概率论第一节 二维随机变量二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量课堂练习小结 布置作业概率论从本讲起，我们开始第三章的学习,
一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量,
它是第二章内容的推广,
概率论到现在为止，我们只讨论了一维 r.v及其分布,
但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述,
在打靶时,命中点的位置是由一对 r,v (两个坐标 )来确定的,
飞机的重心在空中的位置是由三个 r,v (三个坐标 )来确定的等等,
概率论一般地,设 是一个随机试验,E 它的样本空间是
,Se? 设11,X X e22,X e,nnX X e?
是定义在 上的随机变量,S 由它们构成的一个 维向n
量12,,,nX X X叫做 维随机向量n 或 维随机变n
量,
以下重点讨论二维随机变量,
请注意与一维情形的对照,
概率论
)()( xXPxF
x
X的分布函数一维随机变量
,
,
F x y
P X x Y y
P X x Y y
,,xy
如果对于任意实数二元 函数称为二维随机变量 的 分布函数,,XY 或者称为随机变量 和 的 联合分布函数,YX
定义 1,XY设 是二维随机变量,
一、二维随机变量的分布函数概率论
xX Ox?O x
y
y
YX,Y
X
yx,
x
将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,
,XY
那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率,
,XY,xy,F x y,xy
分布函数的函数值的几何解释概率论
11211222,,,,yxFyxFyxFyxF
2121,yYyxXxP
随机点 落在矩形域,XY 1 2 1 2[,]x x x y y y
内的概率为
x
y
O
YX,
2y
1y
1x 2x
概率论
x
y
O
YX,
1x 2x
yyx,1yx,2
,,的性质分布函数 yxF
;,.1 的不减函数和是关于变量 yxyxF
;,,
,,
21
2121
yxFyxF
xxRxx
Ry
时当及对任意固定的
;,,
,,
21
21
yxFyxF
yyRyy
Rx
时当及对任意固定的
YX,
概率论
,0,,
,1,0.2
yFRy
yxF
对任意固定的且
,1,,0,
,0,,
FF
xFRx对任意固定的
O x
y
y
YX,
X
Y
,0,,,,0,.3 yxFyxFyxFyxF
yx,
x
概率论
,),( ijji pyYxXP
或随机变量 X和 Y 的 联合分布律,
,)( kk pxXP
k=1,2,…
离散型一维随机变量 X
X 的分布律
,0?kp
k
kp 1
k=1,2,…
定义 2
的值是有限对或可列无限多对,
是 离散型随机变量,则称,XY
设二维离散型随机变量
,XY可能取的值是,,ijxy
,1,2,,ij?
,1,2,ij?
记如果二维随机变量
,XY全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量 的 分布律,,XY
二、二维离散型随机变量概率论
i j
ij
ij
p
jip
1
,2,1,,0?
二维离散型随机变量 的 分布律 具有性质,XY
概率论
1
2
j
y
y
y
XY 12 ix x x
1 1 2 1 1ip p p
1 2 2 2 2ip p p
12j j i jp p p
也可用表格来表示随机变量 X和 Y 的 联合分布律,
概率论例 1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X为三次抛掷中正面出现的次数,而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求 (X,Y) 的分布律,
解 ( X,Y ) 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P{X=0,Y=3}
P{X=1,Y=1}
P{X=2,Y=1}
P{X=3,Y=0}
YX 13
0 1 8
3 8 0
0
1
2
3
3 8 0
0 1 8
23 11
221
23 11
222
312? 1 8.?
=3/8
=3/8
312? 18?
概率论连续型一维随机变量 X
X的概率密度函数
1)( dxxf
x
tdtfxF
x
0)(?xf
Rxxf?
