概率论第四节 等可能概型 (古典概型 )
古典概型的定义古典概率的求法举例小结 布置作业概率论我们首先引入的计算概率的数学模型,
是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象,通常称为古典概型概率论一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果假定从该试验的条件及实施方法上去分析，
我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei,比任一其它结果，例如 ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即
1/N的出现机会,
e1,e2,…,eN,
概率论常常把这样的试验结果称为,等可能的,,
e1,e2,…,eN
试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？
概率论
2 347
9
10
8
61 5
例如，一个袋子中装有 10
个大小、形状完全相同的球,
将球编号为 1－ 10,把球搅匀，
蒙上眼睛，从中任取一球,
概率论因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为 10个球中的某一个会比另一个更容易取得,也就是说，
10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为 1/10,
1 32 4 5 6 7 8 9 10
10个球中的任一个被取出的机会都是 1/10
2 347
9
10
8
61 5
概率论我们用 i 表示取到 i
号球,i =1,2,…,10,
称这样一类随机试验为 古典概型,
347 9 10
8 61 5
2
且每个样本点 (或者说基本事件 )出现的可能性相同,
S={1,2,…,10},
则该试验的样本空间如 i =2
概率论称这种试验为 等可能随机试验 或 古典概型,
若随机试验满足下述两个条件：
(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；
(2) 每个样本点出现的可能性相同,
定义 1
概率论二、古典概型中事件概率的计算记 A={摸到 2号球 }
P(A)=?
P(A)=1/10
记 B={摸到红球 }
P(B)=?
P(B)=6/10
2
2 347
9
10
8
61 5
1 32 4 5 6
概率论这里实际上是从,比例”
转化为,概率”
记 B={摸到红球 },P(B)=6/10
静态动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例,
2 347
9
10
8
61 5
概率论
,,,,neeeSE?21?的样本空间为设古典概率
,即事件发生的可能性相同由于在试验中每个基本
nePePeP21
,于是互不相容的又由于基本事件是两两
SP 1 neeeP21
nePePeP21 ienP?
所以,,n,,,ineP i?211
概率论
,即个基本事件包含若事件 kA
kiii eeeA21
则有
AP kiii ePePeP21
nk? 中的基本事件总数包含的基本事件数SA?
概率论
,," " ii
,," "
,1
22 APA
APAi
求至少有一次出现正面为设事件求恰有一次出现正面为设事件将一枚硬币抛掷三次例
11
解,此试验的样本空间为
,TTT,TTH,T HT,T HH,HT T,HT H,HHT,HHHS?
,T T H,T H T,H T TA?1而 所以
1AP,83?
2AP,87?
,TTH,T H T,T H H,H T T,H T H,H H T,H H HA?2
概率论
,3 9 2 次件次品的箱子中任取两、件正品从有例
,,试分别以每次取一件
;,1 后放回即每次抽取的产品观察有放回抽样法
;,2 不放回即每次抽取产品观察后不放回抽样法两种抽样方式求事件
,取得两件正品?A
,,第二次取得次品第一次取得正品?B
,取得一件正品一件次品?C
,的概率概率论解,1 采取有放回抽样
,,取法总数为每次取一件从箱子中任取两件产品,122
,12 2本事件数为即样本空间中所含的基为中所含有的基本事件数事件 A,9CC 21919?
所以 129 2
2
AP
为中所含有的基本事件数事件 B,39CC 1319
所以 1239 2BP
,169?
,163?
为中所含有的基本事件数事件 C
,54 9339CCCC 19131319
概率论所以 12542CP,83?
,2 采取不放回抽样
,,取法总数为每次取一件从箱子中任取两件产品,1112?
基本事件总数为即样本空间中所含有的,1112?
为中所含有的基本事件数事件 A,89CC 1819
所以 1112 89AP
为中所含有的基本事件数事件 B,39CC 1319
所以 1112 39BP
,116?
.449?
概率论为中所含有的基本事件数事件 C
,9339CCCC 19131319
所以 1112 9339CP,229?
3 9 3 件产件次品的箱子中任取两、件正品从有例
,求事件即一次抽取两件产品品
,取得两件正品?A
,取得一件正品一件次品?C
,的概率概率论解,取法总数为从箱子中任取两件产品,212C
含有的基本事件总数为即试验的样本空间中所,212C
为中所含有的基本事件数事件 A,29C
所以 2
12
2
9
C
C?
