概率论第五节 条件概率条件概率乘法公式小结 布置作业概率论在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息 (条件 )下求事件的概率,
一、条件概率
1,条件概率的概念如在事件 B发生的条件下求事件 A发生的概率，
将此概率记作 P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
概率论
P(A )=1/6，
例 如,掷一颗均匀骰子,A={掷出 2点 }，
B={掷出偶数点 },P(A|B)=？
掷骰子已知事件 B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是 B，
P(A|B)= 1/3.
B中共有 3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有 1个在集 A中,
容易看到
)(
)(
63
61
3
1
BP
ABPP(A|B)
于是概率论
P(A )=3/10，
又如,10件产品中有 7件正品,3件次品,7件正品中有 3件一等品,4件二等品,现从这 10件中任取一件，记
B={取到正品 }A={取到一等品 }，
P(A|B)
)(
)(
107
103
7
3
BP
ABP
则概率论
P(A )=3/10，
B={取到正品 }
P(A|B)=3/7
本例中，计算 P(A)时，依据的前提条件是 10件产品中一等品的比例,
A={取到一等品 }，
计算 P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上,事件 B已发生,这个新的条件,
这好象给了我们一个,情报,，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题,
概率论若事件 B已发生,则为使
A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点,即此点必属于 AB,由于我们已经知道 B已发生,故 B变成了新的样本空间,于是 有 (1),
设 A,B是两个事件，且 P(B)>0,则称
(1)
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
S
AB AB
2,条件概率的定义为在 事件 B发生 的条件下,事件 A的条件概率,
概率论
3,条件概率的性质 (自行验证 )
,| 件具备概率定义的三个条条件概率 AP?
; 0|,,1?ABPB对于任意的事件非负性
;,2 1?A|SP规范性
,,,,3 21 则有是两两互斥事件设可列可加性?BB
11 i
iii ABPABP
,性质对条件概率都成立所以在第二节中证明的概率论
2)从加入条件后改变了的情况去算
4,条件概率的计算
1) 用定义计算,
,
)(
)()|(
BP
ABPBAP? P(B)>0
掷骰子例,A={掷出 2 点 },B={掷出偶数点 }
P(A|B） =
3
1
B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中 A所含样本点个数概率论例 1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6点,问
“掷出点数之和不小于 10”的概率是多少?
解法 1
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
解法 2
2
1
6
3)|(BAP
解 设 A={掷出点数之和不小于 10}
B={第一颗掷出 6点 } 应用 定义在 B发生后的缩减样本空间中计算
2
1
366
363
概率论由条件概率的定义：
即 若 P(B)>0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
而 P(AB)=P(BA)
二,乘法公式若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求 P(AB).
将 A,B的位置对调，有故 P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
若 P(A)>0,则 P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和 (3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率概率论注意 P(AB)与 P(A | B)的区别！
请看下面的例子概率论例 2 甲、乙两厂共同生产 1000个零件，其中 300
件是乙厂生产的,而在这 300个零件中，有 189个是标准件，现从这 1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
所求为 P(AB).
甲、乙共生产
1000 个
189个 是标准件
300个乙厂生产
300个乙厂生产设 B={零件是乙厂生产 },A={是标准件 }
概率论所求为 P(AB),
设 B={零件是乙厂生产 }
A={是标准件 }
若改为,发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”
求的是 P(A|B),
B发生,
在 P(AB)中作为结果 ;
在 P(A|B)中作为条件,
甲、乙共生产
1000 个
189个 是标准件
300个乙厂生产概率论例 3 设某种动物由出生算起活到 20年以上的概率为 0.8，活到 25年以上的概率为 0.4,问现年 20岁的这种动物，它能活到 25岁以上的概率是多少？
解 设 A={能活 20年以上 },B={能活 25年以上 }
依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4
所求为 P(B|A),
)(
)()|(
AP
ABPABP? 5.0
8.0
4.0
)(
)(
AP
BP
概率论条件概率 P(A|B)与 P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设 A
是随机试验的一个事件，则 P(A)是在该试验条件下事件 A发生的可能性大小,
P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同,
而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加,B
发生,这个条件时 A发生的可能性大小,即 P(A|B)
仍是概率,
概率论
,个事件的积事件的情况乘法定理可以推广到多
,0,则且为三个事件、、设?ABPCBA
,|| APABPABCPABCP?
,2,,,,,21 并且个事件设有一般地 nAAAn n
,,0121 可得则由条件概率的定义nAAAP
2-2111-2121 || nnnnn AAAAPAAAAPAAAP
112213 || APAAPAAAP?
概率论乘法公式应用举例一个罐子中包含 b个白球和 r个红球,随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c
个与所抽出的球具有相同颜色的球,这种手续进行四次,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率,
（波里亚罐子模型）
b个白球,r个红球概率论于是 W1W2R3R4表示事件,连续取四个球，第一、
第二个是白球，第三、四个是红球,,
b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c个与所抽出的球具有相同颜色的球,
解 设 Wi={第 i次取出是白球 },i=1,2,3,4
Rj={第 j次取出是红球 },j=1,2,3,4
概率论用乘法公式容易求出当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率,这是一个 传染病模型,每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率,
crb
cr
crb
r
crb
cb
rb
b
32
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
P(W1W2R3R4)
概率论一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券,大家都想去,只好用抽签的方法来解决,
入场券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写,将它们放在一起,洗匀,让 5个人依次抽取,
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大,,
概率论到底谁说的对呢？ 让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到,
入场券,的概率到底有多大?
“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大,”
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
概率论我们用 Ai表示“第 i个人抽到入场券”
i＝ 1,2,3,4,5.
显然,P(A1)=1/5,P( )＝ 4/5
1A
第 1个人抽到入场券的概率是 1/5.
也就是说，
iA
则 表示“第 i个人未抽到入场券”
概率论因为若第 2个人抽到了入场券，第 1个人肯定没抽到,
也就是要想第 2个人抽到入场券，必须第 1个人未抽到，
)|()()( 1212 AAPAPAP?
212 AAA?
由于由乘法公式
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
计算得：
概率论
)|()|()()()( 2131213213 AAAPAAPAPAAAPAP
这就是有关抽签顺序问题的正确解答,
同理，第 3个人要抽到,入场券,，必须第 1、
第 2个人都没有抽到,因此
＝ (4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现,每个人抽到,入场券,
的概率都是 1/5.
抽签不必争先恐后,
也就是说，
概率论
,,2,3 5 4 试按个白球个黑球个红球设袋中有例
2; 1 不放回抽样有放回抽样 两种方式摸球三次
,,概率求第三次才摸得白球的每次摸得一球解
1 有放回抽样
,第一次未摸得白球设?A
,第二次未摸得白球?B
,第三次摸得白球?C
" " 可表示为第三次才摸得白球则事件,ABC
AP,108ABP |,108ABCP |,102?
概率论
APABPABCPA B CP ||?
10
8
10
8
10
2,
125
16?
2 无放回抽样
AP,108ABP |,97ABCP |,82?
APABPABCPA B CP ||?
10
8
9
7
8
2,
45
7?
概率论
,6 第一次落下时透镜设某光学仪器厂制造的例
,,21 第二次落下若第一次落下未打破打破的概率为
,,10 7 第三次落下打若前两次未打破打破的概率是
,,10 9 破的概率试求透镜落下三次未打破的概率是解,3,2,1, iiA i 次落下打破透镜第设
,则透镜落下三次未打破?B,321 AAAB?
321 AAAPBP213121 || AAAPAAPAP?
10911071211,2003?
概率论
,1,BPBPBPBP 求得再由本题也可以先求
由于,321211 AAAAAAB,,321211 AAAAAA并且
,故有为两两不相容事件
321211 AAAAAAPBP
321211 AAAPAAPAP
213121121 |||21 AAAPAAPAPAAPAP
2
1
10
7
2
11?
10
9
10
71
2
11,
200
197?
2 0 01 9 711 BPBP所以,2003?
概率论
A 1995 7 联赛的最后年全国足球甲抓阄问题例
,一队的比赛在成都市四川全兴队与解放军八一轮
,全兴队是否降级的命这场比赛是关系到四川进行
30,,位同学可西南交大某班肯定会异常精彩运之战
,,只好采取抓阄的办大家都想去看仅购得一张票
,.,每人抽试问取每个人都争先恐后地抽法抽签决定
得此票的机会是否均等解,30,,2,1,则个人抽得球票第设 iiA i
1AP 301?
率为第一个人抽得球票的概概率论率为第二个人抽得球票的概
2AP2121 AAAAP2121 AAPAAP
210 AAP121 | AAPAP? 2913029 301?
,,必须在他抽取之前个人要抽得比赛球票第同理 i
,1 即事件一起出现个人都没有抽到此标的的?i
iii AAAAPAP 121
11121 || ii AAAPAAPAP
130
1
29
28
30
29
i,30
1?,30,,2,1i
,,301,即机会均等是各人抽得此票的概率都所以概率论三,小结这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，
它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握,
概率论四,布置作业
,概率统计,标准化作业 (一 )
一、条件概率
1,条件概率的概念如在事件 B发生的条件下求事件 A发生的概率，
将此概率记作 P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
概率论
P(A )=1/6，
例 如,掷一颗均匀骰子,A={掷出 2点 }，
B={掷出偶数点 },P(A|B)=？
掷骰子已知事件 B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是 B，
P(A|B)= 1/3.
B中共有 3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有 1个在集 A中,
容易看到
)(
)(
63
61
3
1
BP
ABPP(A|B)
于是概率论
P(A )=3/10，
又如,10件产品中有 7件正品,3件次品,7件正品中有 3件一等品,4件二等品,现从这 10件中任取一件，记
B={取到正品 }A={取到一等品 }，
P(A|B)
)(
)(
107
103
7
3
BP
ABP
则概率论
P(A )=3/10，
B={取到正品 }
P(A|B)=3/7
本例中，计算 P(A)时，依据的前提条件是 10件产品中一等品的比例,
A={取到一等品 }，
计算 P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上,事件 B已发生,这个新的条件,
这好象给了我们一个,情报,，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题,
概率论若事件 B已发生,则为使
A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点,即此点必属于 AB,由于我们已经知道 B已发生,故 B变成了新的样本空间,于是 有 (1),
设 A,B是两个事件，且 P(B)>0,则称
(1)
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
S
AB AB
2,条件概率的定义为在 事件 B发生 的条件下,事件 A的条件概率,
概率论
3,条件概率的性质 (自行验证 )
,| 件具备概率定义的三个条条件概率 AP?
; 0|,,1?ABPB对于任意的事件非负性
;,2 1?A|SP规范性
,,,,3 21 则有是两两互斥事件设可列可加性?BB
11 i
iii ABPABP
,性质对条件概率都成立所以在第二节中证明的概率论
2)从加入条件后改变了的情况去算
4,条件概率的计算
1) 用定义计算,
,
)(
)()|(
BP
ABPBAP? P(B)>0
掷骰子例,A={掷出 2 点 },B={掷出偶数点 }
P(A|B） =
3
1
B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中 A所含样本点个数概率论例 1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6点,问
“掷出点数之和不小于 10”的概率是多少?
解法 1
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
解法 2
2
1
6
3)|(BAP
解 设 A={掷出点数之和不小于 10}
B={第一颗掷出 6点 } 应用 定义在 B发生后的缩减样本空间中计算
2
1
366
363
概率论由条件概率的定义：
即 若 P(B)>0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
而 P(AB)=P(BA)
二,乘法公式若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求 P(AB).
将 A,B的位置对调，有故 P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
若 P(A)>0,则 P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和 (3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率概率论注意 P(AB)与 P(A | B)的区别！
请看下面的例子概率论例 2 甲、乙两厂共同生产 1000个零件，其中 300
件是乙厂生产的,而在这 300个零件中，有 189个是标准件，现从这 1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
所求为 P(AB).
甲、乙共生产
1000 个
189个 是标准件
300个乙厂生产
300个乙厂生产设 B={零件是乙厂生产 },A={是标准件 }
概率论所求为 P(AB),
设 B={零件是乙厂生产 }
A={是标准件 }
若改为,发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”
求的是 P(A|B),
B发生,
在 P(AB)中作为结果 ;
在 P(A|B)中作为条件,
甲、乙共生产
1000 个
189个 是标准件
300个乙厂生产概率论例 3 设某种动物由出生算起活到 20年以上的概率为 0.8，活到 25年以上的概率为 0.4,问现年 20岁的这种动物，它能活到 25岁以上的概率是多少？
解 设 A={能活 20年以上 },B={能活 25年以上 }
依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4
所求为 P(B|A),
)(
)()|(
AP
ABPABP? 5.0
8.0
4.0
)(
)(
AP
BP
概率论条件概率 P(A|B)与 P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设 A
是随机试验的一个事件，则 P(A)是在该试验条件下事件 A发生的可能性大小,
P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同,
而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加,B
发生,这个条件时 A发生的可能性大小,即 P(A|B)
仍是概率,
概率论
,个事件的积事件的情况乘法定理可以推广到多
,0,则且为三个事件、、设?ABPCBA
,|| APABPABCPABCP?
,2,,,,,21 并且个事件设有一般地 nAAAn n
,,0121 可得则由条件概率的定义nAAAP
2-2111-2121 || nnnnn AAAAPAAAAPAAAP
112213 || APAAPAAAP?
概率论乘法公式应用举例一个罐子中包含 b个白球和 r个红球,随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c
个与所抽出的球具有相同颜色的球,这种手续进行四次,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率,
（波里亚罐子模型）
b个白球,r个红球概率论于是 W1W2R3R4表示事件,连续取四个球，第一、
第二个是白球，第三、四个是红球,,
b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c个与所抽出的球具有相同颜色的球,
解 设 Wi={第 i次取出是白球 },i=1,2,3,4
Rj={第 j次取出是红球 },j=1,2,3,4
概率论用乘法公式容易求出当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率,这是一个 传染病模型,每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率,
crb
cr
crb
r
crb
cb
rb
b
32
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
P(W1W2R3R4)
概率论一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券,大家都想去,只好用抽签的方法来解决,
入场券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写,将它们放在一起,洗匀,让 5个人依次抽取,
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大,,
概率论到底谁说的对呢？ 让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到,
入场券,的概率到底有多大?
“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大,”
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
概率论我们用 Ai表示“第 i个人抽到入场券”
i＝ 1,2,3,4,5.
显然,P(A1)=1/5,P( )＝ 4/5
1A
第 1个人抽到入场券的概率是 1/5.
也就是说，
iA
则 表示“第 i个人未抽到入场券”
概率论因为若第 2个人抽到了入场券，第 1个人肯定没抽到,
也就是要想第 2个人抽到入场券，必须第 1个人未抽到，
)|()()( 1212 AAPAPAP?
212 AAA?
由于由乘法公式
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
计算得：
概率论
)|()|()()()( 2131213213 AAAPAAPAPAAAPAP
这就是有关抽签顺序问题的正确解答,
同理，第 3个人要抽到,入场券,，必须第 1、
第 2个人都没有抽到,因此
＝ (4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现,每个人抽到,入场券,
的概率都是 1/5.
抽签不必争先恐后,
也就是说，
概率论
,,2,3 5 4 试按个白球个黑球个红球设袋中有例
2; 1 不放回抽样有放回抽样 两种方式摸球三次
,,概率求第三次才摸得白球的每次摸得一球解
1 有放回抽样
,第一次未摸得白球设?A
,第二次未摸得白球?B
,第三次摸得白球?C
" " 可表示为第三次才摸得白球则事件,ABC
AP,108ABP |,108ABCP |,102?
概率论
APABPABCPA B CP ||?
10
8
10
8
10
2,
125
16?
2 无放回抽样
AP,108ABP |,97ABCP |,82?
APABPABCPA B CP ||?
10
8
9
7
8
2,
45
7?
概率论
,6 第一次落下时透镜设某光学仪器厂制造的例
,,21 第二次落下若第一次落下未打破打破的概率为
,,10 7 第三次落下打若前两次未打破打破的概率是
,,10 9 破的概率试求透镜落下三次未打破的概率是解,3,2,1, iiA i 次落下打破透镜第设
,则透镜落下三次未打破?B,321 AAAB?
321 AAAPBP213121 || AAAPAAPAP?
10911071211,2003?
概率论
,1,BPBPBPBP 求得再由本题也可以先求
由于,321211 AAAAAAB,,321211 AAAAAA并且
,故有为两两不相容事件
321211 AAAAAAPBP
321211 AAAPAAPAP
213121121 |||21 AAAPAAPAPAAPAP
2
1
10
7
2
11?
10
9
10
71
2
11,
200
197?
2 0 01 9 711 BPBP所以,2003?
概率论
A 1995 7 联赛的最后年全国足球甲抓阄问题例
,一队的比赛在成都市四川全兴队与解放军八一轮
,全兴队是否降级的命这场比赛是关系到四川进行
30,,位同学可西南交大某班肯定会异常精彩运之战
,,只好采取抓阄的办大家都想去看仅购得一张票
,.,每人抽试问取每个人都争先恐后地抽法抽签决定
得此票的机会是否均等解,30,,2,1,则个人抽得球票第设 iiA i
1AP 301?
率为第一个人抽得球票的概概率论率为第二个人抽得球票的概
2AP2121 AAAAP2121 AAPAAP
210 AAP121 | AAPAP? 2913029 301?
,,必须在他抽取之前个人要抽得比赛球票第同理 i
,1 即事件一起出现个人都没有抽到此标的的?i
iii AAAAPAP 121
11121 || ii AAAPAAPAP
130
1
29
28
30
29
i,30
1?,30,,2,1i
,,301,即机会均等是各人抽得此票的概率都所以概率论三,小结这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，
它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握,
概率论四,布置作业
,概率统计,标准化作业 (一 )
