概率论第三节 条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布课堂练习小结 布置作业概率论在第一章中，我们介绍了条件概率的概念,
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
在事件 B发生的条件下事件 A发生的条件概率推广到随机变量设有两个 r.v X,Y,在给定 Y取某个或某些值的条件下，求 X的概率分布,
这个分布就是条件分布,
概率论例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以 X和 Y 表示其体重和身高,则 X
和 Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布,
体重 X
身高 Y 体重 X
的分布身高 Y
的分布概率论现在若限制 1.7<Y<1.8(米 ),在这个条件下去求 X
的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在 1.7米和 1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布,
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样,
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加,
概率论一、离散型随机变量的条件分布实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复,
定义 1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量,对于固定的 j,若 P{Y = yj } > 0,则称为 在 Y = yj条件下随机变量 X的条件分布律,
P{X= xi |Y= yj }=
j
ji
p
p
,i=1,2,…
类似定义在 X= xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律,
,ij
j
P X x Y y
P Y y
作为条件的那个 r.v,认为取值是给定的，
在此条件下求另一 r.v的概率分布,
概率论条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质,正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质,
例如：
i=1,2,… 0ijP X x Y y
1
1ij
i
P X x Y y
概率论解 依题意,{Y=n} 表示在第 n次射击时击中目标,且在前 n-1次射击中有一次击中目标,
首次击中目标时射击了 m次,
n次射击 击中
2 nn-11 ………………,m
击中例 1 一射手进行射击，击中目标的概率射击进行到击中目标两次为止,以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数,以 Y 表示总共进行的射击次数,试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布,
1,p? p?
0 p?
{X=m} 表概率论
( n=2,3,…; m=1,2,…,n-1)
由此得 X和 Y的联合分布律为不论 m(m<n)是多少，
P{X=m,Y=n}都应等于
n次射击 击中
2 nn-11 ………………,m
击中每次击中目标的概率为 p
P{X=m,Y=n}=？
22,1 nP X m Y n p p
22,1 nP X m Y n p p
概率论为求条件分布，先求边缘分布,
X的 边缘分布律是：
( m=1,2,… )
1
22 )1(
mn
npp
1
22 )1(
mn
npp
)1(1
)1( 212
p
p
p
m
1)1( mpp
1
,
nm
P X m P X m Y n
概率论
Y的 边缘分布律是：
( n = 2,3,… )
1
1
22 )1(
n
m
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22 )1()1( nppn
1
1
,
n
m
P Y n P X m Y n
概率论于是可求得,
22
22
)1()1(
)1(
n
n
ppn
pp
,
1
1
n
当 n=2,3,… 时，
m=1,2,…,n-1
}{
},{
nYP
nYmXP
联合分布边缘分布
P X m Y n
概率论
n=m+1,m+2,…
当 m=1,2,… 时，
}{
},{
mXP
nYmXP
1
22
)1(
)1(
m
n
pp
pp
,)1( 1 mnpp
P X n Y m
概率论二、连续型随机变量的条件分布设 (X,Y)是二维 连续型 r.v,由于对任意 x,y,
P{X=x}=0,P{Y=y}=0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布,下面我们直接给出条件概率密度的定义,
概率论
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
设 X 和 Y 的联合概率密度为,,f x y
关于 的边缘概率密度为,Yfy,XY Y
则称 为在 的条件下
,
Y
f x y
fy Yy?
的 条件概率密度,X 记为
,xxXY
Y
f x yf x y d x d x
fy称 为在 Yy?
的条件下,的 条件分布函数,X 记为
XYP X x Y y F x y 或定义 2
若对于固定
0,Yfy?y的,
概率论
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY?
,xXY
Y
f x yP X x Y y F x y d x
fy
即类似地,可以定义
,yYX
X
f x yF y x d y
fx
概率论我们来解释一下定义的含义：
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
以 为例
yYyxXPyYxXP 0lim
yYyP yYyxXPyYyxXP,
y
y Y
x y
y
dyyf
dxdyyxf,
2
1,
yf
dxyxf
Y
x
2
1,
yf
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Y
x
0,?
yf
dxyxf
Y
x
概率论
dxyf yxfyYxXP x
Y
,XYF x y
yf yxfyxFxd dyxf
Y
YXYX
,
概率论求 P{X>1|Y=y}.
