概率论第一章 习题课主要内容例题选讲概率论概率的公理化定义 S,是它的是随机试验设 E
,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间 AE
,,A 件如果它满足下列三个条的概率称之为事件
; 0 1?AP 非负性
; 1 2?SP 规范性
,,,3 21 有对于两两互斥事件?AA
2121 APAPAAP
可列可加性一、概率的定义概率论
1性质 0,P
2性质,,,,21 则两两互斥设有限个事件 nAAA?
1 2 1 2,nnP A A A P A P A P A
3 性质,有对于任何事件 A
,1 APAP
4 性质,,则且为两事件、设 BABA?
BPAPBAP 并且,BPAP?
二、概率的性质概率论
5 性质,都有对于任一事件 A,1?AP
6 性质,,则为任意两个事件设 BA
ABPBPAPBAP
CBAP ABPCPBPAP
ABCPBCPACP
概率论称这种试验为 等可能随机试验 或 古典概型,
若随机试验满足下述两个条件：
(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；
(2) 每个样本点出现的可能性相同,
AP 中的基本事件总数包含的基本事件数SA?
三、古典概型古典概型中事件 A的概率的计算公式,
概率论设 A,B是两个事件，且 P(B) > 0,则称
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
1,条件概率的定义为在 事件 B发生 的条件下,事件 A的条件概率,
四、条件概率概率论
2)从加入条件后改变了的情况去算
2,条件概率的计算
1) 用定义计算,
,
)(
)()|(
BP
ABPBAP? P(B)>0
概率论若 P(B) > 0,则 P(AB)=P(B)P(A|B)
五,乘法公式若 P(A) > 0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)
概率论
,SE 的样本空间为设试验 nBBB,,,?21
,,则对且的一个划分为 n,,,iBPS i 210
,恒有样本空间中的任一事件 A
n
i
ii B|APBPAP
1
六,全概率公式概率论
n
j
jjiii ABPAPABPAPBAP
1
)()()()()|( ｜｜
ni,,,?21?
七,贝叶斯公式
,SE 的样本空间为设试验
12,,,nA A A?
为样本空间的一个划分,B 为 S 中的任一事件,且
P(B) > 0,则有概率论例 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，
以 A,B,C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用 A,B,C的运算关系表示下列事件：
概率论例 2:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
解,设 A表示,至少有一个男孩,,以 H 表示某个孩子是男孩,T 表示某个孩子是女孩概率论例 3 （摸求问题） 设合中 有 3个白球,2个红球，现从合中任 抽 2个 球，求取到一红一白的概率。
解,设 A表示“取到一红一白”
一般地，设合中有 N个球，其中有 M个白球，现从中任 抽 n
个 球，则这 n个 球中恰有 k个白球的概率是概率论例 4（分球问题） 将 3个球随机的放入 3个盒子中去，
问：（ 1）每盒恰有一球的概率是多少？（ 2）空一盒的概率是多少？
解 设 A:每盒恰有一球,B:空一盒概率论一般地，把 n 个 球随机地分配到 m 个盒子中去
( n? m ),则每盒至多 有一 球的概率是：
概率论例 5 （分组问题） 30名学生中有 3名运动员，将这
30名学生平均分成 3组，求：（ 1）每组有一名运动员的概率；（ 2） 3名运动员集中在一个组的概率。
解 设 A:每组有一名运动员 ;B,3名运动员集中在一组概率论一般地，把 n个 球随机地分成 m 组 ( n > m ),
要求第 i 组恰有 n i个球 ( i = 1,? m )，共有分法：
概率论例 6（随机取数问题） 从 1到 200这 200个自然数中任取一个； (1)求取到的数能被 6整除的概率； (2)求取到的数能被 8整除的概率； (3)求取到的数既能被
6整除也能被 8整除的概率,
解,N(S)=200,
N(3)=[200/24]=8
N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
(1),(2),(3)的概率分别为,33/200,1/8,1/25
概率论例 7 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的 30%,其中有 10%的人同时定甲,乙两种报纸,没有人同时订甲乙或乙丙报纸,求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率,
解 设 A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报概率论例 8 在 1?10这 10个自然数中任取一数,求
（ 1） 取到的数能被 2或 3整除的概率,
（ 2） 取到的数即不能被 2也不能被 3整除的概率,
（ 3） 取到的数能被 2整除而不能被 3整除的概率 。
解 设 A— 取到的数能被 2整除 ;
Ｂ — 取到的数能被 3整除,
概率论故概率论例 9 盒中有 3个红球,2个白球，每次从袋中任取一只
，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球 4次,试求第 1,2次取得白球、第 3,4次取得红球的概率。
解 设 Ai 为第 i 次取球时取到白球，则概率论例 10 市场上有甲,乙,丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4、
1/4,1/2,且三家工厂的次品率分别为 2％,1％,
3％,试求市场上该品牌产品的次品率 。
概率论
)()|()()|()()|( 332211 APABPAPABPAPABP
0225.02103.04101.04102.0
)()()()( 321 BAPBAPBAPBP
概率论例 11 商店论箱出售玻璃杯,每箱 20只,其中每箱含 0，
1,2只次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解 设 A:从一箱中任取 4只检查,结果都是好的,
B0,B1,B2分别表示事件每箱含 0,1,2
只次品概率论已知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1
由 Bayes 公式,
概率论例 12 在可靠性理论上的应用如图,1,2,3,4,5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为 p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率。
概率论设 A 表示,L 至 R 为通路”,
Ai 表示“第 i 个继电器通”,i =1,2,?5.
