概率论概率统计习题课 三概率论一、填空题
31,0,0,7P X Y 40,7PY0PX
m a x {,} 0 _ _ _ _ _,P X Y
设则解m a x,0 0,0,X Y X Y
{ m a x,0 }P X Y{ 0,0 }P X Y
因为所以
40,7PY0PX
30,7PY0PX
又因为 { ( 0 ) ( 0 ) }P X Y1 0,0P X Y47?
故 3 3 4{ 0,0 } 7 7 7P X Y27?
57
概率论
2,已知 的分布律为XY、
Y X 01
16a
13 b0
1
0X1XY且 与 独立,则 _ _ _,_ _ _ _,ab
解 { 0,1 }P X X Y{ 0,1 }P Ya?
0PX? { 0,0 }P X Y{ 0,1 }P X Y13a
{ 1 }P X Y { 0,1 }P X Y{ 1,0 }P X Yab
13 16
概率论
0X1XY因为 与 独立,所以
{ 0,1 }P X X Y0PX{ 1 }P X
即
a? 1()3a? ()ab?
11 1
36ab联立得到 11,.36ab
概率论二、选择题
1,已知 相互独立,且分布律为1X 2,X
( 1,2 )i?iX 01
1 2 1 2P
那么下列结论正确的是 _____.
12.A X X? 12,{ } 1B P X X
12,{ } 1 2C P X X.D 以上都不正确
C
概率论
12{}XX?解 12{ 0,0}XX12{ 1,1 }XX
因为 相互独立,1X 2,X 所以
1 2 1 2{ 0,0 } 0 0P X X P X P X14
1 2 1 2{ 1,1 } 1 1P X X P X P X14?
故 12{ } 1 2P X X
概率论
2,,XY设离散型随机变量 的联合分布律为
P
(,)XY (1,1)
α16
(1,2) (1,3) (2,1) (2,2)(2,3)
19 118 13 β
且 相互独立,则 _______.X,Y
,2 9,1 9A α β,1 9,2 9B α β
,1 6,1 6C α β,8 1 5,1 1 8D α β
A
概率论解 所以
{ 1,3 }P X Y1PX { 3PY
即 118?
1 1 1()
6 9 18
1()
18 β?
因为 相互独立,X,Y
又因为故 29α?
1 1 1 1 1
6 9 1 8 3α β
解得 19β?
1
3α β或者概率论
3.设211~,,XN μ σ222~,,YN μ σ那么的联合分布为 _____.
.A 二维正态分布,且 0ρ?
.B 二维正态分布,且 不定
ρ
未必是二维正态分布.C
.D 以上都不对
2
1
22
2
1
12
2
1 2 2
2
1 2 2
1 1 ( )
,e x p
2121
( ) ( ) ( )
2
x μ
f x y
σρπ σ σ ρ
x μ y μ x μ
ρ
σ σ σ
C
当 相互独立时,则 的联合分布为,
X,Y
A
X 和 Y
XY和概率论三、解答题
1,把一枚均匀硬币抛掷三次,设 X为三次抛掷中正面出现的次数,而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求 (X,Y) 的分布律与边缘分布,( X,Y ) 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P{X=0,Y=3}
P{X=1,Y=1}
P{X=2,Y=1}
P{X=3,Y=0}
YX 13
0 1 8
3 8 0
0
1
2
3
3 8 0
0 1 8
23 11
221
23 11
222
312? 1 8.?
=3/8
=3/8
312? 18?
解概率论
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
P{X=3}=
P{Y=1}=
P{Y=3}=
=1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}
=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}
=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}
P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.
3
0
,1
k
P X k Y
=3/8+3/8=6/8,
=1/8+1/8=2/8.
3
0
,3
k
P X k Y
(X,Y) 关于 X 的边缘分布
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布概率论
2,,XY设二维连续型随机变量 的联合分布函数为
,( a r c t a n ) ( a r c t a n )23xyF x y A B C
求 的值,1 A,B,C
2,XY求 的联合密度,
3 X,Y判断 的独立性,
概率论解,0,F,0,F
,0,F
由得到
( ) ( ) 022π πA B C
( ) ( ) 022π πA B C
( ) ( ) 122π πA B C
解得,2πBC21,A π?