定义 3 对于二维随机变量
,XY的分布函数,,F x y
则称 是 连续型的二维随,XY
机变量,,f x y函数 称为二维 （ X,Y )的 概率密度,随机变量三、二维连续型随机变量
,,yxF x y f u v d udv
存在非负的函数,,f x y
如果任意 有,xy
使对于称为随机变量 X 和 Y 的 联合概率密度,
或概率论
0),(?yxf
1),( d x d yyxf
二维连续型随机变量 的 概率密度 具有性质,XY
2
,1
R
f x y d x d y
概率论
（ X,Y）的概率密度的性质,
;0,.1?yxf
2
,1 ;
R
f x y d x d y
;,,
,.3
dxdyyxfGYXP
x O yG
G
则有平面上的区域是设
yx
yxFyxf
),(),( 2在 f (x,y)的连续点,.4
2,,1 ;f x y dx dy
概率论例 2 设 (X,Y)的概率密度是
(1) 求分布函数
( 2 )2,0,0,
,
0,.
xye x y
f x y
其 它
,;F x y
P Y X?(2) 求概率,
概率论
O u
v
yyx,
xO u
v
yyx,
x
,,yxF x y f u v d udv
,,D u v u x v y积分区域区域,0f u v,0,0u v u v
解 (1)
概率论
O u
v
yyx,
x
O u
v
yyx,x
概率论
21 1,0,0,
,
0,.
xye e x y
F x y
其 它
00xy或当 时,
,,yxF x y f u v d udv0?
故
( 2 )
00 2
yx uve d udv 2
002
yxvue dv e du
211 xyee
0,0xy当 时,
,,yxF x y f u v d udv
概率论
2302 xxe e dx
1.
3?
(2)P Y X?
,
yx
f x y d x d y
2
002
x xyd x e d y
2
002
xxye dx e dy
yx?
x
y
o
概率论四、课堂练习设随机变量 (X,Y)的概率密度是
6,0 2,2 4,,
0,.
k x y x yf x y
其 它
(1) 确定常数 ;k
1,3P X Y(2) 求概率,
概率论解 (1)
x
y
o
2
4
2
1,
R
f x y d x d y
2402 6k d x x y d y
2402 6k d x x y d y
2023k x dx
8k?
故 1 8,k?
2
概率论
x
y
o 1
3
2
4
2
1,3P X Y(2),
13,dx f x y dy
13021 68 d x x y d y
1
0
17
82 x dx
3
8?
概率论五、小结在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数,
概率论六、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )
一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量,
它是第二章内容的推广,
概率论到现在为止，我们只讨论了一维 r.v及其分布,
但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述,
在打靶时,命中点的位置是由一对 r,v (两个坐标 )来确定的,
飞机的重心在空中的位置是由三个 r,v (三个坐标 )来确定的等等,
概率论一般地,设 是一个随机试验,E 它的样本空间是
,Se? 设11,X X e22,X e,nnX X e?
是定义在 上的随机变量,S 由它们构成的一个 维向n
量12,,,nX X X叫做 维随机向量n 或 维随机变n
量,
以下重点讨论二维随机变量,
请注意与一维情形的对照,
概率论
)()( xXPxF
x
X的分布函数一维随机变量
,
,
F x y
P X x Y y
P X x Y y
,,xy
如果对于任意实数二元 函数称为二维随机变量 的 分布函数,,XY 或者称为随机变量 和 的 联合分布函数,YX
定义 1,XY设 是二维随机变量,
一、二维随机变量的分布函数概率论
xX Ox?O x
y
y
YX,Y
X
yx,
x
将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,
,XY
那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率,
,XY,xy,F x y,xy
分布函数的函数值的几何解释概率论
11211222,,,,yxFyxFyxFyxF
2121,yYyxXxP
随机点 落在矩形域,XY 1 2 1 2[,]x x x y y y
内的概率为
x
y
O
YX,
2y
1y
1x 2x
概率论
x
y
O
YX,
1x 2x
yyx,1yx,2
,,的性质分布函数 yxF
;,.1 的不减函数和是关于变量 yxyxF
;,,
,,
21
2121
yxFyxF
xxRxx
Ry
时当及对任意固定的
;,,
,,
21
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yyRyy
Rx
时当及对任意固定的
YX,
概率论
,0,,
,1,0.2
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对任意固定的且
,1,,0,
,0,,
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xFRx对任意固定的
O x
y
y
YX,
X
Y
,0,,,,0,.3 yxFyxFyxFyxF
yx,
x
概率论
,),( ijji pyYxXP
或随机变量 X和 Y 的 联合分布律,
,)( kk pxXP
k=1,2,…
离散型一维随机变量 X
X 的分布律
,0?kp
k
kp 1
k=1,2,…
定义 2
的值是有限对或可列无限多对,
是 离散型随机变量,则称,XY
设二维离散型随机变量
,XY可能取的值是,,ijxy
,1,2,,ij?
