数理统计第二节 样本及抽样分布统计量与经验分布函数统计三大抽样分布几个重要的抽样分布定理课堂练习小结 布置作业数理统计由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行,加工,,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的 （ 某一方面 ） 的信息集中起来,
1,统计量这种 不含任何未知参数的样本的函数称为统计量,它是完全由样本决定的量,
一、统计量与经验分布函数数理统计定义
.
),,,(
,,,),,,(
,,,
21
2121
21
个统计量称是一中不含未知参数，则的函数，若是的一个样本，是来自总体设
n
nn
n
XXXg
gXXXXXXg
XXXX
请注意,
.),,X(
),,(,
,,,,,X
21
21
2121
的观察值计量也是统则是一个样本的观察值的一个样本是来自总体设
n
nn
n
XXg
xxxgx
xxXXX
数理统计几个常见统计量样本平均值
n
i
iXnX
1
1
它反映了总体均值的信息样本方差
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
它反映了总体方差的信息
n
i i
XnXn
1
22
1
1
样本标准差
n
i i
XXnS
1
2)(
1
1
数理统计
n
i
k
ik XnA
1
1 它反映了总体 k 阶矩的信息样本 k阶原点矩样本 k阶中心矩
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
k=1,2,…
它反映了总体 k 阶中心矩的信息数理统计统计量的观察值
,2,1)(
1
1
,2,1
1;)(
1
1
)(
1
1;
1
1
11
2
1
2
1
2
kxx
n
b
kx
n
xx
n
s
xx
n
sx
n
x
n
i
k
ik
n
i
k
ik
n
i
i
n
i
i
n
i
i
数理统计请注意,
.,2,1
1
)(
1
kX
n
A
nXEkX
kp
n
i
k
ik
kk 时，存在，则当阶矩的若总体
.
),,,(),,,( 2121
为连续函数其中可将上述性质推广为由依概率收敛性质知，再
g
gAAAg kpk
.根据这就是矩估计法的理论
.,,2,1
)(,,,,
,,,
21
21
上述结论再由辛钦大数定律可得同分布独立且与有同分布，独立且与由事实上
nk
XEXXXX
XXXX
kk
i
kk
n
kk
n
数理统计
2,经验分布函数
.,,,
)(,,,
21
21
的随机变量的个数中不大于表示的一个样本，用是总体设
xxxx
xxsFXXX
n
n
xxs
n
xF n )(
1
)(
经验分布函数为定义
2,1
21,
3
2
1,0
)(
)(
211
3
3
x
x
x
xF
xF
F
若若若的观察值为
，则经验分布函数，，具有一个样本值设总体例数理统计
)1,,2,1(
,1
,,
,0
)(
)(
.
,,,
)(
)1()(
)1(
)()2()1(
21
nk
xx
xxx
n
k
xx
xF
xF
xxx
nxxx
n
kkn
n
n
n
若若若的观察值为则经验分布函数如下：将它们按大小次序排列值的样本是总体的一个容量为一般，设经验分布函数请看演示数理统计二、统计三大抽样分布
)(~ 22 n记为
2? 分布1、
定义,设 相互独立,都服从正态分布
N(0,1),则称随机变量：
所服从的分布为 自由度为 n 的 分布,
nXXX,,,21?
22
2
2
1
2
nXXX
2?
2? 分布是由正态分布派生出来的一种分布,
2 分布请看演示数理统计
2? 分布的密度函数为
00
0
)2(2
1
);(
2
1
2
2
x
xex
nnxf
xn
n
来定义,
其中伽玛函数 通过积分
0,)(
0
1 xdttex xt
)(x?
注
.2,
2
~.2,
2
1
~
),1(~.2,
2
1
)1(
1
222
222
n
XX
X
n
i
ii
i
可加性知再由即由定义分布就是已知数理统计
),,( 2N
1,设 相互独立,都服从正态分布
nXXX,,,21?
则
)(~)(1 2
1
2
2
2 nX
n
i
i
).(~ 21221 nnXX则
),(~),(~ 222121 nXnX
这个性质叫 分布的可加性,2?