1
概率论
,XF x F x21 ( a r c t a n ) ( )2 2 2 2π x π ππ
1 ( a r c t a n )
22
π x
π ()x
,YF y F y21 ( a r c t a n ) ( )2 3 2 2π y π ππ
1 ( a r c t a n )
23
π y
π ()y
,,XYF x y F x F y?可见
X,Y故 相互独立,
3
2,.x y R?
概率论
2
3
的联合密度为,XY
2,
,F x yf x y xy2 2 2649π xy
dyyxfxf X,
222
61
94 dyyπ x
22
2 [ ar c t an ]
34
y
π x
2
2
4π x
()x
概率论
222
61
49 dxxπ y
,Yf y f x y dx
22
3 [ ar c t an ]
29
x
π y
2
3
9π y
,XYf x y f x f y?可见
X,Y故 相互独立,
()y
2,.x y R?
概率论X,Y设 相互独立且服从,求方程[,]U b b?
2t t X Y = 0有实根的概率,并求当 时这b
概率的极限,
3.
解 相互独立且服从,X,Y [,]U b b? 所以
X,Y 的联合密度为 2
1
,| |,| |
,4
0,
x b y b
f x y b
其 它
2
4
XPY
,,D f x y d x d y
2
:,4xDy?其 中方程 有实根的概率为2t t X Y = 0
2 40P X Y
概率论
2 4yx
xb
2 4
xb
yb
4
4
x
y
0
2
4
xy?
b
b
1D
x
y
0 b2 b
2
4
xy?
2D
b
b? ()b?
概率论
4b?当 时,
2 40P X Y
1
,
D
f x y d x d y
1
2
1
4 D dxdyb
2 4
2
2 00
2 ()
4
bxb d x d y
b
1
2 2 4
b
4b
2
4
xy?
x
y
0
1D
b
概率论4b?
当 时,
2 40P X Y
2
,
D
f x y d x d y
2
2
1
4 D dxdyb
22
2
2 0
2 { [ ( 2 ) }
44
b xb b b b dx
b
21
3 b
x
y
0 b2 b
2
4
xy?
2D
b
概率论2
1
,0 4
2 24
40
2
1,4
3
b
b
P X Y
b
b
因而可见2lim 4 0
b P X Y2
lim 1 3
b b
1.?
概率论
4,设 (X,Y)的概率密度是
( 1 ),0 1,0(,)
0,
Ay x x y xf x y
其 它求 (1) A的值 (2) (X,Y)的分布函数 (3) 两个边缘密度,
A =24.
解 (1)
2
1,
R
f x y d x d y
故
yx?
x
y
0 1x
100 1xdx Ay x dy
1 23
0 ()2
A x x d x
24A?
概率论
,,yxF x y f x y d x d y
(,] (,]D x y积分区域区域,0f x y,0 1,0x y x y x
解 (2)
yx?
x
y
0 1x
0x?当 时,不论 还是,0y?0y? 都有,0,F x y?
(,)xy y
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
y
暂时固定概率论
0 1,0xy当 时,,0,F x y?
0 1,0x y x当 时,
0,2 4 1yx yF x y y d y x d x
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
y
23
2
024 [ ( ) ]22
y xyx y y dy
4 3 2 23 8 1 2 2,y y x x y
yx?
x
y
0 1(,)xyxy
概率论
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
1
y
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
y0 1,x y x当 时,
00,2 4 ( 1 )xxF x y x d x y d y
23
012 ( )
x x x dx
344 3,xx
1,1xy当 时,
100,2 4 ( 1 ) xF x y x d x y d y
1.?
概率论
(,)xy
xy
yx?
x
y
0 1
1
1,0 1xy当 时,yx?
x
y
0 1
1
y (,)xy
x
1
0,24 1
y
yF x y y dy x dx
3
2
024 ( )22
y yyy dy
4 3 23 8 6,y y y
1,0xy当 时,
,0,F x y?
