概率论哈尔滨理工大学
,概率论与数理统计,习题课四概率论一、填空题
16.1)3(),4.02(~)1( 22 XENX 则，已知
16.19)2(6416.0
9)(6)()(
9)(6)(
)96()3(
:
2
2
22
XEXEXD
XEXE
XXEXE
由均值的性质得解概率论一、填空题
4.7)3(
,),2,1(~),6.010(~)2(
YXD
YXNYNX
则相互独立与且，设
4.724.5
)()(9)3(
YDXDYXD
解：由方差的性质得概率论一、填空题
2
1)(,)()3( 2 XDAexfX x 则的概率密度为设
21 xf ( x ) d x Ae d x＋ ＋
－ －=
2
2 2
x
e d x ＋?
2xe dx
+
2xA e dx A
＋
－=?
1A
E( X ) 2xx f ( x ) d x x e d x
＋ ＋
－ －
1=
0?
概率论
22D ( X ) E ( X ) E ( X )
22E ( X ) x f ( x ) d x
221 xx e d x
＋
－
=?
22
0
2 xx e d x ＋=
2
0
1 xxde ＋=-
22
0 0
1 xxx e e d x
++= - －
1
2=
1
2=
概率论二、选择题
150)(120)(100)(50)(
"",600)1(
DCBA
B次数的均值为一点那么出现次掷一颗均匀的骰子
100
6
1
600)(
)
6
1
,600(~,"":
XE
bXX 则出现一点的次数设解概率论二、选择题
6)(10)(9)(1)(
)(),(
3
1
3,,)1(
2
321
321
DCBA
CYEXXXY
XXX
则令的泊松分布，相互独立服从参数设?
1091)()()(
13
9
1
)](
3
1
[)(
33
3
1
)](
3
1
[)(:
22
321
321
YEYDYE
XXXDYD
XXXEYE
解概率论二、选择题
6)(10)(9)(1)(
)(),(
3
1
,
3,,)2(
2
321
321
DCBA
CYEXXXY
XXX
则令分布的泊松相互独立同服从参数设?
3
1 2 3
1
3
1 2 3
1
22
11
3
33
11
1
39
10
,( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
k
k
k
k
E Y E X X X E X
D Y D X X X D X
E Y D Y E Y
解概率论二、选择题不相互独立和相互独立和则若和对于任意两个随机变量
YXDYXC
YDXDYXDBYDXDXYDA
BYEXEXYE
YX
)()(
)()()())(()()()(
),()()(
,)3(
)()(
),(2)()()(
0)()()(),(:
YDXD
YXCo vYDXDYXD
YEXEXYEYXCo v
解概率论三、解答题
).()(,3
,3,4,7)1(
XDXEX 和方差的期望求抽到白球数个球从中任取个黑球个白球其中个球盒中有的分布率为解 X:
X 0 1 2 3
kp 3
7
3
3
C
C
3
7
2
3
1
4
C
CC
3
7
1
3
2
4
C
CC
3
7
3
4
C
C
1 2 7()EX?
22 24
49( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X
概率论三、解答题
,
,10,4,3,2,1
,10,5,2,1,1,10,5,2,2,1
,
,10,2,1)2(
砝码数平均最少所用的问哪一组砝码称重物时一个称盘里称重量天平的只准备用一组砝码放在克丙组为克乙组为克有五个砝码分别为甲组量准备了三组砝码为用天平称此物品的重克是等概率的克克有一物品的重量为?
概率论
""
""
"":
的砝码数丙组砝码称重物时所用的砝码数乙组砝码称重物时所用的砝码数甲组砝码称重物时所用解
Z
Y
X
物品的重量是一个随机变量 U,
1 2 1 0(,,,),U k k
1 1 0 1 2 1 0{ } (,,,),P U k k
1 1 2 5 1 0{ } { } { } { } { }X U U U U
2 3 4 6 7{ } { } { } { } { }X U U U U
3 8 9{ } { } { }X U U
概率论
X 1 2 3
kp 10
4
10
4
10
2
Y 1 2 3 4
kp 10
4
10
3
10
2
10
1
Z 1 2 3
kp 10
5
10
3
10
2
1 8 2 0 1 7
1 0 1 0 1 0( ),( ),( )E X E Y E Z
概率论三、解答题
.,
,
,55,30,10)3(
期望求乘客候车时间的数学到达车站随机在每小时内的任意时刻该乘客不知发车时间分发车分分的公共汽车起点站于每时
"""",乘客候车时间乘客到站时间解 YX
1 60 0 600 60
0~ [,] ( )
xX U f x
其 它概率论
10 0 10
30 10 30
55 30 55
70 55 60
,
,
,
,
XX
XX
Y
XX
XX
( ) ( ) ( )E Y g x f x dx
1 0 2 5? 分 秒
()gX
10 30
0 10
55 60
30 55
1
10 30
60
55 70
[ ( ) ( )
( ) ( ) ]
x dx x dx
x dx x dx
概率论三、解答题
,
2
1
,,
,4,)4(
能分出胜负试求平均需比赛几场才为率均在每场比赛中获胜的概假定宣告结束则比赛场若有一队胜比赛和设排球队
BA
BA
"",需要比赛的场数设解 X
4 5 6 7,,,X?
