概率论第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法三种常见分布小结 布置作业概率论从中任取 3 个球取到的白球数 X是一个随机变量,
(1) X 可能取的值是 0,1,2 ;
(2) 取每个值的概率为,
看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义
35 10
1033{}PX
概率论定义 1,某些随机变量 X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为 离散型随机变量,
3 2 5 31
102 1 3{}PX
3 2 5 32
101 2 3{}PX
概率论其中 (k=1,2,…) 满足：
kp
,0?kp k=1,2,…（ 1）
k
kp 1
（ 2）
定义 2,设 xk (k=1,2,… ) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值,称为 离散型随机变量 X 的分布律,
用这两条性质判断一个函数是否是分布律
12{ },,,kkP X x p k
概率论解,依据分布律的性质
k
kXP 1)(
P(X =k)≥0,
1
!0
ae
k
a
k
ka≥0,
从中解得即
ea
例 2 设随机变量 X的分布律为：
,
!
)(
k
akXP
k?
k =0,1,2,…,
试确定常数 a,
0
0k
k
k
e
!
概率论二、离散型随机变量表示方法
（ 1）公式法
（ 2）列表法
12{ },,,kkP X x p k
X
kp
12 kx x x
12 kp p p
概率论例 3 某篮球运动员投中篮圈概率是 0.9，求他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
解,X可取值为 0,1,2 ;
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01
P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18
P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81
概率论常常表示为：
81.018.001.0
210
~X
这就是 X的分布律,
概率论例 4 某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是 p,求 所需射击发数 X 的分布律,
解,显然,X 可能取的值是 1,2,…,
P{X=1}=P(A1)=p,
为计算 P{X =k },k = 1,2,…,
Ak = {第 k发命中 },k=1,2,…,
设于是
pp )1( )()2( 21 AAPXP
)()3( 321 AAAPXP pp 2)1(
概率论
,2,1?k ppkXP k 1)1()(可见这就是求 所需射击发数 X的分布律,
概率论例 5 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相等,
以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,
求 X的分布律,
解,依题意,X可取值 0,1,2,3.
P{X=0}=P(A1)=1/2,
Ai={第 i个路口遇红灯 },i=1,2,3设路口 3路口 2路口 1
概率论
P{X=1}=P( )
21AA
2
1
2
1 = 1/4
321 AAA
P{X=2}=P( )
2
1
2
1
2
1 =1/8
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口 3路口 2路口 1
路口 3路口 2路口 1
概率论
321 AAA
=1/8P(X=3)= P( )
2
1
2
1
2
1
路口 3路口 2路口 1
8
1
8
1
4
1
2
1
3210
~X即
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数概率论三、三种常见分布
1、（ 0-1）分布,（也称两点分布）
随机变量 X只可能取 0与 1两个值，其分布律为：
101,0,1 1 pkppkXP kk
pp
X
1
10
~或概率论看一个试验 将 一枚均匀骰子抛掷 3次,
X的分布律是：
2.伯努利试验和二项分布
33 15
0 1 2 366{ },,,,.
kk
kP X x kk
令 X 表示 3次中出现,4”点的次数概率论掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
一般地,设在一次试验 E中我们只考虑两个互逆的结果,A或,A
这样的试验 E称为 伯努利试验,
概率论
“重复” 是指这 n 次试验中 P(A)= p 保持不变,
将伯努利试验 E独立地重复地进行 n次,
则称这一串 重复的独立 试验为 n重伯努利试验,
“独立” 是指各 次试验的结果互不影响,
概率论用 X表示 n重伯努利试验中事件 A发生的次数,
则
1)(
0
n
k
kXP
易证,0)( kXP（ 1）
称 r.v X 服从参数为 n和 p的二项分布,记作
X~b(n,p)
}{ kXP1 0 1,,,
n nkk
k
p p k n
（ 2）
概率论
007125.0)95.0()05.0()2( 223 CXP
例 6 已知 100个产品中有 5个次品，现从中 有放回地取 3次，每次任取 1个，求在所取的 3个中恰有 2
个次品的概率,
解,因为这是有放回地取 3次，因此这 3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验,
依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05.
设 X为所取的 3个中的次品数，
于是，所求概率为,
则 X ~ b(3,0.05)，
概率论若 将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验,此时,只能用古典概型求解,
0 0 6 1 8.0)2( 3
100
2
5
1
95
C
CC
XP
请注意：
概率论伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，
但有下述要求：
（ 1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是 n重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律,
（ 2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或,A
（ 3）各次试验相互独立,
可以简单地说，
且 P(A)=p,； 1()P A p
概率论例 7 某类灯泡使用时数在 1000小时以上的概率是 0.2，求三个灯泡在使用 1000
小时以后最多只有一个坏了的概率,
解,设 X为三个灯泡在使用 1000小时已 坏的灯泡数,
X ~ b (3,0.8)，
把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,
“使用到 1000小时已坏”
视为事件 A,每次试验,
A 出现的概率为 0.8
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1}?
=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
=0.104
,)2.0()8.0()( 33 kkkCkXP 3,2,1,0?k
概率论
3,泊松分布
,,2,1,0,
!
)( ke
k
kXP
k
设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,2,…,
且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作 X~π( ).
λ
λ λ
概率论例 8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数 λ =5
的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进 某种商品多少件？
解,设该商品每月的销售数为 X,
已知 X服从参数 λ =5的泊松分布,
设商店在月底应进 某种商品 m件,
求满足 P{ X ≤ m }>0.95 的最小的 m,
进货数销售数概率论求满足 P {X ≤ m }>0.95 的最小的 m.
查泊松分布表得
,0 3 2.0
!
5
10
5
k
k
k
e
P{X>m}≤ 0.05也即
068.0
!
5
9
5
k
k
k
e
于是得 m+1=10,
1
5
05.0
!
5
mk
k
k
e
m=9件或概率论对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,
也就知道了该随机变量取值的概率规律,在这个意义上，我们说这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量,
离散型随机变量由它的分布律唯一确定,
四,小结概率论练习题二,设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，
在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）求 X 的分布律,（ 2 ）画出分布律的图形。
一,一袋中有 4 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律概率论三、一篮球运动员的投篮命中率为 45 %,
以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，
写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率。
四、一大楼装有 5 个同类型的供水设备，
调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为 0.1,问在同一时刻
（ 1 ）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？
（ 2 ）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 3 ）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 4 ）至少有一个设备被使用的概率是多少？
概率论解,4,3?XX 的所有可能取值为：
}3{?XP 3
4
1
C? 4
1?
}4{?XP 3
4
2
3
C
C?
4
3?
一,一袋中有 4 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律概率论二,设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，
在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）求 X 的分布律,（ 2 ）画出分布律的图形。
解,2,1,0?XX 的所有可能取值为：
}0{?XP 3
15
3
13
C
C?
35
22? }1{?XP
3
15
1
2
2
13
C
CC?
35
12?
}2{?XP 3
15
2
2
1
13
C
CC?
35
1?
概率论三、一篮球运动员的投篮命中率为 45 %,
以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，
写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率。
解,?,2,1?XX 的所有可能取值为：
,2,1?iiA i 次投篮命中，表示第
}{ kXP? )( 121 kk AAAAP
)()()()( 121 kk APAPAPAP
,2,1%45)( iAP i,则相互独立，，，且 kk AAAA 121
,2,1%45%55 1 kk,
概率论
}{ 取偶数XP?
1
}2{
k
kXP
1
12 %45%55
k
k
31
11?
概率论四、一大楼装有 5 个同类型的供水设备，
调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为 0.1,问在同一时刻
（ 1 ）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？
（ 2 ）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 3 ）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 4 ）至少有一个设备被使用的概率是多少？
解,被使用的个数表示同一时刻供水设备X
)1.0,5(~X则
}{ kXP 5,1,09.01.0 55 kC kkk
}2{?X
}3{?X
}3{?X
}1{?X
概率论
)1( }2{?XP 25225 9.01.0?C 0729.0?
)2( }3{?XP }5{}4{}3{ XPXPXP
00856.0?
)3( }3{?XP }3{1 XP
}5{}4{1 XPXP
99954.0?
)4( }1{?XP }1{1 XP
}0{1 XP
40951.0?
概率论五、布置作业
,概率统计,标准化作业（二）
一,1；三,1,4；
(1) X 可能取的值是 0,1,2 ;
(2) 取每个值的概率为,
看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义
35 10
1033{}PX
概率论定义 1,某些随机变量 X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为 离散型随机变量,
3 2 5 31
102 1 3{}PX
3 2 5 32
101 2 3{}PX
概率论其中 (k=1,2,…) 满足：
kp
,0?kp k=1,2,…（ 1）
k
kp 1
（ 2）
定义 2,设 xk (k=1,2,… ) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值,称为 离散型随机变量 X 的分布律,
用这两条性质判断一个函数是否是分布律
12{ },,,kkP X x p k
概率论解,依据分布律的性质
k
kXP 1)(
P(X =k)≥0,
1
!0
ae
k
a
k
ka≥0,
从中解得即
ea
例 2 设随机变量 X的分布律为：
,
!
)(
k
akXP
k?
k =0,1,2,…,
试确定常数 a,
0
0k
k
k
e
!
概率论二、离散型随机变量表示方法
（ 1）公式法
（ 2）列表法
12{ },,,kkP X x p k
X
kp
12 kx x x
12 kp p p
概率论例 3 某篮球运动员投中篮圈概率是 0.9，求他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
解,X可取值为 0,1,2 ;
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01
P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18
P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81
概率论常常表示为：
81.018.001.0
210
~X
这就是 X的分布律,
概率论例 4 某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是 p,求 所需射击发数 X 的分布律,
解,显然,X 可能取的值是 1,2,…,
P{X=1}=P(A1)=p,
为计算 P{X =k },k = 1,2,…,
Ak = {第 k发命中 },k=1,2,…,
设于是
pp )1( )()2( 21 AAPXP
)()3( 321 AAAPXP pp 2)1(
概率论
,2,1?k ppkXP k 1)1()(可见这就是求 所需射击发数 X的分布律,
概率论例 5 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相等,
以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,
求 X的分布律,
解,依题意,X可取值 0,1,2,3.
P{X=0}=P(A1)=1/2,
Ai={第 i个路口遇红灯 },i=1,2,3设路口 3路口 2路口 1
概率论
P{X=1}=P( )
21AA
2
1
2
1 = 1/4
321 AAA
P{X=2}=P( )
2
1
2
1
2
1 =1/8
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口 3路口 2路口 1
路口 3路口 2路口 1
概率论
321 AAA
=1/8P(X=3)= P( )
2
1
2
1
2
1
路口 3路口 2路口 1
8
1
8
1
4
1
2
1
3210
~X即
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数概率论三、三种常见分布
1、（ 0-1）分布,（也称两点分布）
随机变量 X只可能取 0与 1两个值，其分布律为：
101,0,1 1 pkppkXP kk
pp
X
1
10
~或概率论看一个试验 将 一枚均匀骰子抛掷 3次,
X的分布律是：
2.伯努利试验和二项分布
33 15
0 1 2 366{ },,,,.
kk
kP X x kk
令 X 表示 3次中出现,4”点的次数概率论掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
一般地,设在一次试验 E中我们只考虑两个互逆的结果,A或,A
这样的试验 E称为 伯努利试验,
概率论
“重复” 是指这 n 次试验中 P(A)= p 保持不变,
将伯努利试验 E独立地重复地进行 n次,
则称这一串 重复的独立 试验为 n重伯努利试验,
“独立” 是指各 次试验的结果互不影响,
概率论用 X表示 n重伯努利试验中事件 A发生的次数,
则
1)(
0
n
k
kXP
易证,0)( kXP（ 1）
称 r.v X 服从参数为 n和 p的二项分布,记作
X~b(n,p)
}{ kXP1 0 1,,,
n nkk
k
p p k n
（ 2）
概率论
007125.0)95.0()05.0()2( 223 CXP
例 6 已知 100个产品中有 5个次品，现从中 有放回地取 3次，每次任取 1个，求在所取的 3个中恰有 2
个次品的概率,
解,因为这是有放回地取 3次，因此这 3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验,
依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05.
设 X为所取的 3个中的次品数，
于是，所求概率为,
则 X ~ b(3,0.05)，
概率论若 将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验,此时,只能用古典概型求解,
0 0 6 1 8.0)2( 3
100
2
5
1
95
C
CC
XP
请注意：
概率论伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，
但有下述要求：
（ 1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是 n重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律,
（ 2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或,A
（ 3）各次试验相互独立,
可以简单地说，
且 P(A)=p,； 1()P A p
概率论例 7 某类灯泡使用时数在 1000小时以上的概率是 0.2，求三个灯泡在使用 1000
小时以后最多只有一个坏了的概率,
解,设 X为三个灯泡在使用 1000小时已 坏的灯泡数,
X ~ b (3,0.8)，
把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,
“使用到 1000小时已坏”
视为事件 A,每次试验,
A 出现的概率为 0.8
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1}?
=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
=0.104
,)2.0()8.0()( 33 kkkCkXP 3,2,1,0?k
概率论
3,泊松分布
,,2,1,0,
!
)( ke
k
kXP
k
设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,2,…,
且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作 X~π( ).
λ
λ λ
概率论例 8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数 λ =5
的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进 某种商品多少件？
解,设该商品每月的销售数为 X,
已知 X服从参数 λ =5的泊松分布,
设商店在月底应进 某种商品 m件,
求满足 P{ X ≤ m }>0.95 的最小的 m,
进货数销售数概率论求满足 P {X ≤ m }>0.95 的最小的 m.
查泊松分布表得
,0 3 2.0
!
5
10
5
k
k
k
e
P{X>m}≤ 0.05也即
068.0
!
5
9
5
k
k
k
e
于是得 m+1=10,
1
5
05.0
!
5
mk
k
k
e
m=9件或概率论对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,
也就知道了该随机变量取值的概率规律,在这个意义上，我们说这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量,
离散型随机变量由它的分布律唯一确定,
四,小结概率论练习题二,设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，
在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）求 X 的分布律,（ 2 ）画出分布律的图形。
一,一袋中有 4 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律概率论三、一篮球运动员的投篮命中率为 45 %,
以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，
写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率。
四、一大楼装有 5 个同类型的供水设备，
调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为 0.1,问在同一时刻
（ 1 ）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？
（ 2 ）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 3 ）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 4 ）至少有一个设备被使用的概率是多少？
概率论解,4,3?XX 的所有可能取值为：
}3{?XP 3
4
1
C? 4
1?
}4{?XP 3
4
2
3
C
C?
4
3?
一,一袋中有 4 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律概率论二,设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，
在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）求 X 的分布律,（ 2 ）画出分布律的图形。
解,2,1,0?XX 的所有可能取值为：
}0{?XP 3
15
3
13
C
C?
35
22? }1{?XP
3
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35
1?
概率论三、一篮球运动员的投篮命中率为 45 %,
以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，
写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率。
解,?,2,1?XX 的所有可能取值为：
,2,1?iiA i 次投篮命中，表示第
}{ kXP? )( 121 kk AAAAP
)()()()( 121 kk APAPAPAP
,2,1%45)( iAP i,则相互独立，，，且 kk AAAA 121
,2,1%45%55 1 kk,
概率论
}{ 取偶数XP?
1
}2{
k
kXP
1
12 %45%55
k
k
31
11?
概率论四、一大楼装有 5 个同类型的供水设备，
调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为 0.1,问在同一时刻
（ 1 ）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？
（ 2 ）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 3 ）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？
（ 4 ）至少有一个设备被使用的概率是多少？
解,被使用的个数表示同一时刻供水设备X
)1.0,5(~X则
}{ kXP 5,1,09.01.0 55 kC kkk
}2{?X
}3{?X
}3{?X
}1{?X
概率论
)1( }2{?XP 25225 9.01.0?C 0729.0?
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99954.0?
)4( }1{?XP }1{1 XP
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概率论五、布置作业
,概率统计,标准化作业（二）
一,1；三,1,4；
