概率论第二节 样本空间 随机事件样本空间随机事件事件间的关系与事件的运算小结 布置作业概率论
,,6 温度和最低温度记录某地一昼夜的最高E
试验是在一定条件下进行的寿命试验测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命,
概率论
:
的情况,
和反面观察正面将一枚硬币抛掷三次,THE2 出现
,观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE7 出现的次数,
试验有一个需要观察的目的概率论我们注意到根据这个目的,试验被观察到多个不同的结果,
试验的全部可能结果,是在试验前就明确的 ;
或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可知道它不超过某个范围,
试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的概率论的集合的所有可能结果所组成一个随机试验 E
的称为随机试验 E 记为,S
,,称为的每个结果即样本空间中的元素 E,样本点
,样本空间样本点 e
,
S
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具,
一、样本空间概率论例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面 H、
反面 T出现的情况,
S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
第 1次 第 2次
H H
TH
HT
T T
(H,T)：
(T,H):
(T,T)：
(H,H):
在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现,
则样本空间概率论如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，
所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，
S = {t,t ≥0｝
样本空间故若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现的次数,则样本空间
0,1,2S?
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的目的所确定的,
概率论调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（ x,y）表示,x,y分别是烟、
酒年支出的元数,
也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档,这时,样本点有（高,高）,（高,中）,…,
(低,低）等 9种，样本空间就由这 9个样本点构成,
这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成,
概率论
,1 本空间写出下列随机试验的样例
,,,出现的情况和反面观察正面抛一枚硬币 THE 1
,1S,TH
,2S 1,2,3,0
,观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE7 出现的次数,
,,3 内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟E
,3S 3,1,2,,0?
,8 2 其中个大小完全相同的球一个袋中装在例
,4,4 搅匀后从中任取个是红色的个是白色的有
,,间求此随机试验的样本空一球
,S,红球白球概率论请注意,实际中,在进行随机试验时,我们往往会关心 满足某种条件的那些样本点所组成的集合,
例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定灯泡的寿命 (小时 ) 小于 500为次品,那么我们关心灯泡的寿命 是否满足,t 500t? 或者说,我们关心满足这一条件的样本点组成的一个集合,{ 5 0 0 }tt?
这就是概率论
,,,,等表示常用随机事件简称事件 CBA
试验 的样本空间 的子集称为 的 随机事件,E ES
二、随机事件概率论
,样本空间为,654321,,,,,S?
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数,
事件 B={掷出奇数点 }
事件 A={掷出 1点 }
1,3,5?
,5,6?
1.?
事件 C {出现的点数大于 4}?
概率论基本事件,
(相对于观察目的不可再分解的事件 )
事件 B={掷出奇数点 }
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数,
事件 Ai ={掷出 i点 },i =1,2,3,4,5,6
由一个样本点组成的单点集,
基本事件概率论当且仅当集合 A中的一个样本点出现时,称事件 A发生,
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数,
,样本空间为,654321,,,,,S?
事件 B={掷出奇数点 }1,3,5?
B发生当且仅当
B中的样本点 1,
3,5中的某一个出现,
概率论两个特殊的事件：
例如，在掷骰子试验中，,掷出点数小于 7”是必然事件 ;
即在试验中必定发生的事件，常用 S表示 ;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示,
而,掷出点数 8”则是不可能事件,
概率论
2,AACBASE,、、、的样本空间为设试验 1
,的事件试验 E
,1,包含关系 BA 发生必然导致事件如果事件是事件或称事件包含事件则称事件发生 (,AAB
,) 记作的子事件B,ABBA 或
,都有对于任何事件 A,SA
相等关系,与则称事件且若 AABBA
,记作或称等价相等事件 B,BA?
三、事件间的关系与事件的运算概率论
,2,和事件 的至少有一个发生所构成 、事件 BA
,记作的和与事件事件叫做事件 BA,BA?
,称事件类似地 2 中至少有一个发、、,nAAA?1
生的事件为事件,21 的和事件、、,nAAA?记之为
,21 nAAA 简记为,1 ini A
称事件 2 件为中至少有一个发生的事、,?AA 1
,2 的和事件、、事件?AA 1 记之为,21 AA
简记为,1 ii A
概率论
,3,积事件 同时发生所构成的事件 、事件 BA
,记作的积事件与事件叫做事件 BA,ABBA 或?
