概率论第六节 独立性两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结 布置作业概率论显然 P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件 B发生,并不影响事件 A发生的概率,这时称事件 A,B独立,
一、两事件的独立性
A={第二次掷出 6点 }，
B={第一次掷出 6点 }，
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设概率论由乘法公式知，当事件 A,B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)
用 P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A)
或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约,
P AB P A B P B?
概率论若两事件 A,B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称 A,B相互独立,简称 A,B独立,
两事件独立的定义
1 定理 独立的充要条件为、事件 BA
0,|
0,|
APBPABP
BPAPBAP
或概率论证,先证必要性,由独立定义知独立、设事件 BA
BPAPABP
|,0,BP ABPBAPBP 时当所以BP BPAPAP?
|,0,AP ABPABPAP 时当或者AP BPAPBP?
,再证充分性,| 则有成立设 APBAP?
BPBAPABP |BPAP?
,,相互独立、事件由定义可知 BA
概率论例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，
记 A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 }
可见,P(AB)=P(A)P(B)
由于 P(A)=4/52=1/13,
故 事件 A,B独立,
问事件 A,B是否独立？
解
P(AB)=2/52=1/26.
P(B)=26/52=1/2,
概率论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做,
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记
A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 },
在实际应用中,往往 根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
可见 P(A)= P(A|B),即事件 A,B独立,
则
P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13
概率论在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为 A,B独立,
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中 },
B={乙命中 },A与 B是否独立？
例如
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
概率论一批产品共 n件，从中抽取 2件，设
Ai={第 i件是合格品 } i=1,2
若抽取是有放回的,则 A1与 A2独立,
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响,
又如：
因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响,
若抽取是无放回的，则 A1与 A2不独立,
概率论请问：如图的两个事件是独立的吗？
A B
即 若 A,B互斥，且 P(A)>0,P(B)>0,则 A与 B不独立,
反之，若 A与 B独立，且 P(A)>0,P(B)>0,则 A,B不互斥,
而 P(A) ≠0,P(B) ≠0
故 A,B不独立我们来计算,P(AB)=0
P(AB) ≠ P(A)P(B)即概率论设 A,B为互斥事件，且 P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，
1,P(B|A)>0 2,P(A|B)=P(A)
3,P(A|B)=0 4,P(AB)=P(A)P(B)
设 A,B为独立事件，且 P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：
1,P(B|A)>0 2,P(A|B)=P(A)
3,P(A|B)=0 4,P(AB)=P(A)P(B)
再请你做个小练习,
概率论
=P(A)[1- P(B)]
= P(A)- P(AB)
BP(A )= P(A - A B)
A,B独立概率的性质
= P(A)- P(A) P(B)
仅证 A与 独立B
定理 2 若两事件 A,B独立,则 BABABA 与与与,,
也相互独立,
证明
B= P(A) P( )
故 A与 独立B
概率论定义,如果满足等式为三事件、、设 CBA
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
,为两两独立的事件、、则称三事件 CBA
,等式两两独立时 、、当事件 CBA
CPBPAPABCP?
,不一定成立二、多个事件的独立性概率论例如,,,,4321S,,,,3121 BA
,,41 则C,21 CPBPAP
,BPAP?
41?ACP
,并且
41?ABP
,P A P C?
41?BCP,CPBP?
,两两独立、、即事件 CBA
但是 41?ABCP, CPBPAP?
概率论对于三个事件 A,B,C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C)
P(BC)= P(B)P(C)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
四个等式同时成立,则称 事件 A,B,C相互独立,
,有限多个事件的情形此定义可以推广到任意概率论定义,,,,21 如果对于任意个事件为设 nAAA n?
1,1 21 有等式和任意的的 niiinkk k
kk iiiiii APAPAPAAAP 2121
,,,,21 为相互独立的事件则称 nAAA?
请注意 多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对 n (n > 2)个事件概率论对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用
,0,9 0,8 1 和苗率分别为有甲、乙两批种子，出例
,求取一粒现从这两批种子中各任
; 1 两粒种子都出苗的概率
; 2 出苗的概率恰好有一粒种子
,3 概率至少有一粒种子出苗的解 子出苗由甲批中取出的一粒种设?A
子出苗由乙批中取出的一粒种?B
概率论
"",两粒种子都出苗且事件相互独立、则事件 BA
,表示为,AB,"" 表示为恰好有一粒出苗,BABA?
," " 表示为至少有一粒种子出苗,BA?
ABP 1BPAP? ; 0,7 20,90,8
BABAP? 2BAPBAP
BPAPBPAP,0,260,10,80,90,2
BAP? 3ABPBPAP
BPAPBPAP
0,90,80,90,8,0,98?
BAP? 或者BAP 1BAP 1
BPAP 1,0,98?
概率论
BAP? 或者BABAABP
BABAPABP,0,980,260,72
,2 都每一门击中飞机的概率设有两门高射炮例
,,0,6 求下列事件的概率是
1 中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击
99%,2 以上的概率欲以若有一架敌机入侵领空
,炮问至少需要多少门高射击中它解,而击中飞机门高射炮发射一发炮弹第设 kA k?
,6.0,,2,1 于是且之间相互独立则 kk APAk
21 1 AAP211 AAP211 AAP
概率论
211 APAP 24.01,0,84?
,2 由题知门高射炮设至少需要 n
21 nAAAP 1 21 nAAAP
1 21 nAAAPnAPAPAP 211
n4.01 0.99?
,01.00,4?n
,解之得,026.54.0ln 01.0lnn
即概率论
,
4 100,0,0 1; 0,9 5
,,
3,)
3 ( 3
,,100 3
概率是多少试问这批乐器被接收的音色不纯的件是件乐器中恰有如果已知这的概率为测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经为出其为音色不纯的概率试查件音色不纯的乐器经测设一收则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯中件中至少有一件在测试如果是相互独立的件乐器的测试设件测试该批乐器中随机地取自验收方案如下乐器件要验收一批例概率论解,,3 件音色不纯恰有件随机地取出设 iH i?
,3210,,,i?
,这批乐器被接收?A 则
AP 11 HPH|APHPH|AP 00
3322 HPH|APHPH|AP
其中 0HP,3
100
3
96
C
C?
1HP,
1
4
2
3
100
96
C
CC?
2HP,
2
4
1
3
1 0 0
96
C
CC?
3HP,
3
4
3
100C
C?
概率论
0H|AP,0,9 9 3 1H|AP,0,0 50,9 9 2?
2H|AP,0,0 50,9 9 2 3H|AP,0,5 3?
,概率为所以这批乐器被接收的
AP 11 HPH|APHPH|AP 00
3322 HPH|APHPH|AP
30,9 9 3
100
3
96
C
C0,0 50,9 9 2142
3
1 0 0
96
C
CC
2
2
4
1
0,0 50,9 9 3
1 0 0
96
C
CC 0,0 5 334
3
1 0 0C
C?
,0,8 6 2 9?
概率论例 4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解 将三人编号为 1,2,3，
所求为记 Ai={第 i个人破译出密码 } i=1,2,3
1 2 3P A A A
已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
1 2 3 1 2 31P A A A P A A A
概率论
1
2
)(1 321 AAAP
)()()(1 321 APAPAP
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
6.05343325413
1 2 3 1 2 31P A A A P A A A
概率论例 5 下面是一个串并联电路示意图,A,B、
C,D,E,F,G,H 都是电路中的元件,它们下方的数是它们各自正常工作的概率,求电路正常工作的概率,
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
概率论解 将电路正常工作记为 W，由于各元件独立工作，有其中
P(W) 0.782
代入得
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
P W P A P B P C D E P F G P H
1P B C D P B P C P D0.973?
1P F G P F P G0,9 7 3 5?
概率论四、小结这一讲，我们介绍 了事件独立性的概念,不难发现，当事件相互独立时，乘法公式 变得十分简单，因而也就特别重要和有用,如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化,
概率论
,概率统计,标准化作业 (一 )
五,布置作业
这就是说,已知事件 B发生,并不影响事件 A发生的概率,这时称事件 A,B独立,
一、两事件的独立性
A={第二次掷出 6点 }，
B={第一次掷出 6点 }，
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设概率论由乘法公式知，当事件 A,B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)
用 P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A)
或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约,
P AB P A B P B?
概率论若两事件 A,B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称 A,B相互独立,简称 A,B独立,
两事件独立的定义
1 定理 独立的充要条件为、事件 BA
0,|
0,|
APBPABP
BPAPBAP
或概率论证,先证必要性,由独立定义知独立、设事件 BA
BPAPABP
|,0,BP ABPBAPBP 时当所以BP BPAPAP?
|,0,AP ABPABPAP 时当或者AP BPAPBP?
,再证充分性,| 则有成立设 APBAP?
BPBAPABP |BPAP?
,,相互独立、事件由定义可知 BA
概率论例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，
记 A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 }
可见,P(AB)=P(A)P(B)
由于 P(A)=4/52=1/13,
故 事件 A,B独立,
问事件 A,B是否独立？
解
P(AB)=2/52=1/26.
P(B)=26/52=1/2,
概率论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做,
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记
A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 },
在实际应用中,往往 根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
可见 P(A)= P(A|B),即事件 A,B独立,
则
P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13
概率论在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为 A,B独立,
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中 },
B={乙命中 },A与 B是否独立？
例如
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
概率论一批产品共 n件，从中抽取 2件，设
Ai={第 i件是合格品 } i=1,2
若抽取是有放回的,则 A1与 A2独立,
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响,
又如：
因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响,
若抽取是无放回的，则 A1与 A2不独立,
概率论请问：如图的两个事件是独立的吗？
A B
即 若 A,B互斥，且 P(A)>0,P(B)>0,则 A与 B不独立,
反之，若 A与 B独立，且 P(A)>0,P(B)>0,则 A,B不互斥,
而 P(A) ≠0,P(B) ≠0
故 A,B不独立我们来计算,P(AB)=0
P(AB) ≠ P(A)P(B)即概率论设 A,B为互斥事件，且 P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，
1,P(B|A)>0 2,P(A|B)=P(A)
3,P(A|B)=0 4,P(AB)=P(A)P(B)
设 A,B为独立事件，且 P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：
1,P(B|A)>0 2,P(A|B)=P(A)
3,P(A|B)=0 4,P(AB)=P(A)P(B)
再请你做个小练习,
概率论
=P(A)[1- P(B)]
= P(A)- P(AB)
BP(A )= P(A - A B)
A,B独立概率的性质
= P(A)- P(A) P(B)
仅证 A与 独立B
定理 2 若两事件 A,B独立,则 BABABA 与与与,,
也相互独立,
证明
B= P(A) P( )
故 A与 独立B
概率论定义,如果满足等式为三事件、、设 CBA
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
,为两两独立的事件、、则称三事件 CBA
,等式两两独立时 、、当事件 CBA
CPBPAPABCP?
,不一定成立二、多个事件的独立性概率论例如,,,,4321S,,,,3121 BA
,,41 则C,21 CPBPAP
,BPAP?
41?ACP
,并且
41?ABP
,P A P C?
41?BCP,CPBP?
,两两独立、、即事件 CBA
但是 41?ABCP, CPBPAP?
概率论对于三个事件 A,B,C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C)
P(BC)= P(B)P(C)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
四个等式同时成立,则称 事件 A,B,C相互独立,
,有限多个事件的情形此定义可以推广到任意概率论定义,,,,21 如果对于任意个事件为设 nAAA n?
1,1 21 有等式和任意的的 niiinkk k
kk iiiiii APAPAPAAAP 2121
,,,,21 为相互独立的事件则称 nAAA?
