概率论概率论与数理统计习题课五概率论一,填空题,
1,设
n
XXX,,
21
是独立同分布的随机变量序列,且均值为?,方差为
2
,那么当 n 充分大时,近 似 有 ~X 或
~
/ n
X
。特别的，当同为正态分布时，对于任意的 n,都精确有
~X 或 ~
/ n
X
),(
2
nN
)1,0(N
),(
2
nN
)1,0(N
概率论
2,设
n
XXX,,
21
是独立同分布的随机变量序列,且
2
,
ii
XDXE,那么
n
i
i
X
n 1
2
1
依概率收敛于一,填空题,
22
解,)( 2iXE2)()( ii XEXD 22
相互独立且,,,,22221 nXXX
),2,1(i
2 2 2
1
1 n P
i
i
Xn
故
概率论
3 ）设
4321
,,,XXXX 是来自正态总体
2
2,0N
的样本，令
2
43
2
21
XXXXY 则当?C 时2~
2
CY,
解,12 08X X ~ N (,)?因 )8,0(~43 NXX?
)1,0(~8 21 NXX? )1,0(~8 43 NXX?
22
23412 2
88
XXXX ~ ( )
所 以?
)2(~8 2?Y即 18C?故
8
1
一,填空题,
概率论二、选择题
1 ） 设
2
,~NX,其中? 已知，
2
未知，
321
,,XXX 为样本，则下列选项中不是统计量的是
A ）
321
XXX B ）
321
,,m a x XXX
C ）?
3
1
2
2
i
i
X
D ）
1
X
C
概率论二、选择题
2 ）设pbX,1~,,,,
21 n
XXX? 是来自 X 的样本，那么下列选项中不正确的是
A) 当 n 充分大时，近似有?
n
pp
pNX
)1(
,~
B ）
nkppCkXP
knkk
n
,2,1,0,)1(
C ） nkppC
n
k
XP
knkk
n
,2,1,0,)1(
D ）
,1,0,1,)1(
1
1
knippCkXP
kkk
i
B
概率论二、选择题3 ）已知ntX ~ 那么 ~
2X
A ） ),1( nF B ） )1,( nF C ） )(2 n? D ）nt
解,X ~ t( n ),nVUX /?则
01U ~ N (,),其 中 2V ~ ( n )?
2
2 1U/X
V / n?故 ),1(~ nF
A
概率论三、解答题
1 ）设供电网有 1 0000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为 0.7,并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在 68 00 到 72 00 之间的概率解,数表示夜晚同时开灯的盏设 X)2(
)7.0,1 00 00(~ BX则,7000)(?XE,2100)(?XD
由切比雪夫不等式,)(1}|)({| 2 XDXEXP
6 8 0 0 7 2 0 0PX故 }20 0|70 00{| XP
2200
21001 9475.0? 为所求概率论三、解答题
1 ）设供电网有 1 0000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为 0.7,并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在 68 00 到 72 00 之间的概率解,数表示夜晚同时开灯的盏设 X)1(
)7.0,1 00 00(~ BX则,7000)(?XE,2100)(?XD
由中心极限定理 )1,0(~)1( Npnp
npX
近似概率论
21002002100200
6 8 0 0 7 2 0 0PX故
21 00
70 0072 00
21 00
70 00
21 00
70 0068 00 XP
121002002
13 6 4 4.42
1?
概率论三、解答题
2 ）一系统是由 n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为 0.9,且必须至少由 80 ％的部件正常工作，系统才能正常工作，问 n 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.9 5？
解,数表示正常工作的部件个设 X)1(
)9.0,(~ nBX则,9.0)( nXE?,09.0)( nXD?
由中心极限定理
08P { n X,n }故
n
nn
n
nX
n
nnP
09.0
9.08.0
09.0
9.0
09.0
9.0
)1,0(~09.0 9.0 NnnX?近似概率论 08P { n X,n }于 是
13.0 1.02 nn95.0?