分布的性质2?
,),(~ 22 充分大时则当 nn3．若 的分布nnX 2?
近似正态分布 N(0,1).
(应用中心极限定理可得 )
2．设 且 X1,X2相互独立，
数理统计
E(X)=n,D(X)=2n.
,),(~,222 分布的数学期望与方差若４ n
1)()(),1,0(~ 2 iii XDXENX 故事实上，由
213)]([)()( 2242 iii XEXEXD
.2)()(,)()(
1
22
1
22 nXDDnXEE n
i i
n
i i
数理统计分布的分位点2.5?
)(22 2 )()( n dyyfnP
,10,对于给定的正数称满足条件
.3 8 2.34)25(
)(.
)()(
2
0,1
2
22
可通过查表求，例如图所示分位点，分布的上为的点
n
nn
)(2 n
数理统计概率密度函数为：
tntnn nth
n
2
12
)1()2( ]2)1[()(
定义,设 X～ N(0,1),Y～,且 X与 Y相互独立,则称变量
nY
Xt?
所服从的分布为 自由度为 n的 t 分布,
)(2 n?
2,t 分布
).(~ ntt记为 分布的分布又称为学生氏分布 )(,ntt
数理统计分布的性质：t
)2()2()(,0)(
),(~.1
nnntDtE
ntttn
与方差为：
其数学期望分布的具有自由度为
.
2
1
)(lim
,.0.2
2
2
t
n
eth
ntt
函数的性质有由再分布概率密度的图形，其图形近似于标准正态充分大时当对称分布的密度函数关于
).1,0(~ Ntn 近似足够大时，即当数理统计
..)()( 如图所示分位点分布的上为的点 ntnt
)(nt?
)( )()( nt dtthnttp
称满足条件，对于给定的分布的分位点
,10
.3
t
数理统计
)(nt?
)()(1 ntnt
t
分位点的性质：分布的上
.1 31 5.2)15(
)(
025.0?
t
ntt
求得，例可查表分位点分布的上
znt
n
)(
45 的值，可用正态近似时，对于常用的当请看演示 t 分布数理统计由定义可见，
3,F分布
1
21
nU
nV
F? ~F(n2,n1)
),(~),(~ 2212 nVnU定义,设 U 与 V 相互独立，则称随机变量服从 自由度为 n1及 n2 的 F分布,n1称为 第自由度,n2称为 第二自由度,记作
2
1
nV
nUF?
F~F(n1,n2),
数理统计即它的数学期望并不依赖于第一自由度 n1.
00
01)()(
)()(
)(
)(
22
22
2
21
2
1
1
2
11
2
1
21
21
y
yyyy
nn
n
n
n
n
n
nn
nn n
1.F分布的数学期望为,
2)( 2
2
n
nFE
若 n2>2
若 F~F(n1,n2),F的概率密度为分布的性质F
数理统计
),( 21 nnF?
2.F分布的分位数称满足条件，对于给定的,10
),(21 21 )(),( nnF dyynnFFp
..),(),( 2121 如图所示分位点分布的上为的点 nnFnnF
分位点的性质：分布的上?F
),(
1),(
12
211 nnFnnF
357.0
80.2
1
)12,9(
1
)9,12(
,.
05.0
95.0
F
F
F 例分位点可查表求得分布的上数理统计三、几个重要的抽样分布定理有和样本方差则样本均值来自总体的一个样本，
是，，方差为的均值为设总体
2
21
2,,,X
SX
XXX n
2
( ),
( ),
EX
D X n
22 )(SE
数理统计当总体为 正态分布 时，给出几个重要的抽样分布定理,
n
i i
XnXnEsE
1
222
1
1)(事实上
n
i i
XnEXEn
1
22 )()(
1
1
2
1
2222
1
1
n
i
nnn
数理统计定理 1 (样本均值的分布 )
设 X1,X2,…,Xn 是来自正态总体 ),( 2N
的样本,是样本均值，则有
),(~
2
nNX
)1,0(~ NnX即
X
数理统计
01~ (,)X N
n
n取不同值时样本均值 的分布X
请注意,
.X
2
本均值可用本定理计算样时，，在已知总体
),(~
2
nNX
数理统计定理 2 (样本方差的分布 )
)1(~)1()1( 22
2
nSn?
设 X1,X2,…,Xn是来自正态总体 ),( 2N 的样本,
2SX和 分别为样本均值和样本方差,则有
.)2( 2 独立与 SX
n取不同值时的分布
2
2)1(
Sn?
数理统计定理 3 (样本均值的分布 )
设 X1,X2,…,Xn是取自正态总体 ),( 2N
的样本,2SX和 分别为样本均值和样本方差,
则有
)1(~ nt
nS
X?
且相互独立分布的定义可得、由定理证
)1(~
)1(
,)1,0(~
t2,1
2
2
2
n
Sn
N
n
X
)1(~)1( 2
2
ntSnnX则
.X2 本均值时，可用本定理计算样，在未知总体
数理统计定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布 )
)2(~
11
2
)1()1(
)(
2 21
2121
2
22
2
11
21
nnt
nnnn
SnSn
YX
、
，，设 ),(~),(~ 2221 NYNX
YX和 分别是这两个样本的且 X与 Y独立,
X1,X2,…,
1nX
是来自 X的样本,是取自 Y的样本,
这两个样本的样本方差,则有
2221 SS 和
Y1,Y2,…,
2nY
样本均值,分别是
)1,1(~1 212
2
2
2
2
1
2
1
nnF
S
S、
数理统计四、例题例 1
.57.522
)1(.5.12,25
),,12(
2
2
S
X
NX
未止，但已知样本方差）；（知已如果的概率大于求样本均值的样本抽取容量为服从正态分布设总体解
2512
125.12
2512
125.12)1( XPXP
10 6 3.0)25.1(125.14.0 12 XP
059.1255.1225125.12)2(
TP
SS
XPXP
,15.05.12.15.0059.1
,059.1)24(,24 15.0
XPTP
tt
故有即分布表的查自由度为数理统计例 2
.85.2)(2;401
.,,)5.0,(
10
1
2
10
1
2
101
2
i
i
i
i
XXp
Xp
XXN
）未知，求概率（
，求概率）已知（
中抽取样本从正态总体?
解
)10(~
5.0
1
)1,0(~5.00)1(
2
10
1
2
2
2
i
i
i
XY
NX,则有，由
165.0 45.0 14 210
1 2
2
2
10
1
2
YpXpXp
i ii i
数理统计
.10.04.16)10( 10
1
22
10.0
i i
Xp由此可得查表求
)9(~)(
5.0
1
5.0
9
2)2(
22
10
1
22
2
i
i XX
S
Z
，由题设及定理
10
1 2
2
2
10
1
2
5.0
85.2)(
5.0
185.2)(
i ii i
XXpXXp
4.112 ZP
由此可求得查表得,4.11)9(2 25.0
.25.085.2)(10
1
2?
i i
XXp
数理统计例 3
).()(),(2
,,1
,,)(
2
1
1
SEXDXE
XX
XX
n
n
和）计算（
的概率分布；）写出（
是一个样本：，设总体服从泊松分布
解 0,,2,1,01
i
i
x
ii xexxXP
i
）由于（
的概率分布为因此样本 nXX,,1?
n
i
n
i
i
x
n
i
x
xee
x
n
i
ii
1 1
!1
n
i ii
xXP
1
数理统计例 4
.
)()(
,,6
)1,0(~
2
2
654
2
321
621
分布服从，使随机变量试决定常数设，的样本量为，从此总体中取一个容若总体
CYC
XXXXXXY
XXX
NX
nn
XD
XD
XEXEXDXE
)(
)(
,)()(,)()()2( 则有由于，
n
i i
XXnESE
1
22 )(
1
1)(
数理统计
)2(~
333
1 2
2
321
2
321
2
XXXXXX
Y
分布的性质可知由
.31?C故解
)1,0(~
3
)3,0(~
321
321
N
XXX
NXXX
所以因为
)1(~3 2
2
321
XXX从而
)1(~3 2
2
654
XXX同理可知数理统计五、课堂练习
,10),,,,m i n (;15),,,,m a x (2
11
.,,5)4,12(1
54321
54321
51
XXXXXP
XXXXXP
XXN
）求概率（
的概率；值之差的绝对值大于）求样本均值与总体均（
的样本中随机抽一容量为、在总体?
不是统计量，为什么？
哪些之中哪些是统计量试指出的简单随机样本是来自数，
是未知参，其中服从两点分布、设总体
,)(,2,m a x,
.,,
),1(2
2
155
51
2151
XXpXX
XXXXX
ppbX
i
i
数理统计
.
.,,5
10
3
2
51
的期望值样本的方差和并求样本的均值的和分布的样本容量为表示取到黑球，求表示取到白球，取球，令的个黑球的罐子里有放回、从装有一个白球，两
S
XXX
XX
数理统计解 1
2 6 2 8.05222
52521
52
1
52
12
52
1
1112
),
5
4
,12(~)1(
X
PXP
BX 有由数理统计
5 7 8 5.0)1(1)1(11
2
1210
2
12
11101
10,10,10,10,101
10),,,,m i n (1
10),,,,m i n ()3(
5
5
1
5
1
5
1
54321
54321
54321
i
i
i
i
i
X
PXP
XXXXXP
XXXXXP
XXXXXP
解 2
.2
)(,m a x,
5
2
155121
是未知数）不是统计量（因为都是统计量，但
ppX
XXXXX i
i
数理统计解 3
.
9
2
)(,
3
2
)(
5,4,3,2,1,
9
2
)(,
3
2
)(
5,4,3,2,1,
3
2
3
2
)
3
2
,5(~,
)
3
2
,1(
2
5
5
54321
SEXE
iXDXE
kCkYP
bYXXXXXY
bX
ii
kk
k
i
有由其分布律为则令分布相互独立且都服从两点数理统计六、小结在这一节中我们学习了统计量的概念,几个重要的统计量及其分布,即抽样分布,要求大家熟练地掌握它们,
数理统计常用的统计量样本平均值 ni iXnX 11
样本方差?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
样本标准差
n
i i
XXnS
1
2)(
1
1
样本 k阶原点矩?
n
i
k
ik XnA
1
1
样本 k阶中心矩?
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
数理统计抽样分布分布2?
).(~
,
)1,0(,,,
22
2
1
22
1
n
nX
NXX
n
i
i
n
记为分布的服从自由度为则称随机变量
，且均服从正态分布相互独立设?
t 分布 ).(~
),(~)1,0(~ 2
ntttn
nY
X
t
YXnYNX
分布，记为的服从自由度为随机变量相互独立，则称与且，设
F分布
).,(~
,,
),(~)(~
21
21
2
1
2
2
1
2
nnFF
nn
nV
nU
F
VUnVnU
记为
）的分布服从自由度为（随机变量相互独立，则称与，设
数理统计抽样分布定理样本均值的分布
).,(~
,,),(~
2
1
2
nNXX
XXXNX n
有则样本均值的样本，是来自总体，设?
样本方差、均值的分布方差，则有分别是样本均值和样本的样本，是来自总体设 221,),(,,SXNxX n
)1(~)1()1( 22
2
nSn?
,)2(
2 独立与 SX
)1(~)3( ntnSX
数理统计两总体样本均值差、样本方差比的分布
)1,1(~1 212
2
2
2
2
1
2
1
nnF
S
S、
)2(~
11
2
)1()1(
)(
2 21
2121
2
22
2
11
21
nnt
nnnn
SnSn
YX
、
的样本方差，则有分别是这两个样本值；是这两个样本的样本均分别相互独立的样本，且这两个样本和分别来自总体与设
2
2
2
1
2
22
2
1111
,
,.),(
),(,,,,
21
SS
YXN
NYYXX
nn
数理统计概率论与数理统计标准化作业 (五 )
七、布置作业
1,统计量这种 不含任何未知参数的样本的函数称为统计量,它是完全由样本决定的量,
一、统计量与经验分布函数数理统计定义
.
),,,(
,,,),,,(
,,,
21
2121
21
个统计量称是一中不含未知参数，则的函数，若是的一个样本，是来自总体设
n
nn
n
XXXg
gXXXXXXg
XXXX
请注意,
.),,X(
),,(,
,,,,,X
21
21
2121
的观察值计量也是统则是一个样本的观察值的一个样本是来自总体设
n
nn
n
XXg
xxxgx
xxXXX
数理统计几个常见统计量样本平均值
n
i
iXnX
1
1
它反映了总体均值的信息样本方差
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
它反映了总体方差的信息
n
i i
XnXn
1
22
1
1
样本标准差
n
i i
XXnS
1
2)(
1
1
数理统计
n
i
k
ik XnA
1
1 它反映了总体 k 阶矩的信息样本 k阶原点矩样本 k阶中心矩
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
k=1,2,…
它反映了总体 k 阶中心矩的信息数理统计统计量的观察值
,2,1)(
1
1
,2,1
1;)(
1
1
)(
1
1;
1
1
11
2
1
2
1
2
kxx
n
b
kx
n
xx
n
s
xx
n
sx
n
x
n
i
k
ik
n
i
k
ik
n
i
i
n
i
i
n
i
i
数理统计请注意,
.,2,1
1
)(
1
kX
n
A
nXEkX
kp
n
i
k
ik
kk 时，存在，则当阶矩的若总体
.
),,,(),,,( 2121
为连续函数其中可将上述性质推广为由依概率收敛性质知，再
g
gAAAg kpk
.根据这就是矩估计法的理论
.,,2,1
)(,,,,
,,,
21
21
上述结论再由辛钦大数定律可得同分布独立且与有同分布，独立且与由事实上
nk
XEXXXX
XXXX
kk
i
kk
n
kk
n
数理统计
2,经验分布函数
.,,,
)(,,,
21
21
的随机变量的个数中不大于表示的一个样本，用是总体设
xxxx
xxsFXXX
n
n
xxs
n
xF n )(
1
)(
经验分布函数为定义
2,1
21,
3
2
1,0
)(
)(
211
3
3
x
x
x
xF
xF
F
若若若的观察值为
，则经验分布函数，，具有一个样本值设总体例数理统计
)1,,2,1(
,1
,,
,0
)(
)(
.
,,,
)(
)1()(
)1(
)()2()1(
21
nk
xx
xxx
n
k
xx
xF
xF
xxx
nxxx
n
kkn
n
n
n
若若若的观察值为则经验分布函数如下：将它们按大小次序排列值的样本是总体的一个容量为一般，设经验分布函数请看演示数理统计二、统计三大抽样分布
)(~ 22 n记为
2? 分布1、
定义,设 相互独立,都服从正态分布
N(0,1),则称随机变量：
所服从的分布为 自由度为 n 的 分布,
nXXX,,,21?
22
2
2
1
2
nXXX
2?
2? 分布是由正态分布派生出来的一种分布,
2 分布请看演示数理统计
2? 分布的密度函数为
00
0
)2(2
1
);(
2
1
2
2
x
xex
nnxf
xn
n
来定义,
其中伽玛函数 通过积分
0,)(
0
1 xdttex xt
)(x?
注
.2,
2
~.2,
2
1
~
),1(~.2,
2
1
)1(
1
222
222
n
XX
X
n
i
ii
i
可加性知再由即由定义分布就是已知数理统计
),,( 2N
1,设 相互独立,都服从正态分布
nXXX,,,21?
则
)(~)(1 2
1
2
2
2 nX
n
i
i
).(~ 21221 nnXX则
),(~),(~ 222121 nXnX
这个性质叫 分布的可加性,2?
分布的性质2?
,),(~ 22 充分大时则当 nn3．若 的分布nnX 2?
近似正态分布 N(0,1).
(应用中心极限定理可得 )
2．设 且 X1,X2相互独立，
数理统计
E(X)=n,D(X)=2n.
,),(~,222 分布的数学期望与方差若４ n
1)()(),1,0(~ 2 iii XDXENX 故事实上，由
213)]([)()( 2242 iii XEXEXD
.2)()(,)()(
1
22
1
22 nXDDnXEE n
i i
n
i i
数理统计分布的分位点2.5?
)(22 2 )()( n dyyfnP
,10,对于给定的正数称满足条件
.3 8 2.34)25(
)(.
)()(
2
0,1
2
22
可通过查表求，例如图所示分位点，分布的上为的点
n
nn
)(2 n
数理统计概率密度函数为：
tntnn nth
n
2
12
)1()2( ]2)1[()(
定义,设 X～ N(0,1),Y～,且 X与 Y相互独立,则称变量
nY
Xt?
所服从的分布为 自由度为 n的 t 分布,
)(2 n?
2,t 分布
).(~ ntt记为 分布的分布又称为学生氏分布 )(,ntt
数理统计分布的性质：t
)2()2()(,0)(
),(~.1
nnntDtE
ntttn
与方差为：
其数学期望分布的具有自由度为
.
2
1
)(lim
,.0.2
2
2
t
n
eth
ntt
函数的性质有由再分布概率密度的图形，其图形近似于标准正态充分大时当对称分布的密度函数关于
).1,0(~ Ntn 近似足够大时，即当数理统计
..)()( 如图所示分位点分布的上为的点 ntnt
)(nt?
)( )()( nt dtthnttp
称满足条件，对于给定的分布的分位点
,10
.3
t
数理统计
)(nt?
)()(1 ntnt
t
分位点的性质：分布的上
.1 31 5.2)15(
)(
025.0?
t
ntt
求得，例可查表分位点分布的上
znt
n
)(
45 的值，可用正态近似时，对于常用的当请看演示 t 分布数理统计由定义可见，
3,F分布
1
21
nU
nV
F? ~F(n2,n1)
),(~),(~ 2212 nVnU定义,设 U 与 V 相互独立，则称随机变量服从 自由度为 n1及 n2 的 F分布,n1称为 第自由度,n2称为 第二自由度,记作
2
1
nV
nUF?
F~F(n1,n2),
数理统计即它的数学期望并不依赖于第一自由度 n1.
00
01)()(
)()(
)(
)(
22
22
2
21
2
1
1
2
11
2
1
21
21
y
yyyy
nn
n
n
n
n
n
nn
nn n
1.F分布的数学期望为,
2)( 2
2
n
nFE
若 n2>2
若 F~F(n1,n2),F的概率密度为分布的性质F
数理统计
),( 21 nnF?
2.F分布的分位数称满足条件，对于给定的,10
),(21 21 )(),( nnF dyynnFFp
..),(),( 2121 如图所示分位点分布的上为的点 nnFnnF
分位点的性质：分布的上?F
),(
1),(
12
211 nnFnnF
357.0
80.2
1
)12,9(
1
)9,12(
,.
05.0
95.0
F
F
F 例分位点可查表求得分布的上数理统计三、几个重要的抽样分布定理有和样本方差则样本均值来自总体的一个样本，
是，，方差为的均值为设总体
2
21
2,,,X
SX
XXX n
2
( ),
( ),
EX
D X n
22 )(SE
数理统计当总体为 正态分布 时，给出几个重要的抽样分布定理,
n
i i
XnXnEsE
1
222
1
1)(事实上
n
i i
XnEXEn
1
22 )()(
1
1
2
1
2222
1
1
n
i
nnn
数理统计定理 1 (样本均值的分布 )
设 X1,X2,…,Xn 是来自正态总体 ),( 2N
的样本,是样本均值，则有
),(~
2
nNX
)1,0(~ NnX即
X
数理统计
01~ (,)X N
n
n取不同值时样本均值 的分布X
请注意,
.X
2
本均值可用本定理计算样时，，在已知总体
),(~
2
nNX
数理统计定理 2 (样本方差的分布 )
)1(~)1()1( 22
2
nSn?
