概率论第二节 方差方差的定义方差的计算方差的性质切比雪夫不等式课堂练习小结 布置作业概率论上一节我们介绍了随机变量的数学期望，
它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征,
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的,
概率论例如，某零件的真实长度为 a，现用甲、
乙两台仪器各测量 10次，将测量结果 X用坐标上的点表示如图：
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？
a
乙仪器测量结果
a
甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近概率论又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击 10发炮弹，其落点距目标的位置如图：
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近,
中心 中心概率论由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的,那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差
})({ XEXE?
能度量随机变量与其均值 E(X)的偏离程度,但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
})]({[ 2XEXE?
来度量随机变量 X与其均值 E(X)的偏离程度,
概率论一、方差的定义设 X是一个随机变量,若 E[(X-E(X)]2存在,称
E[(X-E(X)]2 为 X 的方差,记为 D(X)或 Var(X)，即具有相同的量纲。，它与记为的标准差或均方差称为方差的算术平方根
XX
XXD
)(
)(
D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2
概率论若 X的取值比较分散，则方差 D(X)较大,
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度,
若 X的取值比较集中，则方差 D(X)较小；
因此,D（ X）是刻画 X取值分散程度的一个量，它是衡量 X取值分散程度的一个尺度。
概率论
X为离散型，
分布率
P{X=xk}=pk
由定义知，方差是随机变量 X 的函数
g(X)=[X-E(X)]2
的 数学期望,
,)()]([
,)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
pXEx
XD k
kk
二、方差的计算
X为连续型,X概率密度 f(x)
概率论计算方差的一个简化公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开证,D(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望性质概率论例 1 设随机变量 X具有 (0—1）分布，其分布率为
pXPpXP }1{,1}0{
求 D(X),
解 pppXE 1)1(0)(
pppXE 222 1)1(0)(
由公式
)1()]([)()( 222 ppppXEXEXD
因此,0-1分布
)1()(,)( ppXDpXE
概率论例 2 。，求设 )()(~ XDX
解 X的分布率为
0,,2,1,0,!}{
kkekXP
k
上节已算得 而,)(XE
])1([)( 2 XXXEXE )()]1([ XEXXE
0 !
)1(
k
k
k
ekk
2
2
2
)!2(k
k
ke
22 ee
概率论
.
,,
泊松分布就被确定了只要知道分布率中只含一个参数。泊松分布的等于数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的
22 )]([)()( XEXEXD
因此,泊松分布
)(,)( XDXE
概率论例 3 。，求设 )(),(~ XDbaUX
解 的概率密度为X?
其它0
1
)(
bxa
abxf
。方差为上节已求得 2)( baXE
122
1
)()()(
22
2
22
abba
dx
ab
x
XEXEXD
b
a
因此,均匀分布
12)(,2)(
2ab
XDbaXE
概率论例 4 设随机变量 X服从指数分布,其概率密度为
00
0
1
)(
x
xe
xf
x
)()(0 XDXE,，求其中
解
dxexdxxxfXE
x
0
1)()(
2
0
222 21)()(?
dxexdxxfxXE
x
2)(XD因此由此可知,指数分布
2 ）（，）（ XDXE
概率论三、方差的性质
1,设 C 是常数,则 D(C)=0 ;
2,若 C 是常数,则 D(CX)=C2 D(X) ;
3,设 X 与 Y 是两个随机变量，则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
4,D(X)=0 P{X= C}=1,? 这里 C=E(X)
概率论下面我们证明性质 3
证明
)]}()][({[2)()(
)]}()][({[2
})]({[})]({[
}))](())({ [ (
})](){ [ ()(
22
2
2
YEYXEXEYDXD
YEYXEXE
YEYEXEXE
YEYXEXE
YXEYXEYXD
若 X,Y 相互独立,由数学期望的性质 4得
)()()( YDXDYXD
此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况,
概率论例 6 设 X~B(n,p)，求 E(X)和 D(X).
若设
次试验失败如第次试验成功如第
i
i
X i
0
1 i=1,2,…,n
则 是 n次试验中“成功” 的次数?
