概率论第四节 矩、协方差矩阵原点矩 中心矩协方差矩阵
n 元正态分布的概率密度小结 布置作业概率论一,原点矩 中心矩定义 设 X和 Y是随机变量，若
,2,1),(?kXE k
存在，称它为 X的 k阶原点矩,简称 k阶矩
,3,2},)]({[ kXEXE k若存在，称它为 X的 k阶中心矩可见，均值 E（ X） 是 X一阶原点矩，方差 D（ X）
是 X的二阶中心矩。
概率论协方差 Cov(X,Y)是 X和 Y的 二阶混合中心矩,
称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩,
若 })]([)]({[
Lk YEYXEXE 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩,
)( Lk YXE
设 X 和 Y 是随机变量，若
k,L=1,2,… 存在，
可见，
概率论二,协方差矩阵将二维随机变量（ X1,X2）的四个二阶中心矩
})]({[ 21111 XEXEc
)]}()][({[ 221112 XEXXEXEc
排成矩阵的形式,
)]}()][({[ 112221 XEXXEXEc
})]({[ 22222 XEXEc
称此矩阵为 （ X1,X2）的协方差矩阵,


2221
1211
cc
cc
这是一个对称矩阵概率论类似定义 n 维随机变量 (X1,X2,…,Xn) 的协方差矩阵,
为 (X1,X2,…,Xn) 的 协方差矩阵都存在,
( i,j=1,2,…,n )
),( jiji XXC o vc?若
)]}()][({[ jjii XEXXEXE
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C

21
22221
11211
矩阵称概率论三,n 元正态分布的概率密度
)}()(21e x p {||)2( 1 1212 XCXCnf (x1,x2,…,xn)
则称 X 服从 n 元正态分布,
其中 C是 (X1,X2,…,Xn) 的协方差矩阵,
|C|是它的行列式,表示 C的逆矩阵，1?C
X 和 是 n 维列向量,表示 X 的转置,
X?
设 =(X1,X2,…,Xn)是一个 n维随机向量,
若它的概率密度为
X?
概率论
n元 正态分布的几条重要性质
1,X=(X1,X2,…,Xn)服从 n元正态分布
a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 均服从正态分布,
对一切不全为 0的实数 a1,a2,…,an，
概率论若 X=(X1,X2,…,Xn) 服从 n 元正态分布,
Y1,Y2,…,Yk是 Xj（ j=1,2,…,n） 的线性函数,
则 (Y1,Y2,…,Yk) 也服从多元正态分布,
2,正态变量的线性变换不变性,
3,设 (X1,X2,…,Xn)服从 n元正态分布,则
“X1,X2,…,Xn相互独立,
等价于
“X1,X2,…,Xn两两不相关,
概率论例 设随机变量 X和 Y相互独立且 X~N(1,2),
Y~N(0,1),试求 Z=2X-Y+3的概率密度,
故 X 和 Y 的联合分布为正态分布,X 和 Y 的任意线性组合是正态分布,
解,X~N(1,2),Y~N(0,1),且 X 与 Y 独立,
D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
即 Z~N(E(Z),D(Z))
概率论故 Z 的概率密度是
,
23
1)( 18 )5(
2?
z
Z ezf?
z
Z~N(5,32)
概率论四、小结在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵,
一般地,维随机变量的分布是不知道的,
或者太复杂,以至于在数学上不易处理,因此在实际中协方差矩阵就显得重要了,
概率论五,布置作业一、填空题第 1小题
,概率论与数理统计,作业（四）
二、选择题第 1,2小题三、解答题第 1,2,3,4小题