概率论第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结 布置作业概率论连续型随机变量 X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓,概率密度函数,的方式,
下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法,
概率论则称 X为连续型随机变量,称 f (x) 为 X 的 概率密度函数,简称为 概率密度,
一,连续型随机变量及其概率密度的定义
xF x f t dt
有,使得对任意 实数,x
对于随机变量 X,如果存在非负可积函数 f (x),
,x
P X x
连续型随机变量的分布函数在 上连续R
概率论二、概率密度的性质
1 o 0)(?xf
2 o
1)( dxxf
f (x)
xo
面积为 1
这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某 r,v X 的概率密度的充要条件概率论利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数 x1,x2,(x1 < x2 ),3
2
112
{ } ( )xxP x X x f x d x
若 f (x) 在点 x 处连续,则有4
( ) ( ),F x f x
概率论故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限,这里，如果把概率理解为质量,f (x) 相当于线密度,
x?],( xxx
若 x 是 f(x) 的连续点，则对 f(x)的进一步理解,
0
lim
x
F x x F xfx
x
0
lim
x
P x X x x
x
概率论若不计高阶无穷小，有
xxfxxXxP )(}{
表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于,
],( xxx
xxf?)(
xxf?)( 在连续型 r,v 理论中所起的作用与
kk pxXP )(
在离散型 r,v 理论中所起的作用相类似,
概率论要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 a的高度，
并不反映 X取值的概率,但是，这个高度越大，则 X
取 a附近的值的概率就越大,也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度,
f (x)
xo a
概率论
(1) 连续型 r.v取任一指定实数值 a 的概率均为 0,即这是因为请注意,
xaFaFaXxaPaXP0
0.P X a
0,x当 时 得到
0.P X a
概率论
)()( bXaPbXaP
)( bXaP
(2) 对连续型 r.v X,有
)( bXaP
由 P(B)=1,不能推出 B=S
由 P(A)=0,不能推出 A
概率论
2
7
13
)(2;1
,0
43,
2
2
30,
)(
1
XP
xFXk
x
x
xkx
xf
X
）求（；的分布函数）求（）确定常数（
其它具有概率密度设随机变量例概率论
其它解
,0
43,
2
2
30,
)( x
x
xkx
xf
6
11)()1(
kdxxf 得由
0 x3 4
概率论
4,1
43,
2
2
6
30,
6
0,0
)(
)2(
3
3
0
0
x
xdx
x
dx
x
xdx
x
x
xF
x
x
分布函数
0 x3 4?x x? x?x?
,xF x f t dt x
概率论
4,1
43,
4
23
30,
12
0,0
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xF
即分布函数
48
411
2
7
2
713
FFXP）（
概率论
1,均匀分布则称 X在区间 ( a,b)上服从均匀分布,
X ～ U(a,b)
)(xf
a b
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
三、三种重要的连续型随机变量若 r,v X的概率密度为：
记作概率论
ab
l
dx
ab
lcXcP
blccalccl
baUX
lc
c
1
,),,(.1
),,(~
有为的区间对于长度若
bx
bxa
ab
ax
ax
xXPxF
X
1
,
,0
)(
.2 的分布函数为：
概率论公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等,
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；
概率论例 2 某公共汽车站从上午 7时起，每 15分钟来一班车，即 7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的概率,
解依题意,X ～ U ( 0,30 )
以 7:00为 起点 0，以分为单位
其它,0
300,
30
1
)(
x
xf
概率论为使候车时间 X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10
到 7:15 之间，或在 7:25 到 7:30 之间到达车站,
所求概率为：
}3025{}1510{ XPXP
3
1
30
1
30
1 30
25
15
10
dxdx
即乘客候车时间少于 5 分钟的概率是 1/3.
从上午 7时起，每 15分钟来一班车，即 7:00，
7:15,7:30等时刻有汽车到达汽车站，
概率论指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命,
2,指数分布若 r,v X具有概率密度
1
,0,
0,
x θex
fx θ
其 它,
0θ?其 中 为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布,θ
概率论
其它,0
0,1
)(
/ xe
xXPxF
x?