概率论由全概率公式
,AP,赋予一个实数的每一个事件对于样本空间 AE
,,A 件如果它满足下列三个条的概率称之为事件
; 0 1?AP 非负性
; 1 2?SP 规范性
,,,3 21 有对于两两互斥事件?AA
2121 APAPAAP
可列可加性一、概率的定义概率论
1性质 0,P
2性质,,,,21 则两两互斥设有限个事件 nAAA?
1 2 1 2,nnP A A A P A P A P A
3 性质,有对于任何事件 A
,1 APAP
4 性质,,则且为两事件、设 BABA?
BPAPBAP 并且,BPAP?
二、概率的性质概率论
5 性质,都有对于任一事件 A,1?AP
6 性质,,则为任意两个事件设 BA
ABPBPAPBAP
CBAP ABPCPBPAP
ABCPBCPACP
概率论称这种试验为 等可能随机试验 或 古典概型,
若随机试验满足下述两个条件：
(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；
(2) 每个样本点出现的可能性相同,
AP 中的基本事件总数包含的基本事件数SA?
三、古典概型古典概型中事件 A的概率的计算公式,
概率论设 A,B是两个事件，且 P(B) > 0,则称
)(
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BP
ABPBAP?
1,条件概率的定义为在 事件 B发生 的条件下,事件 A的条件概率,
四、条件概率概率论
2)从加入条件后改变了的情况去算
2,条件概率的计算
1) 用定义计算,
,
)(
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BP
ABPBAP? P(B)>0
概率论若 P(B) > 0,则 P(AB)=P(B)P(A|B)
五,乘法公式若 P(A) > 0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)
概率论
,SE 的样本空间为设试验 nBBB,,,?21
,,则对且的一个划分为 n,,,iBPS i 210
,恒有样本空间中的任一事件 A
n
i
ii B|APBPAP
1
六,全概率公式概率论
n
j
jjiii ABPAPABPAPBAP
1
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ni,,,?21?
七,贝叶斯公式
,SE 的样本空间为设试验
12,,,nA A A?
为样本空间的一个划分,B 为 S 中的任一事件,且
P(B) > 0,则有概率论例 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，
以 A,B,C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用 A,B,C的运算关系表示下列事件：
概率论例 2:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
解,设 A表示,至少有一个男孩,,以 H 表示某个孩子是男孩,T 表示某个孩子是女孩概率论例 3 （摸求问题） 设合中 有 3个白球,2个红球，现从合中任 抽 2个 球，求取到一红一白的概率。
解,设 A表示“取到一红一白”
一般地，设合中有 N个球，其中有 M个白球，现从中任 抽 n
个 球，则这 n个 球中恰有 k个白球的概率是概率论例 4（分球问题） 将 3个球随机的放入 3个盒子中去，
问：（ 1）每盒恰有一球的概率是多少？（ 2）空一盒的概率是多少？
解 设 A:每盒恰有一球,B:空一盒概率论一般地，把 n 个 球随机地分配到 m 个盒子中去
( n? m ),则每盒至多 有一 球的概率是：
概率论例 5 （分组问题） 30名学生中有 3名运动员，将这
30名学生平均分成 3组，求：（ 1）每组有一名运动员的概率；（ 2） 3名运动员集中在一个组的概率。
解 设 A:每组有一名运动员 ;B,3名运动员集中在一组概率论一般地，把 n个 球随机地分成 m 组 ( n > m ),
要求第 i 组恰有 n i个球 ( i = 1,? m )，共有分法：
概率论例 6（随机取数问题） 从 1到 200这 200个自然数中任取一个； (1)求取到的数能被 6整除的概率； (2)求取到的数能被 8整除的概率； (3)求取到的数既能被
6整除也能被 8整除的概率,
解,N(S)=200,
N(3)=[200/24]=8
N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
(1),(2),(3)的概率分别为,33/200,1/8,1/25
概率论例 7 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的 30%,其中有 10%的人同时定甲,乙两种报纸,没有人同时订甲乙或乙丙报纸,求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率,
解 设 A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报概率论例 8 在 1?10这 10个自然数中任取一数,求
（ 1） 取到的数能被 2或 3整除的概率,
（ 2） 取到的数即不能被 2也不能被 3整除的概率,
（ 3） 取到的数能被 2整除而不能被 3整除的概率 。
解 设 A— 取到的数能被 2整除 ;
Ｂ — 取到的数能被 3整除,
概率论故概率论例 9 盒中有 3个红球,2个白球，每次从袋中任取一只
，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球 4次,试求第 1,2次取得白球、第 3,4次取得红球的概率。
解 设 Ai 为第 i 次取球时取到白球，则概率论例 10 市场上有甲,乙,丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4、
1/4,1/2,且三家工厂的次品率分别为 2％,1％,
3％,试求市场上该品牌产品的次品率 。
概率论
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0225.02103.04101.04102.0
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概率论例 11 商店论箱出售玻璃杯,每箱 20只,其中每箱含 0，
1,2只次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解 设 A:从一箱中任取 4只检查,结果都是好的,
B0,B1,B2分别表示事件每箱含 0,1,2
只次品概率论已知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1
由 Bayes 公式,
概率论例 12 在可靠性理论上的应用如图,1,2,3,4,5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为 p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率。
概率论设 A 表示,L 至 R 为通路”,
Ai 表示“第 i 个继电器通”,i =1,2,?5.
概率论由全概率公式
