概率论第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质课堂练习小结 布置作业概率论在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了,
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的,而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了,
概率论因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的,
在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数概率论一、离散型随机变量的数学期望
1、概念的引入：
我们来看一个引例,
例 1 某车间对工人的生产情况进行考察,车工小张每天生产的废品数 X是一个随机变量,如何定义 X的平均值呢？
我们先观察小张 100天的生产情况概率论若统计 100天,32天没有出废品 ;30天每天出一件废品 ;
17天每天出两件废品 ;
21天每天出三件废品 ;
27.11 0 02131 0 01721 0 03011 0 0320
可以得到这 100天中每天的平均废品数为这个数能否作为
X的平均值呢？
（假定小张每天至多出现三件废品 ）
概率论可以想象，若另外统计 100天，车工小张不出废品，
出一件、二件、三件废品的天数与前面的 100天一般不会完全相同，这另外 100天每天的平均废品数也不一定是 1.27.
n0天没有出废品 ;
n1天每天出一件废品 ;
n2天每天出两件废品 ;
n3天每天出三件废品,
n
n
n
n
n
n
n
n 3210 3210
可以得到 n天中每天的平均废品数为
(假定小张每天至多出三件废品 )
一般来说,若统计 n天,
概率论这是以频率为权的加权平均
n
n
n
n
n
n
n
n 3210 3210
当 N很大时，频率接近于概率，
所以我们在求废品数 X
的平均值时，用概率代替频率，得平均值为
3210 3210 pppp
这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数,我们就用这个数作为随机变量 X 的平均值,
概率论定义 1 设 X是离散型随机变量，它的分布率是,
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
请注意,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和,数学期望简称期望，又称为均值。
1
)(
k
kk pxXE
若级数?
1k
kk px 绝对收敛,则称级数?
1k
kk px
)(XE
即的和为 随机变量 X的数学期望,记为,
概率论例 1,,21 XX所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，
它们的分布率分别为
0 1 2
0 0.2 0.8
0 1 2
0.6 0.3 0.1
1X
kp
2X
kp
的数学期望，和解：我们先来算 21 XX
分）
分）
(5.01.023.016.00)(
(8.18.022.0100)(
2
1
XE
XE
概率论
).(),(~ XEX 求设例 2
0,,2,1,0,
!
}{
k
k
e
kXP
X
k
的分布率为解
)(
)!1(!
)(
1
1
0
XE
ee
k
e
k
e
kXE
X
k
k
k
k
即的数学期望为概率论到站时刻 8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50
概率 1/6 3/6 2/6
一旅客 8:20到车站,求他候车时间的数学期望,
例 3 按规定,某车站每天 8:00~9:00,9:00~10:00
都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：
概率论其分布率为以分计为解：设旅客的候车时间 ),(X
X 10 30 50 70 90
kp 6
3
6
2
6
1
6
1?
6
3
6
1?
6
2
6
1?
6
3
6
1
)()()(}70{ BPAPABPXP
上表中例如的数学期望为候车时间到站第二班车为事件到站第一班车为事件其中
X
BA
".30:9
","10:8"
分22.2736 29036 37036 15062306310)(XE
概率论二、连续型随机变量的数学期望设 X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),在数轴上取很密的分点 x0 <x1<x2< …,则 X落在小区间 [xi,xi+1)的概率是
1 )(iixx dxxf
ii xxf )(
小区间 [xi,xi+1)
阴影面积近似为
ii xxf?)(
))(( 1 iii xxxf
概率论由于 xi与 xi+1很接近,所以区间 [xi,xi+1)中的值可以用 xi来近似代替,
i
iii xxfx )(
这正是
dxxfx )(
的渐近和式,
近似,
ii xxf?)(
因此 X与以概率 取值 xi的离散型 r.v
该离散型 r.v 的数学期望 是小区间 [xi,xi+1)
阴影面积近似为
ii xxf?)(
概率论由此启发我们引进如下定义,
定义 2 设 X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),
如果积分
dxxxf )(
绝对收敛,则称此积分值为 X的数学期望,即
dxxfxXE )()(
请注意,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分,
概率论
).(),,(~ XEbaUX 求设例 4
其它的概率密度为解
0
1
)(
bxa
abxf
X
b
a
ba
dx
ab
x
dxxxfXE
X
2
)()(
的数学期望为
.),( 的中点即数学期望位于区间 ba
概率论例 5
其概率密度为服从同一指数分布它们的寿命装置个相互独立工作的电子有
,)2,1(
,2
k
X k
0
,00
,0
1
)(?