若 X 服从参数为 的 指数分布,则其 分布函数 为θ
事实上,xF x f t dt
0 x?x x?
xF x f t dt0x dt0x?当 时,
0x?当 时,xF x f t dt0 0 dt 0 1
tx
θe d t
θ
概率论
3,正态分布若连续型 r,v X 的 概率密度为
xexf
x
,
2
1
)( 2
2
2
)(
记作其中 和 ( >0 )都是常数,则称 X服从参数为 和的 正态分布 或 高斯分布,
σ
2(,)XN
概率论
,具有下述性质xf
;12 dxxf
;01?xf
事实上,
2
221
2
x μ
σf x dx e dx
π σ
2
221
2
x μ
σe dx
π σ
2
22
0
2
2
x μ
σe dx
π σ
1
概率论
,2x μt σ令 则有
dxxf dte t 202 122
曲线 关于 轴对称；
fx3
P μ hX μP μ X μ h
0h?
2
0 2
t πe dt
概率论
xexf
x
,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
,
2
1)( 2
2
2
)(
函数 在 上单调增加,在 上fx4 (,]μ [,)μ
单调减少,在 取得最大值；x μ?
2
2
()
2
3,2
x μ
σμ xf x e x
π σ
x = μ?σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标；5
2
2
()22
2
3
(),
2
x μ
σx μ σf x e x
π σ
概率论当 x→ ∞ 时,f(x) → 0.
xexf
x
,
2
1)( 2
2
2
)(
f (x) 以 x 轴为渐近线6
根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图,
概率论决定了图形的中心位置,决定了图形中峰的陡峭程度,?
正态分布 的图形特点),( 2N
概率论设 X~,
),( 2N X 的分布函数 是正态分布 的分布函数),( 2N?2
2
2
()
21,
2
t μx
σF x e d t x
π σ
概率论正态分布由它的两个参数 μ和 σ唯一确定,当 μ和
σ不同时，是不同的正态分布。
标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布概率论
1,0
的正态分布称为 标准正态分布,
其密度函数和分布函数常用 和 表示：)(x? )(x?
标准正态分布3
2
21,
2
tx
x e dt x
π
2
21,
2
x
φ x e x
π
概率论
)(x?
)(x?
概率论的性质,
;2101
dte
t
0 2
2
2
10
2
1
2
1
2
1 2 2
dte t
;1,2 xxRx dtex x
t
2
2
2
1
事实上,
2
21 ()
2
tx
x e dt x
π
概率论
2
211
2
ux
e du
π
x 1
标准正态分布的重要性 在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,
定理 1,1,0~,,~ 2 NXZNX则若
2
21
2
u
x
u t e du
π
概率论
,1,0~,,~ 2 NXZNX则若证 Z 的分布函数为
dte
xXPx
X
PxZP
x
t
2
2
2
2
1
, tu令 则有
duexZP x
u
2
2
2
1
x
概率论根据定理 1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题,
,1,0~ NXZ故
x
xX
PxXPxF
NX
X
2
,~
于是概率论书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,
正态分布表
)(1)( xx
dtex
x
t
2
2
2
1
)(
当 x < 0 时,
表中给的是 x >0 时,Φ(x)的值,
4
概率论
),,(~ 2NX若若 X～ N(0,1),
)(
bYaP)( bXaP
)()()( abbXaP
)()(
ab
XY ~N(0,1)则概率论由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
当 X～ N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826
P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
3 准则?5
概率论将上述结论推广到一般的正态分布,
6 8 2 6.0)|(|YP
9544.0)2|(|YP
9 9 7 4.0)3|(|YP
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在
]3,3[ 区间内,
这在统计学上称作,3 准则,,?
XY ~N(0,1)时，
2(,)XN
概率论标准正态分布的上 分位点α
~ 0,1,XN设 若数 满足条件αz
,0 1αP X z α α
则称点 为αz 标准正态分布的 上 分位点,α
)(x?
1 α αzzα
zαz?
1 1αP X z α
1 αP X z α
αP X z α
6
概率论解
P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h,
看一个应用正态分布的例子,
例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的,设男子身高 X～
N(170,62),问车门高度应如何确定?