设 X1,X2,…,Xn是来自正态总体 ),( 2N 的样本,
2SX和 分别为样本均值和样本方差,则有
.)2( 2 独立与 SX
n取不同值时的分布
2
2)1(
Sn?
数理统计定理 3 (样本均值的分布 )
设 X1,X2,…,Xn是取自正态总体 ),( 2N
的样本,2SX和 分别为样本均值和样本方差,
则有
)1(~ nt
nS
X?
且相互独立分布的定义可得、由定理证
)1(~
)1(
,)1,0(~
t2,1
2
2
2
n
Sn
N
n
X
)1(~)1( 2
2
ntSnnX则
.X2 本均值时，可用本定理计算样，在未知总体
数理统计定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布 )
)2(~
11
2
)1()1(
)(
2 21
2121
2
22
2
11
21
nnt
nnnn
SnSn
YX
、
，，设 ),(~),(~ 2221 NYNX
YX和 分别是这两个样本的且 X与 Y独立,
X1,X2,…,
1nX
是来自 X的样本,是取自 Y的样本,
这两个样本的样本方差,则有
2221 SS 和
Y1,Y2,…,
2nY
样本均值,分别是
)1,1(~1 212
2
2
2
2
1
2
1
nnF
S
S、
数理统计四、例题例 1
.57.522
)1(.5.12,25
),,12(
2
2
S
X
NX
未止，但已知样本方差）；（知已如果的概率大于求样本均值的样本抽取容量为服从正态分布设总体解
2512
125.12
2512
125.12)1( XPXP
10 6 3.0)25.1(125.14.0 12 XP
059.1255.1225125.12)2(
TP
SS
XPXP
,15.05.12.15.0059.1
,059.1)24(,24 15.0
XPTP
tt
故有即分布表的查自由度为数理统计例 2
.85.2)(2;401
.,,)5.0,(
10
1
2
10
1
2
101
2
i
i
i
i
XXp
Xp
XXN
）未知，求概率（
，求概率）已知（
中抽取样本从正态总体?
解
)10(~
5.0
1
)1,0(~5.00)1(
2
10
1
2
2
2
i
i
i
XY
NX,则有，由
165.0 45.0 14 210
1 2
2
2
10
1
2
YpXpXp
i ii i
数理统计
.10.04.16)10( 10
1
22
10.0
i i
Xp由此可得查表求
)9(~)(
5.0
1
5.0
9
2)2(
22
10
1
22
2
i
i XX
S
Z
，由题设及定理
10
1 2
2
2
10
1
2
5.0
85.2)(
5.0
185.2)(
i ii i
XXpXXp
4.112 ZP
由此可求得查表得,4.11)9(2 25.0
.25.085.2)(10
1
2?
i i
XXp
数理统计例 3
).()(),(2
,,1
,,)(
2
1
1
SEXDXE
XX
XX
n
n
和）计算（
的概率分布；）写出（
是一个样本：，设总体服从泊松分布
解 0,,2,1,01
i
i
x
ii xexxXP
i
）由于（
的概率分布为因此样本 nXX,,1?
n
i
n
i
i
x
n
i
x
xee
x
n
i
ii
1 1
!1
n
i ii
xXP
1
数理统计例 4
.
)()(
,,6
)1,0(~
2
2
654
2
321
621
分布服从，使随机变量试决定常数设，的样本量为，从此总体中取一个容若总体
CYC
XXXXXXY
XXX
NX
nn
XD
XD
XEXEXDXE
)(
)(
,)()(,)()()2( 则有由于，
n
i i
XXnESE
1
22 )(
1
1)(
数理统计
)2(~
333
1 2
2
321
2
321
2
XXXXXX
Y
分布的性质可知由
.31?C故解
)1,0(~
3
)3,0(~
321
321
N
XXX
NXXX
所以因为
)1(~3 2
2
321
XXX从而
)1(~3 2
2
654
XXX同理可知数理统计五、课堂练习
,10),,,,m i n (;15),,,,m a x (2
11
.,,5)4,12(1
54321
54321
51
XXXXXP
XXXXXP
XXN
）求概率（
的概率；值之差的绝对值大于）求样本均值与总体均（
的样本中随机抽一容量为、在总体?
不是统计量，为什么？
哪些之中哪些是统计量试指出的简单随机样本是来自数，
是未知参，其中服从两点分布、设总体
,)(,2,m a x,
.,,
),1(2
2
155
51
2151
XXpXX
XXXXX
ppbX
i
i
数理统计
.
.,,5
10
3
2
51
的期望值样本的方差和并求样本的均值的和分布的样本容量为表示取到黑球，求表示取到白球，取球，令的个黑球的罐子里有放回、从装有一个白球，两
S
XXX
XX
数理统计解 1
2 6 2 8.05222
52521
52
1
52
12
52
1
1112
),
5
4
,12(~)1(
X
PXP
BX 有由数理统计
5 7 8 5.0)1(1)1(11
2
1210
2
12
11101
10,10,10,10,101
10),,,,m i n (1
10),,,,m i n ()3(
5
5
1
5
1
5
1
54321
54321
54321
i
i
i
i
i
X
PXP
XXXXXP
XXXXXP
XXXXXP
解 2
.2
)(,m a x,
5
2
155121
是未知数）不是统计量（因为都是统计量，但
ppX
XXXXX i
i
数理统计解 3
.
9
2
)(,
3
2
)(
5,4,3,2,1,
9
2
)(,
3
2
)(
5,4,3,2,1,
3
2
3
2
)
3
2
,5(~,
)
3
2
,1(
2
5
5
54321
SEXE
iXDXE
kCkYP
bYXXXXXY
bX
ii
kk
k
i
有由其分布律为则令分布相互独立且都服从两点数理统计六、小结在这一节中我们学习了统计量的概念,几个重要的统计量及其分布,即抽样分布,要求大家熟练地掌握它们,
数理统计常用的统计量样本平均值 ni iXnX 11
样本方差?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
样本标准差
n
i i
XXnS
1
2)(
1
1
样本 k阶原点矩?
n
i
k
ik XnA
1
1
样本 k阶中心矩?
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
数理统计抽样分布分布2?
).(~
,
)1,0(,,,
22
2
1
22
1
n
nX
NXX
n
i
i
n
记为分布的服从自由度为则称随机变量
，且均服从正态分布相互独立设?
t 分布 ).(~
),(~)1,0(~ 2
ntttn
nY
X
t
YXnYNX
分布，记为的服从自由度为随机变量相互独立，则称与且，设
F分布
).,(~
,,
),(~)(~
21
21
2
1
2
2
1
2
nnFF
nn
nV
nU
F
VUnVnU
记为
）的分布服从自由度为（随机变量相互独立，则称与，设
数理统计抽样分布定理样本均值的分布
).,(~
,,),(~
2
1
2
nNXX
XXXNX n
有则样本均值的样本，是来自总体，设?
样本方差、均值的分布方差，则有分别是样本均值和样本的样本，是来自总体设 221,),(,,SXNxX n
)1(~)1()1( 22
2
nSn?
,)2(
2 独立与 SX
)1(~)3( ntnSX
数理统计两总体样本均值差、样本方差比的分布
)1,1(~1 212
2
2
2
2
1
2
1
nnF
S
S、
)2(~
11
2
)1()1(
)(
2 21
2121
2
22
2
11
21
nnt
nnnn
SnSn
YX
、
的样本方差，则有分别是这两个样本值；是这两个样本的样本均分别相互独立的样本，且这两个样本和分别来自总体与设
2
2
2
1
2
22
2
1111
,
,.),(
),(,,,,
21
SS
YXN
NYYXX
nn
数理统计概率论与数理统计标准化作业 (五 )
七、布置作业