,称事件类似地 21 同时发生所构成的、、,nAAA?
的事件为事件,21 的积事件、、,nAAA?记之为
,21 nAAA 简记为,1 i
n
i A
称事件 21 件为事、同时发生所构成的事、,?AA
,21 的积事件、、件?AA 记之为,21 AA 简记为
,1 ii A
概率论例如,5,3,2,1,4,2 CB CB 则性质
;,1 BABBAA
;,2 BBABABAA
CB 则;,BBAABA
;,3 AAAAAA
,,,4 BBAAABAB 则若
,5,4,3,2,1
,2
概率论
,4,互斥事件,即不能同时发生、若事件 BA
,相容事件
.,BABA 记为可将当两事件互不相容时在一次试验与事件若事件 BA,5,对立事件
,满足条件 、即发生中必有且只有其中之一 BA
A B S A B且
, 、或称事件为互逆事件与事件则称事件 BABA
,的对立事件记为事件互为对立事件 A,A
,容的基本事件是两两互不相
,A B A B 事 件 与 事 件 互 斥 事 件 或 互 不则称 为概率论
,关系对立事件与互斥事件的
,,但互斥不一定对立对立一定互斥两事件 A,B互斥：
两事件 A,B互逆或互为对立事件即 A与 B不可能同时发生,
AB
除要求 A,B互斥 ( )外，还要求AB
A B S
概率论
,6,差事件 不发生所构发生而事件称事件 BA
,记作的差事件与事件成的事件为事件 BA,BA?
ABABABA
系及运算可以用下列以上事件之间的各种关
,各种图示来直观地表示
BA? BA?
B ABA B
概率论互斥,BA
A 对立事件 BABA
AB
A B
A
A
A B
AB
A B
概率论
;,,1 BAABABBA交换律
,,2 CBACBA结合律
; BCACAB?
,,3 BCACCBA分配律
; CBCACAB
事件的运算满足的规律概率论
,4 对偶律摩根律德?
,,BAABBABA
,1111 iniiniiniini AAAA
,1111 iiiiiiii AAAA
5 AA?
BABA 6,ABA
概率论
3 检验某种圆柱形产品按长度和直径两个指标例
,,,直径合格长度合格若设是否为合格品 BA
,产品为合格品的运算表示事件、试用?CBA
,产品为不合格品?D
解 度和直径两个指标产品为合格品必须是长
,因此合格 ABC?
度和直径两个指标产品为不合格品是指长
,因此格中至少有一个指标不合
BAD,ABD?或概率论
1 中的三个随机为样本空间、、设练习 SCBA
,,件的运算表示下列随机事 、、试用事件 CBA
; 1 都不发生与发生而 CBA
; 2 都不发生、,CBA
; 3 中恰好有一个发生、,CBA
; 4 中至少有两个发生、,CBA
; 5 中至少有一个发生、,CBA
,6 中恰好有两个发生、,CBA
概率论解 CBA 1 2 CBA
3 CBACBACBA
4 ABCCABCBABCA
CBA 5
CBACBACBA 或
BCACAB 或
CABCBABCA 6
,2 记进行三次射击设某射手对一目标接连练习
,,次未击中目标第次击中目标第 iAiA ii
3,2,1,,,3,2,1 表示事件试用 iAAi ii
3,2,1,0,1 jjB j 次击中目标三次射击中恰好有
3,2,1,0,2 kkC k 次击中目标三次射击中至少有概率论解0 1 B次击中目标三次射击中恰好有 0
321 AAA?
1B 321321321 AAAAAAAAA
2B 321321321 AAAAAAAAA
3B 321 AAA?
0 2 C次三次射击中至少击中 0
次次或次或次或三次中恰好击中 321 0?
3210 BBBB
1C 321 BBB
2C 32 BB
3C 3B?
321 AAA
323121 AAAAAA
321 AAA?
概率论四、小结样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算概率论五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (一 )
概率论那么要问,如何求得某事件的概率呢?