设车门高度为 h cm,按设计要求概率论因为 X～ N(170,62),
故 P(X< h)=
查表得 (2.33)=0.9901>0.99
6
170?h因而 = 2.33,
即 h=170+13.98 184?
设计车门高度为
184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过 0.01.
P(X< h ) 0.99?求满足 的最小的 h,
)1,0(~6 1 7 0 NX?
所以,
1 7 0 1 7 0
66
XhP
170
6
h
概率论这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布,即均匀分布、指数分布、
正态分布,其中正态分布 的应用极为广泛，
在本课程中我们一直要和它打交道,
后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布,
四、小结概率论练习题一、设随机变量 X 的分布函数为
.,1
,1,ln
,1,0
)(
ex
exx
x
xF
X
，
求 （ 1 ） P { X< 2 },P { 0< X ≤ 3 } ； （ 2 ） 求概率密度 f
X
( x ).
二、设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 为
其他0
212
10
)( xx
xx
xf
求 X 的分布函数 F ( x ),并作出 f ( x ) 与 F ( x ) 的图形。
概率论
其它0
1 0 0 0
1 0 0 0
)(
2
x
x
xf
三、某种型号的电子的寿命 X （以小时计）具有以下的概率密度：
现有一大批此种管子 （设各电子管损坏与否相互独立）。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500
小时的概率是多少？
四、设 X ～ N （ 3,2 2 ）
（ 1 ）求 P { 2< X ≤ 5 },P { － 4< X ≤ 10 },P {| X| > 2 },
（ 2 ）决定 C 使得 P { X > C } = P { X ≤ C }
概率论一、设随机变量 X 的分布函数为
.,1
,1,ln
,1,0
)(
ex
exx
x
xF
X
，
求 （ 1 ） P { X< 2 },P { 0< X ≤ 3 } ； （ 2 ） 求概率密度 f X ( x ).
解,}2{?XP }2{)2( XPF )2(F? 2ln?
}30{ XP )0()3( FF 1?
)( xf X )( xF X
1
,1,
0,
xe
x
其 它,
0 x1 e2 3
概率论二、设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 为
其他0
212
10
)( xx
xx
xf
求 X 的分布函数 F ( x ),并作出 f ( x ) 与 F ( x ) 的图形。
解：,0 时当?x x dttfxF )()( 0?
,10 时当 x x dttfxF )()( x tdt0 2
2x
,21 时当 x x dttfxF )()( 10 tdt x dtt1 )2(
122
2
xx
,2 时当?x 1)(?xF
0 x1 2x? x? x? x?
概率论故
2,1
21,1
2
2
10,
2
0,0
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xF
概率论
其它0
1 0 0 0
1 0 0 0
)(
2
x
x
xf
三、某种型号的电子的寿命 X （以小时计）具有以下的概率密度：
现有一大批此种管子 （设各电子管损坏与否相互独立）。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500
小时的概率是多少？
解,}15 00{}15 00{ X小时寿命大于
}150 0{?XP
1 5 0 0 )( dxxf?
1 5 0 0 2
1 0 0 0 dx
x
1500
1000
x
3
2?
概率论小时的管子数只中寿命大于表示 15005Y
32,5~ bY
}2{?YP }2{1 YP
}1{}0{1 YPYP
243
232?
概率论四、设 X ～ N （ 3,2 2 ）
（ 1 ）求 P { 2< X ≤ 5 },P { － 4< X ≤ 10 },P {| X| > 2 },
（ 2 ）决定 C 使得 P { X > C } = P { X ≤ C }
解,}52{)1( XP }2 352 32 32{ XP
5.0)1( 15.0)1( 5328.0?
}104{ XP }2 3102 32 34{ XP
5.3)5.3( 1)5.3(2 9996.0?
}2{?XP 2 3 3 2 31 { }2 2 2XP
5.2)5.0(15.0)5.2(1
6977.0?)2( 由对称性得,3?C
3 ~ 0,12X N
概率论
,概率统计,标准化作业（二）
一,2,3；二,1,2,3；三,2,5；
五、布置作业
下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法,
概率论则称 X为连续型随机变量,称 f (x) 为 X 的 概率密度函数,简称为 概率密度,
一,连续型随机变量及其概率密度的定义
xF x f t dt
有,使得对任意 实数,x
对于随机变量 X,如果存在非负可积函数 f (x),
,x
P X x
连续型随机变量的分布函数在 上连续R
概率论二、概率密度的性质
1 o 0)(?xf
2 o
1)( dxxf
f (x)
xo
面积为 1
这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某 r,v X 的概率密度的充要条件概率论利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数 x1,x2,(x1 < x2 ),3
2
112
{ } ( )xxP x X x f x d x
若 f (x) 在点 x 处连续,则有4
( ) ( ),F x f x
概率论故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限,这里，如果把概率理解为质量,f (x) 相当于线密度,
x?],( xxx
若 x 是 f(x) 的连续点，则对 f(x)的进一步理解,
0
lim
x
F x x F xfx
x
0
lim
x
P x X x x
x
概率论若不计高阶无穷小，有
xxfxxXxP )(}{
表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于,
],( xxx
xxf?)(
xxf?)( 在连续型 r,v 理论中所起的作用与
kk pxXP )(
在离散型 r,v 理论中所起的作用相类似,
概率论要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 a的高度，
并不反映 X取值的概率,但是，这个高度越大，则 X
取 a附近的值的概率就越大,也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度,
f (x)
xo a
概率论
(1) 连续型 r.v取任一指定实数值 a 的概率均为 0,即这是因为请注意,
xaFaFaXxaPaXP0
0.P X a
0,x当 时 得到
0.P X a
概率论
)()( bXaPbXaP
)( bXaP
(2) 对连续型 r.v X,有
)( bXaP
由 P(B)=1,不能推出 B=S
由 P(A)=0,不能推出 A
概率论
2
7
13
)(2;1
,0
43,
2
2
30,
)(
1
XP
xFXk
x
x
xkx
xf
X
）求（；的分布函数）求（）确定常数（
其它具有概率密度设随机变量例概率论
其它解
,0
43,
2
2
30,
)( x
x
xkx
xf
6
11)()1(
kdxxf 得由
0 x3 4
概率论
4,1
43,
2
2
6
30,
6
0,0
)(
)2(
3
3
0
0
x
xdx
x
dx
x
xdx
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x
xF
x
x
分布函数
0 x3 4?x x? x?x?
,xF x f t dt x
概率论
4,1
43,
4
23
30,
12
0,0
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xF
即分布函数
48
411
2
7
2
713
FFXP）（
概率论
1,均匀分布则称 X在区间 ( a,b)上服从均匀分布,
X ～ U(a,b)
)(xf
a b
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
三、三种重要的连续型随机变量若 r,v X的概率密度为：
记作概率论
ab
l
dx
ab
lcXcP
blccalccl
baUX
lc
c
1
,),,(.1
),,(~
有为的区间对于长度若
bx
bxa
ab
ax
ax
xXPxF
X
1
,
,0
)(
.2 的分布函数为：
概率论公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等,
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；
概率论例 2 某公共汽车站从上午 7时起，每 15分钟来一班车，即 7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于 5 分钟的概率,
解依题意,X ～ U ( 0,30 )
以 7:00为 起点 0，以分为单位
其它,0
300,
30
1
)(
x
xf
概率论为使候车时间 X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10
到 7:15 之间，或在 7:25 到 7:30 之间到达车站,
所求概率为：
}3025{}1510{ XPXP
3
1
30
1
30
1 30
25
15
10
dxdx
即乘客候车时间少于 5 分钟的概率是 1/3.
从上午 7时起，每 15分钟来一班车，即 7:00，
7:15,7:30等时刻有汽车到达汽车站，
概率论指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命,
2,指数分布若 r,v X具有概率密度
1
,0,
0,
x θex
fx θ
其 它,
0θ?其 中 为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布,θ
概率论
其它,0
0,1
)(
/ xe
xXPxF
x?
若 X 服从参数为 的 指数分布,则其 分布函数 为θ
事实上,xF x f t dt
0 x?x x?
xF x f t dt0x dt0x?当 时,
0x?当 时,xF x f t dt0 0 dt 0 1
tx
θe d t
θ
概率论
3,正态分布若连续型 r,v X 的 概率密度为
xexf
x
,
2
1
)( 2
2
2
)(
记作其中 和 ( >0 )都是常数,则称 X服从参数为 和的 正态分布 或 高斯分布,
σ
2(,)XN
概率论
,具有下述性质xf
;12 dxxf
;01?xf
事实上,
2
221
2
x μ
σf x dx e dx
π σ
2
221
2
x μ
σe dx
π σ
2
22
0
2
2
x μ
σe dx
π σ
1
概率论
,2x μt σ令 则有
dxxf dte t 202 122
曲线 关于 轴对称；
fx3
P μ hX μP μ X μ h
0h?
2
0 2
t πe dt
概率论
xexf
x
,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
,
2
1)( 2
2
2
)(
函数 在 上单调增加,在 上fx4 (,]μ [,)μ
单调减少,在 取得最大值；x μ?
2
2
()
2
3,2
x μ
σμ xf x e x
π σ
x = μ?σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标；5
2
2
()22
2
3
(),
2
x μ
σx μ σf x e x
π σ
概率论当 x→ ∞ 时,f(x) → 0.
xexf
x
,
2
1)( 2
2
2
)(
f (x) 以 x 轴为渐近线6
根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图,
概率论决定了图形的中心位置,决定了图形中峰的陡峭程度,?
正态分布 的图形特点),( 2N
概率论设 X~,
),( 2N X 的分布函数 是正态分布 的分布函数),( 2N?2
2
2
()
21,
2
t μx
σF x e d t x
π σ
概率论正态分布由它的两个参数 μ和 σ唯一确定,当 μ和
σ不同时，是不同的正态分布。
标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布概率论
1,0
的正态分布称为 标准正态分布,
其密度函数和分布函数常用 和 表示：)(x? )(x?
标准正态分布3
2
21,
2
tx
x e dt x
π
2
21,
2
x
φ x e x
π
概率论
)(x?
)(x?
概率论的性质,
;2101
dte
t
0 2
2
2
10
2
1
2
1
2
1 2 2
dte t
;1,2 xxRx dtex x
t
2
2
2
1
事实上,
2
21 ()
2
tx
x e dt x
π
概率论
2
211
2
ux
e du
π
x 1
标准正态分布的重要性 在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,
定理 1,1,0~,,~ 2 NXZNX则若
2
21
2
u
x
u t e du
π
概率论
,1,0~,,~ 2 NXZNX则若证 Z 的分布函数为
dte
xXPx
X
PxZP
x
t
2
2
2
2
1
, tu令 则有
duexZP x
u
2
2
2
1
x
概率论根据定理 1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题,
,1,0~ NXZ故
x
xX
PxXPxF
NX
X
2
,~
于是概率论书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,
正态分布表
)(1)( xx
dtex
x
t
2
2
2
1
)(
当 x < 0 时,
表中给的是 x >0 时,Φ(x)的值,
4
概率论
),,(~ 2NX若若 X～ N(0,1),
)(
bYaP)( bXaP
)()()( abbXaP
)()(
ab
XY ~N(0,1)则概率论由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
当 X～ N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826
P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
3 准则?5
概率论将上述结论推广到一般的正态分布,
6 8 2 6.0)|(|YP
9544.0)2|(|YP
9 9 7 4.0)3|(|YP
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在
]3,3[ 区间内,
这在统计学上称作,3 准则,,?
XY ~N(0,1)时，
2(,)XN
概率论标准正态分布的上 分位点α
~ 0,1,XN设 若数 满足条件αz
,0 1αP X z α α
则称点 为αz 标准正态分布的 上 分位点,α
)(x?
1 α αzzα
zαz?
1 1αP X z α
1 αP X z α
αP X z α
6
概率论解
P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h,
看一个应用正态分布的例子,
例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的,设男子身高 X～
N(170,62),问车门高度应如何确定?