例 2 设 (X,Y)的概率密度是
其它,0
0,0,
),(
yx
y
ee
yxf
yyx
解
1 | )|( dxyxf YX
为此,需求出
)|(| yxf YX
1P X Y y
概率论由于于是对 y>0,
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
dxyxfyf Y ),()(
0
dx
y
ee yyx
0
][ yx
y
ye
y
e
,ye y0
,
y
e yx 0?x
故对 y >0,P{X>1|Y=y}
1
dx
y
e yx
1
yxe ye 1
xo
y
y
y
概率论例 3 设 (X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为
其它,0
1,1),( 22 yxyxf
)|(| xyf XY求
1||,0
1||,1
2
),()(
2
x
xxdyyxfxf
X?
解 X的边缘密度为 xo
y
概率论当 |x|<1时,有
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY?
21)2(
1
x?
,
12
1
2x?
22 11 xyx
xo
y
x xx
1||,0
1||,1
2
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2
x
xxdyyxfxf
X?
概率论
)|(| xyf XY
取其它值y
xyx
x
,0
11,
12
1 22
2
即 当 |x|<1 时,有
X作为已知变量这里是 y的取值范围
X已知的条件下
Y 的条件密度概率论例 4 设数 X 在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到 X=x
(0<x<1)时，数 Y在区间 (x,1)上随机地取值,求 Y 的概率密度,
解 依题意,X具有概率密度
其它,0
10,1
)(
x
xf X
对于任意给定的值 x (0<x<1),在 X=x 的条件下,Y
的条件概率密度为
其它,0
1,
1
1
)|(| yxxxyf XY
概率论
X 和 Y 的联合密度为
)|()(),( | xyfxfyxf XYX?
其它,0
10,
1
1
yx
x
于是得 Y的概率密度为
dxyxfyf Y ),()(
其它,0
10),1ln (
1
1
0
y
yydx
x
已知边缘密度、
条件密度，求联合密度
xo
y
y
y
xy?1 y
概率论我们已经知道，
设 (X,Y)是连续型 r.v，若对任意的 x,y,有
)()(),( yfxfyxf YX?
则称 X,Y相互 独立,
由条件密度的定义：
可知，当 X与 Y相互独立时，
),()|(| yfxyf YXY?
也可用此条件判别二维连续型 r.v(X,Y)的两个分量 X与 Y是否相互独立,
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY?
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
)()|(| xfyxf XYX?
概率论对离散型 r.v有类似的结论，请同学们自行给出,
概率论三、课堂练习
1,对于二维正态分布，在已知 X= x 条件 下,求 Y
的条件分布,
2,设 (X,Y)的概率密度是
,0,,0,
ye x y x
f x y
其 它
| ( | )XYf x y求,
概率论
2
1
22
2
1
12
2
1 2 2
2
1 2 2
1 1 ( )
,e x p
2121
( ) ( ) ( )
2
x μ
f x y
σρπ σ σ ρ
x μ y μ y μ
ρ
σ σ σ
2
1
2
1
()
2
1
1
2
x μ
σ
Xf x eπ σ
1,对于二维正态分布，在已知 X= x 条件 下,求 Y
的条件分布,
解221 2 1 2,~,,,,,X Y N μ μ σ σ ρ设 则其概率密度为
X的边缘密度为概率论在 X= x 条件 下,Y 的条件概率密度为
,
X
f x y
fx
22
1
22
2
1
2
2
1 2 2
2
1 2 2
1 1 ( )
e x p
2121
( ) ( ) ( )
2
ρ x μ
σρπ σ ρ
x μ y μ y μ
ρ
σ σ σ
YXf y x?