,1,2,ij?
记如果二维随机变量
,XY全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量 的 分布律,,XY
二、二维离散型随机变量概率论
i j
ij
ij
p
jip
1
,2,1,,0?
二维离散型随机变量 的 分布律 具有性质,XY
概率论
1
2
j
y
y
y
XY 12 ix x x
1 1 2 1 1ip p p
1 2 2 2 2ip p p
12j j i jp p p
也可用表格来表示随机变量 X和 Y 的 联合分布律,
概率论例 1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X为三次抛掷中正面出现的次数,而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求 (X,Y) 的分布律,
解 ( X,Y ) 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P{X=0,Y=3}
P{X=1,Y=1}
P{X=2,Y=1}
P{X=3,Y=0}
YX 13
0 1 8
3 8 0
0
1
2
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3 8 0
0 1 8
23 11
221
23 11
222
312? 1 8.?
=3/8
=3/8
312? 18?
概率论连续型一维随机变量 X
X的概率密度函数
1)( dxxf
x
tdtfxF
x
0)(?xf
Rxxf?
定义 3 对于二维随机变量
,XY的分布函数,,F x y
则称 是 连续型的二维随,XY
机变量,,f x y函数 称为二维 （ X,Y )的 概率密度,随机变量三、二维连续型随机变量
,,yxF x y f u v d udv
存在非负的函数,,f x y
如果任意 有,xy
使对于称为随机变量 X 和 Y 的 联合概率密度,
或概率论
0),(?yxf
1),( d x d yyxf
二维连续型随机变量 的 概率密度 具有性质,XY
2
,1
R
f x y d x d y
概率论
（ X,Y）的概率密度的性质,
;0,.1?yxf
2
,1 ;
R
f x y d x d y
;,,
,.3
dxdyyxfGYXP
x O yG
G
则有平面上的区域是设
yx
yxFyxf
),(),( 2在 f (x,y)的连续点,.4
2,,1 ;f x y dx dy
概率论例 2 设 (X,Y)的概率密度是
(1) 求分布函数
( 2 )2,0,0,
,
0,.
xye x y
f x y
其 它
,;F x y
P Y X?(2) 求概率,
概率论
O u
v
yyx,
xO u
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yyx,
x
,,yxF x y f u v d udv
,,D u v u x v y积分区域区域,0f u v,0,0u v u v
解 (1)
概率论
O u
v
yyx,
x
O u
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概率论
21 1,0,0,
,
0,.
xye e x y
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其 它
00xy或当 时,
,,yxF x y f u v d udv0?
故
( 2 )
00 2
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002
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211 xyee
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,,yxF x y f u v d udv
概率论
2302 xxe e dx
1.
3?
(2)P Y X?
,
yx
f x y d x d y
2
002
x xyd x e d y
2
002
xxye dx e dy
yx?
x
y
o
概率论四、课堂练习设随机变量 (X,Y)的概率密度是
6,0 2,2 4,,
0,.
k x y x yf x y
其 它
(1) 确定常数 ;k
1,3P X Y(2) 求概率,
概率论解 (1)
x
y
o
2
4
2
1,
R
f x y d x d y
2402 6k d x x y d y
2402 6k d x x y d y
2023k x dx
8k?
故 1 8,k?
2
概率论
x
y
o 1
3
2
4
2
1,3P X Y(2),
13,dx f x y dy
13021 68 d x x y d y
1
0
17
82 x dx
3
8?
概率论五、小结在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数,
概率论六、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )
