概率论第三节 频率与概率频率的定义概率的定义小结 布置作业概率论研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是 事件的概率,
概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！
概率论了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？
我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子,
概率论例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额,
概率论了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员,
概率论了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度,
概率论一,频率的定义
,频率 ,,A 次出现了事件次重复试验中设在 nAn
,A 比值次试验中出现的频数在为事件则称 nAn
,记为次试验中出现的频率在为事件 nAnn A,Afn
即,nAf n
概率论
,频率所具有的三个性质
; 10 1 AP
; 2 1?SP
,,,,3 2 则是两两互斥事件设 kAAA?1
22 kk APAPAPAAAP 11
概率论试验者 抛币次数 n,正面向上”次数 频率
De Morgan 2084 1061 0.518
Bufen 4040 2048 0.5069
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005
)(Afn
抛掷钱币试验记录概率论
Af n,的频率正面向上出现从上表中可以看出
,次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随 n
,5.0 这个数值上数的增加而逐渐稳定在定义,行大量的重复试验在不变的一组条件下进会稳定地在某个固定的出现的频率随机事件 nA?
,为随机我们称这个稳定值的附近摆动的数值 pp
,即的概率事件 A,pAP?
这个定义也称为,概率的统计定义可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的 频率具有稳定性,即通常所说的 统计规律性,
概率论二、概率的定义概率的公理化定义 S,是它的是随机试验设 E
,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间 AE
,,A 件如果它满足下列三个条的概率称之为事件
; 0 1?AP 非负性
; 1 2?SP 规范性
,,,3 21 有对于两两互斥事件?AA
2121 APAPAAP
可列可加性概率论
,推得概率的下列性质由概率的公理化定义可
1性质 0,P
证 因为
,故由概率公件两两互斥由于上式右端可列个事
,有理化定义的可列可加性
PP
P P P
,再由概率的非负性可得
0,P
概率论
2性质,,,,21 则两两互斥设有限个事件 nAAA?
1 2 1 2,nnP A A A P A P A P A
证 因为
1 2 1 2nnA A A A A A
,1 有质所以由可列可加性及性
1 2 1 2nnP A A A P A A A
12 nP A P A P A P P
12 0 0 nP A P A P A
12,nP A P A P A
概率论
3 性质,有对于任何事件 A
,1 APAP
证 因为
,,A A AA且所以PAAP,1?
并且APAPAAP
,由以上两式可得 1 APAP
即,1 APAP
概率论
4 性质,,则且为两事件、设 BABA?
BPAPBAP
证,,所以因为如图 BA?
A B
BA?
B A B 并且
BABA
,2 可得于是由性质
BAPBPAP
也即,BPAPBAP
并且,BPAP?
,有又由概率的非负性 0 BPAPBAP
即,BPAP?
概率论
5 性质,都有对于任一事件 A,1?AP
证,都有因为对于任一事件 A
A
,4 可得故由性质
,1PAP
6 性质,,则为任意两个事件设 BA
ABPBPAPBAP
概率论证,如图所示?
B
A ABBAABBA
而且 A B A B
所以BAPABBPAP
,ABPBPAP
由此性质还可推得
BAP,BPAP
,还可以推广而且此结果概率论
CBAP ABPCPBPAP
ABCPBCPACP
DCBAP DPCPBPAP
CDPBDPBCPADPACPABP
A B C DPACDPBCDPABDPABCP
1
i
n
i
AP
n
i
iAP
1
nji
ji AAP
,1
nkji
kji AAAP
,,1
nn AAAP 2111
概率论
,41,1?APBA 且已知为两个随机事件、设例
,,21 ABPBP 就下列三种情况求概率 ?
,91 3 ; 2 ; 1 ABPBABA 互斥与解,1 所以互斥、由于 BA
互斥,BA
A B
AB?
BPABP?,21?
BAB?于是所以概率论
B A
BA?
,2 所以因为 BA?
ABPABPAPBP
,414121
ABP 3?B
A AB
BA?
ABBP?
ABPBP
,1879121
概率论
,41,2 CPBPAPCBA 且是三事件、、设例
至少有 、、求,81,0 CBAACPBCPABP
, 一个发生的概率解CBAP
ACPABPCPBPAP
08141213,85?
A B CPBCP
概率论三、小结频率的定义概率的公理化定义及概率的性质事件在一次试验中是否发生具有随机性,它发生的可能性大小是其本身所固有的性质,概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标,
它介于 0与 1之间,
概率论四,布置作业
,概率论与数理统计,作业（一）
概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！
概率论了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？
我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子,
概率论例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额,
概率论了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员,
概率论了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度,
概率论一,频率的定义
,频率 ,,A 次出现了事件次重复试验中设在 nAn
,A 比值次试验中出现的频数在为事件则称 nAn
,记为次试验中出现的频率在为事件 nAnn A,Afn
即,nAf n
概率论
,频率所具有的三个性质
; 10 1 AP
; 2 1?SP
,,,,3 2 则是两两互斥事件设 kAAA?1
22 kk APAPAPAAAP 11
概率论试验者 抛币次数 n,正面向上”次数 频率
De Morgan 2084 1061 0.518
Bufen 4040 2048 0.5069
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005
)(Afn
抛掷钱币试验记录概率论
Af n,的频率正面向上出现从上表中可以看出
,次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随 n
,5.0 这个数值上数的增加而逐渐稳定在定义,行大量的重复试验在不变的一组条件下进会稳定地在某个固定的出现的频率随机事件 nA?
,为随机我们称这个稳定值的附近摆动的数值 pp
,即的概率事件 A,pAP?
这个定义也称为,概率的统计定义可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的 频率具有稳定性,即通常所说的 统计规律性,
概率论二、概率的定义概率的公理化定义 S,是它的是随机试验设 E
,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间 AE
,,A 件如果它满足下列三个条的概率称之为事件
; 0 1?AP 非负性
; 1 2?SP 规范性
,,,3 21 有对于两两互斥事件?AA
2121 APAPAAP
可列可加性概率论
,推得概率的下列性质由概率的公理化定义可
1性质 0,P
证 因为
,故由概率公件两两互斥由于上式右端可列个事
,有理化定义的可列可加性
PP
P P P
,再由概率的非负性可得
0,P
概率论
2性质,,,,21 则两两互斥设有限个事件 nAAA?
1 2 1 2,nnP A A A P A P A P A
证 因为
1 2 1 2nnA A A A A A
,1 有质所以由可列可加性及性
1 2 1 2nnP A A A P A A A
12 nP A P A P A P P
12 0 0 nP A P A P A
12,nP A P A P A
概率论
3 性质,有对于任何事件 A
,1 APAP
证 因为
,,A A AA且所以PAAP,1?
并且APAPAAP
,由以上两式可得 1 APAP
即,1 APAP
概率论
4 性质,,则且为两事件、设 BABA?
BPAPBAP
证,,所以因为如图 BA?
A B
BA?
B A B 并且
BABA
,2 可得于是由性质
BAPBPAP
也即,BPAPBAP
并且,BPAP?
,有又由概率的非负性 0 BPAPBAP
即,BPAP?
概率论
5 性质,都有对于任一事件 A,1?AP
证,都有因为对于任一事件 A
A
,4 可得故由性质
,1PAP
6 性质,,则为任意两个事件设 BA
ABPBPAPBAP
概率论证,如图所示?
B
A ABBAABBA
而且 A B A B
所以BAPABBPAP
,ABPBPAP
由此性质还可推得
BAP,BPAP
,还可以推广而且此结果概率论
CBAP ABPCPBPAP
ABCPBCPACP
DCBAP DPCPBPAP
CDPBDPBCPADPACPABP
A B C DPACDPBCDPABDPABCP
1
i
n
i
AP
n
i
iAP
1
nji
ji AAP
,1
nkji
kji AAAP
,,1
nn AAAP 2111
概率论
,41,1?APBA 且已知为两个随机事件、设例
,,21 ABPBP 就下列三种情况求概率 ?
,91 3 ; 2 ; 1 ABPBABA 互斥与解,1 所以互斥、由于 BA
互斥,BA
A B
AB?
BPABP?,21?
BAB?于是所以概率论
B A
BA?
,2 所以因为 BA?
ABPABPAPBP
,414121
ABP 3?B
A AB
BA?
ABBP?
ABPBP
,1879121
概率论
,41,2 CPBPAPCBA 且是三事件、、设例
至少有 、、求,81,0 CBAACPBCPABP
, 一个发生的概率解CBAP
ACPABPCPBPAP
08141213,85?
A B CPBCP
概率论三、小结频率的定义概率的公理化定义及概率的性质事件在一次试验中是否发生具有随机性,它发生的可能性大小是其本身所固有的性质,概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标,
它介于 0与 1之间,
概率论四,布置作业
,概率论与数理统计,作业（一）