AP
12
1112
12
89
,116?
为中所含有的基本事件数事件 C,1319 C
所以 2
12
1
3
1
9
C
CC
AP
12
1112
39
,229?
概率论
,4 个格子每个都等可能地落入个小球设有例 Nn
,,试求下列事件的概率中 Nn?
; 1 个格子中各有一球某指定的 nA?
,2 个格子中各有一球任意的 nB?
解,应有个格子中个球都等可能地落入到 Nn
,所以种可能的方法nN 基本事件总数为,nN
所含的基本事件数为事件 A !n
所含的基本事件数为事件 B !nCnN
故,!nNnAP,!n
n
N
N
nCBP?
概率论
,4,5 5 求只从中任取双不同型号的鞋子有例
; 4 1 只鞋恰好为两双取出的
,下列各事件的概率
; 4 2 只鞋都是不同型号的取出的
,4 3 双只鞋恰好有两只配成一取出的解,4 A 只鞋恰好为两双取出的设?
,4 B 只鞋都是不同型号的取出的?
,4 C 双只鞋恰好有两只配成一取出的?
,4 10 5 取法总数为只中任取只双鞋子从,410C
概率论为中所含有的基本事件数A,25C
为中所含有的基本事件数B,1212121245 CCCCC
为中所含有的基本事件数C,1212242215 CCCCC
于是可得
AP 1 4
10
2
5
C
C?
1234
78910
12
45
,211?
BP 2 4
10
1
2
1
2
1
2
1
2
4
5
C
CCCCC?
21080?,218?
CP 3 4
10
1
2
1
2
2
4
2
2
1
5
C
CCCCC?
2101 0?,74?
概率论
8,6
,20 00~1 6
整除的概率是多少也不能被整除整数既不能被问取到的数的整数中随机地取一个在例解
,8
,6
整除取到的数能被整除取到的数能被设
B
A
又 AP,2000333 BP,2000250?
所求概率为 BAP BAP 1 BAP
1 ABPBPAP
ABP,200083?
故所求概率为 2 0 0 0832 0 0 02 5 02 0 0 03 3 31p,43?
概率论
,3; i
,3 15,
15 7
级的概率名优秀生分配在同一班名优秀生的概率每一个班级各分配到一求名是优秀生名新生中有这去到三个班级中名新生随机地平均分配将例
ii
解 15 级的分法总数为名新生平均分到三个班
55510515?
5 ! 5 !
10!
1 0 ! 5 !
15!,
5 !5 !5 !
15!?
i 优秀生的分法为每一个班级各分到一名
4448412?
!3
,4! 4! 4!12 ! 3!
概率论于是所求概率为
5 ! 5 ! 5 !
1 5 !
4 ! 4 ! 4 !
1 2 !
3!
1p
,9725?
ii 班级的分法为三名优秀生分到同一个
55510212?
3,
2! 5! 5!
12! 3
于是所求概率为
5 ! 5 ! 5 !
15!
2 ! ! 5 !
12!
3
2
p
,916?
概率论
,
,12
,12 8
规定的可以推断接待时间是有问是否四进行的次接待都是在周二和周所有这已知次来访待过某接待站在某一周曾接例解,而各来访者没有规定假设接待站的接待时间
,待站是等可能的在一周的任一天中去接 12 次接则的概率为待来访者都在周二周四
p 12
12
7
2?,0,0 0 0 0 0 0 3?
,这是小概率事件,规定的所以认为接待时间是有概率论三、古典概率计算举例例 1 把 C,C,E,E,I,N,S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，
现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：
C IS N C EE
问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
概率论拼成英文单词 SCIENCE的情况数为故该结果出现的概率为：
这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义,如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在 1260次试验中大约出现 1次,
422
0 0 0 7 9.0
1 2 6 0
1
!7
4p
解 七个字母的排列总数为 7！
概率论这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术,
具体地说，可以 99.9%的把握怀疑这是魔术,
概率论解 =0.3024
允许重复的排列问
5
5
10
10
Cp?
错在何处？
例 2 某城市的电话号码由 5个数字组成，每个数字可能是从 0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率,
计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同,
从 10个不同数字中取 5个的排列510
510
Pp?
