概率论第二节 中心极限定理中心极限定理例题课堂练习小结 布置作业概率论中心极限定理的客观背景在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和 )影响所形成的,
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，
就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的,每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的,那么弹着点服从怎样分布哪？
概率论如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大,则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布,
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见,
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题,
高斯当 n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
概率论由于无穷个随机变量之和可能趋于 ∞，故我们不研究 n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,
n
k
k
n
k
n
k
kk
n
XD
XEX
Y
1
1 1
)(
)(
正态分布的极限分布是否为标准讨论 nY
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做 中心极限定理,
n
k kk
XnkX
1
),1( 的和即考虑随机变量?
概率论一、中心极限定理
x
n
nX
PxF
n
i
i
n
n
n?
1lim)(lim
定理 1（独立同分布下的中心极限定理）
，则随机变量之和方差布，且具有数学期望和相互独立，服从同一分设随机变量
),2,1(
)(,)(:
,,,
2
21
k
XDXE
XXX
kk
n
n
nX
Y
n
k
k
n
1 满足对于任意的分布函数 xxF n )(
的标准化变量?
n
k k
X
1
x- 2t- dte21 2?)( x
概率论注
).1,0(~;),(~
,1
12
1
1
N
n
nX
nnNX
n
X
n
k
kn
k
k
n
k
k
近似地近似地有和与其标准化变量分别充分大时，随机变量之当布的随机变量之和、定理表明，独立同分
)1,0(~),(~
2
2 N
n
X
nNX
近似地近似地或为定理的另一种形式可写、独立同分布中心极限
n
k k
XnX
1
1其中
3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当 n很大时，可以求出近似分布,
n
k k
X
1
概率论定理 2（李雅普诺夫 (Liapounov)定理 )
),2,1(,)(,)(
,,,
2
21
kXDXE
XXX
kkkk
n
有数学期望和方差：
相互独立，它们具设随机变量
n
k kn
B
1
22?记
n
k
kk
n
XE
B
n
1
2
2 0
1?
时，，使得当若存在正数的标准化变量：则随机变量之和?
n
k k
X
1
概率论
n
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
B
X
XD
XEX
Z
11
1
11
)(
)(?
，满足对于任意的分布函数 xxF n )(
x
B
X
PxF
n
n
k
n
k
kk
n
n
n
1 1lim)(lim
x- 2t- dte21 2? )( x
概率论请注意,
分别近似服从很大时在及其标准化变量、定理中随机变量之和
,
1
1
nZ
X
n
n
k
k?
)1,0(~;),(~ 2
11
NZBNX nnn
k k
n
k k
近似地近似地
.
2
1
个基本原因中所占的重要地位的一率论是为什么正态分布在概似服从正态分布，这就很大时，就近，当和定理条件，随即变量之要满足无论服从什么分布，只、随机变量
nX
X
n
k
k
k
概率论定理 6(棣莫佛－拉普拉斯（ De Laplace定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npP n
n
设随机变量 (n=1,2,‥‥) 服从参数 n,p(0<p<1)
的二项分布，则对任意 x，有
n?
dte
x
t
2
2
2
1
)( x
证之和，分布的诸随机变量服从同一个相互独立、分解成为由第四章知识知可将
n
n
XXX
n
,,)10( 21?
n
k kn
X
1
即有
1,0,)1(
),,2,1(
1
ippiXP
nkX
ii
k
k 的分布律为其中?
概率论定理表明,当 n很大,0<p<1是一个定值时（或者说,np(1-p)也不太小时）,二项 变量 的 分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
n?
，由于 ),,2,1)1()(,)( nkppXDpXE kk
得由定理 4
}
)1(
{lim x
pnp
npP n
n
dte
x
t
2
2
2
1
)( x
}
)1(
{lim 1 x
pnp
npX
P
n
k
k
n
))1(,(~ pnpnpNn?近似地?即概率论下面演示不难看到中心极限定理的客观背景例,20个 0-1分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
X1 +X2+X3~ h(x)
几个 (0,1)上均匀分布的和的分布
0 1 2 3 x
f
g h
概率论二、例题例 1
,105.
)10,0(
),,2,1(20
1
的近似值，求记上服从均匀分布机变量，且都在区间设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到
VPVV
nkV
n
k
k
k?
)20
12
100
,520(~V4
).20,2,1(12100)(,5)(
20
1
NV
kVDVE
k
k
kk
近似地知，由定理易知?
