工程力学习题答案第九章 梁的弯曲判断题：
1,梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。（对）
2,最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。（错）
3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和。（对）
4,两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定相同。（错）
5,纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（错，P201图9-15）
6,平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。（对）
7,若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。（错）
8,若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。（对）
9,两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。（错E不同）
10,不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。（错）
习题九
1．设P、q、、l、a均为已知，如图所示试列出各题的剪力方程和弯矩方程式，绘出Q、M图并出值和值。
（a）解：AB段：
BC段,
（b）解：AB段
BC段
2．绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出和，并用微分关系对图形进行校核。
（a）解：根据平衡方程求支反力
kN,
kN
做剪力图，
弯矩图
kN,
kN.m
（b）解：根据平衡条件球求支反力
做剪力图、弯矩图
3．（a）∑MB =0,- RA,4a -qa2+q.2a.a=0,RA=qa/4 (b) ( MB =0，qa×5a/2 –RA.2a+qa.a+qa.a/2=0
RB=7qa/4 RA =2qa,RB= qa
QA =qa/4,QB=QC – q.2a=qa/4- 2qa=-7qa/4
(a)MA=0,MD =0 +qa/4×a=qa2/4 (b) MA=0,MB=MA +0.5(0- qa ).a= -qa2/2,
ME=MD +qa2=5qa2 /4 MC =MB +qa.a= - qa 2/2 + qa2= qa 2/2
MC=ME +qa/4×a=3qa2/2 MD=MC +0.5.(0 – qa ),a=qa2/2 – qa2/2=0
顶点MF=MC +0.5(qa/4 +0)×(2a×1/8)=49qa2/32
4,已知图示各梁的载荷P、q，M和尺寸。（1）作剪力图和弯矩图；（2）确定值和|值。
解 （a）
（a） (b) RA =4Pa/3 RB =5Pa/3
(d) ( MB=0,-RA,a +qa/2×3a/4=0,RA =3qa/8,RB = qa/8,QA =3qa/8,
QC =3qa/8-q.a/2=- qa/8,MA = 0,MF =0+0.5.（3qa/8+0）.3a/8=9qa2/128
MC =MF – 0.5.q.a/8.a/8 =qa2/16 MB =MC –qa/8×a/2 =0
(f) （g）(Q( max = qa ( M ( max = qa2 /2
(g)
(h)
QA=RA=qa/2,QB =qa/2,QC=QA – q.a = - qa/2; MA=0,MC =MA +0.5(qa/2-qa/2)=0
MF=MA+0.5×(qa/2 + 0)×a/2 = qa2/8;
5,设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。
(a)
MA=0,MB=0 +3×2=6,MC =6 - 1×2=4,MF=4+0.5×(1+0)=4.5,MD=4.5+0.5×(0 -3)×3=0
(b)
MB=0+0.5×(-10+0)= - 2.5 MC=0+0.5×(10+0)=2.5
6,矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m,,q =10kN/m,MPa,试确定此梁横截面尺寸。
解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上，
梁的强度条件
将代入上式得，
所以 ，
7．简支梁承受布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且=40mm,,试分别计算它们的最大正压力。并问空心圆截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？
解：因空心圆与实心圆面积相等，所以
将mm代入上式，得：
mm，mm
均布荷载作用下的简支梁，最大弯矩产生在梁跨度中间截面上
kN.m
实心圆截面梁的最大应力
MPa
空心圆截面最大应力
MPa
空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了
8．T字形截面梁的截面尺寸如图所示，若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩M=30kNm,试求：（1）截面上的最大拉应力和压应力；（2）证明截面上拉应力和等于压应力之和，而其组成的合力矩等于截面的弯矩。
解：（1）计算字形截面对形心轴的惯性矩
最大拉应力发生在截面最下边缘
MPa
最大压应力发生在截面最上边缘
MPa
（2）证明：①中性轴上侧压力之和为（拉、压力公式：Fc= ∫y10My/Iz ×b1 dy）
=M/IZ [（1/2）×0.1252- 0 ]= M/IZ 0.05×0.5×0.015625=M/Iz×3.91×10- 4 Nm
中性轴下侧拉力之和为
所以截面上拉力之和等于压力之和。
②截面上合力矩为
所以合力矩等于截面上的弯矩。
9,T形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力，许用压应力，试求梁的许可载荷
解：梁的弯矩图如图,
弯矩的两个极值分别为
,MA =2P×1.4 - P×2= 0.8P
,MC = -0.6 P
截面对形心轴的惯性矩为
(Iz =bh3/12 + Ah12,h1腹 = 153.6–100=53.6mm,h1翼 =200-153.6+25 =71.4mm )
根据弯曲正应力强度条件
,M≤[(].Iz/ymax
由A截面的强度要求确定许可荷载。
由抗拉强度要求得(A截面下缘拉应力最大)
NKN （y1 = 200-153.6+50=96.4mm
=9.64×10 – 2 m )
由抗压强度要求得(A截面上缘压应力最大)
NKN (y2 =153.6 mm = 1.536×10 -1.)
