数理统计单个总体的情况两个总体的情况课堂练习小结 布置作业第三节 正态总体方差的假设检验数理统计一、单个总体的情况
2
0?
2 2 2 2
0 0 1 0:,,.HH
12,,,nx x x
22(,),,,XN
设总体 均属未知，
是来自 X的样本，要求检验假设（显著性水平为 ）：
为已知常数。
数理统计
2s 2? 0H
2
2
0
s
0H
2
2
2
0
( 1 )ns?
2
2
2
0
( 1 ) ~ ( 1 ),ns n?
由于 是 的无偏估计，当 为真时,比值一般来说应在 1附近摆动，而不应过分大于 1
或过分小于 1。由于当 为真时,
我们取 作为检验统计量，如上所说知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式：
2
2
22
0
( 1 )ns k?
22
12
0
( 1 )ns k?
或数理统计
2
2
22
0
( 1 )ns k?
22
12
0
( 1 )ns k?
或
22
121 22( 1 ),( 1 )k n k n
22
00
22
1222
00
( 1 ) ( 1 ){ ( ) },{ ( }
22
n s n sP k P k
00HH
12,kk
2
0
22
1222
00
( 1 ) ( 1 ){ ( ) ( }n s n sP k k
此处的 值由下式确定：
P{拒绝 为真 }
＝
为计算方便起见，习惯上取
（ 3.1）
故得数理统计
2?
2?
2
2
2 2
0
( 1 ) ( 1 )ns n
2 2
2 1 2
0
( 1 ) ( 1 )ns n
于是得拒绝域为或上述检验法为 检验法。关于方差 的单边检验法得拒绝域已在附表中给出。
数理统计例 3 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差 (小时 )的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机取 26只电池，测出其寿命的样本方差 小时 ）。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化
（取 ）？0.02
2 9200s?
22 5000
2
数理统计
0H
2
2
0
( 1 ) 4 6 4 4,3 1 4ns
2 9200s?
2
2
0
( 1 ) 1 1,5 2 4ns
2
2
0
( 1 ) 4 4,3 1 4ns
或由观察值 得 所以拒绝,认为这批电池寿命波动性较以往的有显著的变化。
数理统计二、两个总体的情况
2 2 2 20 1 2 1 1 2:,,.HH
12,,2212,ss
222(,)N
212,,,ny y y
211(,)N112,,,nx x x设 来自总体 的样本，
是来自总体 的样本，且两样本独立。其样本方差分别为 。且设均为未知，现在需要检验假设,22
12,ss
数理统计
2
1
122
2
( 1,1 )s F n n
s
2212
22
11
1222
22
( 1,1 )s F n ns
22( 1 ) ( 1 ),1,2i i i in s n i22
12,ss
0H
由于 的独立性及得知故当 为真时，即当 时有
（ 3.2）
数理统计
22
12F s s?
0H
2 2 2 21 1 2 2( ) ( )E s E s 1H
2 2 2 21 1 2 2( ) ( )E s E s
22
12F s s?
2
1
2
2
.
s
k
s
我们取 作为检验统计量。当 为真时,而当 为真时由于,故 有偏大的趋势，因此拒绝域的形式为
（ 3.3）
数理统计
2
1
122
2
( 1,1 )s F n n
s?
2212,
12( 1,1 ),k F n n
22
12
2
1
2
2
{ },sPk
s
00HH
k 由下式确定：
P{拒绝 为真 }＝
即有于是拒绝域为上述检验法称为 F检验法。关于 的另外两个检验问题的拒绝域在附表中给出。
(3.4)
数理统计
2 2 2 20 1 2 1 1 2:,,.HH
0.01
例 4 试对例 2中的数据作方差的假设检验
（取 ）
2
1
1 0,0 0 52
2 0,0 0 5
11( 1 0 1,1 0 1 ) 0,1 5 3,
( 1 0 1,1 0 1 ) 6,5 4
s F
sF?
2
1
0,0 0 52
2
( 1 0 1,1 0 1 ) 6,5 4s F
s
12 1 0,0,0 1nn
解：此处,拒绝域为或数理统计
0H
2 2 2 2
1 2 1 23,3 2 5,2,2 2 5,1,4 9s s s s
22120,1 5 3 6,5 4ss
现在即有故接受,认为两总体方差相等。
数理统计
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2:,,.HH
0.12,( 1,2 )ii i
2
11(,)N
2
22(,)N
22
1 0,3 4 ( )s m m?
222 0,2 9 ( )s m m?
例 5 研究机器 A和机器 B生产的钢管的内径,
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只，测得样本方差；抽取机器 B生产的管子 13只，
测得样本方差 。设两样本相互独立，且设由机器 A,机器 B生产的管子的内径分别服从正态分布,，这里均未知。作假设检验,(取 )
数理统计
1 2 0,11 8,1 3,( 1 8 1,1 3 1 ) ( 1 7,1 2 ) 1,9 6n n F F
2
1
2
2
1.96.s
s
2 2 2 21 2 1 20,3 4,0,2 9,1,1 7 1,9 6s s s s
0H
解,此处由（ 3.4）式拒绝域为现在故接受,
数理统计
( 0,0 5 )
2s cm?
101x?
某机器加工某种零件，规定零件长度为 100cm，标准差不超过 2cm。每天定时检查机器的运行情况。
某日抽取 10个零件，测得平均长度 cm，
样本标准差,问该日机器工作是否正常?
三、课堂练习数理统计
1 0 1 1 0 0 1 0 1,5 8 1 1
2t
221 0 1,1 0,2x n S
1
2
{(,,),( 1 ) }nW x x t t n
0 ( 1 )XT n t n
S
0 1 0 1 1 0,1 0 0,,1 0 0HH
01H
22,(,),,X X N解：设加工零件长度为 均未知。
(1)检验假设,
这是 t— 检验，当 成立时，统计量拒绝域为对计算得,
数理统计对,由 t— 分布表查得 。
因为 。接受假设,即认为
。100
1,5 8 1 1 2,2 6 2 2t 01H
0,0 2 5 (9 ) 2,2 6 2 2,t?( 0.0 5)
2
221
2
0
()
( 1 )
n
i
i
n
XX
n
21{ (,,),( 1 ) }nnW x x n
2 2 2 2 2 20 2 0 1 2 0,2,,2HH
2?
02H
(2)检验假设,
这是 检验问题 ;
当 成立时，
统计量拒绝域为数理统计
2 9 1 6,9n
22
2
22
0
( 1 ) 9 2 9
2n
ns?
( 0,0 5 )
20,0 5 (9 ) 1 6,9
02H
222
计算得 由,查得,因为,
故接受假设,即认为 。
综合（ 1），（ 2）可以认为该日机器工作状态正常。
数理统计四、小结在这一节中我们学习了正态总体方差的检验法,有以下两种,单个正态总体方差的检验以及两个正态总体方差的检验,
数理统计五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (七 )
2
0?
2 2 2 2
0 0 1 0:,,.HH
12,,,nx x x
22(,),,,XN
设总体 均属未知，
是来自 X的样本，要求检验假设（显著性水平为 ）：
为已知常数。
数理统计
2s 2? 0H
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2
0
s
0H
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0
( 1 )ns?
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2
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0
( 1 ) ~ ( 1 ),ns n?
由于 是 的无偏估计，当 为真时,比值一般来说应在 1附近摆动，而不应过分大于 1
或过分小于 1。由于当 为真时,
我们取 作为检验统计量，如上所说知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式：
2
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0
( 1 )ns k?
22
12
0
( 1 )ns k?
或数理统计
2
2
22
0
( 1 )ns k?
22
12
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( 1 )ns k?
或
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121 22( 1 ),( 1 )k n k n
22
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( 1 ) ( 1 ){ ( ) },{ ( }
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00
( 1 ) ( 1 ){ ( ) ( }n s n sP k k
此处的 值由下式确定：
P{拒绝 为真 }
＝
为计算方便起见，习惯上取
（ 3.1）
故得数理统计
2?
2?
2
2
2 2
0
( 1 ) ( 1 )ns n
2 2
2 1 2
0
( 1 ) ( 1 )ns n
于是得拒绝域为或上述检验法为 检验法。关于方差 的单边检验法得拒绝域已在附表中给出。
数理统计例 3 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差 (小时 )的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机取 26只电池，测出其寿命的样本方差 小时 ）。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化
（取 ）？0.02
2 9200s?
22 5000
2
数理统计
0H
2
2
0
( 1 ) 4 6 4 4,3 1 4ns
2 9200s?
2
2
0
( 1 ) 1 1,5 2 4ns
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2
0
( 1 ) 4 4,3 1 4ns
或由观察值 得 所以拒绝,认为这批电池寿命波动性较以往的有显著的变化。
数理统计二、两个总体的情况
2 2 2 20 1 2 1 1 2:,,.HH
12,,2212,ss
222(,)N
212,,,ny y y
211(,)N112,,,nx x x设 来自总体 的样本，
是来自总体 的样本，且两样本独立。其样本方差分别为 。且设均为未知，现在需要检验假设,22
12,ss
数理统计
2
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122
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( 1,1 )s F n n
s
2212
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( 1,1 )s F n ns
22( 1 ) ( 1 ),1,2i i i in s n i22
12,ss
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由于 的独立性及得知故当 为真时，即当 时有
（ 3.2）
数理统计
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12F s s?
0H
2 2 2 21 1 2 2( ) ( )E s E s 1H
2 2 2 21 1 2 2( ) ( )E s E s
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我们取 作为检验统计量。当 为真时,而当 为真时由于,故 有偏大的趋势，因此拒绝域的形式为
（ 3.3）
数理统计
2
1
122
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( 1,1 )s F n n
s?
2212,
12( 1,1 ),k F n n
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k 由下式确定：
P{拒绝 为真 }＝
即有于是拒绝域为上述检验法称为 F检验法。关于 的另外两个检验问题的拒绝域在附表中给出。
(3.4)
数理统计
2 2 2 20 1 2 1 1 2:,,.HH
0.01
例 4 试对例 2中的数据作方差的假设检验
（取 ）
2
1
1 0,0 0 52
2 0,0 0 5
11( 1 0 1,1 0 1 ) 0,1 5 3,
( 1 0 1,1 0 1 ) 6,5 4
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0,0 0 52
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( 1 0 1,1 0 1 ) 6,5 4s F
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解：此处,拒绝域为或数理统计
0H
2 2 2 2
1 2 1 23,3 2 5,2,2 2 5,1,4 9s s s s
22120,1 5 3 6,5 4ss
现在即有故接受,认为两总体方差相等。
数理统计
2 2 2 2
0 1 2 1 1 2:,,.HH
0.12,( 1,2 )ii i
2
11(,)N
2
22(,)N
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1 0,3 4 ( )s m m?
222 0,2 9 ( )s m m?
例 5 研究机器 A和机器 B生产的钢管的内径,
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只，测得样本方差；抽取机器 B生产的管子 13只，
测得样本方差 。设两样本相互独立，且设由机器 A,机器 B生产的管子的内径分别服从正态分布,，这里均未知。作假设检验,(取 )
数理统计
1 2 0,11 8,1 3,( 1 8 1,1 3 1 ) ( 1 7,1 2 ) 1,9 6n n F F
2
1
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1.96.s
s
2 2 2 21 2 1 20,3 4,0,2 9,1,1 7 1,9 6s s s s
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解,此处由（ 3.4）式拒绝域为现在故接受,
数理统计
( 0,0 5 )
2s cm?
101x?
某机器加工某种零件，规定零件长度为 100cm，标准差不超过 2cm。每天定时检查机器的运行情况。
某日抽取 10个零件，测得平均长度 cm，
样本标准差,问该日机器工作是否正常?
三、课堂练习数理统计
1 0 1 1 0 0 1 0 1,5 8 1 1
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221 0 1,1 0,2x n S
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{(,,),( 1 ) }nW x x t t n
0 ( 1 )XT n t n
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0 1 0 1 1 0,1 0 0,,1 0 0HH
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22,(,),,X X N解：设加工零件长度为 均未知。
(1)检验假设,
这是 t— 检验，当 成立时，统计量拒绝域为对计算得,
数理统计对,由 t— 分布表查得 。
因为 。接受假设,即认为
。100
1,5 8 1 1 2,2 6 2 2t 01H
0,0 2 5 (9 ) 2,2 6 2 2,t?( 0.0 5)
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2 2 2 2 2 20 2 0 1 2 0,2,,2HH
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(2)检验假设,
这是 检验问题 ;
当 成立时，
统计量拒绝域为数理统计
2 9 1 6,9n
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( 1 ) 9 2 9
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计算得 由,查得,因为,
故接受假设,即认为 。
综合（ 1），（ 2）可以认为该日机器工作状态正常。
数理统计四、小结在这一节中我们学习了正态总体方差的检验法,有以下两种,单个正态总体方差的检验以及两个正态总体方差的检验,
数理统计五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (七 )