概率论
2,设 (X,Y)的概率密度是
,0,,0,
ye x y x
f x y
其 它
| ( | )XYf x y求,
,0,0,0,
y
Y
y e yfy
y
( X,Y )关于 Y 的边缘概率密度为解概率论
XYf x y,
Y
f x y
fy
yx?
x
y
0
y
y
y
当 时,0y? 0,xy若
yXY yf x y yeye?
0,y y x若 或 0
0yXYf x y ye
综上 当 时,0y?
,0,0,.
y
XY
e x yf x y
其 它当 时,0y?
0Yfy?
暂时固定概率论这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布,请课下通过练习进一步掌握,
四、小结概率论五、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )
)(
)()|(
BP
ABPBAP?
在事件 B发生的条件下事件 A发生的条件概率推广到随机变量设有两个 r.v X,Y,在给定 Y取某个或某些值的条件下，求 X的概率分布,
这个分布就是条件分布,
概率论例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以 X和 Y 表示其体重和身高,则 X
和 Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布,
体重 X
身高 Y 体重 X
的分布身高 Y
的分布概率论现在若限制 1.7<Y<1.8(米 ),在这个条件下去求 X
的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在 1.7米和 1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布,
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样,
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加,
概率论一、离散型随机变量的条件分布实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复,
定义 1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量,对于固定的 j,若 P{Y = yj } > 0,则称为 在 Y = yj条件下随机变量 X的条件分布律,
P{X= xi |Y= yj }=
j
ji
p
p
,i=1,2,…
类似定义在 X= xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律,
,ij
j
P X x Y y
P Y y
作为条件的那个 r.v,认为取值是给定的，
在此条件下求另一 r.v的概率分布,
概率论条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质,正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质,
例如：
i=1,2,… 0ijP X x Y y
1
1ij
i
P X x Y y
概率论解 依题意,{Y=n} 表示在第 n次射击时击中目标,且在前 n-1次射击中有一次击中目标,
首次击中目标时射击了 m次,
n次射击 击中
2 nn-11 ………………,m
击中例 1 一射手进行射击，击中目标的概率射击进行到击中目标两次为止,以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数,以 Y 表示总共进行的射击次数,试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布,
1,p? p?
0 p?
{X=m} 表概率论
( n=2,3,…; m=1,2,…,n-1)
由此得 X和 Y的联合分布律为不论 m(m<n)是多少，
P{X=m,Y=n}都应等于
n次射击 击中
2 nn-11 ………………,m
击中每次击中目标的概率为 p
P{X=m,Y=n}=？
22,1 nP X m Y n p p
22,1 nP X m Y n p p
概率论为求条件分布，先求边缘分布,
X的 边缘分布律是：
( m=1,2,… )
1
22 )1(
mn
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1
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m
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1
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P X m P X m Y n
概率论
Y的 边缘分布律是：
( n = 2,3,… )
1
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22 )1(
n
m
npp
22 )1()1( nppn
1
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n
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P Y n P X m Y n
概率论于是可求得,
22
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,
1
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n
当 n=2,3,… 时，
m=1,2,…,n-1
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联合分布边缘分布
P X m Y n
概率论
n=m+1,m+2,…
当 m=1,2,… 时，
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1
22
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m
n
pp
pp
,)1( 1 mnpp
P X n Y m
概率论二、连续型随机变量的条件分布设 (X,Y)是二维 连续型 r.v,由于对任意 x,y,
P{X=x}=0,P{Y=y}=0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布,下面我们直接给出条件概率密度的定义,
概率论
)(
),()|(
| yf
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Y
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设 X 和 Y 的联合概率密度为,,f x y
关于 的边缘概率密度为,Yfy,XY Y
则称 为在 的条件下
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Y
f x y
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的 条件概率密度,X 记为
,xxXY
Y
f x yf x y d x d x
fy称 为在 Yy?
的条件下,的 条件分布函数,X 记为
XYP X x Y y F x y 或定义 2
若对于固定
0,Yfy?y的,
概率论
)(
),()|(
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X
XY?