5{}X{A胜 4 场 }+{B胜 4 场 }
{A胜 4 场 }
= {A在前 4场中胜 3场,B胜 1场 }?{第 5 场 A必胜 }
概率论
33
5
33
6
1 1 1 5
62
2 2 2 16
1 1 1 5
72
2 2 2 16
1 1 5 5
4 5 6 7 5 8
8 4 16 16
( ) ( )
( ) ( )
( ),
P X C
P X C
EX
4
33
4
11
42
28
1 1 1 1
52
2 2 2 4
( ) ( )
( ) ( )
PX
P X C
概率论三、解答题
).()(
,
,,2,1,)5(
XDXE
Xk
nn
和求表示所得号码之和张来，以有放回地抽出从中分别记有号码张卡片一袋中有?
ki
i
XXXXkiX
kiiX
21),2,1(
,2,1""
相互独立，令张卡片的号码抽取第解：
1 2 3 … n
…
iX
kp n
1
n
1
n
1
n
1
概率论
1112
2( ) ( )i
nE X n
n
1
1
2( ) ( )
k
i
i
nE X E X k
2
2 2 2
1
11
4
()( ) ( ) ( ) n
i i i
i
nD X E X E X i
n?
221 2 1 1 1 1
6 4 12
( ) ( ) ( )n n n n n
n
2
1
1
12
()( ) ( )k
i
i
knD X D X
概率论四、证明题
.)3(
)2(
2)(,0)()1(
,,
2
1
)(
不相关与证明不相互独立与证明证明的概率密度为设随机变量
XX
XX
XDXE
xexfX
x
1 ( ) ( )E X xf x dx（ ）证
1
2
xx e d x
0?
概率论
dxex x 0 2
2?
dxxfxXE 22
dxex x 221
22 XEXEXD故
dxxeex xx 002 2
0 022
xxx e e d x
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02
xxe dx
概率论
)()(
)(),(
02
xXPxXP
xXPxXxXP
xXX
不相互独立，因为任给与）证明（
3( ) ( )E X X?
0(,) ( ) ( ) ( )C o v X X E X X E X E X
0?
奇函数
(,)
( ) ( )XY
C o v X Y
D X D Y 0?
随机变量函数的数学期望
1
2||
xx x e d x
,概率论与数理统计,习题课四概率论一、填空题
16.1)3(),4.02(~)1( 22 XENX 则，已知
16.19)2(6416.0
9)(6)()(
9)(6)(
)96()3(
:
2
2
22
XEXEXD
XEXE
XXEXE
由均值的性质得解概率论一、填空题
4.7)3(
,),2,1(~),6.010(~)2(
YXD
YXNYNX
则相互独立与且，设
4.724.5
)()(9)3(
YDXDYXD
解：由方差的性质得概率论一、填空题
2
1)(,)()3( 2 XDAexfX x 则的概率密度为设
21 xf ( x ) d x Ae d x＋ ＋
－ －=
2
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x
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2xA e dx A
＋
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E( X ) 2xx f ( x ) d x x e d x
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概率论
22D ( X ) E ( X ) E ( X )
22E ( X ) x f ( x ) d x
221 xx e d x
＋
－
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22
0
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2
0
1 xxde ＋=-
22
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1 xxx e e d x
++= - －
1
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1
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概率论二、选择题
150)(120)(100)(50)(
"",600)1(
DCBA
B次数的均值为一点那么出现次掷一颗均匀的骰子
100
6
1
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)
6
1
,600(~,"":
XE
bXX 则出现一点的次数设解概率论二、选择题
6)(10)(9)(1)(
)(),(
3
1
3,,)1(
2
321
321
DCBA
CYEXXXY
XXX
则令的泊松分布，相互独立服从参数设?