概率论综上
,F x y
0,0 0xy或
0 1,0x y x4 3 2 23 8 1 2 2,y y x x y
4 3 23 8 6,y y y 1,0 1xy
0 1,x y x344 3,xx?
1,1xy1,
概率论解 dyyxfxf X,
0
0
,
,,.
X
x
x
f x f x y d y
f x y d y f x y d y
(3)
x x
y
0
yx?
1x x
x
1 0,,,
,0,0,X
x x y
f x y f x
或都 有 故当 时当 时,01x
暂时固定概率论
21 2 ( 1 ),xx
注意取值范围
0 24 ( 1 )
x y x dy
综上,
0
0
,
,,.
X
x
x
f x f x y d y
f x y d y f x y d y
当 时,01x
x
y
0
yx?
1x
x
21 2 1,0 1()
0,X
x x x
fx
其 它概率论解 (2) dxyxfyf Y,
,0,0,
,,,01
yfyxf
xyy
Y故都有对时或当
,,,
,
,10
1
1
dxyxfdxyxf
dxyxfyf
y
y
y
Y
时当
yx?
y
y
y
1
1y0
y
x
1 24 ( 1 )
y y x dx
21 2 1,yy
概率论综上,
注意取值范围
224 1,0 1()
0,Y
y y yfy
其 它概率论
5,设 (X,Y ) 的概率密度是
( 1 ),0 1,0(,)
0,
Ay x x y xf x y
其 它
(1) X 与 Y 是否相互独立?
(2) 求
(3) 求 概率密度,
;f y x f x y和
Z X Y
解 (1),XYf x y f x f y因为所以 X 与 Y 不独立,
概率论
(2)
,
X
f x yf y x
fx?
24 ( 1 ),0 1,0(,)
0,
y x x y xf x y
其 它
21 2 1,0 1()
0,X
x x xfx
其 它
01x当 时, 0.Xfx?
故
22,0 1,0
0,
y x x y x
其 它
x
y
0
yx?
1
暂时固定概率论
,
Y
f x yf x y
fy?
24 ( 1 ),0 1,0(,)
0,
y x x y xf x y
其 它
01y当 时, 0.Yfy?
故
21 2 1,0 1()
0,Y
y y yfy
其 它1
y
22 1 1,1,0 1
0,
x y y x y
其 它暂时固定
x
y
0
yx?
1y
概率论
(3)
Z=X+Y 的密度函数为
(,)Zf z f x z x d x
暂时固定
0 x 1
0 z -x x
0 x 1
x z 2 x
z x?
x
z
0 1
z2x?
概率论
01z当 时,
02zz或当 时, 0.Zfz?
z x?
x
z
0 1
z2x?
2
1
12z当 时,
z
z
1z2 2 4 ( z x ) ( 1 x )Zf z d x
zz2 2 4 ( z x ) ( 1 x )Zf z d x
概率论四、证明题在区间 [0,1]上随机地投掷两点,试证这两点间的距离的密度函数为
2 1,0 1()
0,
zzfz
其 它证明 设这两个随机点分别为 X,Y,则有
~ 0,1,XU~ 0,1,YU 于是 X,Y 的概率密度分别为 1,0 1
() 0,X xfx
其 它概率论
1,0 1()
0,Y
yfy
其 它所以 X,Y 的联合密度为因为 X,Y 相互独立,
1,0 1,0 1(,)
0,
xyf x y
其 它这两个随机点 X,Y 的距离为,||Z X Y
Z 的分布函数为
ZF z P Z z||P X Y z
暂时固定概率论
0z?当 时, 0,ZFz?
||
,Z
x y z
F z f x y dx dy
0z?当 时,
0z?当 时, 0,ZFz?
01z当 时,
211ZF z z
0.Zfz?
0.Zfz?
2 1,Zf z z
1
10
y
x
z
1
10
y
x
z
y x z
y x z
(1,1 )z?22 zz
概率论
1z?当 时,
1,ZFz 0.Zfz?
z
1
10
y
x
z
y x z
y x z
2 1,0 1()
0,
π zzfz
其 它综上
31,0,0,7P X Y 40,7PY0PX
m a x {,} 0 _ _ _ _ _,P X Y
设则解m a x,0 0,0,X Y X Y
{ m a x,0 }P X Y{ 0,0 }P X Y
因为所以
40,7PY0PX
30,7PY0PX
又因为 { ( 0 ) ( 0 ) }P X Y1 0,0P X Y47?
故 3 3 4{ 0,0 } 7 7 7P X Y27?
57
概率论
2,已知 的分布律为XY、
Y X 01
16a
13 b0
1
0X1XY且 与 独立,则 _ _ _,_ _ _ _,ab
解 { 0,1 }P X X Y{ 0,1 }P Ya?
0PX? { 0,0 }P X Y{ 0,1 }P X Y13a
{ 1 }P X Y { 0,1 }P X Y{ 1,0 }P X Yab
13 16
概率论
0X1XY因为 与 独立,所以
{ 0,1 }P X X Y0PX{ 1 }P X
即
a? 1()3a? ()ab?
11 1
36ab联立得到 11,.36ab
概率论二、选择题
1,已知 相互独立,且分布律为1X 2,X
( 1,2 )i?iX 01
1 2 1 2P
那么下列结论正确的是 _____.
12.A X X? 12,{ } 1B P X X
12,{ } 1 2C P X X.D 以上都不正确
C
概率论
12{}XX?解 12{ 0,0}XX12{ 1,1 }XX
因为 相互独立,1X 2,X 所以
1 2 1 2{ 0,0 } 0 0P X X P X P X14
1 2 1 2{ 1,1 } 1 1P X X P X P X14?
故 12{ } 1 2P X X
概率论
2,,XY设离散型随机变量 的联合分布律为
P
(,)XY (1,1)
α16
(1,2) (1,3) (2,1) (2,2)(2,3)
19 118 13 β
且 相互独立,则 _______.X,Y
,2 9,1 9A α β,1 9,2 9B α β
,1 6,1 6C α β,8 1 5,1 1 8D α β
A
概率论解 所以
{ 1,3 }P X Y1PX { 3PY
即 118?
1 1 1()
6 9 18
1()
18 β?
因为 相互独立,X,Y
又因为故 29α?
1 1 1 1 1
6 9 1 8 3α β
解得 19β?
1
3α β或者概率论
3.设211~,,XN μ σ222~,,YN μ σ那么的联合分布为 _____.
.A 二维正态分布,且 0ρ?
.B 二维正态分布,且 不定
ρ
未必是二维正态分布.C
.D 以上都不对
2
1
22
2
1
12
2
1 2 2
2
1 2 2
1 1 ( )
,e x p
2121
( ) ( ) ( )
2
x μ
f x y
σρπ σ σ ρ
x μ y μ x μ
ρ
σ σ σ
C
当 相互独立时,则 的联合分布为,
X,Y
A
X 和 Y
XY和概率论三、解答题
1,把一枚均匀硬币抛掷三次,设 X为三次抛掷中正面出现的次数,而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求 (X,Y) 的分布律与边缘分布,( X,Y ) 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P{X=0,Y=3}
P{X=1,Y=1}
P{X=2,Y=1}
P{X=3,Y=0}
YX 13
0 1 8
3 8 0
0
1
2
3
3 8 0
0 1 8
23 11
221
23 11
222
312? 1 8.?
=3/8
=3/8
312? 18?
解概率论
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
P{X=3}=
P{Y=1}=
P{Y=3}=
=1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}
=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}
=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}
P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.
3
0
,1
k
P X k Y
=3/8+3/8=6/8,
=1/8+1/8=2/8.
3
0
,3
k
P X k Y
(X,Y) 关于 X 的边缘分布
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布概率论
2,,XY设二维连续型随机变量 的联合分布函数为
,( a r c t a n ) ( a r c t a n )23xyF x y A B C
求 的值,1 A,B,C
2,XY求 的联合密度,
3 X,Y判断 的独立性,
概率论解,0,F,0,F
,0,F
由得到
( ) ( ) 022π πA B C
( ) ( ) 022π πA B C
( ) ( ) 122π πA B C
解得,2πBC21,A π?
1
概率论
,XF x F x21 ( a r c t a n ) ( )2 2 2 2π x π ππ
1 ( a r c t a n )
22
π x
π ()x
,YF y F y21 ( a r c t a n ) ( )2 3 2 2π y π ππ
1 ( a r c t a n )
23
π y
π ()y
,,XYF x y F x F y?可见
X,Y故 相互独立,
3
2,.x y R?
概率论
2
3
的联合密度为,XY
2,
,F x yf x y xy2 2 2649π xy
dyyxfxf X,
222
61
94 dyyπ x
22
2 [ ar c t an ]
34
y
π x
2
2
4π x
()x
概率论
222
61
49 dxxπ y
,Yf y f x y dx
22
3 [ ar c t an ]
29
x
π y
2
3
9π y
,XYf x y f x f y?可见
X,Y故 相互独立,
()y
2,.x y R?
概率论X,Y设 相互独立且服从,求方程[,]U b b?
2t t X Y = 0有实根的概率,并求当 时这b
概率的极限,
3.
解 相互独立且服从,X,Y [,]U b b? 所以
X,Y 的联合密度为 2
1
,| |,| |
,4
0,
x b y b
f x y b
其 它
2
4
XPY
,,D f x y d x d y
2
:,4xDy?其 中方程 有实根的概率为2t t X Y = 0
2 40P X Y
概率论
2 4yx
xb
2 4
xb
yb
4
4
x
y
0
2
4
xy?
b
b
1D
x
y
0 b2 b
2
4
xy?
2D
b
b? ()b?
概率论
4b?当 时,
2 40P X Y
1
,
D
f x y d x d y
1
2
1
4 D dxdyb
2 4
2
2 00
2 ()
4
bxb d x d y
b
1
2 2 4
b
4b
2
4
xy?
x
y
0
1D
b
概率论4b?
当 时,
2 40P X Y
2
,
D
f x y d x d y
2
2
1
4 D dxdyb
22
2
2 0
2 { [ ( 2 ) }
44
b xb b b b dx
b
21
3 b
x
y
0 b2 b
2
4
xy?
2D
b
概率论2
1
,0 4
2 24
40
2
1,4
3
b
b
P X Y
b
b
因而可见2lim 4 0
b P X Y2
lim 1 3
b b
1.?
概率论
4,设 (X,Y)的概率密度是
( 1 ),0 1,0(,)
0,
Ay x x y xf x y
其 它求 (1) A的值 (2) (X,Y)的分布函数 (3) 两个边缘密度,
A =24.
解 (1)
2
1,
R
f x y d x d y
故
yx?
x
y
0 1x
100 1xdx Ay x dy
1 23
0 ()2
A x x d x
24A?
概率论
,,yxF x y f x y d x d y
(,] (,]D x y积分区域区域,0f x y,0 1,0x y x y x
解 (2)
yx?
x
y
0 1x
0x?当 时,不论 还是,0y?0y? 都有,0,F x y?
(,)xy y
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
y
暂时固定概率论
0 1,0xy当 时,,0,F x y?
0 1,0x y x当 时,
0,2 4 1yx yF x y y d y x d x
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
y
23
2
024 [ ( ) ]22
y xyx y y dy
4 3 2 23 8 1 2 2,y y x x y
yx?
x
y
0 1(,)xyxy
概率论
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
1
y
yx?
x
y
0 1
(,)xy
x
y0 1,x y x当 时,
00,2 4 ( 1 )xxF x y x d x y d y
23
012 ( )
x x x dx
344 3,xx
1,1xy当 时,
100,2 4 ( 1 ) xF x y x d x y d y
1.?
概率论
(,)xy
xy
yx?
x
y
0 1
1
1,0 1xy当 时,yx?
x
y
0 1
1
y (,)xy
x
1
0,24 1
y
yF x y y dy x dx
3
2
024 ( )22
y yyy dy
4 3 23 8 6,y y y
1,0xy当 时,
,0,F x y?
概率论综上
,F x y
0,0 0xy或
0 1,0x y x4 3 2 23 8 1 2 2,y y x x y
4 3 23 8 6,y y y 1,0 1xy
0 1,x y x344 3,xx?
1,1xy1,
概率论解 dyyxfxf X,
0
0
,
,,.
X
x
x
f x f x y d y
f x y d y f x y d y
(3)
x x
y
0
yx?
1x x
x
1 0,,,
,0,0,X
x x y
f x y f x
或都 有 故当 时当 时,01x
暂时固定概率论
21 2 ( 1 ),xx
注意取值范围
0 24 ( 1 )
x y x dy
综上,
0
0
,
,,.
X
x
x
f x f x y d y
f x y d y f x y d y
当 时,01x
x
y
0
yx?
1x
x
21 2 1,0 1()
0,X
x x x
fx
其 它概率论解 (2) dxyxfyf Y,
,0,0,
,,,01
yfyxf
xyy
Y故都有对时或当
,,,
,
,10
1
1
dxyxfdxyxf
dxyxfyf
y
y
y
Y
时当
yx?
y
y
y
1
1y0
y
x
1 24 ( 1 )
y y x dx
21 2 1,yy
概率论综上,
注意取值范围
224 1,0 1()
0,Y
y y yfy
其 它概率论
5,设 (X,Y ) 的概率密度是
( 1 ),0 1,0(,)
0,
Ay x x y xf x y
其 它
(1) X 与 Y 是否相互独立?
(2) 求
(3) 求 概率密度,
;f y x f x y和
Z X Y
解 (1),XYf x y f x f y因为所以 X 与 Y 不独立,
概率论
(2)
,
X
f x yf y x
fx?
24 ( 1 ),0 1,0(,)
0,
y x x y xf x y
其 它
21 2 1,0 1()
0,X
x x xfx
其 它
01x当 时, 0.Xfx?
故
22,0 1,0
0,
y x x y x
其 它
x
y
0
yx?
1
暂时固定概率论
,
Y
f x yf x y
fy?
24 ( 1 ),0 1,0(,)
0,
y x x y xf x y
其 它
01y当 时, 0.Yfy?
故
21 2 1,0 1()
0,Y
y y yfy
其 它1
y
22 1 1,1,0 1
0,
x y y x y
其 它暂时固定
x
y
0
yx?
1y
概率论
(3)
Z=X+Y 的密度函数为
(,)Zf z f x z x d x
暂时固定
0 x 1
0 z -x x
0 x 1
x z 2 x
z x?
x
z
0 1
z2x?
概率论
01z当 时,
02zz或当 时, 0.Zfz?
z x?
x
z
0 1
z2x?
2
1
12z当 时,
z
z
1z2 2 4 ( z x ) ( 1 x )Zf z d x
zz2 2 4 ( z x ) ( 1 x )Zf z d x
概率论四、证明题在区间 [0,1]上随机地投掷两点,试证这两点间的距离的密度函数为
2 1,0 1()
0,
zzfz
其 它证明 设这两个随机点分别为 X,Y,则有
~ 0,1,XU~ 0,1,YU 于是 X,Y 的概率密度分别为 1,0 1
() 0,X xfx
其 它概率论
1,0 1()
0,Y
yfy
其 它所以 X,Y 的联合密度为因为 X,Y 相互独立,
1,0 1,0 1(,)
0,
xyf x y
其 它这两个随机点 X,Y 的距离为,||Z X Y
Z 的分布函数为
ZF z P Z z||P X Y z
暂时固定概率论
0z?当 时, 0,ZFz?
||
,Z
x y z
F z f x y dx dy
0z?当 时,
0z?当 时, 0,ZFz?
01z当 时,
211ZF z z
0.Zfz?
0.Zfz?
2 1,Zf z z
1
10
y
x
z
1
10
y
x
z
y x z
y x z
(1,1 )z?22 zz
概率论
1z?当 时,
1,ZFz 0.Zfz?
z
1
10
y
x
z
y x z
y x z
2 1,0 1()
0,
π zzfz
其 它综上