n
i
iXX
1
下面我们举例说明方差性质的应用,
解 X~B(n,p),
“成功” 次数,
则 X表示 n重努里试验中的概率论于是
i=1,2,…,n
由于 X1,X2,…,Xn 相互 独立
n
i
iXDXD
1
)()( = np(1- p)
E(Xi)= p,D(Xi)=p(1- p),
分布，所以是可知 10?iX
npXEXE
n
i
i
1
)()(
则若 ),,(~ pnBX
)1()(,)( pnpXDnpXE
概率论例 7 ).()(),1,0(~ XDXENX 和求设解 的概率密度为X
xex
x
2
2
2
1)(
于是 02
1)()( 2
2
dxxedxxxXE
x
121)())(()( 222
2
dxexdxxXExXD
x
则若 ),1,0(~ NX 1)(,0)( XDXE
概率论
），（，则若 10~),(~ 2 NXZNX
1)(,0)( ZDZE
质得由数学期望和方差的性而, ZX
)()()()( EZEZEXE
22 )()()()( DZDZDXD
，则若 ),(~ 2NX 2)(,)( XDXE
差所确定。可由它的数学期望和方布完全望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期和概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的 2
概率论例如,,),4,2(~),3,1(~ 相互独立和且若 YXNYNX
），（故有也服从正态分布，而则
484~,48)(
,4)(32
NZXD
ZEYXZ
且它们相互独立，则若,,2,1),,(~ 2 niNX iii
.)0,,(
:
21
2211
仍然服从正态分布的常数是不全为它们的线性组合
n
nn
CCC
XCXCXC
),(~
1
22
1
2211
n
i
ii
n
i
iinn CCNXCXCXC且概率论例 8 气缸的计以设活塞的直径 ),03.0,40.22(~)( 2NXcm
,.),04.0,50.22(~ 2 任取一支活塞相互独立和直径 YXNY
.,率求活塞能装入气缸的概任取一只气缸解 }.0{},{ YXPYXP 即求按题意需求由于 )00 25.0,10.0(~ NYX
故有
9 7 7 2.0)2()
05.0
10.0
(
}
0 0 2 5.0
)10.0(0
0 0 2 5.0
)10.0()(
{
}0{}{
YX
P
YXPYXP
概率论四、切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件 {|X-E(X)|< }的概率越大，即 随机变量 X 集中在期望附近的可能性越大,
2?
2
2
1}|)({|
XEXP
2
2
}|)({|
XEXP
，有不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理
,)(
,)(
2?
XD
XEX
概率论证我们只就连续型随机变量的情况来证明,
，则有的概率密度为设 )( xfX
2
2
2
2
2
2
)()(
1
)(
)(}{
dxxfx
dxxf
x
dxxfXP
X
X
概率论当方差已知时，切比雪夫不等式给出了 r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式,?
如取 3?
2
2
}|)({|
XEXP
1 1 1.0
9
}3|)({| 2
2
XEXP
可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，
则 r.v X取值偏离 E(X)超过 3 的概率小于 0.111,
2?
概率论例 9 已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是 7300，均方差是 700,利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率,
解：设每毫升白细胞数为 X
依题意,E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400)?
P(5200 X 9400)?
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}?
概率论
2)2 1 0 0(
)(1 XD
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}?
2)
21 00
70 0(1
9
8
9
11
即估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率不小于 8/9,
概率论例 10 在每次试验中，事件 A发生的概率为 0.75,
利用切比雪夫不等式求,n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中,事件 A出现的频率在 0.74~0.76
之间的概率至少为 0.90?
解：设 X为 n 次试验中，事件 A出现的次数，
E(X)=0.75n,
的最小的 n,
900760740,)..( nXP
则 X~B(n,0.75)
所求为满足
D(X)=0.75× 0.25n=0.1875n
概率论
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n)
2)01.0(
)(1
n
XD
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
20 00 1.0
1 87 5.01
n
n
n
18751
P(0.74n< X<0.76n )
)76.074.0( nXP
)76.074.0( nXP
可改写为在切比雪夫不等式中取 n，则0.01
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
概率论
1 8 7 5 09.011 8 7 5n
解得依题意，取
9.018 751 n
即 n 取 18750时，可以使得在 n次独立重复试验中,
事件 A出现的频率在 0.74~0.76之间的概率至少为 0.90,
概率论五、课堂练习
1,设随机变量 X服从几何分布，概率分布为
P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…
其中 0<p<1,求 E(X),D(X)
密度为：服从瑞利分布，其概率设随机变量 X2、
00
0)(
2
2
2
2
x
xe
x
xf
x
).(),(0 XDXE是常数，求其中
概率论
1,解,记 q=1-p
1
1)(
k
kk pqXE
1
)'(
k
kqp
1
)'(
k
kqp )'
1
(
q
qp
p
1?
求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式概率论
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
])1([
1
1
1
1
k
k
k
k kqqkkp
1
)(
k
kqqp +E(X)
pq
qqp 1)
1
(
pq
qp 1
)1(
2
3 pp
q 12
2 2
2
p
p
2
2
p
p
2
1
p
2
1
p
p
1
122 )(
k
kpqkXE
概率论
2、解
0
2
2 2
)()(
2
2
dxe
x
x
dxxxfXE
x
2
2
0
2
22
2
4
2
)(
)()()(
dxxfx
XEXEXD
概率论六、小结这一讲，我们介绍了随机变量的方差,
它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征,
下一讲，我们将介绍刻划两 r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：
协方差、相关系数概率论七,布置作业
,概率论与数理统计,作业（四）
三、解答题第 1,5小题一、填空题第 2,3小题二、选择题第 3小题
它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征,
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的,
概率论例如，某零件的真实长度为 a，现用甲、
乙两台仪器各测量 10次，将测量结果 X用坐标上的点表示如图：
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？
a
乙仪器测量结果
a
甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近概率论又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击 10发炮弹，其落点距目标的位置如图：
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近,
中心 中心概率论由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的,那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差
})({ XEXE?