1091)()()(
13
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1
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3
1
[)(
33
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22
321
321
YEYDYE
XXXDYD
XXXEYE
解概率论二、选择题
6)(10)(9)(1)(
)(),(
3
1
,
3,,)2(
2
321
321
DCBA
CYEXXXY
XXX
则令分布的泊松相互独立同服从参数设?
3
1 2 3
1
3
1 2 3
1
22
11
3
33
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1
39
10
,( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
k
k
k
k
E Y E X X X E X
D Y D X X X D X
E Y D Y E Y
解概率论二、选择题不相互独立和相互独立和则若和对于任意两个随机变量
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),()()(
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YXCo vYDXDYXD
YEXEXYEYXCo v
解概率论三、解答题
).()(,3
,3,4,7)1(
XDXEX 和方差的期望求抽到白球数个球从中任取个黑球个白球其中个球盒中有的分布率为解 X:
X 0 1 2 3
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7
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C
C
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2
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1
4
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C
C
1 2 7()EX?
22 24
49( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X
概率论三、解答题
,
,10,4,3,2,1
,10,5,2,1,1,10,5,2,2,1
,
,10,2,1)2(
砝码数平均最少所用的问哪一组砝码称重物时一个称盘里称重量天平的只准备用一组砝码放在克丙组为克乙组为克有五个砝码分别为甲组量准备了三组砝码为用天平称此物品的重克是等概率的克克有一物品的重量为?
概率论
""
""
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的砝码数丙组砝码称重物时所用的砝码数乙组砝码称重物时所用的砝码数甲组砝码称重物时所用解
Z
Y
X
物品的重量是一个随机变量 U,
1 2 1 0(,,,),U k k
1 1 0 1 2 1 0{ } (,,,),P U k k
1 1 2 5 1 0{ } { } { } { } { }X U U U U
2 3 4 6 7{ } { } { } { } { }X U U U U
3 8 9{ } { } { }X U U
概率论
X 1 2 3
kp 10
4
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4
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2
Y 1 2 3 4
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1 0 1 0 1 0( ),( ),( )E X E Y E Z
概率论三、解答题
.,
,
,55,30,10)3(
期望求乘客候车时间的数学到达车站随机在每小时内的任意时刻该乘客不知发车时间分发车分分的公共汽车起点站于每时
"""",乘客候车时间乘客到站时间解 YX
1 60 0 600 60
0~ [,] ( )
xX U f x
其 它概率论
10 0 10
30 10 30
55 30 55
70 55 60
,
,
,
,
XX
XX
Y
XX
XX
( ) ( ) ( )E Y g x f x dx
1 0 2 5? 分 秒
()gX
10 30
0 10
55 60
30 55
1
10 30
60
55 70
[ ( ) ( )
( ) ( ) ]
x dx x dx
x dx x dx
概率论三、解答题
,
2
1
,,
,4,)4(
能分出胜负试求平均需比赛几场才为率均在每场比赛中获胜的概假定宣告结束则比赛场若有一队胜比赛和设排球队
BA
BA
"",需要比赛的场数设解 X
4 5 6 7,,,X?
5{}X{A胜 4 场 }+{B胜 4 场 }
{A胜 4 场 }
= {A在前 4场中胜 3场,B胜 1场 }?{第 5 场 A必胜 }
概率论
33
5
33
6
1 1 1 5
62
2 2 2 16
1 1 1 5
72
2 2 2 16
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4 5 6 7 5 8
8 4 16 16
( ) ( )
( ) ( )
( ),
P X C
P X C
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4
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11
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1 1 1 1
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( ) ( )
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概率论三、解答题
).()(
,
,,2,1,)5(
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Xk
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和求表示所得号码之和张来，以有放回地抽出从中分别记有号码张卡片一袋中有?
ki
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XXXXkiX
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21),2,1(
,2,1""
相互独立，令张卡片的号码抽取第解：
1 2 3 … n
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1
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概率论
1112
2( ) ( )i
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概率论四、证明题
.)3(
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,,
2
1
)(
不相关与证明不相互独立与证明证明的概率密度为设随机变量
XX
XX
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1
2
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概率论
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概率论
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xXX
不相互独立，因为任给与）证明（
3( ) ( )E X X?
0(,) ( ) ( ) ( )C o v X X E X X E X E X
0?
奇函数
(,)
( ) ( )XY
C o v X Y
D X D Y 0?
随机变量函数的数学期望
1
2||
xx x e d x