下面几节就来回答这个问题,
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是
,,6 温度和最低温度记录某地一昼夜的最高E
试验是在一定条件下进行的寿命试验测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命,
概率论
:
的情况,
和反面观察正面将一枚硬币抛掷三次,THE2 出现
,观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE7 出现的次数,
试验有一个需要观察的目的概率论我们注意到根据这个目的,试验被观察到多个不同的结果,
试验的全部可能结果,是在试验前就明确的 ;
或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可知道它不超过某个范围,
试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的概率论的集合的所有可能结果所组成一个随机试验 E
的称为随机试验 E 记为,S
,,称为的每个结果即样本空间中的元素 E,样本点
,样本空间样本点 e
,
S
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具,
一、样本空间概率论例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面 H、
反面 T出现的情况,
S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
第 1次 第 2次
H H
TH
HT
T T
(H,T)：
(T,H):
(T,T)：
(H,H):
在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现,
则样本空间概率论如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，
所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，
S = {t,t ≥0｝
样本空间故若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现的次数,则样本空间
0,1,2S?
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的目的所确定的,
概率论调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（ x,y）表示,x,y分别是烟、
酒年支出的元数,
也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档,这时,样本点有（高,高）,（高,中）,…,
(低,低）等 9种，样本空间就由这 9个样本点构成,
这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成,
概率论
,1 本空间写出下列随机试验的样例
,,,出现的情况和反面观察正面抛一枚硬币 THE 1
,1S,TH
,2S 1,2,3,0
,观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE7 出现的次数,
,,3 内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟E
,3S 3,1,2,,0?
,8 2 其中个大小完全相同的球一个袋中装在例
,4,4 搅匀后从中任取个是红色的个是白色的有
,,间求此随机试验的样本空一球
,S,红球白球概率论请注意,实际中,在进行随机试验时,我们往往会关心 满足某种条件的那些样本点所组成的集合,
例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定灯泡的寿命 (小时 ) 小于 500为次品,那么我们关心灯泡的寿命 是否满足,t 500t? 或者说,我们关心满足这一条件的样本点组成的一个集合,{ 5 0 0 }tt?
这就是概率论
,,,,等表示常用随机事件简称事件 CBA
试验 的样本空间 的子集称为 的 随机事件,E ES
二、随机事件概率论
,样本空间为,654321,,,,,S?
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数,
事件 B={掷出奇数点 }
事件 A={掷出 1点 }
1,3,5?
,5,6?
1.?
事件 C {出现的点数大于 4}?
概率论基本事件,
(相对于观察目的不可再分解的事件 )
事件 B={掷出奇数点 }
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数,
事件 Ai ={掷出 i点 },i =1,2,3,4,5,6
由一个样本点组成的单点集,
基本事件概率论当且仅当集合 A中的一个样本点出现时,称事件 A发生,
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数,
,样本空间为,654321,,,,,S?
事件 B={掷出奇数点 }1,3,5?
B发生当且仅当
B中的样本点 1,
3,5中的某一个出现,
概率论两个特殊的事件：
例如，在掷骰子试验中，,掷出点数小于 7”是必然事件 ;
即在试验中必定发生的事件，常用 S表示 ;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示,
而,掷出点数 8”则是不可能事件,
概率论
2,AACBASE,、、、的样本空间为设试验 1
,的事件试验 E
,1,包含关系 BA 发生必然导致事件如果事件是事件或称事件包含事件则称事件发生 (,AAB
,) 记作的子事件B,ABBA 或
,都有对于任何事件 A,SA
相等关系,与则称事件且若 AABBA
,记作或称等价相等事件 B,BA?
三、事件间的关系与事件的运算概率论
,2,和事件 的至少有一个发生所构成 、事件 BA
,记作的和与事件事件叫做事件 BA,BA?
,称事件类似地 2 中至少有一个发、、,nAAA?1
生的事件为事件,21 的和事件、、,nAAA?记之为
,21 nAAA 简记为,1 ini A
称事件 2 件为中至少有一个发生的事、,?AA 1
,2 的和事件、、事件?AA 1 记之为,21 AA
简记为,1 ii A
概率论
,3,积事件 同时发生所构成的事件 、事件 BA
,记作的积事件与事件叫做事件 BA,ABBA 或?
