概率论第一节 大数定律大数定律依概率收敛定义及性质小结概率论大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率 字母使用频率生产过程中的废品率
……
有稳定性测量值的算术平均值具某一常数事件发生的频率稳定于概率论一、大数定律定理 1（切比雪夫定理的特殊情况）
切比雪夫则对任意的 ε>0，有学期望和方差：独立，且具有相同的数相互，，设随机变量,,21 nXXX
2 12( ),( ) (,,),kkE X D X k
1}|1{|lim
1
n
i in
XnP
}|{|l i m XPn
1
1X
n
n
k
k
X
做前 n 个随机变量的算术平均概率论证
n
k
kXnE
1
1
由于
nn1?
n
k k
XEn
1
)(1
n
k k
XnD
1
1
n
k k
XDn
12
)(1 nnn
2
2
2
1
由切比雪夫不等式
2
2
1
11 nXnP n
k k
上式中令n 得
1}|1{|lim
1
n
i in
XnP
概率论说明,,2,1
XE
1
X
,2
1
1
有的稳定性），这种接近说明其具（
）（接近数学期望的算术平均随机变量定理以数学形式证明了、
nk
X
n
XX
k
n
i
i
n
.1
}|
1
{|1
1
于时，这个事件的概率趋当是指一个随机事件，、定理中
n
X
n
n
i
i
.常数收敛的意义下逼近某一算术平均值是依概率这种稳定性的含义说明概率论二,依概率收敛定义及性质定义
，有若对于任意正数一个常数是是一个随机变量序列，设
.
,,,
21
aYYY
n
1}|{|l i maYP nn
.
.,,,21
aY
aYYY
P
n
n
记为依概率收敛于则称序列
性质
).,(),(),(
),(,
bagYXgba
yxgbYaX
P
nn
P
n
P
n
连续，则点在又设函数，设概率论请注意,
.
1
0
可能性很小生的的发生，而只是说他发并不排除事件；的概率很大，接近于充分大时，事件当
，，意味着对任意给定的依概率收敛于
XX
XXn
aX
n
n
n
.定性弱些，它具有某种不确中的普通意义下的收敛依概率收敛比高等数学概率论的另一种叙述形式定理 1
.
1
),2,1(
)(,)(
,,,
1
2
21
P
n
k
k
kk
n
X
X
n
Xk
XDXE
XXX
，即依概率收敛于，则序列差：有相同的数学期望和方相互独立，且具，设随机变量
概率论问题,
伯努利设 nA是 n重贝努里试验中事件 A发生的次数,p是事件 A发生的概率，
n
nA
是事件 A发生的频率,
是否具有稳定性呢？
替事件的概率，频率事件发生的频率能否代概率论设 nA 是 n次独立重复试验中事件 A发生的次数,p是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 ε> 0,有定理 2（贝努里大数定律）
1}|{|lim
pnnP A
n
或 伯努利 0}|{|lim
pnnP A
n
证明
nA
A
XXXn
pnbn
21
),,(~ 由此可表示为因为
),1()()(.
10
ppXDpXE
p
kk
，因而分布
）以为参数的（从以其中相互独立，且都服概率论即得由定理 1
1}|)(1{|lim 21
pXXXnP n
n
}|{|lim
pnnP A
n
证毕注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件 A发生的频率 nA/n与事件 A的概率 p有较大偏差的概率很小,
0}|{|lim
pnnP A
n
或
.替事件的概率事件发生的频率可以代概率论下面给出的独立同分布下的大数定律，
不要求随机变量的方差存在,
设随机变量序列 X1,X2,… 相互独立，
服从同一分布，具有数学期 E(Xi)=μ,
i=1,2,…,则对于任意正数 ε，有定理 3（辛钦大数定律）
1}|1{|lim
1
n
i
in XnP
辛钦大数定律辛钦请看演示概率论
1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径,
注
2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况,
3、辛钦定理具有广泛的适用性,
要估计某地区的平均亩产量,
要收割某些有代表性块，例如 n 块地,计算其平均亩产量，则当 n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计,
概率论例 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，
从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,
否则次取到号码第
0
01 k
X k设,k=1,2,…
问对序列 {Xk}能否应用大数定律？
n
k
kn XnP
1
1}|1.01{|lim?
即 对 任意的 ε>0,
解,
,9.01.0 01~
kX
k=1,2,…E(Xk)=0.1,
诸 Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律,
概率论三、小结大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性
2)(
)(
k
k
XD
XE
)( kXE
),(~ pnbn A大数定律伯努利 1}|{|lim
p
n
n
P A
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n
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……
有稳定性测量值的算术平均值具某一常数事件发生的频率稳定于概率论一、大数定律定理 1（切比雪夫定理的特殊情况）
切比雪夫则对任意的 ε>0，有学期望和方差：独立，且具有相同的数相互，，设随机变量,,21 nXXX
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于时，这个事件的概率趋当是指一个随机事件，、定理中
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伯努利设 nA是 n重贝努里试验中事件 A发生的次数,p是事件 A发生的概率，
n
nA
是事件 A发生的频率,
是否具有稳定性呢？
替事件的概率，频率事件发生的频率能否代概率论设 nA 是 n次独立重复试验中事件 A发生的次数,p是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 ε> 0,有定理 2（贝努里大数定律）
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或
.替事件的概率事件发生的频率可以代概率论下面给出的独立同分布下的大数定律，
不要求随机变量的方差存在,
设随机变量序列 X1,X2,… 相互独立，
服从同一分布，具有数学期 E(Xi)=μ,
i=1,2,…,则对于任意正数 ε，有定理 3（辛钦大数定律）
1}|1{|lim
1
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辛钦大数定律辛钦请看演示概率论
1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径,
注
2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况,
3、辛钦定理具有广泛的适用性,
要估计某地区的平均亩产量,
要收割某些有代表性块，例如 n 块地,计算其平均亩产量，则当 n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计,
概率论例 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，
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问对序列 {Xk}能否应用大数定律？
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即 对 任意的 ε>0,
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诸 Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律,
概率论三、小结大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性
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k
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大数定律切比雪夫 1}|1{|lim
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