于是
2012100
520105
2012100
520105 VpVP
387.0
2012100
520Vp
解概率论
3 8 7.0
20121 0 0
5201 Vp
34 8.0)38 7.0(1
34 8.010 5VP即有例 2,(供电问题 )某车间有 200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车,设开工率为 0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力 1千瓦,
问应供应多少瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
概率论用 X表示在某时刻工作着的车床数，
解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率 0.6,
共进行 200次独立重复试验,
依题意,X~B(200,0.6),
现在的问题是：
P(X≤N)≥0.999 的最小的 N.求满足设需 N台车床工作，
（由于每台车床在开工时需电力 1千瓦,N
台工作所需电力即 N千瓦,）
概率论由德莫佛 -拉普拉斯极限定理
)1( pnp
npX
近似 N(0,1),
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120,
np(1-p)=48
)48120()48120( N
由 3σ准则，
此项为 0。
)
48
120N(
9 9 9.0)481 2 0( N由 查正态分布函数表得
999.0)1.3(
概率论从中解得 N≥141.5,
即所求 N=142.
也就是说,应供应 142 千瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,
48
120?N ≥ 3.1,故例 3
.
400
.15.08.005.0
21
独立，且服从同一分布会议的家长数相互名学生，设各学生参加共有若学校、、分别为家长来参加会议的概率名名家长、个学生无家长、是一个随机变量，设一参加家长会的家长人数对于一个学生而言，来概率论
.34012
4501
的概率生数不多名家长来参加会议的学）求有（
的概率；超过）求参加会议的家长数（ X
解
15.08.005.0
210
)400,2,1()1(
k
k
k
k
p
X
X
kkX
的分布律为的家长数，则个学生来参加会议记第以
.400,2,119.0)(,1.1)( kXDXE kk易知
)19.0400,1.1400(~
4,.
400
1
NX
XX
k
k
近似地可知随机变量由定理而概率论
），（即有近似地
10N~
19.0400
8.0400
19.0400
1.1400
400
1
X
X
k
k
于是
19.0400 8.040045019.0400 8.0400450 XPXP
147.1
19.0400
8.04001 XP
12 57.0)14 7.1(1
概率论
2.08.0400 8.04003402.08.0400 8.0400340 YPXP
5.2
2.08.040 0
8.040 0YP
99 38.0)5.2(
），（随机变量 近似地 2.08.04008.0400N~Y
得，由定理议的学生数，则记有一名家长来参加会以
6)8.0,400(~
)2(
bY
Y
概率论例 1 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布,现随机地取 16只,设它们的寿命是相互独立的,求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率,
三、课堂练习概率论例 2 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，
从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,
否则次取到号码第
0
01 k
X k设,k=1,2,…
(1) 至少应取球多少次才能使,0”出现的频率在 0.09-
0.11之间的概率至少是 0.95?
(2)用中心极限定理计算在 100次抽取中,数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率,
概率论由题给条件知,诸 Xi独立,
16只元件的寿命的总和为
16
1k
kXY
且 E(Xi)=100,D(Xi)=10000
依题意，所求为 P(Y>1920)
设第 i只元件的寿命为 Xi,i=1,2,…,16例 1解答：
E(Y)=1600,D(Y)=160000
由中心极限定理,近似 N(0,1)
400
1600?Y
P(Y>1920)=1-P(Y?1920)
=1-?(0.8)
)4 0 01 6 0 01 9 2 0(
1-
=1-0.7881=0.2119
概率论
（ 1)解：设应取球 n次,0出现频率为?
n
k
kXn
1
1
,1.0)1(
1
n
k
kXnE
nXnD
n
k
k
09.0)1(
1
由中心极限定理
n
nX
n
k
k
3.0
1.0
1
n
X
n
n
k
k
3.0
1.0
1
1
例 2解答：
），（近似地 10N~
}11.0109.0{
1
n
k
kXnP
概率论
}01.0|1.01{|
1
n
k
kXnP
}
30
|
3.0
1.0
1
{| 1
n
n
X
n
P
n
k
k
1)
30
(2 n?
95.01)
30
(2n?
欲使
975.0)
30
(?n?
即
96.1
30
n
查表得从中解得 3458?n
即至少应取球 3458次才能使,0”出现的频率在
0.09-0.11之间的概率至少是 0.95.
概率论
（ 2）解：在 100次抽取中,数码,0”出现次数为?
100
1k
kX
由中心极限定理,
），（
近似地
10N~
)(
)(
100
1
100
1
100
1
k
k
k
k
k
k
XD
XEX
)1,0(N~
3
10
100
1
近似地
k
kX
即其中 E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09
概率论即在 100次抽取中，数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率为 0.6826.
1 0 0
1
)137(
k
kXP
=0.6826
)1
3
10
1(
100
1?
k
kX
P
)1()1(
1)1(2
概率论四、小结中心极限定理中心极限定理独立同分布中心极限定理拉普拉斯棣莫弗?
),(~
)()(
2
1
2
nnNX
XDXE
n
k
k
kk
近似地
，
))1(,(~
),(~
pnpnpN
pnN
n
n
近似地
中心极限定理李雅普诺夫
n
k
n
k
nkk
kkkk
BNX
xDXE
1 1
2
2
),(~
)(,)(
近似地
注 是相互独立的随机变量?,,21 XX
概率论这一节我们介绍了中心极限定理在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理,
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，
它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实,
概率论五,布置作业
,概率论与数理统计,标准化作业（五）
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，
就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的,每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的,那么弹着点服从怎样分布哪？
概率论如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大,则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布,
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见,
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题,
高斯当 n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
概率论由于无穷个随机变量之和可能趋于 ∞，故我们不研究 n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,
n
k
k
n
k
n
k
kk
n
XD
XEX
Y
1
1 1
)(
)(
正态分布的极限分布是否为标准讨论 nY
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做 中心极限定理,
n
k kk
XnkX
1
),1( 的和即考虑随机变量?
概率论一、中心极限定理
x
n
nX
PxF
n
i
i
n
n
n?
1lim)(lim
定理 1（独立同分布下的中心极限定理）
，则随机变量之和方差布，且具有数学期望和相互独立，服从同一分设随机变量
),2,1(
)(,)(:
,,,
2
21
k
XDXE
XXX
kk
n
n
nX
Y
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k
k
n
1 满足对于任意的分布函数 xxF n )(
的标准化变量?
n
k k
X
1
x- 2t- dte21 2?)( x
概率论注
).1,0(~;),(~
,1
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N
n
nX
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k
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k
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近似地近似地有和与其标准化变量分别充分大时，随机变量之当布的随机变量之和、定理表明，独立同分
)1,0(~),(~
2
2 N
n
X
nNX
近似地近似地或为定理的另一种形式可写、独立同分布中心极限
n
k k
XnX
1
1其中
3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当 n很大时，可以求出近似分布,
n
k k
X
1
概率论定理 2（李雅普诺夫 (Liapounov)定理 )
),2,1(,)(,)(
,,,
2
21
kXDXE
XXX
kkkk
n
有数学期望和方差：
相互独立，它们具设随机变量
n
k kn
B
1
22?记
n
k
kk
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1
2
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1?
时，，使得当若存在正数的标准化变量：则随机变量之和?
n
k k
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1
概率论
n
n
k
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k
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，满足对于任意的分布函数 xxF n )(
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n
n
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kk
n
n
n
1 1lim)(lim
x- 2t- dte21 2? )( x
概率论请注意,
分别近似服从很大时在及其标准化变量、定理中随机变量之和
,
1
1
nZ
X
n
n
k
k?
)1,0(~;),(~ 2
11
NZBNX nnn
k k
n
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近似地近似地
.
2
1
个基本原因中所占的重要地位的一率论是为什么正态分布在概似服从正态分布，这就很大时，就近，当和定理条件，随即变量之要满足无论服从什么分布，只、随机变量
nX
X
n
k
k
k
概率论定理 6(棣莫佛－拉普拉斯（ De Laplace定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npP n
n
设随机变量 (n=1,2,‥‥) 服从参数 n,p(0<p<1)
的二项分布，则对任意 x，有
n?
dte
x
t
2
2
2
1
)( x
证之和，分布的诸随机变量服从同一个相互独立、分解成为由第四章知识知可将
n
n
XXX
n
,,)10( 21?
n
k kn
X
1
即有
1,0,)1(
),,2,1(
1
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nkX
ii
k
k 的分布律为其中?
概率论定理表明,当 n很大,0<p<1是一个定值时（或者说,np(1-p)也不太小时）,二项 变量 的 分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
n?
，由于 ),,2,1)1()(,)( nkppXDpXE kk
得由定理 4
}
)1(
{lim x
pnp
npP n
n
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x
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1
)( x
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)1(
{lim 1 x
pnp
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P
n
k
k
n
))1(,(~ pnpnpNn?近似地?即概率论下面演示不难看到中心极限定理的客观背景例,20个 0-1分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
X1 +X2+X3~ h(x)
几个 (0,1)上均匀分布的和的分布
0 1 2 3 x
f
g h
概率论二、例题例 1
,105.
)10,0(
),,2,1(20
1
的近似值，求记上服从均匀分布机变量，且都在区间设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到
VPVV
nkV
n
k
k
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)20
12
100
,520(~V4
).20,2,1(12100)(,5)(
20
1
NV
kVDVE
k
k
kk
近似地知，由定理易知?