概率论例 3 设有 N件产品,其中有 M件次品,现从这 N件中任取 n件,求其中恰有 k件次品的概率,
这是一种无放回抽样,
解 令 B={恰有 k件次品 }
P(B)=？
n
N
kn
MN
k
M
BP )(
次品正品
……
M件次品
N-M件正品概率论解 把 2n只鞋分成 n堆,每堆 2只的分法总数为而出现事件 A的分法数为 n!,故
n
nn
2
)!2(
!2!2!2
)!2(?
)!2(
2!
2/)!2(
!)(
n
n
n
nAP n
n
例 4 n双相异的鞋共 2n只，随机地分成 n堆，每堆 2
只,问,“各堆都自成一双鞋” (事件 A)的概率是多少？
概率论分球入箱问题请看下面的演示以球、箱模型为例给出一类常见的古典概型中的概率计算概率论概率论
“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的,
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件,
请注意：
概率论在许多场合,由对称性和均衡性,我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率,
概率论
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏,
例如：从 5双不同的鞋子中任取 4只，这 4只鞋子中
“至少有两只配成一双”（事件 A）的概率是多少？
下面的算法错在哪里？
4
10
2
8
1
5
)( AP
错在同样的,4只配成两双”算了两次,
973
2
1
4
5
6 8 10
从 5双中取 1双，从剩下的 8只中取 2只概率论例如：从 5双不同的鞋子中任取 4只，这 4只鞋子中
“至少有两只配成一双”（事件 A）的概率是多少？
正确的答案是：
4
10
2
5
2
8
1
5
)( AP
请思考：
还有其它解法吗？
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏,
概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)
被分在 N 间房的每一间中，求指定的 n间房中各有一人的概率,
人房概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个人，设每个人的生日是任一天的概率为
1/365,求这 n (n ≤365)个人的生日互不相同的概率,
人任一天概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个旅客，乘火车途经 N个车 站，设每个人在每站下车的概率为 1/ N(N ≥ n),求指定的 n个站各有一人下车的概率,
旅客车站概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
某城市每周发生 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同,求每天恰好发生一次车祸的概率,
车祸天你还可以举出其它例子，留作课下练习,
概率论这一讲，我们介绍了古典概型,古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用,
是常见的几种模型,
箱中摸球 分球入箱随机取数 分组分配课下可通过作业进一步掌握,
概率论四、小结古典概型的定义古典概率的求法概率论
,概率统计,标准化作业 (一 )
五,布置作业
古典概型的定义古典概率的求法举例小结 布置作业概率论我们首先引入的计算概率的数学模型,
是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象,通常称为古典概型概率论一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果假定从该试验的条件及实施方法上去分析，
我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei,比任一其它结果，例如 ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即
1/N的出现机会,
e1,e2,…,eN,
概率论常常把这样的试验结果称为,等可能的,,
e1,e2,…,eN
试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？
概率论
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61 5
例如，一个袋子中装有 10
个大小、形状完全相同的球,
将球编号为 1－ 10,把球搅匀，
蒙上眼睛，从中任取一球,
概率论因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为 10个球中的某一个会比另一个更容易取得,也就是说，
10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为 1/10,
1 32 4 5 6 7 8 9 10
10个球中的任一个被取出的机会都是 1/10
2 347
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概率论我们用 i 表示取到 i
号球,i =1,2,…,10,
称这样一类随机试验为 古典概型,
347 9 10
8 61 5
2
且每个样本点 (或者说基本事件 )出现的可能性相同,
S={1,2,…,10},
则该试验的样本空间如 i =2
概率论称这种试验为 等可能随机试验 或 古典概型,
若随机试验满足下述两个条件：
(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；
(2) 每个样本点出现的可能性相同,
定义 1
概率论二、古典概型中事件概率的计算记 A={摸到 2号球 }
P(A)=?
P(A)=1/10
记 B={摸到红球 }
P(B)=?
P(B)=6/10
2
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1 32 4 5 6
概率论这里实际上是从,比例”
转化为,概率”
记 B={摸到红球 },P(B)=6/10
静态动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例,
2 347
9
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概率论
,,,,neeeSE?21?的样本空间为设古典概率
,即事件发生的可能性相同由于在试验中每个基本
nePePeP21
,于是互不相容的又由于基本事件是两两
SP 1 neeeP21
nePePeP21 ienP?
所以,,n,,,ineP i?211
概率论
,即个基本事件包含若事件 kA
kiii eeeA21
则有
AP kiii ePePeP21
nk? 中的基本事件总数包含的基本事件数SA?
概率论
,," " ii
,," "
,1
22 APA
APAi
求至少有一次出现正面为设事件求恰有一次出现正面为设事件将一枚硬币抛掷三次例
11
解,此试验的样本空间为
,TTT,TTH,T HT,T HH,HT T,HT H,HHT,HHHS?
,T T H,T H T,H T TA?1而 所以
1AP,83?
2AP,87?
,TTH,T H T,T H H,H T T,H T H,H H T,H H HA?2
概率论
,3 9 2 次件次品的箱子中任取两、件正品从有例
,,试分别以每次取一件
;,1 后放回即每次抽取的产品观察有放回抽样法
;,2 不放回即每次抽取产品观察后不放回抽样法两种抽样方式求事件
,取得两件正品?A
,,第二次取得次品第一次取得正品?B
,取得一件正品一件次品?C
,的概率概率论解,1 采取有放回抽样
,,取法总数为每次取一件从箱子中任取两件产品,122
,12 2本事件数为即样本空间中所含的基为中所含有的基本事件数事件 A,9CC 21919?
所以 129 2
2
AP
为中所含有的基本事件数事件 B,39CC 1319
所以 1239 2BP
,169?
,163?
为中所含有的基本事件数事件 C
,54 9339CCCC 19131319
概率论所以 12542CP,83?
,2 采取不放回抽样
,,取法总数为每次取一件从箱子中任取两件产品,1112?
基本事件总数为即样本空间中所含有的,1112?
为中所含有的基本事件数事件 A,89CC 1819
所以 1112 89AP
为中所含有的基本事件数事件 B,39CC 1319
所以 1112 39BP
,116?
.449?
概率论为中所含有的基本事件数事件 C
,9339CCCC 19131319
所以 1112 9339CP,229?
3 9 3 件产件次品的箱子中任取两、件正品从有例
,求事件即一次抽取两件产品品
,取得两件正品?A
,取得一件正品一件次品?C
,的概率概率论解,取法总数为从箱子中任取两件产品,212C
含有的基本事件总数为即试验的样本空间中所,212C
为中所含有的基本事件数事件 A,29C
所以 2
12
2
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C
C?
AP
12
1112
12
89
,116?
为中所含有的基本事件数事件 C,1319 C
所以 2
12
1
3
1
9
C
CC
AP
12
1112
39
,229?
概率论
,4 个格子每个都等可能地落入个小球设有例 Nn
,,试求下列事件的概率中 Nn?
; 1 个格子中各有一球某指定的 nA?
,2 个格子中各有一球任意的 nB?
解,应有个格子中个球都等可能地落入到 Nn
,所以种可能的方法nN 基本事件总数为,nN
所含的基本事件数为事件 A !n
所含的基本事件数为事件 B !nCnN
故,!nNnAP,!n
n
N
N
nCBP?
概率论
,4,5 5 求只从中任取双不同型号的鞋子有例
; 4 1 只鞋恰好为两双取出的
,下列各事件的概率
; 4 2 只鞋都是不同型号的取出的
,4 3 双只鞋恰好有两只配成一取出的解,4 A 只鞋恰好为两双取出的设?
,4 B 只鞋都是不同型号的取出的?
,4 C 双只鞋恰好有两只配成一取出的?
,4 10 5 取法总数为只中任取只双鞋子从,410C
概率论为中所含有的基本事件数A,25C
为中所含有的基本事件数B,1212121245 CCCCC
为中所含有的基本事件数C,1212242215 CCCCC
于是可得
AP 1 4
10
2
5
C
C?
1234
78910
12
45
,211?
BP 2 4
10
1
2
1
2
1
2
1
2
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C
CCCCC?
21080?,218?
CP 3 4
10
1
2
1
2
2
4
2
2
1
5
C
CCCCC?
2101 0?,74?
概率论
8,6
,20 00~1 6
整除的概率是多少也不能被整除整数既不能被问取到的数的整数中随机地取一个在例解
,8
,6
整除取到的数能被整除取到的数能被设
B
A
又 AP,2000333 BP,2000250?
所求概率为 BAP BAP 1 BAP
1 ABPBPAP
ABP,200083?
故所求概率为 2 0 0 0832 0 0 02 5 02 0 0 03 3 31p,43?
概率论
,3; i
,3 15,
15 7
级的概率名优秀生分配在同一班名优秀生的概率每一个班级各分配到一求名是优秀生名新生中有这去到三个班级中名新生随机地平均分配将例
ii
解 15 级的分法总数为名新生平均分到三个班
55510515?
5 ! 5 !
10!
1 0 ! 5 !
15!,
5 !5 !5 !
15!?
i 优秀生的分法为每一个班级各分到一名
4448412?
!3
,4! 4! 4!12 ! 3!
概率论于是所求概率为
5 ! 5 ! 5 !
1 5 !
4 ! 4 ! 4 !
1 2 !
3!
1p
,9725?
ii 班级的分法为三名优秀生分到同一个
55510212?
3,
2! 5! 5!
12! 3
于是所求概率为
5 ! 5 ! 5 !
15!
2 ! ! 5 !
12!
3
2
p
,916?
概率论
,
,12
,12 8
规定的可以推断接待时间是有问是否四进行的次接待都是在周二和周所有这已知次来访待过某接待站在某一周曾接例解,而各来访者没有规定假设接待站的接待时间
,待站是等可能的在一周的任一天中去接 12 次接则的概率为待来访者都在周二周四
p 12
12
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2?,0,0 0 0 0 0 0 3?
,这是小概率事件,规定的所以认为接待时间是有概率论三、古典概率计算举例例 1 把 C,C,E,E,I,N,S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，
现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：
C IS N C EE
问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
概率论拼成英文单词 SCIENCE的情况数为故该结果出现的概率为：
这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义,如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在 1260次试验中大约出现 1次,
422
0 0 0 7 9.0
1 2 6 0
1
!7
4p
解 七个字母的排列总数为 7！
概率论这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术,
具体地说，可以 99.9%的把握怀疑这是魔术,
概率论解 =0.3024
允许重复的排列问
5
5
10
10
Cp?
错在何处？
例 2 某城市的电话号码由 5个数字组成，每个数字可能是从 0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率,
计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同,
从 10个不同数字中取 5个的排列510
510
Pp?
概率论例 3 设有 N件产品,其中有 M件次品,现从这 N件中任取 n件,求其中恰有 k件次品的概率,
这是一种无放回抽样,
解 令 B={恰有 k件次品 }
P(B)=？
n
N
kn
MN
k
M
BP )(
次品正品
……
M件次品
N-M件正品概率论解 把 2n只鞋分成 n堆,每堆 2只的分法总数为而出现事件 A的分法数为 n!,故
n
nn
2
)!2(
!2!2!2
)!2(?
)!2(
2!
2/)!2(
!)(
n
n
n
nAP n
n
例 4 n双相异的鞋共 2n只，随机地分成 n堆，每堆 2
只,问,“各堆都自成一双鞋” (事件 A)的概率是多少？
概率论分球入箱问题请看下面的演示以球、箱模型为例给出一类常见的古典概型中的概率计算概率论概率论
“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的,
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件,
请注意：
概率论在许多场合,由对称性和均衡性,我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率,
概率论
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏,
例如：从 5双不同的鞋子中任取 4只，这 4只鞋子中
“至少有两只配成一双”（事件 A）的概率是多少？
下面的算法错在哪里？
4
10
2
8
1
5
)( AP
错在同样的,4只配成两双”算了两次,
973
2
1
4
5
6 8 10
从 5双中取 1双，从剩下的 8只中取 2只概率论例如：从 5双不同的鞋子中任取 4只，这 4只鞋子中
“至少有两只配成一双”（事件 A）的概率是多少？
正确的答案是：
4
10
2
5
2
8
1
5
)( AP
请思考：
还有其它解法吗？
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏,
概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)
被分在 N 间房的每一间中，求指定的 n间房中各有一人的概率,
人房概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个人，设每个人的生日是任一天的概率为
1/365,求这 n (n ≤365)个人的生日互不相同的概率,
人任一天概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个旅客，乘火车途经 N个车 站，设每个人在每站下车的概率为 1/ N(N ≥ n),求指定的 n个站各有一人下车的概率,
旅客车站概率论
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
某城市每周发生 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同,求每天恰好发生一次车祸的概率,
车祸天你还可以举出其它例子，留作课下练习,
概率论这一讲，我们介绍了古典概型,古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用,
是常见的几种模型,
箱中摸球 分球入箱随机取数 分组分配课下可通过作业进一步掌握,
概率论四、小结古典概型的定义古典概率的求法概率论
,概率统计,标准化作业 (一 )
五,布置作业