1 9 6 0 0 9 7 5(,),因
01 1 9 6 0
03
.n,
.n?所 以
3 4 5 7 4 4n.?解 得
35n?即
n
nn
n
nX
n
nnP
09.0
9.08.0
09.0
9.0
09.0
9.0
97 5.03.0 1.0 nn即概率论三、解答题
3 ）甲乙两电影院在竞争 1000 名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 1 ％
解,表示来甲电影院的人数设 X)1(
)5.0,1000(~ BX则,500)(?XE,250)(?XD
由中心极限定理
P { X N }?故
250
500
250
500 NXP
)1,0(~2500 500 NX?近似
2505001 N
座位至少设个 N
概率论
P { X N }?于 是
250
500
250
500 NXP?
250
5001 N%1?
%992 505 00 N即
2 3 2 7 0 9 9(,),因 500
2 3 2 7250N,,所 以
5 3 6 7 9N.?解 得
537N?即概率论三、解答题
4 ）总体
2
,~NX,
121
,,,
nn
XXXX? 为样本，
n
i
i
X
n
X
1
1
,?
n
i
i
XX
n
S
1
22
)(
1
1
求
1
1
n
n
S
XX
n
的分布,
)1(解,),1(~)1( 22
2
nSn由 ),,(~
2
nNX
又
n
nNXX
n
2
1
1,0~1 01
1
nXX n ~ N,
n
故?
2
1
2
1 1
11
nXX n ( n ) s ~ t n
n ( n )
于 是
1 11nXX n ~ t nSn即概率论四、证明题设,,,
21 n
XXX? 是来自总体 X 的简单样本，
i
i
aXE?)(,)4,3,2,1(?i 存在,)0(
2
24
aa,
证明当 n 充分大时,?
n
i
i
X
n 1
2
1
近似服从正态分布。
证明,)( 2iXE ),2,1( ni)( 2XE? 2a?
2
1
1 n
i
i
EXn
故 2a?
)( 2iXD )( 2XD 224 )()( XEXE 224 aa ),2,1( ni
2
1
1 n
i
i
DXn
于 是 n aa
2
24
概率论 相互独立同分布且,,,,
22221 nXXX
限定理由独立同分布中心极很大时n
22
11
2
1
11
1
nn
ii
ii
n
i
i
X E X
nn
DX
n
近似服从标准正态分布
naa
aX
n
n
i
i
/
1
2
24
2
1
2
即近似服从标准正态分布
2
1
1 n
i
i
Xn
因 而 近似服从正态分布n aaaN 2242,
1,设
n
XXX,,
21
是独立同分布的随机变量序列,且均值为?,方差为
2
,那么当 n 充分大时,近 似 有 ~X 或
~
/ n
X
。特别的，当同为正态分布时，对于任意的 n,都精确有
~X 或 ~
/ n
X
),(
2
nN
)1,0(N
),(
2
nN
)1,0(N
概率论
2,设
n
XXX,,
21
是独立同分布的随机变量序列,且
2
,
ii
XDXE,那么
n
i
i
X
n 1
2
1
依概率收敛于一,填空题,
22
解,)( 2iXE2)()( ii XEXD 22
相互独立且,,,,22221 nXXX
),2,1(i
2 2 2
1
1 n P
i
i
Xn
故
概率论
3 ）设
4321
,,,XXXX 是来自正态总体
2
2,0N
的样本，令
2
43
2
21
XXXXY 则当?C 时2~
2
CY,
解,12 08X X ~ N (,)?因 )8,0(~43 NXX?
)1,0(~8 21 NXX? )1,0(~8 43 NXX?
22
23412 2
88
XXXX ~ ( )
所 以?
)2(~8 2?Y即 18C?故
8
1
一,填空题,
概率论二、选择题
1 ） 设
2
,~NX,其中? 已知，
2
未知，
321
,,XXX 为样本，则下列选项中不是统计量的是
A ）
321
XXX B ）
321
,,m a x XXX
C ）?
3
1
2
2
i
i
X
D ）
1
X
C
概率论二、选择题
2 ）设pbX,1~,,,,
21 n
XXX? 是来自 X 的样本，那么下列选项中不正确的是
A) 当 n 充分大时，近似有?
n
pp
pNX
)1(
,~
B ）
nkppCkXP
knkk
n
,2,1,0,)1(
C ） nkppC
n
k
XP
knkk
n
,2,1,0,)1(
D ）
,1,0,1,)1(
1
1
knippCkXP
kkk
i
B
概率论二、选择题3 ）已知ntX ~ 那么 ~
2X
A ） ),1( nF B ） )1,( nF C ） )(2 n? D ）nt
解,X ~ t( n ),nVUX /?则
01U ~ N (,),其 中 2V ~ ( n )?
2
2 1U/X
V / n?故 ),1(~ nF
A
概率论三、解答题
1 ）设供电网有 1 0000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为 0.7,并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在 68 00 到 72 00 之间的概率解,数表示夜晚同时开灯的盏设 X)2(
)7.0,1 00 00(~ BX则,7000)(?XE,2100)(?XD
由切比雪夫不等式,)(1}|)({| 2 XDXEXP
6 8 0 0 7 2 0 0PX故 }20 0|70 00{| XP
2200
21001 9475.0? 为所求概率论三、解答题
1 ）设供电网有 1 0000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为 0.7,并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在 68 00 到 72 00 之间的概率解,数表示夜晚同时开灯的盏设 X)1(
)7.0,1 00 00(~ BX则,7000)(?XE,2100)(?XD
由中心极限定理 )1,0(~)1( Npnp
npX
近似概率论
21002002100200
6 8 0 0 7 2 0 0PX故
21 00
70 0072 00
21 00
70 00
21 00
70 0068 00 XP
121002002
13 6 4 4.42
1?
概率论三、解答题
2 ）一系统是由 n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为 0.9,且必须至少由 80 ％的部件正常工作，系统才能正常工作，问 n 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.9 5？
解,数表示正常工作的部件个设 X)1(
)9.0,(~ nBX则,9.0)( nXE?,09.0)( nXD?
由中心极限定理
08P { n X,n }故
n
nn
n
nX
n
nnP
09.0
9.08.0
09.0
9.0
09.0
9.0
)1,0(~09.0 9.0 NnnX?近似概率论 08P { n X,n }于 是
13.0 1.02 nn95.0?
1 9 6 0 0 9 7 5(,),因
01 1 9 6 0
03
.n,
.n?所 以
3 4 5 7 4 4n.?解 得
35n?即
n
nn
n
nX
n
nnP
09.0
9.08.0
09.0
9.0
09.0
9.0
97 5.03.0 1.0 nn即概率论三、解答题
3 ）甲乙两电影院在竞争 1000 名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 1 ％
解,表示来甲电影院的人数设 X)1(
)5.0,1000(~ BX则,500)(?XE,250)(?XD
由中心极限定理
P { X N }?故
250
500
250
500 NXP
)1,0(~2500 500 NX?近似
2505001 N
座位至少设个 N
概率论
P { X N }?于 是
250
500
250
500 NXP?
250
5001 N%1?
%992 505 00 N即
2 3 2 7 0 9 9(,),因 500
2 3 2 7250N,,所 以
5 3 6 7 9N.?解 得
537N?即概率论三、解答题
4 ）总体
2
,~NX,
121
,,,
nn
XXXX? 为样本，
n
i
i
X
n
X
1
1
,?
n
i
i
XX
n
S
1
22
)(
1
1
求
1
1
n
n
S
XX
n
的分布,
)1(解,),1(~)1( 22
2
nSn由 ),,(~
2
nNX
又
n
nNXX
n
2
1
1,0~1 01
1
nXX n ~ N,
n
故?
2
1
2
1 1
11
nXX n ( n ) s ~ t n
n ( n )
于 是
1 11nXX n ~ t nSn即概率论四、证明题设,,,
21 n
XXX? 是来自总体 X 的简单样本，
i
i
aXE?)(,)4,3,2,1(?i 存在,)0(
2
24
aa,
证明当 n 充分大时,?
n
i
i
X
n 1
2
1
近似服从正态分布。
证明,)( 2iXE ),2,1( ni)( 2XE? 2a?
2
1
1 n
i
i
EXn
故 2a?
)( 2iXD )( 2XD 224 )()( XEXE 224 aa ),2,1( ni
2
1
1 n
i
i
DXn
于 是 n aa
2
24
概率论 相互独立同分布且,,,,
22221 nXXX
限定理由独立同分布中心极很大时n
22
11
2
1
11
1
nn
ii
ii
n
i
i
X E X
nn
DX
n
近似服从标准正态分布
naa
aX
n
n
i
i
/
1
2
24
2
1
2
即近似服从标准正态分布
2
1
1 n
i
i
Xn
因 而 近似服从正态分布n aaaN 2242,