,称事件类似地 21 同时发生所构成的、、,nAAA?
的事件为事件,21 的积事件、、,nAAA?记之为
,21 nAAA 简记为,1 i
n
i A
称事件 21 件为事、同时发生所构成的事、,?AA
,21 的积事件、、件?AA 记之为,21 AA 简记为
,1 ii A
概率论例如,5,3,2,1,4,2 CB CB 则性质
;,1 BABBAA
;,2 BBABABAA
CB 则;,BBAABA
;,3 AAAAAA
,,,4 BBAAABAB 则若
,5,4,3,2,1
,2
概率论
,4,互斥事件,即不能同时发生、若事件 BA
,相容事件
.,BABA 记为可将当两事件互不相容时在一次试验与事件若事件 BA,5,对立事件
,满足条件 、即发生中必有且只有其中之一 BA
A B S A B且
, 、或称事件为互逆事件与事件则称事件 BABA
,的对立事件记为事件互为对立事件 A,A
,容的基本事件是两两互不相
,A B A B 事 件 与 事 件 互 斥 事 件 或 互 不则称 为概率论
,关系对立事件与互斥事件的
,,但互斥不一定对立对立一定互斥两事件 A,B互斥：
两事件 A,B互逆或互为对立事件即 A与 B不可能同时发生,
AB
除要求 A,B互斥 ( )外，还要求AB
A B S
概率论
,6,差事件 不发生所构发生而事件称事件 BA
,记作的差事件与事件成的事件为事件 BA,BA?
ABABABA
系及运算可以用下列以上事件之间的各种关
,各种图示来直观地表示
BA? BA?
B ABA B
概率论互斥,BA
A 对立事件 BABA
AB
A B
A
A
A B
AB
A B
概率论
;,,1 BAABABBA交换律
,,2 CBACBA结合律
; BCACAB?
,,3 BCACCBA分配律
; CBCACAB
事件的运算满足的规律概率论
,4 对偶律摩根律德?
,,BAABBABA
,1111 iniiniiniini AAAA
,1111 iiiiiiii AAAA
5 AA?
BABA 6,ABA
概率论
3 检验某种圆柱形产品按长度和直径两个指标例
,,,直径合格长度合格若设是否为合格品 BA
,产品为合格品的运算表示事件、试用?CBA
,产品为不合格品?D
解 度和直径两个指标产品为合格品必须是长
,因此合格 ABC?
度和直径两个指标产品为不合格品是指长
,因此格中至少有一个指标不合
BAD,ABD?或概率论
1 中的三个随机为样本空间、、设练习 SCBA
,,件的运算表示下列随机事 、、试用事件 CBA
; 1 都不发生与发生而 CBA
; 2 都不发生、,CBA
; 3 中恰好有一个发生、,CBA
; 4 中至少有两个发生、,CBA
; 5 中至少有一个发生、,CBA
,6 中恰好有两个发生、,CBA
概率论解 CBA 1 2 CBA
3 CBACBACBA
4 ABCCABCBABCA
CBA 5
CBACBACBA 或
BCACAB 或
CABCBABCA 6
,2 记进行三次射击设某射手对一目标接连练习
,,次未击中目标第次击中目标第 iAiA ii
3,2,1,,,3,2,1 表示事件试用 iAAi ii
3,2,1,0,1 jjB j 次击中目标三次射击中恰好有
3,2,1,0,2 kkC k 次击中目标三次射击中至少有概率论解0 1 B次击中目标三次射击中恰好有 0
321 AAA?
1B 321321321 AAAAAAAAA
2B 321321321 AAAAAAAAA
3B 321 AAA?
0 2 C次三次射击中至少击中 0
次次或次或次或三次中恰好击中 321 0?
3210 BBBB
1C 321 BBB
2C 32 BB
3C 3B?
321 AAA
323121 AAAAAA
321 AAA?
概率论四、小结样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算概率论五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (一 )
概率论那么要问,如何求得某事件的概率呢?
下面几节就来回答这个问题,
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是