设车门高度为 h cm,按设计要求概率论因为 X～ N(170,62),
故 P(X< h)=
查表得 (2.33)=0.9901>0.99
6
170?h因而 = 2.33,
即 h=170+13.98 184?
设计车门高度为
184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过 0.01.
P(X< h ) 0.99?求满足 的最小的 h,
)1,0(~6 1 7 0 NX?
所以,
1 7 0 1 7 0
66
XhP
170
6
h
概率论这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布,即均匀分布、指数分布、
正态分布,其中正态分布 的应用极为广泛，
在本课程中我们一直要和它打交道,
后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布,
四、小结概率论练习题一、设随机变量 X 的分布函数为
.,1
,1,ln
,1,0
)(
ex
exx
x
xF
X
，
求 （ 1 ） P { X< 2 },P { 0< X ≤ 3 } ； （ 2 ） 求概率密度 f
X
( x ).
二、设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 为
其他0
212
10
)( xx
xx
xf
求 X 的分布函数 F ( x ),并作出 f ( x ) 与 F ( x ) 的图形。
概率论
其它0
1 0 0 0
1 0 0 0
)(
2
x
x
xf
三、某种型号的电子的寿命 X （以小时计）具有以下的概率密度：
现有一大批此种管子 （设各电子管损坏与否相互独立）。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500
小时的概率是多少？
四、设 X ～ N （ 3,2 2 ）
（ 1 ）求 P { 2< X ≤ 5 },P { － 4< X ≤ 10 },P {| X| > 2 },
（ 2 ）决定 C 使得 P { X > C } = P { X ≤ C }
概率论一、设随机变量 X 的分布函数为
.,1
,1,ln
,1,0
)(
ex
exx
x
xF
X
，
求 （ 1 ） P { X< 2 },P { 0< X ≤ 3 } ； （ 2 ） 求概率密度 f X ( x ).
解,}2{?XP }2{)2( XPF )2(F? 2ln?
}30{ XP )0()3( FF 1?
)( xf X )( xF X
1
,1,
0,
xe
x
其 它,
0 x1 e2 3
概率论二、设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 为
其他0
212
10
)( xx
xx
xf
求 X 的分布函数 F ( x ),并作出 f ( x ) 与 F ( x ) 的图形。
解：,0 时当?x x dttfxF )()( 0?
,10 时当 x x dttfxF )()( x tdt0 2
2x
,21 时当 x x dttfxF )()( 10 tdt x dtt1 )2(
122
2
xx
,2 时当?x 1)(?xF
0 x1 2x? x? x? x?
概率论故
2,1
21,1
2
2
10,
2
0,0
)(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xF
概率论
其它0
1 0 0 0
1 0 0 0
)(
2
x
x
xf
三、某种型号的电子的寿命 X （以小时计）具有以下的概率密度：
现有一大批此种管子 （设各电子管损坏与否相互独立）。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500
小时的概率是多少？
解,}15 00{}15 00{ X小时寿命大于
}150 0{?XP
1 5 0 0 )( dxxf?
1 5 0 0 2
1 0 0 0 dx
x
1500
1000
x
3
2?
概率论小时的管子数只中寿命大于表示 15005Y
32,5~ bY
}2{?YP }2{1 YP
}1{}0{1 YPYP
243
232?
概率论四、设 X ～ N （ 3,2 2 ）
（ 1 ）求 P { 2< X ≤ 5 },P { － 4< X ≤ 10 },P {| X| > 2 },
（ 2 ）决定 C 使得 P { X > C } = P { X ≤ C }
解,}52{)1( XP }2 352 32 32{ XP
5.0)1( 15.0)1( 5328.0?
}104{ XP }2 3102 32 34{ XP
5.3)5.3( 1)5.3(2 9996.0?
}2{?XP 2 3 3 2 31 { }2 2 2XP
5.2)5.0(15.0)5.2(1
6977.0?)2( 由对称性得,3?C
3 ~ 0,12X N
概率论
,概率统计,标准化作业（二）
一,2,3；二,1,2,3；三,2,5；
五、布置作业