x
xe
xf
x
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命 (以小时计 ) N 的数学期望,
00
01)(
)2,1(
x
xexF
kX
x
k
的分布函数为解概率论
12min(,)N X X?
00
01)](1[1)(
2
2
mi n
x
xexFxF
x
00
0
2
)(
2
mi n
x
xe
xf
N
x
的概率密度为于是
2
2)()(
0
2
mi n
dxexdxxxfNE
x
的分布函数为概率论三、随机变量函数的数学期望
1,问题的提出：
设已知随机变量 X的分布，我们需要计算的不是 X
的期望，而是 X的某个函数的期望，比如说 g(X)的期望,
那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为 g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出来,一旦我们知道了 g(X)的分布，就可以按照期望的定义把
E[g(X)]计算出来,
概率论那么是否可以不先求 g(X)的分布而只根据 X的分布求得 E[g(X)]呢？
下面的定理指出，答案是肯定的,
使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布，一般是比较复杂的,
概率论
(1) 当 X为离散型时,它的分布率为 P(X= xk)=pk ;
绝对收敛，则有若?
1
)(),,2,1(
k
kk pxgk?
(2) 当 X为连续型时,它 的密度函数为 f(x).若绝对收敛，则有?
dxxfxg )()(
dxxfxgXgEYE )()()]([)(
定理 设 Y是随机变量 X的函数,Y=g (X) (g是连续函数 )
概率论
连续型离散型
Xdxxfxg
Xpxg
XgEYE k
kk
,)()(
,)(
)]([)( 1
该公式的重要性在于,当我们求 E[g(X)]时,不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了,
这给求随机变量函数的期望带来很大方便,
概率论上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
))(,(,是连续函数的函数是随机变量设 gYXgZYXZ?
则是一维随机变量,Z
则有概率密度为是二维连续型若 ),,(,),()1( yxfYX
dxdyyxfyxgYXgEZE ),(),()],([)(
概率论
.积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的则有概率分布为是二维离散型若
)2,1,(},{
,),()2(
jipyYxXP
YX
ijji
1 1
),()],([)(
j i
kji pyxgYXgEZE
概率论例 6
密度即具有概率上服从均匀分布在设风速,),0( aV
其它0
0
1
)(
av
avf
.),,0(
,2
的数学期望求常数的函数是压力又设飞机机翼受到的正
Wk
kVWVW
2
0
22
3
11)()( kadv
akvdvvfkvWE
a
解：由上面的公式概率论
其它
）的概率密度为（设二维连续型随机变量
0
2
0)s i n (
),(
,
xyxA
yxf
YX
例 7
).(),()2(,)1( XYEXEA 求求系数
2
11)s i n(),( 2/
0
2/
0
AdxyxAdydxdyyxf,得
）由于解：（ 1
概率论
其它
）的概率密度为（设二维连续型随机变量
0
2
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),(
,
xyxA
yxf
YX
例 7
).(),()2(,)1( XYEXEA 求求系数
4)s i n(2
12 2/
0
2/
0
d x d yyxxXE ）（）解（
1
2
)s i n (
2
1
),()(
2/
0
2/
0
dxdyyxxy
dxdyyxx y fXYE
概率论四、数学期望的性质
1,设 C是常数，则 E(C)=C;
4,设 X,Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
2,若 k是常数，则 E(kX)=kE(X);
3,E(X+Y) = E(X)+E(Y);
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][:推广
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][:推广 （诸 Xi相互独立时）
请注意,
由 E(XY)=E(X)E(Y)
不一定能推出 X,Y
独立概率论
。和来证性质请同学自己证明，我们，性质 4321
于是有概率密度为其边缘）的概率密度设二维随机变量（证
),(),(
).,(,
yfxf
yxfYX
YX
得证。性质 3)()(
),(),(
),()()(
YEXE
d x d yyxyfd x d yyxxf
d x d yyxfyxYXE
概率论
,,相互独立又若 YX
.4)()()()(
),()(
得证性质YEXEd x d yyfxx y f
d x d yyxx y fXYE
yX
概率论五、数学期望性质的应用例 8 求二项分布的数学期望若 X~B(n,p)，
则 X表示 n重贝努里试验中的“成功” 次数,
现在我们来求 X的数学期望,
概率论可见，服从参数为 n和 p的二项分布的随机变量 X
的数学期望是 n p.