能度量随机变量与其均值 E(X)的偏离程度,但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
})]({[ 2XEXE?
来度量随机变量 X与其均值 E(X)的偏离程度,
概率论一、方差的定义设 X是一个随机变量,若 E[(X-E(X)]2存在,称
E[(X-E(X)]2 为 X 的方差,记为 D(X)或 Var(X)，即具有相同的量纲。，它与记为的标准差或均方差称为方差的算术平方根
XX
XXD
)(
)(
D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2
概率论若 X的取值比较分散，则方差 D(X)较大,
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度,
若 X的取值比较集中，则方差 D(X)较小；
因此,D（ X）是刻画 X取值分散程度的一个量，它是衡量 X取值分散程度的一个尺度。
概率论
X为离散型，
分布率
P{X=xk}=pk
由定义知，方差是随机变量 X 的函数
g(X)=[X-E(X)]2
的 数学期望,
,)()]([
,)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
pXEx
XD k
kk
二、方差的计算
X为连续型,X概率密度 f(x)
概率论计算方差的一个简化公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开证,D(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望性质概率论例 1 设随机变量 X具有 (0—1）分布，其分布率为
pXPpXP }1{,1}0{
求 D(X),
解 pppXE 1)1(0)(
pppXE 222 1)1(0)(
由公式
)1()]([)()( 222 ppppXEXEXD
因此,0-1分布
)1()(,)( ppXDpXE
概率论例 2 。，求设 )()(~ XDX
解 X的分布率为
0,,2,1,0,!}{
kkekXP
k
上节已算得 而,)(XE
])1([)( 2 XXXEXE )()]1([ XEXXE
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k
k
k
ekk
2
2
2
)!2(k
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22 ee
概率论
.
,,
泊松分布就被确定了只要知道分布率中只含一个参数。泊松分布的等于数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的
22 )]([)()( XEXEXD
因此,泊松分布
)(,)( XDXE
概率论例 3 。，求设 )(),(~ XDbaUX
解 的概率密度为X?
其它0
1
)(
bxa
abxf
。方差为上节已求得 2)( baXE
122
1
)()()(
22
2
22
abba
dx
ab
x
XEXEXD
b
a
因此,均匀分布
12)(,2)(
2ab
XDbaXE
概率论例 4 设随机变量 X服从指数分布,其概率密度为
00
0
1
)(
x
xe
xf
x
)()(0 XDXE,，求其中
解
dxexdxxxfXE
x
0
1)()(
2
0
222 21)()(?
dxexdxxfxXE
x
2)(XD因此由此可知,指数分布
2 ）（，）（ XDXE
概率论三、方差的性质
1,设 C 是常数,则 D(C)=0 ;
2,若 C 是常数,则 D(CX)=C2 D(X) ;
3,设 X 与 Y 是两个随机变量，则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
4,D(X)=0 P{X= C}=1,? 这里 C=E(X)
概率论下面我们证明性质 3
证明
)]}()][({[2)()(
)]}()][({[2
})]({[})]({[
}))](())({ [ (
})](){ [ ()(
22
2
2
YEYXEXEYDXD
YEYXEXE
YEYEXEXE
YEYXEXE
YXEYXEYXD
若 X,Y 相互独立,由数学期望的性质 4得
)()()( YDXDYXD
此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况,
概率论例 6 设 X~B(n,p)，求 E(X)和 D(X).
若设
次试验失败如第次试验成功如第
i
i
X i
0
1 i=1,2,…,n
则 是 n次试验中“成功” 的次数?