于是
2012100
520105
2012100
520105 VpVP
387.0
2012100
520Vp
解概率论
3 8 7.0
20121 0 0
5201 Vp
34 8.0)38 7.0(1
34 8.010 5VP即有例 2,(供电问题 )某车间有 200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车,设开工率为 0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力 1千瓦,
问应供应多少瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
概率论用 X表示在某时刻工作着的车床数，
解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率 0.6,
共进行 200次独立重复试验,
依题意,X~B(200,0.6),
现在的问题是：
P(X≤N)≥0.999 的最小的 N.求满足设需 N台车床工作，
（由于每台车床在开工时需电力 1千瓦,N
台工作所需电力即 N千瓦,）
概率论由德莫佛 -拉普拉斯极限定理
)1( pnp
npX
近似 N(0,1),
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120,
np(1-p)=48
)48120()48120( N
由 3σ准则，
此项为 0。
)
48
120N(
9 9 9.0)481 2 0( N由 查正态分布函数表得
999.0)1.3(
概率论从中解得 N≥141.5,
即所求 N=142.
也就是说,应供应 142 千瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,
48
120?N ≥ 3.1,故例 3
.
400
.15.08.005.0
21
独立，且服从同一分布会议的家长数相互名学生，设各学生参加共有若学校、、分别为家长来参加会议的概率名名家长、个学生无家长、是一个随机变量，设一参加家长会的家长人数对于一个学生而言，来概率论
.34012
4501
的概率生数不多名家长来参加会议的学）求有（
的概率；超过）求参加会议的家长数（ X
解
15.08.005.0
210
)400,2,1()1(
k
k
k
k
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X
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的分布律为的家长数，则个学生来参加会议记第以
.400,2,119.0)(,1.1)( kXDXE kk易知
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近似地可知随机变量由定理而概率论
），（即有近似地
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2.08.0400 8.04003402.08.0400 8.0400340 YPXP
5.2
2.08.040 0
8.040 0YP
99 38.0)5.2(
），（随机变量 近似地 2.08.04008.0400N~Y
得，由定理议的学生数，则记有一名家长来参加会以
6)8.0,400(~
)2(
bY
Y
概率论例 1 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布,现随机地取 16只,设它们的寿命是相互独立的,求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率,
三、课堂练习概率论例 2 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，
从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,
否则次取到号码第
0
01 k
X k设,k=1,2,…
(1) 至少应取球多少次才能使,0”出现的频率在 0.09-
0.11之间的概率至少是 0.95?
(2)用中心极限定理计算在 100次抽取中,数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率,
概率论由题给条件知,诸 Xi独立,
16只元件的寿命的总和为
16
1k
kXY
且 E(Xi)=100,D(Xi)=10000
依题意，所求为 P(Y>1920)
设第 i只元件的寿命为 Xi,i=1,2,…,16例 1解答：
E(Y)=1600,D(Y)=160000
由中心极限定理,近似 N(0,1)
400
1600?Y
P(Y>1920)=1-P(Y?1920)
=1-?(0.8)
)4 0 01 6 0 01 9 2 0(
1-
=1-0.7881=0.2119
概率论
（ 1)解：设应取球 n次,0出现频率为?
n
k
kXn
1
1
,1.0)1(
1
n
k
kXnE
nXnD
n
k
k
09.0)1(
1
由中心极限定理
n
nX
n
k
k
3.0
1.0
1
n
X
n
n
k
k
3.0
1.0
1
1
例 2解答：
），（近似地 10N~
}11.0109.0{
1
n
k
kXnP
概率论
}01.0|1.01{|
1
n
k
kXnP
}
30
|
3.0
1.0
1
{| 1
n
n
X
n
P
n
k
k
1)
30
(2 n?
95.01)
30
(2n?
欲使
975.0)
30
(?n?
即
96.1
30
n
查表得从中解得 3458?n
即至少应取球 3458次才能使,0”出现的频率在
0.09-0.11之间的概率至少是 0.95.
概率论
（ 2）解：在 100次抽取中,数码,0”出现次数为?
100
1k
kX
由中心极限定理,
），（
近似地
10N~
)(
)(
100
1
100
1
100
1
k
k
k
k
k
k
XD
XEX
)1,0(N~
3
10
100
1
近似地
k
kX
即其中 E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09
概率论即在 100次抽取中，数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率为 0.6826.
1 0 0
1
)137(
k
kXP
=0.6826
)1
3
10
1(
100
1?
k
kX
P
)1()1(
1)1(2
概率论四、小结中心极限定理中心极限定理独立同分布中心极限定理拉普拉斯棣莫弗?
),(~
)()(
2
1
2
nnNX
XDXE
n
k
k
kk
近似地
，
))1(,(~
),(~
pnpnpN
pnN
n
n
近似地
中心极限定理李雅普诺夫
n
k
n
k
nkk
kkkk
BNX
xDXE
1 1
2
2
),(~
)(,)(
近似地
注 是相互独立的随机变量?,,21 XX
概率论这一节我们介绍了中心极限定理在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理,
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，
它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实,
概率论五,布置作业
,概率论与数理统计,标准化作业（五）