X~B(n,p),
若设则 X= X1+X2+…+ Xn
= np
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1 i=1,2,…,n
因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p
n
i
iXE
1
)(所以 E(X)=
则 X表示 n重贝努里试验中的“成功” 次数,
E(Xi)= )1(01 pp = p
概率论例 9 把数字 1,2,…,n任意地排成一列,如果数字 k恰好出现在第 k个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望,
由于 E(Xk)=P(Xk =1)
解,设巧合个数为 X,
否则，
个位置上恰好出现在第数字
0
,1 kkX
k
k=1,2,…,n
n
k
kXX
1
则
!
)!1(
n
n
n
1?
n
k
kXEXE
1
)()(
故
11
n
n
引入概率论例 10 一民航送客车载有 20位旅客自机场开出,旅客有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以 X表示停车的次数，求 E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立 )
10,2,1
1
0
i
i
i
X i
站有人下车在第站没有人下车在第引入随机变量解
1021 XXXX易知概率论按题意
10,2,1,10 91}1{,10 9}0{
2020
iXPXP ii
10,2,1,1091)(
20
iXE i由此次进而
784.8]
10
9
1[10
)()()(
)()(
20
1021
1021
XEXEXE
XXXEXE
本题是将 X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义,
概率论六、课堂练习
1 某人的一串钥匙上有 n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望,
2 设随机变量 X的概率密度为
00
0)(
x
xexf x
的数学期望。求 XeY 2
概率论
1 解 设试开次数为 X,
分布率为：是离散型随机变量，其X
于是 E(X)
n
k n
k
1
1
2
)1(1 nn
n
2
1 n
2 解 Y是随机变量 X的函数,
3
1)()(
0
22
dxeedxxfeYE xxx
P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n
概率论七、小结这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，
它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征,
接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：
方差概率论八,布置作业一、填空题第 1小题
,概率论与数理统计,作业（四）
二、选择题第 1,2小题三、解答题第 1,2,3,4小题
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的,而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了,
概率论因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的,
在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数概率论一、离散型随机变量的数学期望
1、概念的引入：
我们来看一个引例,
例 1 某车间对工人的生产情况进行考察,车工小张每天生产的废品数 X是一个随机变量,如何定义 X的平均值呢？
我们先观察小张 100天的生产情况概率论若统计 100天,32天没有出废品 ;30天每天出一件废品 ;
17天每天出两件废品 ;
21天每天出三件废品 ;
27.11 0 02131 0 01721 0 03011 0 0320
可以得到这 100天中每天的平均废品数为这个数能否作为
X的平均值呢？
（假定小张每天至多出现三件废品 ）
概率论可以想象，若另外统计 100天，车工小张不出废品，
出一件、二件、三件废品的天数与前面的 100天一般不会完全相同，这另外 100天每天的平均废品数也不一定是 1.27.
n0天没有出废品 ;
n1天每天出一件废品 ;
n2天每天出两件废品 ;
n3天每天出三件废品,
n
n
n
n
n
n
n
n 3210 3210
可以得到 n天中每天的平均废品数为
(假定小张每天至多出三件废品 )
一般来说,若统计 n天,
概率论这是以频率为权的加权平均
n
n
n
n
n
n
n
n 3210 3210
当 N很大时，频率接近于概率，
所以我们在求废品数 X
的平均值时，用概率代替频率，得平均值为
3210 3210 pppp
这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数,我们就用这个数作为随机变量 X 的平均值,
概率论定义 1 设 X是离散型随机变量，它的分布率是,
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
请注意,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和,数学期望简称期望，又称为均值。
1
)(
k
kk pxXE
若级数?
1k
kk px 绝对收敛,则称级数?
1k
kk px
)(XE
即的和为 随机变量 X的数学期望,记为,
概率论例 1,,21 XX所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，
它们的分布率分别为
0 1 2
0 0.2 0.8
0 1 2
0.6 0.3 0.1
1X
kp
2X
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的数学期望，和解：我们先来算 21 XX
分）
分）
(5.01.023.016.00)(
(8.18.022.0100)(
2
1
XE
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概率论
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0,,2,1,0,
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}{
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k
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k
k
k
即的数学期望为概率论到站时刻 8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50
概率 1/6 3/6 2/6
一旅客 8:20到车站,求他候车时间的数学期望,
例 3 按规定,某车站每天 8:00~9:00,9:00~10:00
都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：
概率论其分布率为以分计为解：设旅客的候车时间 ),(X
X 10 30 50 70 90
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2
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上表中例如的数学期望为候车时间到站第二班车为事件到站第一班车为事件其中
X
BA
".30:9
","10:8"
分22.2736 29036 37036 15062306310)(XE
概率论二、连续型随机变量的数学期望设 X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),在数轴上取很密的分点 x0 <x1<x2< …,则 X落在小区间 [xi,xi+1)的概率是
1 )(iixx dxxf
ii xxf )(
小区间 [xi,xi+1)
阴影面积近似为
ii xxf?)(
))(( 1 iii xxxf
概率论由于 xi与 xi+1很接近,所以区间 [xi,xi+1)中的值可以用 xi来近似代替,
i
iii xxfx )(
这正是
dxxfx )(
的渐近和式,
近似,
ii xxf?)(
因此 X与以概率 取值 xi的离散型 r.v
该离散型 r.v 的数学期望 是小区间 [xi,xi+1)
阴影面积近似为
ii xxf?)(
概率论由此启发我们引进如下定义,
定义 2 设 X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),
如果积分
dxxxf )(
绝对收敛,则称此积分值为 X的数学期望,即
dxxfxXE )()(
请注意,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分,
概率论
).(),,(~ XEbaUX 求设例 4
其它的概率密度为解
0
1
)(
bxa
abxf
X
b
a
ba
dx
ab
x
dxxxfXE
X
2
)()(
的数学期望为
.),( 的中点即数学期望位于区间 ba
概率论例 5
其概率密度为服从同一指数分布它们的寿命装置个相互独立工作的电子有
,)2,1(
,2
k
X k
0
,00
,0
1
)(?
x
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x
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命 (以小时计 ) N 的数学期望,
00
01)(
)2,1(
x
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的分布函数为解概率论
12min(,)N X X?
00
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2
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x
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的概率密度为于是
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0
2
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x
的分布函数为概率论三、随机变量函数的数学期望
1,问题的提出：
设已知随机变量 X的分布，我们需要计算的不是 X
的期望，而是 X的某个函数的期望，比如说 g(X)的期望,
那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为 g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出来,一旦我们知道了 g(X)的分布，就可以按照期望的定义把
E[g(X)]计算出来,
概率论那么是否可以不先求 g(X)的分布而只根据 X的分布求得 E[g(X)]呢？
下面的定理指出，答案是肯定的,
使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布，一般是比较复杂的,
概率论
(1) 当 X为离散型时,它的分布率为 P(X= xk)=pk ;
绝对收敛，则有若?
1
)(),,2,1(
k
kk pxgk?
(2) 当 X为连续型时,它 的密度函数为 f(x).若绝对收敛，则有?
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定理 设 Y是随机变量 X的函数,Y=g (X) (g是连续函数 )
概率论
连续型离散型
Xdxxfxg
Xpxg
XgEYE k
kk
,)()(
,)(
)]([)( 1
该公式的重要性在于,当我们求 E[g(X)]时,不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了,
这给求随机变量函数的期望带来很大方便,
概率论上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
))(,(,是连续函数的函数是随机变量设 gYXgZYXZ?
