例题精选例 1 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员,设共有 300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是 0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理,问至少应配备多少维修人员，
才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
我们先对题目进行分析：
300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01,一台设备故障一人来处理,
问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
300台设备，独立工作，每台出故障概率
p=0.01,可看作 n=300的贝努里概型,
X~b(n,p),n=300,p=0.01可见，
300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01,一台设备故障一人来处理,
问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
X~b(n,p),n=300,p=0.01
设需配备 N个维修人员,所求的是满足
P(X>N) < 0.01 或 P(X N) 0.99
的最小的 N.
解：设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
X~b(n,p),n=300,p=0.01
设需配备 N个维修人员,所求的是满足
P(X>N) < 0.01的最小的 N,
P(X>N)
kk
Nk
kC?

300
300
1
300 )99.0()01.0(

3 0 0
1
3
!
3
Nk
k
k
e
n大,p小,np=3,
用 =np=3
的泊松近似
λ
下面给出正式求解过程：

1
3
!
3
Nk
k
k
e
即至少需配备 8个维修人员,
查书末的泊松分布表得
N+1 9,? 即 N 8?
我们求满足

1
3
01.0
!
3
Nk
k
k
e 的最小的 N.
,0 0 3 8.0
!
3
9
3
k
k
k
e,012.0
!
3
8
3
k
k
k
e
例 2 X具有离散均匀分布，即
P(X=xi )=1/n,i=1,2,…,n，
x(1) x< x(2)时,F(x)=P(X x)=1/n,
x(2) x< x(3)时,F(x)=P(X x)=2/n,
显然,x < x(1)时,F(x)=P(X x)=0,?
解,将 X所取的 n个值按从小到大的顺序排列为：
求 X的分布函数,
x(1) x(2) … x (n)?

x(k) x< x(k+1)时,F(x)=P(X x)=k/n,

x x(n)时,F(x)=P(X x)=1
解,将 X所取的 n个值按从小到大的顺序排列为：
求 X的分布函数,
x(1) x(2) … x (n)?

例 2 X具有离散均匀分布，即
P(X=xi )=1/n,i=1,2,…,n，
于是得

),,(m a x,1
),,2,1(),,,(m in,
),,(m in,0
)(
1
1
1
n
jn
n
xxx
xk
njxxxx
n
k
xxx
xF

当个不大于恰有中且当当这个结果在数理统计中有用,
例 2 X具有离散均匀分布，即
P(X=xi )=1/n,i=1,2,…,n,求 X的分布函数,
例 3 设 r.v X 的密度函数为 f (x)


其它0,
11,1
2
)(
2 xx
xf? 求 F(x).
F(x) = P(X x) =
x dttf )(?
解：
求 F(x).
解,对 x < -1,F(x) = 0
x dttdtxF 1 21 120)(?
2
1a r c s in11 2 xxx

,11 x对对 x>1,F (x) = 1


其它,0
11,1
2
)(
2 xx
xf?


1,1
11,
2
1
a r c s in
1
1
1,0
)(
2
x
xxx
x
x
xF

即试说明 F(x)能否是某个 r.v的分布函数,
例 4 设有函数 F(x)

其它0
0s in
)(
xx
xF
解,注意到函数 F(x)在 上下降，
不满足性质 (1)，故 F(x)不能是分布函数,
],2[
不满足性质 (2),可见 F(x)也不 能是 r.v的分布函数,
或者
0)(lim)( xFF x
x dttfxF )()(
求 F(x).


其它,0
21,2
10,
)(~ xx
xx
xfX例 5 设由于 f(x)是分段表达的，求 F(x)时注意分段求,
x dttfxF )()(
=
0
1
x tdt0
x dttt d t 110 )2(
0?x
10 x
21 x
2?x
F(x)


其它,0
21,2
10,
)(~ xx
xx
xfX


2,1
21,
2
12
10,
2
0,0
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xF
即

11
10
00
2
x
xx
x
xF
,
,
,
)(
例 6 设 r.vX的分布函数为 (1) 求 X取值在区间
(0.3,0.7)的概率；
(2) 求 X的概率密度,
解,(1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
dx
xdF )((2) f(x)=
注意到 F(x)在 1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定 的值,)( xF? )( xF?

其它,0
10,2 xx
第二章 自测题一．随机变量 X 具有以下的分布律：
X --2 0 2 3
P 0.2 0.2 0.3 0.3
则
2
XY? 的分布律为
.___ __
二,已 知 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为
_ _ _ _ _ _ ;,,)(
||

AxAexf
x
X
系数 X 的分布函数
2
_ _ _ _ _ ;)( XYxF
X
的概率密度,_______
Y 0 4 9
P 0,2 0,5 0,3
5.0



05.01
05.0
xe
xexF
x
x
X



0
2
1
00
ye
y
y
yf yY
三．设随机变量 X 服从参数为 （ 2,P ）的二项分布，
随机变量 Y 服从参数 （ 3,P ）的二项分布，若
._ _ _ _}1{,
9
5
}1{ YPXP 则四．设,3.0)42(),,2(~ 2 XPNX 且?
,_____)0(XP则五,设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为
,,2,1,0,
!
)(
)( k
k
b
akXP
k
其中 0,b 是已知常数，则,_ _ _ _ _ _?a
27
19
2.0
be?