请注意 多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对 n (n > 2)个事件概率论对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用
,0,9 0,8 1 和苗率分别为有甲、乙两批种子，出例
,求取一粒现从这两批种子中各任
; 1 两粒种子都出苗的概率
; 2 出苗的概率恰好有一粒种子
,3 概率至少有一粒种子出苗的解 子出苗由甲批中取出的一粒种设?A
子出苗由乙批中取出的一粒种?B
概率论
"",两粒种子都出苗且事件相互独立、则事件 BA
,表示为,AB,"" 表示为恰好有一粒出苗,BABA?
," " 表示为至少有一粒种子出苗,BA?
ABP 1BPAP? ; 0,7 20,90,8
BABAP? 2BAPBAP
BPAPBPAP,0,260,10,80,90,2
BAP? 3ABPBPAP
BPAPBPAP
0,90,80,90,8,0,98?
BAP? 或者BAP 1BAP 1
BPAP 1,0,98?
概率论
BAP? 或者BABAABP
BABAPABP,0,980,260,72
,2 都每一门击中飞机的概率设有两门高射炮例
,,0,6 求下列事件的概率是
1 中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击
99%,2 以上的概率欲以若有一架敌机入侵领空
,炮问至少需要多少门高射击中它解,而击中飞机门高射炮发射一发炮弹第设 kA k?
,6.0,,2,1 于是且之间相互独立则 kk APAk
21 1 AAP211 AAP211 AAP
概率论
211 APAP 24.01,0,84?
,2 由题知门高射炮设至少需要 n
21 nAAAP 1 21 nAAAP
1 21 nAAAPnAPAPAP 211
n4.01 0.99?
,01.00,4?n
,解之得,026.54.0ln 01.0lnn
即概率论
,
4 100,0,0 1; 0,9 5
,,
3,)
3 ( 3
,,100 3
概率是多少试问这批乐器被接收的音色不纯的件是件乐器中恰有如果已知这的概率为测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经为出其为音色不纯的概率试查件音色不纯的乐器经测设一收则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯中件中至少有一件在测试如果是相互独立的件乐器的测试设件测试该批乐器中随机地取自验收方案如下乐器件要验收一批例概率论解,,3 件音色不纯恰有件随机地取出设 iH i?
,3210,,,i?
,这批乐器被接收?A 则
AP 11 HPH|APHPH|AP 00
3322 HPH|APHPH|AP
其中 0HP,3
100
3
96
C
C?
1HP,
1
4
2
3
100
96
C
CC?
2HP,
2
4
1
3
1 0 0
96
C
CC?
3HP,
3
4
3
100C
C?
概率论
0H|AP,0,9 9 3 1H|AP,0,0 50,9 9 2?
2H|AP,0,0 50,9 9 2 3H|AP,0,5 3?
,概率为所以这批乐器被接收的
AP 11 HPH|APHPH|AP 00
3322 HPH|APHPH|AP
30,9 9 3
100
3
96
C
C0,0 50,9 9 2142
3
1 0 0
96
C
CC
2
2
4
1
0,0 50,9 9 3
1 0 0
96
C
CC 0,0 5 334
3
1 0 0C
C?
,0,8 6 2 9?
概率论例 4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解 将三人编号为 1,2,3，
所求为记 Ai={第 i个人破译出密码 } i=1,2,3
1 2 3P A A A
已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
1 2 3 1 2 31P A A A P A A A
概率论
1
2
)(1 321 AAAP
)()()(1 321 APAPAP
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
6.05343325413
1 2 3 1 2 31P A A A P A A A
概率论例 5 下面是一个串并联电路示意图,A,B、
C,D,E,F,G,H 都是电路中的元件,它们下方的数是它们各自正常工作的概率,求电路正常工作的概率,
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
概率论解 将电路正常工作记为 W，由于各元件独立工作，有其中
P(W) 0.782
代入得
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
P W P A P B P C D E P F G P H
1P B C D P B P C P D0.973?
1P F G P F P G0,9 7 3 5?
概率论四、小结这一讲，我们介绍 了事件独立性的概念,不难发现，当事件相互独立时，乘法公式 变得十分简单，因而也就特别重要和有用,如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化,
概率论
,概率统计,标准化作业 (一 )
五,布置作业
