1 8
由应力分布确定危险点的应力状态，确定主应力根据危险点的应力状态选用合适的设计准则受力分析与计算简图内力分析与内力图确定危险截面
结论与讨论
注意综合应用基本概念与基本理论处理工程构件的强度问题拉伸、弯曲、剪切强度问题的综合
结论与讨论
注意综合应用基本概念与基本理论处理工程构件的强度问题拉杆的强度问题梁的强度问题销钉的剪切强度问题
单元体 ——为了研究点的应力状态，围绕被研究点切取边长趋于零无限小正六面体,称为该点的单元体。
单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布,大小等于所研究点对应截面上应力；
b、平行平面上，应力大小相等,符号 相同。
三、单元体：
x
y
z
sx
sz
sy
txy
单元体 ——为了研究点的应力状态，围绕被研究点切取边长趋于零无限小正六面体,称为该点的单元体。
单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布,大小等于所研究点对应截面上应力；
b、平行平面上，应力大小相等,符号 相同。
三、单元体：
x
y
z
sx
sz
sy
txy
单元体 ——为了研究点的应力状态，围绕被研究点切取边长趋于零无限小正六面体,称为该点的单元体。
单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布,大小等于所研究点对应截面上应力；
b、平行平面上，应力大小相等,符号 相同。
三、单元体：
x
y
z
sx
sz
sy
txy
1.拉伸与弯曲组合变形 的强度计算；
本 章 重 点第九章 组合变形时的强度计算
2.扭转与弯曲组合变形 的强度计算。
t
三,相当应力
sxd3 = s 2 + 4t 2
sxd4 =
≤ [ s]
s 2 + 3t 2 ≤ [ s]√
√
将 s= MW
z
t= T W
p Wz 分别代入= 2Wp 2Wz
= T
= +W
z
sxd3 ≤ [ s]M 2 T 2 = +0.75
Wzsxd4 ≤ [ s]
M 2 T 2
√
√
s
圆截面,Wz =? D 3 /32 圆环截面,W
z =? D 3 (1 -? 4 )/32
Wp=? D 3 /16 Wp=? D 3 (1 -? 4 )/16
补充习题,在如图的水平拐轴上力 F=3kN垂直作用于 C点,已知,
a=120mm,?=140mm,d=40mm,[s]=90MPa.
(1)求出 AB轴的扭矩 T和最大弯矩 M;(2)画出 AB轴的扭矩图和弯矩图 ; (3)
用第三强度理论校核 AB轴的强度,
解,(1)将力 F向 B点平移,其附加力偶矩
m=Fa 即为 AB轴的扭矩
T=-Fa =-3× 0.12=-0.36k Nm
平移到 B点的力 F对截面 A的弯矩 M即为轴 AB的最大弯矩
M=- F? = - 3 × 0.14=-0,42kNm
(2)作 AB轴的扭矩图和弯矩图如图所示,
(3)用第三强度理论校核 AB轴的强度
l
F
.,d
a
C
B
x
y
.
A z
..
B
A F' = Fz
x
y
M = Fae
Fl
M
Fa
T
m = F a
0.36kNm
0.42kNm
x
x
√= +
Wzsxd3 ≤ [ s]
M 2 T 2
圆截面,Wz =? D 3 /32
=
√32
.40 3
(0.42× 10 6 )2 +(0.36× 10 6)2
M
T
O
O
(悬臂梁坐标系建立见
P192例 9-3,P189二 )
32
3.14× 40 3
√ 0.42 2 +0.36 2 × 10 6≈
6.4× 104
10√0.1764+0.1296× 106
=
=
6.4
√0.306 × 10 3
=
0.553× 10 3
6.4
=86.4MPa＜ 90 MPa
拐轴的强度足够,
复习要点
1.判断、选择、填空,静力学中“等效”的含义；重心与形心的关系；载荷与横截面上应力的关系；转速与扭矩的关系；最大弯矩是否必定发生在剪力为零的截面上；力的定义 ;力线平移定理 ;约束反力与被其限制物体运动方向的关系；内力 ;梁的弯矩是其横截面上拉、压应力之和分别对中性轴力矩的和（见习题 9第 8题）静力学研究的内容；受力分析的内容；低碳钢拉伸力学性能 4个阶段；平衡的定义；列力的投影平衡方程时是否考虑力偶；外力与剪切面、挤压面的关系；杆件总变形量与各部分应力的关系；梁弯曲时横截面弯矩为零的截面上的挠度和转角怎样；加减平衡力系定理；平面任意力系简化的结果；
P131材料力学（工程设计）的任务；组合变形；首尾相接的力多边形自行封闭的意义；扭矩突跳；杆件拉伸正应力与其横截积的关系 ;
2.解释名词,应力 剪力 弯曲 扭转变形 作用与反作用定理 应力集中 剪力互等定理 弯曲变形
3.画受力图,习题一,1（ b）； 2（ a）、（ c）； 3（ c）、（ d）
4.计算题,
4.计算题,
补充习题：托架计算简图如图（ a）所示，物重 P = 10 kN 位于 AB杆中点。（ 1）试求 BC
杆所受的力。（ 2）画出 BC 杆的轴力图。（ 3）计算 BC 杆横截面上的正应力。
例 8 求 1-1截面上的 D与 E点的正应力和切应力以及梁
1 m
A B
C
F = 20 k N
1.5 m 1 m
1
1
8 k N 12 kNy
z
60
10030
bI
SF
z
zD
D
*
11Qt M P a
60105
402060108
6
3
MP a 28.1?
zI
46 mm 105
z
D
D I
yM 11s M P a
105
30108
6
6
4 8 MP a
D
E
的最大正应力和最大切应力。
12
3bh
M1-1 = RA× 1=8kNm
z
E
E I
yM 11s M P a
105
50108
6
6
MP a08?
例 8 求 1-1截面上的 D与 E点的正应力和切应力以及梁
1 m
A B
C
F = 20 k N
1.5 m 1 m
1
1
8 k N 12 kNy
z
60
10030
D
E
的最大正应力和最大切应力。
解：
M (kN m)
12
.
F ( kN )
8
12
Q
2.梁的最大应力
zI
yM m a xm a x
m a x?s
M P a105 501012 6
6
MP a 120?
bh
F m a xQ
m a x 2
3?t
M P a10060 101223
3
MP a 3?
补充习题,简支梁承受布载荷如图所示 q=2kN,L=2m,[s]=100MPa,
若分别采用实心和空心圆截面，且?=0.8,试分别确定截面尺寸,
l
A B
q
__ql2 __ql2
)0( lx
F
x
Q
__ql
2
__ql
2
M
x
__ql
8
2
解,1.求支反力,根据梁的对称性
RA = RB = ql /2=2 kNm
2.列剪力方程和弯矩方程
Q(x)=RA-qx = ql /2 -qx
22 xqxxqlxM )0( lx
=2kN/m
=2m
1 4 0 M Pam a xm a x ss
zw
M
3.由强度条件
=1kNmMmax=q?2/8=1 kNm
得,1.圆形截面0
2m a xm a x 332 1 4 0 M Pa8
z
M ql
wDss?
得,1.圆形截面
43 3 2 1 0,9 2 9,3
1 4 0 1 0 0 0D m m?
m a xm a x 34 32 1 4 0 M Pa8 ( 1 )
z
M q l l
wDss
D取 42mm
2.圆环形截面（?= 0.8）
d≥31.2mm
D 取 39mm,d取 32mm
0
0
D≥3√ 1× 106× 323.14× 100 ≈46.4mm
47mm
10
8 × 106
≈38.9mm
39 32
补充习题 求出如图所示各段轴力,画出图 示直杆的 轴力图 。 当
d=20mm,[s]= 40 MPa,试校核轴的强度,F =1 8k N1 F =4 kN3F =8 kN2
6kN
4kN
12kN
F N
2.作轴力图
3-3截面：
2-2截面：
1-1截面：
1.求轴力
kN43NF
kN122NF
kN61N?F
解,
3.校核强度 由强度条件,][ss?
A
N＝
smax= Nmax
A
= 12× 10
3
d 2/4
= 4× 12× 10
3
3.14× 20 2 = 38.2 MPa＜ [s]=40MPa
1
1 2
2
3
3
轴的强度足够