n
i
iXX
1
下面我们举例说明方差性质的应用,
解 X~B(n,p),
“成功” 次数,
则 X表示 n重努里试验中的概率论于是
i=1,2,…,n
由于 X1,X2,…,Xn 相互 独立
n
i
iXDXD
1
)()( = np(1- p)
E(Xi)= p,D(Xi)=p(1- p),
分布，所以是可知 10?iX
npXEXE
n
i
i
1
)()(
则若 ),,(~ pnBX
)1()(,)( pnpXDnpXE
概率论例 7 ).()(),1,0(~ XDXENX 和求设解 的概率密度为X
xex
x
2
2
2
1)(
于是 02
1)()( 2
2
dxxedxxxXE
x
121)())(()( 222
2
dxexdxxXExXD
x
则若 ),1,0(~ NX 1)(,0)( XDXE
概率论
），（，则若 10~),(~ 2 NXZNX
1)(,0)( ZDZE
质得由数学期望和方差的性而, ZX
)()()()( EZEZEXE
22 )()()()( DZDZDXD
，则若 ),(~ 2NX 2)(,)( XDXE
差所确定。可由它的数学期望和方布完全望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期和概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的 2
概率论例如,,),4,2(~),3,1(~ 相互独立和且若 YXNYNX
），（故有也服从正态分布，而则
484~,48)(
,4)(32
NZXD
ZEYXZ
且它们相互独立，则若,,2,1),,(~ 2 niNX iii
.)0,,(
:
21
2211
仍然服从正态分布的常数是不全为它们的线性组合
n
nn
CCC
XCXCXC
),(~
1
22
1
2211
n
i
ii
n
i
iinn CCNXCXCXC且概率论例 8 气缸的计以设活塞的直径 ),03.0,40.22(~)( 2NXcm
,.),04.0,50.22(~ 2 任取一支活塞相互独立和直径 YXNY
.,率求活塞能装入气缸的概任取一只气缸解 }.0{},{ YXPYXP 即求按题意需求由于 )00 25.0,10.0(~ NYX
故有
9 7 7 2.0)2()
05.0
10.0
(
}
0 0 2 5.0
)10.0(0
0 0 2 5.0
)10.0()(
{
}0{}{
YX
P
YXPYXP
概率论四、切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件 {|X-E(X)|< }的概率越大，即 随机变量 X 集中在期望附近的可能性越大,
2?
2
2
1}|)({|
XEXP
2
2
}|)({|
XEXP
，有不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理
,)(
,)(
2?
XD
XEX
概率论证我们只就连续型随机变量的情况来证明,
，则有的概率密度为设 )( xfX
2
2
2
2
2
2
)()(
1
)(
)(}{
dxxfx
dxxf
x
dxxfXP
X
X
概率论当方差已知时，切比雪夫不等式给出了 r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式,?
如取 3?
2
2
}|)({|
XEXP
1 1 1.0
9
}3|)({| 2
2
XEXP
可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，
则 r.v X取值偏离 E(X)超过 3 的概率小于 0.111,
2?
概率论例 9 已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是 7300，均方差是 700,利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率,
解：设每毫升白细胞数为 X
依题意,E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400)?
P(5200 X 9400)?
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}?
概率论
2)2 1 0 0(
)(1 XD
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}?
2)
21 00
70 0(1
9
8
9
11
即估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率不小于 8/9,
概率论例 10 在每次试验中，事件 A发生的概率为 0.75,
利用切比雪夫不等式求,n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中,事件 A出现的频率在 0.74~0.76
之间的概率至少为 0.90?
解：设 X为 n 次试验中，事件 A出现的次数，
E(X)=0.75n,
的最小的 n,
900760740,)..( nXP
则 X~B(n,0.75)
所求为满足
D(X)=0.75× 0.25n=0.1875n
概率论
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n)
2)01.0(
)(1
n
XD
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
20 00 1.0
1 87 5.01
n
n
n
18751
P(0.74n< X<0.76n )
)76.074.0( nXP
)76.074.0( nXP
可改写为在切比雪夫不等式中取 n，则0.01
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
概率论
1 8 7 5 09.011 8 7 5n
解得依题意，取
9.018 751 n
即 n 取 18750时，可以使得在 n次独立重复试验中,
事件 A出现的频率在 0.74~0.76之间的概率至少为 0.90,
概率论五、课堂练习
1,设随机变量 X服从几何分布，概率分布为
P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…
其中 0<p<1,求 E(X),D(X)
密度为：服从瑞利分布，其概率设随机变量 X2、
00
0)(
2
2
2
2
x
xe
x
xf
x
).(),(0 XDXE是常数，求其中
概率论
1,解,记 q=1-p
1
1)(
k
kk pqXE
1
)'(
k
kqp
1
)'(
k
kqp )'
1
(
q
qp
p
1?
求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式概率论
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
])1([
1
1
1
1
k
k
k
k kqqkkp
1
)(
k
kqqp +E(X)
pq
qqp 1)
1
(
pq
qp 1
)1(
2
3 pp
q 12
2 2
2
p
p
2
2
p
p
2
1
p
2
1
p
p
1
122 )(
k
kpqkXE
概率论
2、解
0
2
2 2
)()(
2
2
dxe
x
x
dxxxfXE
x
2
2
0
2
22
2
4
2
)(
)()()(
dxxfx
XEXEXD
概率论六、小结这一讲，我们介绍了随机变量的方差,
它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征,
下一讲，我们将介绍刻划两 r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：
协方差、相关系数概率论七,布置作业
,概率论与数理统计,作业（四）
三、解答题第 1,5小题一、填空题第 2,3小题二、选择题第 3小题