,xXY
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f x yP X x Y y F x y d x
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即类似地,可以定义
,yYX
X
f x yF y x d y
fx
概率论我们来解释一下定义的含义：
)(
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Y
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以 为例
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概率论
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Y
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,
概率论求 P{X>1|Y=y}.
例 2 设 (X,Y)的概率密度是
其它,0
0,0,
),(
yx
y
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yyx
解
1 | )|( dxyxf YX
为此,需求出
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1P X Y y
概率论由于于是对 y>0,
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故对 y >0,P{X>1|Y=y}
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概率论例 3 设 (X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为
其它,0
1,1),( 22 yxyxf
)|(| xyf XY求
1||,0
1||,1
2
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2
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X?
解 X的边缘密度为 xo
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概率论当 |x|<1时,有
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2
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X?
概率论
)|(| xyf XY
取其它值y
xyx
x
,0
11,
12
1 22
2
即 当 |x|<1 时,有
X作为已知变量这里是 y的取值范围
X已知的条件下
Y 的条件密度概率论例 4 设数 X 在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到 X=x
(0<x<1)时，数 Y在区间 (x,1)上随机地取值,求 Y 的概率密度,
解 依题意,X具有概率密度
其它,0
10,1
)(
x
xf X
对于任意给定的值 x (0<x<1),在 X=x 的条件下,Y
的条件概率密度为
其它,0
1,
1
1
)|(| yxxxyf XY
概率论
X 和 Y 的联合密度为
)|()(),( | xyfxfyxf XYX?
其它,0
10,
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yx
x
于是得 Y的概率密度为
dxyxfyf Y ),()(
其它,0
10),1ln (
1
1
0
y
yydx
x
已知边缘密度、
条件密度，求联合密度
xo
y
y
y
xy?1 y
概率论我们已经知道，
设 (X,Y)是连续型 r.v，若对任意的 x,y,有
)()(),( yfxfyxf YX?
则称 X,Y相互 独立,
由条件密度的定义：
可知，当 X与 Y相互独立时，
),()|(| yfxyf YXY?
也可用此条件判别二维连续型 r.v(X,Y)的两个分量 X与 Y是否相互独立,
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY?
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
)()|(| xfyxf XYX?
概率论对离散型 r.v有类似的结论，请同学们自行给出,
概率论三、课堂练习
1,对于二维正态分布，在已知 X= x 条件 下,求 Y
的条件分布,
2,设 (X,Y)的概率密度是
,0,,0,
ye x y x
f x y
其 它
| ( | )XYf x y求,
概率论
2
1
22
2
1
12
2
1 2 2
2
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1 1 ( )
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2121
( ) ( ) ( )
2
x μ
f x y
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σ σ σ
2
1
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2
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2
x μ
σ
Xf x eπ σ
1,对于二维正态分布，在已知 X= x 条件 下,求 Y
的条件分布,
解221 2 1 2,~,,,,,X Y N μ μ σ σ ρ设 则其概率密度为
X的边缘密度为概率论在 X= x 条件 下,Y 的条件概率密度为
,
X
f x y
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22
1
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1
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2
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1 1 ( )
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2121
( ) ( ) ( )
2
ρ x μ
σρπ σ ρ
x μ y μ y μ
ρ
σ σ σ
YXf y x?
概率论
2,设 (X,Y)的概率密度是
,0,,0,
ye x y x
f x y
其 它
| ( | )XYf x y求,
,0,0,0,
y
Y
y e yfy
y
( X,Y )关于 Y 的边缘概率密度为解概率论
XYf x y,
Y
f x y
fy
yx?
x
y
0
y
y
y
当 时,0y? 0,xy若
yXY yf x y yeye?
0,y y x若 或 0
0yXYf x y ye
综上 当 时,0y?
,0,0,.
y
XY
e x yf x y
其 它当 时,0y?
0Yfy?
暂时固定概率论这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布,请课下通过练习进一步掌握,
四、小结概率论五、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )
