数理统计概率统计习题课八数理统计
1) 设
12
,,,
n
X X X 是来自正态总体
2
(,)N
的简单随机样本,? 和
2
均未知，记
1
1
n
i
i
XX
n
,
22
1
()
n
i
i
XX?
,则假设
0
:0H 的 t 检验使用统计量 T ＝
一,填空题,
1X n n
数理统计
)1(,1),1(~
nn
XT
nSntnS
XT 而解?
)1(~)1()1(,0 ntnnXnn XTH 则为真若数理统计一,填空题,
2 ） 设
1
1
m
i
i
XX
m
和
1
1
n
i
i
YY
n
分别来自两个正态总体
2
11
(,)N 和
2
22
(,)N 的样本均值，参数
1
,
2
未知，两正态总体相互独立，欲检验
22
0 1 2
:H,
应用 检验法，其检验统计量是F
2
1
2
1
1
()
1
1
()
1
m
i
i
n
i
i
XX
m
F
YY
n
数理统计一,填空题,
3 ）设总体
2
(,)XN,
2
, 为未知参数，
从 X 中抽取的容量为 n 的样本均值记为 X,
修正本标准差为
n
S,在显著性水平? 下，
检验假设
0
,80H,
1
,8 0H
的拒绝域为,在显著性水平
下，
检验假设
22
00
:H
（
0
已知），
2
1 1 0
:H
的拒绝域为数理统计
)1(
/
80
2/
nt
nS
X
)1(
)1(
)1(
)1(
2/1
2
2
0
2
2/
2
2
0
2
n
Sn
n
Sn
或数理统计二,选择题：
1) 在对单个正态总体均值的假设检验中，
当总体方差已知时，选用
（ A ） t 检验法 （ B ） Z 检验法
（ C ） F 检验法 （ D ）
2
检验法
B
数理统计二,选择题：
2) 在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有
（ A ） 样本值与样本容量 （ B ）显著性水平?
（ B ） （ C ）检验统计量 D ） A,B,C 同时成立
D
数理统计三,解答题1) 设某产品的某项质量指标服从正态分布，
已知它的标准差 150,现从一批产品中随机抽取了 26 个，测得该项指标的平均值为
1 6 3 7,问能否认为这批产品的该项指标值为
1 6 0 0 （
0,0 5
）？
数理统计
96.1,05.0,150,1637,26 025.0 zXn已知
1 6 0 0:,1 6 0 0,10 HH由题意需检验解拒绝域为
2
0
z
n
X
Z?
96.12 5 8.1
261 5 0
1 6 0 01 6 3 70
n
X
Z
0H接受假设
1600能认为该项指标为数理统计三,解答题
2) 某台机器加工某种零件，规定零件长度为 1 0 0 c m,
标准差不超过 2 c m,每天定时检查机器运行情况，某日抽取 10 个零件，测得平均长度 101X?
cm,样本标准差
2S?
cm,设加工的零件长度服从正态分布，问该日机器工作是否正常 （
0,0 5
）？
数理统计
05.0,2,10,101 SnX已知解需检验由题意 1 0 0:,1 0 0,10 HH
拒绝域
)9(
100
2?tnS
X
t?
26 22.25.110 0 nSXt
2622.2)9(2t
0H接受
（ 1）、
数理统计需检验由题意 4:,4,2
120 HH
拒绝域
)1(~)1( 22
2
2
nSn
)),1(( 2n
,9 1 9.16)9()1( 2 05.02 n
919.169)1( 2
2
2
Sn 0H接受
(2)、
.21 正常工作的证明可知，机器可以、由数理统计三,解答题3 ）从某锌矿的东西两支矿脉中，各取容量为 9 和
8 的样本分析后，计算其样本含锌量的平均值与方差分别为：东支：
2
11
0,2 3 0,0,1 3 3 7,9 ;x S n
西支,0.2 69,y?
2
2
0.173 6S?,
2
8;n? 假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，对
0,0 5
，问能否认为两支矿脉的含锌量相同？
数理统计解,设东支矿脉的含锌量为,，
西支矿脉的含锌量为,
(1)首先需检验假设：
当 成立时，检验统计量
拒绝域为
或
)1,1(~ 212
2
2
1 nnF
S
SF
01H
211(,)XN
2 2 22 2 1 2 1 2(,),,,,YNY
X
2 2 2 201 1 2 11 1 2:,:HH
)1,1( 212/ nnFF?
)1,1( 212/1 nnFF?
数理统计
对
计算得
由 F－分布表查得
因为 故接受假设,
即认为,2221
01H
53.4
1
)8,7(
178,90.4)7,8(
0 2 5.0
9 7 5.00 2 5.0 FFF ），（
1 4,9 0
4,5 3 F
7702.01736.0 1337.0F
.1 7 3 6.0,8,1 3 3 7.0,9 222211 snsn
数理统计
(2)检验假设
这属于,检验统计量为
检验的拒绝域为
计算得
查ｔ－分布表得
因,故接受假设,
即认为两支矿脉的含锌量相同。
0H2,1 3 1 5t?
,1315.2)15(025.0?t
218 0.017 1589173 6.07337.18 269.0230.0t
)2(~)2(
)1()1( 2121
2121
2
22
2
11
nnt
nn
nnnn
SnSn
YXT
21122102,,, HH
检验?t
)2( 212/ nntt?
数理统计四、证明题设总体
2
(,5 )XN? 在 0,0 5 的水平上检验
01
,0,,0HH,若所选取的拒绝域
1.96RX,试证样品容量 n 应取 25
为真由已知条件，若证明 0,H
)1,0(~ NnXZ
其拒绝域为,Z 2?z?
而题中知拒绝域
nnZ /596.1X 2即
96.1025.02 zz?
96.1 XR
96.1/596.1 n由此可知 25?n
1) 设
12
,,,
n
X X X 是来自正态总体
2
(,)N
的简单随机样本,? 和
2
均未知，记
1
1
n
i
i
XX
n
,
22
1
()
n
i
i
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,则假设
0
:0H 的 t 检验使用统计量 T ＝
一,填空题,
1X n n
数理统计
)1(,1),1(~
nn
XT
nSntnS
XT 而解?
)1(~)1()1(,0 ntnnXnn XTH 则为真若数理统计一,填空题,
2 ） 设
1
1
m
i
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XX
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和
1
1
n
i
i
YY
n
分别来自两个正态总体
2
11
(,)N 和
2
22
(,)N 的样本均值，参数
1
,
2
未知，两正态总体相互独立，欲检验
22
0 1 2
:H,
应用 检验法，其检验统计量是F
2
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数理统计一,填空题,
3 ）设总体
2
(,)XN,
2
, 为未知参数，
从 X 中抽取的容量为 n 的样本均值记为 X,
修正本标准差为
n
S,在显著性水平? 下，
检验假设
0
,80H,
1
,8 0H
的拒绝域为,在显著性水平
下，
检验假设
22
00
:H
（
0
已知），
2
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Sn
或数理统计二,选择题：
1) 在对单个正态总体均值的假设检验中，
当总体方差已知时，选用
（ A ） t 检验法 （ B ） Z 检验法
（ C ） F 检验法 （ D ）
2
检验法
B
数理统计二,选择题：
2) 在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有
（ A ） 样本值与样本容量 （ B ）显著性水平?
（ B ） （ C ）检验统计量 D ） A,B,C 同时成立
D
数理统计三,解答题1) 设某产品的某项质量指标服从正态分布，
已知它的标准差 150,现从一批产品中随机抽取了 26 个，测得该项指标的平均值为
1 6 3 7,问能否认为这批产品的该项指标值为
1 6 0 0 （
0,0 5
）？
数理统计
96.1,05.0,150,1637,26 025.0 zXn已知
1 6 0 0:,1 6 0 0,10 HH由题意需检验解拒绝域为
2
0
z
n
X
Z?
96.12 5 8.1
261 5 0
1 6 0 01 6 3 70
n
X
Z
0H接受假设
1600能认为该项指标为数理统计三,解答题
2) 某台机器加工某种零件，规定零件长度为 1 0 0 c m,
标准差不超过 2 c m,每天定时检查机器运行情况，某日抽取 10 个零件，测得平均长度 101X?
cm,样本标准差
2S?
cm,设加工的零件长度服从正态分布，问该日机器工作是否正常 （
0,0 5
）？
数理统计
05.0,2,10,101 SnX已知解需检验由题意 1 0 0:,1 0 0,10 HH
拒绝域
)9(
100
2?tnS
X
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26 22.25.110 0 nSXt
2622.2)9(2t
0H接受
（ 1）、
数理统计需检验由题意 4:,4,2
120 HH
拒绝域
)1(~)1( 22
2
2
nSn
)),1(( 2n
,9 1 9.16)9()1( 2 05.02 n
919.169)1( 2
2
2
Sn 0H接受
(2)、
.21 正常工作的证明可知，机器可以、由数理统计三,解答题3 ）从某锌矿的东西两支矿脉中，各取容量为 9 和
8 的样本分析后，计算其样本含锌量的平均值与方差分别为：东支：
2
11
0,2 3 0,0,1 3 3 7,9 ;x S n
西支,0.2 69,y?
2
2
0.173 6S?,
2
8;n? 假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，对
0,0 5
，问能否认为两支矿脉的含锌量相同？
数理统计解,设东支矿脉的含锌量为,，
西支矿脉的含锌量为,
(1)首先需检验假设：
当 成立时，检验统计量
拒绝域为
或
)1,1(~ 212
2
2
1 nnF
S
SF
01H
211(,)XN
2 2 22 2 1 2 1 2(,),,,,YNY
X
2 2 2 201 1 2 11 1 2:,:HH
)1,1( 212/ nnFF?
)1,1( 212/1 nnFF?
数理统计
对
计算得
由 F－分布表查得
因为 故接受假设,
即认为,2221
01H
53.4
1
)8,7(
178,90.4)7,8(
0 2 5.0
9 7 5.00 2 5.0 FFF ），（
1 4,9 0
4,5 3 F
7702.01736.0 1337.0F
.1 7 3 6.0,8,1 3 3 7.0,9 222211 snsn
数理统计
(2)检验假设
这属于,检验统计量为
检验的拒绝域为
计算得
查ｔ－分布表得
因,故接受假设,
即认为两支矿脉的含锌量相同。
0H2,1 3 1 5t?
,1315.2)15(025.0?t
218 0.017 1589173 6.07337.18 269.0230.0t
)2(~)2(
)1()1( 2121
2121
2
22
2
11
nnt
nn
nnnn
SnSn
YXT
21122102,,, HH
检验?t
)2( 212/ nntt?
数理统计四、证明题设总体
2
(,5 )XN? 在 0,0 5 的水平上检验
01
,0,,0HH,若所选取的拒绝域
1.96RX,试证样品容量 n 应取 25
为真由已知条件，若证明 0,H
)1,0(~ NnXZ
其拒绝域为,Z 2?z?
而题中知拒绝域
nnZ /596.1X 2即
96.1025.02 zz?
96.1 XR
96.1/596.1 n由此可知 25?n