则是一维随机变量,Z
则有概率密度为是二维连续型若 ),,(,),()1( yxfYX
dxdyyxfyxgYXgEZE ),(),()],([)(
概率论
.积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的则有概率分布为是二维离散型若
)2,1,(},{
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YX
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1 1
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j i
kji pyxgYXgEZE
概率论例 6
密度即具有概率上服从均匀分布在设风速,),0( aV
其它0
0
1
)(
av
avf
.),,0(
,2
的数学期望求常数的函数是压力又设飞机机翼受到的正
Wk
kVWVW
2
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22
3
11)()( kadv
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a
解：由上面的公式概率论
其它
）的概率密度为（设二维连续型随机变量
0
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YX
例 7
).(),()2(,)1( XYEXEA 求求系数
2
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）由于解：（ 1
概率论
其它
）的概率密度为（设二维连续型随机变量
0
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xyxA
yxf
YX
例 7
).(),()2(,)1( XYEXEA 求求系数
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1
2
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概率论四、数学期望的性质
1,设 C是常数，则 E(C)=C;
4,设 X,Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
2,若 k是常数，则 E(kX)=kE(X);
3,E(X+Y) = E(X)+E(Y);
n
i
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11
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请注意,
由 E(XY)=E(X)E(Y)
不一定能推出 X,Y
独立概率论
。和来证性质请同学自己证明，我们，性质 4321
于是有概率密度为其边缘）的概率密度设二维随机变量（证
),(),(
).,(,
yfxf
yxfYX
YX
得证。性质 3)()(
),(),(
),()()(
YEXE
d x d yyxyfd x d yyxxf
d x d yyxfyxYXE
概率论
,,相互独立又若 YX
.4)()()()(
),()(
得证性质YEXEd x d yyfxx y f
d x d yyxx y fXYE
yX
概率论五、数学期望性质的应用例 8 求二项分布的数学期望若 X~B(n,p)，
则 X表示 n重贝努里试验中的“成功” 次数,
现在我们来求 X的数学期望,
概率论可见，服从参数为 n和 p的二项分布的随机变量 X
的数学期望是 n p.
X~B(n,p),
若设则 X= X1+X2+…+ Xn
= np
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1 i=1,2,…,n
因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p
n
i
iXE
1
)(所以 E(X)=
则 X表示 n重贝努里试验中的“成功” 次数,
E(Xi)= )1(01 pp = p
概率论例 9 把数字 1,2,…,n任意地排成一列,如果数字 k恰好出现在第 k个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望,
由于 E(Xk)=P(Xk =1)
解,设巧合个数为 X,
否则，
个位置上恰好出现在第数字
0
,1 kkX
k
k=1,2,…,n
n
k
kXX
1
则
!
)!1(
n
n
n
1?
n
k
kXEXE
1
)()(
故
11
n
n
引入概率论例 10 一民航送客车载有 20位旅客自机场开出,旅客有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以 X表示停车的次数，求 E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立 )
10,2,1
1
0
i
i
i
X i
站有人下车在第站没有人下车在第引入随机变量解
1021 XXXX易知概率论按题意
10,2,1,10 91}1{,10 9}0{
2020
iXPXP ii
10,2,1,1091)(
20
iXE i由此次进而
784.8]
10
9
1[10
)()()(
)()(
20
1021
1021
XEXEXE
XXXEXE
本题是将 X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义,
概率论六、课堂练习
1 某人的一串钥匙上有 n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望,
2 设随机变量 X的概率密度为
00
0)(
x
xexf x
的数学期望。求 XeY 2
概率论
1 解 设试开次数为 X,
分布率为：是离散型随机变量，其X
于是 E(X)
n
k n
k
1
1
2
)1(1 nn
n
2
1 n
2 解 Y是随机变量 X的函数,
3
1)()(
0
22
dxeedxxfeYE xxx
P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n
概率论七、小结这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，
它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征,
接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：
方差概率论八,布置作业一、填空题第 1小题
,概率论与数理统计,作业（四）
二、选择题第 1,2小题三、解答题第 1,2,3,4小题