由C截面的强度要求确定许可载荷：
由抗拉强度得：(C截面上缘拉应力最大)
NKN
显然C截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。
许用载荷为 KN
10．矩形截面的变截面梁AB如图示，梁的宽度为b,高度为2h（CD段）和h(AC、DB段许用应力为，为使截面C、E、D上的最大应力均等于，加强部分的长度2a应取多少？
解：由题意可得C,D,E截面的弯矩值
RA = RB = P/2
截面上最大应力值为
欲使截面C,D,E上最大应力相等，则有
即
解得
11．直径d=7.５cm圆截面钢梁承受载荷如图示,钢的弹性摸量E=200GPa,试求梁内最大正应力,AB段变形后的曲率半径和跨度中点C的挠度。
解：梁弯矩图如图所示
RA = RB = P，Mmax = 10×0.4 = 4 kNm
梁内最大正应力
MPa
AB段为线弯曲，变形后曲率半径
m （由P203 公式9-8）
跨度中点C的挠度。
mm
12,筒化后的电动机轴受载及尺寸如图所示，E=200GN/,定子与转子间的间隙=0.35mm，试校核刚度。
解：电动机轴惯性矩
C点的挠度
（查表9-11 ⑤,⑦中 ymax ）
mm
因为
所以电动机轴满足刚度要求。
13．用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。
解：（a）查表9-1 ②、④
查表9-1②挠度方程，将x=c= (/2 代入 y= - Px 2（3c–x）/6EI，得：yA1 = - P(3/24EI，
查表9-1④将 x= ( /2 代入挠度方程；得：yA2 = - m（(/2）2 /2EI = - P(3/8EI
将c= (/2代入②,得(B = - P（(/2）2 /2EI = - P(2/8EI
，
由叠加原理有 yA= yA1 + yA2 =- P(3/24EI - P(3/8EI
（b）由图查表9-1⑦，将x = ( /2 代入挠度方程和转角方程，得：
当 q满布整梁时 x = (/2 处的挠度（当q 不满布时，应乘以长度比值）。
yA1 =
所以，yA=1/2?yA1
由表9-1⑦，用 ( /2代换转角公式中的(,得当q满布时(/2处的转角，
，所以 (Q应为()
1,梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。（对）
2,最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。（错）
3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和。（对）
4,两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定相同。（错）
5,纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（错，P201图9-15）
6,平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。（对）
7,若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。（错）
8,若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。（对）
9,两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。（错E不同）
10,不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。（错）
习题九
1．设P、q、、l、a均为已知，如图所示试列出各题的剪力方程和弯矩方程式，绘出Q、M图并出值和值。
（a）解：AB段：
BC段,
（b）解：AB段
BC段
2．绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出和，并用微分关系对图形进行校核。
（a）解：根据平衡方程求支反力
kN,
kN
做剪力图，
弯矩图
kN,
kN.m
（b）解：根据平衡条件球求支反力
做剪力图、弯矩图
3．（a）∑MB =0,- RA,4a -qa2+q.2a.a=0,RA=qa/4 (b) ( MB =0，qa×5a/2 –RA.2a+qa.a+qa.a/2=0
RB=7qa/4 RA =2qa,RB= qa
QA =qa/4,QB=QC – q.2a=qa/4- 2qa=-7qa/4
(a)MA=0,MD =0 +qa/4×a=qa2/4 (b) MA=0,MB=MA +0.5(0- qa ).a= -qa2/2,
ME=MD +qa2=5qa2 /4 MC =MB +qa.a= - qa 2/2 + qa2= qa 2/2
MC=ME +qa/4×a=3qa2/2 MD=MC +0.5.(0 – qa ),a=qa2/2 – qa2/2=0
顶点MF=MC +0.5(qa/4 +0)×(2a×1/8)=49qa2/32
4,已知图示各梁的载荷P、q，M和尺寸。（1）作剪力图和弯矩图；（2）确定值和|值。
解 （a）
（a） (b) RA =4Pa/3 RB =5Pa/3
(d) ( MB=0,-RA,a +qa/2×3a/4=0,RA =3qa/8,RB = qa/8,QA =3qa/8,
QC =3qa/8-q.a/2=- qa/8,MA = 0,MF =0+0.5.（3qa/8+0）.3a/8=9qa2/128
MC =MF – 0.5.q.a/8.a/8 =qa2/16 MB =MC –qa/8×a/2 =0
(f) （g）(Q( max = qa ( M ( max = qa2 /2
(g)
(h)
QA=RA=qa/2,QB =qa/2,QC=QA – q.a = - qa/2; MA=0,MC =MA +0.5(qa/2-qa/2)=0
MF=MA+0.5×(qa/2 + 0)×a/2 = qa2/8;
5,设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。
(a)
MA=0,MB=0 +3×2=6,MC =6 - 1×2=4,MF=4+0.5×(1+0)=4.5,MD=4.5+0.5×(0 -3)×3=0
(b)
MB=0+0.5×(-10+0)= - 2.5 MC=0+0.5×(10+0)=2.5
6,矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m,,q =10kN/m,MPa,试确定此梁横截面尺寸。
解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上，
梁的强度条件
将代入上式得，
所以 ，
7．简支梁承受布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且=40mm,,试分别计算它们的最大正压力。并问空心圆截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？
解：因空心圆与实心圆面积相等，所以
将mm代入上式，得：
mm，mm
均布荷载作用下的简支梁，最大弯矩产生在梁跨度中间截面上
kN.m
实心圆截面梁的最大应力
MPa
空心圆截面最大应力
MPa
空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了
8．T字形截面梁的截面尺寸如图所示，若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩M=30kNm,试求：（1）截面上的最大拉应力和压应力；（2）证明截面上拉应力和等于压应力之和，而其组成的合力矩等于截面的弯矩。
解：（1）计算字形截面对形心轴的惯性矩
最大拉应力发生在截面最下边缘
MPa
最大压应力发生在截面最上边缘
MPa
（2）证明：①中性轴上侧压力之和为（拉、压力公式：Fc= ∫y10My/Iz ×b1 dy）
=M/IZ [（1/2）×0.1252- 0 ]= M/IZ 0.05×0.5×0.015625=M/Iz×3.91×10- 4 Nm
中性轴下侧拉力之和为
所以截面上拉力之和等于压力之和。
②截面上合力矩为
所以合力矩等于截面上的弯矩。
9,T形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力，许用压应力，试求梁的许可载荷
解：梁的弯矩图如图,
弯矩的两个极值分别为
,MA =2P×1.4 - P×2= 0.8P
,MC = -0.6 P
截面对形心轴的惯性矩为
(Iz =bh3/12 + Ah12,h1腹 = 153.6–100=53.6mm,h1翼 =200-153.6+25 =71.4mm )
根据弯曲正应力强度条件
,M≤[(].Iz/ymax
由A截面的强度要求确定许可荷载。
由抗拉强度要求得(A截面下缘拉应力最大)
NKN （y1 = 200-153.6+50=96.4mm
=9.64×10 – 2 m )
由抗压强度要求得(A截面上缘压应力最大)
NKN (y2 =153.6 mm = 1.536×10 -1.)
由C截面的强度要求确定许可载荷：
由抗拉强度得：(C截面上缘拉应力最大)
NKN
显然C截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。
许用载荷为 KN
10．矩形截面的变截面梁AB如图示，梁的宽度为b,高度为2h（CD段）和h(AC、DB段许用应力为，为使截面C、E、D上的最大应力均等于，加强部分的长度2a应取多少？
解：由题意可得C,D,E截面的弯矩值
RA = RB = P/2
截面上最大应力值为
欲使截面C,D,E上最大应力相等，则有
即
解得
11．直径d=7.５cm圆截面钢梁承受载荷如图示,钢的弹性摸量E=200GPa,试求梁内最大正应力,AB段变形后的曲率半径和跨度中点C的挠度。
解：梁弯矩图如图所示
RA = RB = P，Mmax = 10×0.4 = 4 kNm
梁内最大正应力
MPa
AB段为线弯曲，变形后曲率半径
m （由P203 公式9-8）
跨度中点C的挠度。
mm
12,筒化后的电动机轴受载及尺寸如图所示，E=200GN/,定子与转子间的间隙=0.35mm，试校核刚度。
解：电动机轴惯性矩
C点的挠度
（查表9-11 ⑤,⑦中 ymax ）
mm
因为
所以电动机轴满足刚度要求。
13．用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。
解：（a）查表9-1 ②、④
查表9-1②挠度方程，将x=c= (/2 代入 y= - Px 2（3c–x）/6EI，得：yA1 = - P(3/24EI，
查表9-1④将 x= ( /2 代入挠度方程；得：yA2 = - m（(/2）2 /2EI = - P(3/8EI
将c= (/2代入②,得(B = - P（(/2）2 /2EI = - P(2/8EI
，
由叠加原理有 yA= yA1 + yA2 =- P(3/24EI - P(3/8EI
（b）由图查表9-1⑦，将x = ( /2 代入挠度方程和转角方程，得：
当 q满布整梁时 x = (/2 处的挠度（当q 不满布时，应乘以长度比值）。
yA1 =
所以，yA=1/2?yA1
由表9-1⑦，用 ( /2代换转角公式中的(,得当q满布时(/2处的转角，
，所以 (Q应为()
