数理统计第四节正态总体均值与方差的区间估计单个总体 的情况两个总体 的情况课堂练习小结 布置作业
2(,)N μ σ
211(,),N μ σ 222(,)N μ σ
数理统计一、单个总体 的情况 2(,)N μ σ
2(,),XN μ σ并设 为来自总体的1,,nXX
样本,2,XS分别为样本均值和样本方差,
均值 的置信区间μ1.
1 2σ 为已知
( 0,1 )X μ Nσ n?
可得到 的 置信水平为 的置信区间 为? 1 α?
22(,)α α
σ σX u X u
nn 2()α
σXu
n?或数理统计
2 2σ 为未知
( 1 )X μ tnSn
可得到 的 置信水平为 的置信区间 为
1 α?
此分布不依赖于任何未知参数
2{ | | ( 1 ) } 1α
X μP t n α
Sn
由
22( ( 1 ),( 1 ) )α α
SSX t n X t n
nn
2( ( 1 ) )α
SX t n
n或数理统计例 1 有一大批糖果,现从中随机地取 16 袋,称得重量 (以克计 )如下,
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值 的置信水平 0.95为的置信区间,μ
解 这里 1 0,9 5,2 0,0 2 5,1 1 5,α α n
0,0 2 5 ( 1 5 ) 2,1 3 1 5,t? 16
1
1 50 3,75,
16 iixx
16
2
1
1 ( ) 6,2 0 2 2,
15 iis x x
数理统计
2( ( 1 ) )α
sx t n
n
于是得到 的 置信水平为 的置信区间 为
0.95
即 ( 5 0 0,4,5 0 7,1 )
数理统计方差 的置信区间2σ2.
2
2
2
( 1 ) ( 1 )nS χ n
σ
2
22
1 2 22
( 1 ){ ( 1 ) ( 1 ) } 1
α α
nSP χ n χ n α
σ?
由可得到 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?
22
22
2 1 2
( 1 ) ( 1 )(,)
( 1 ) ( 1 )α α
n S n S
χ n χ n?
2σ
数理统计
22
1 2 2
( 1 ){ ( 1 ) ( 1 ) } 1
α α
nSP χ n χ n α
σ?
由可得到标准差 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?σ
22
2 1 2
11(,)
( 1 ) ( 1 )α α
n S n S
χ n χ n?
数理统计例 2 有一大批糖果,现从中随机地取 16 袋,称得重量 (以克计 )如下,
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差 的置信水平 0.95为的置信区间,σ
解 这里 2 0,0 2 5,1 2 0,9 7 5,1 1 5,α α n
20,0 2 5 ( 1 5 ) 2 7,4 8 8,χ?20,9 7 5 ( 1 5 ) 6,2 6 2,χ?
16
2
1
1 ( ) 6,2 0 2 2,
15 iis x x
数理统计于是得到 的 置信水平为 的置信区间为0.95
22
2 1 2
11(,)
( 1 ) ( 1 )α α
n S n S
χ n χ n?
σ
即 ( 4,5 8,9,6 0 ),
数理统计二、两个总体 的情况211(,),N μ σ 222(,)N μ σ
设已给定置信水平为,并设1 α? 112,,nX X X
是来自第一个总体的样本,212,,nY Y Y是来自第二个总体的样本,这两个样本相互独立,且设 分别,XY
为第一、二个总体的样本均值,2212,SS为第一、二个总体的样本方差,
两个总体均值差 的置信区间12μ μ?1.
1 2212,σ σ 为已知数理统计2
1
1
1
(,),σXN μ n
2
2
2
2
(,)σYN μ n
因为 相互独立,,XY 所以 相互独立,,XY
故 2212
12
12
(,)σ σX Y N μ μ nn
12
22
12
12
( ) ( )
( 0,1 )
XY μ μ
N
σ σ
nn
或数理统计
22
12
2
12
()α σ σX Y u
nn
于是得到 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?12μ μ?
2 22212,σ σ σ为已知2σ 12
12
12
( ) ( )
( 2 )
11
ω
XY μ μ
t n n
S
nn
其中 2,ω ωSS?
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 ),
2ω
n S n SS
nn
数理统计
2 1 2
12
11( ( 2 ) )
α ωX Y t n n S nn
于是得到 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?12μ μ?
其中 2,ω ωSS?
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 ),
2ω
n S n SS
nn
数理统计例 3 为比较 I,Ⅱ 两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取 I 型子弹 10 发,得到枪口速度的平均值 为 标准差 随机地取 Ⅱ 型子弹 20 发,得到枪口速度的平均值为标准差 假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且生产过程可认为方差相等,求两总体均值差 的 置信水平为
0.95 的置信区间,
1 5 0 0 ( ),x m s? 21 1,1 0 ( ),s m s?
2 4 9 6 ( ),x m s? 22 1,2 0 ( ),s m s?
12μ μ?
数理统计解
1 2 2 1 2
12
11( ( 2 ) )
α ωx x t n n s nn
依题意,可认为分别来自两总体的样本是相互独立的,又因为由假设两总体的 方差相等,但 数值未知,故两总体均值差 的 置信水平为的置信区间 为
12μ μ? 1 α?
其中 2,ω ωss?
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 ),
2ω
n s n ss
nn
数理统计这里 1 2 1 22 0,0 2 5,1 0,2 0,2 2 8,α n n n n
0,0 2 5 ( 2 8 ) 2,0 4 8,t? 1,1 6 8 8,ωs?
故两总体均值差 的 置信水平为 0.95 的置信区间 为
12μ μ?
1 5 0 0,x? 2 4 9 6,x?
1 2 2 1 2
12
11( ( 2 ) )
α ωx x t n n s nn( 4 0,9 3 )
即 (3.07,4.93),
数理统计两个总体方差比 的置信区间2212σ σ2.
( 为已知 )12,μ μ
22
12
2 1 222
12
( 1,1 )αSS F n nσ σ
22
12
1 2 1 2 2 1 222
12
{ ( 1,1 ) ( 1,1 ) } 1α αSSP F n n F n n ασ σ
由即 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
11{ } 1
( 1,1 ) ( 1,1 )α α
S σ SP α
S F n n σ S F n n
数理统计可得到 的 置信水平为 的置信区间为1 α?2212σ σ
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
11()
( 1,1 ) ( 1,1 )α α
S σ S
S F n n σ S F n n
数理统计例 4 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管的内径,随机地抽取机器 A生产的钢管 18只,测得样本方差 随机地取机器 B 生产的钢管
13只,测得样本方差 设两样本相互独立,且设由机器 A 和机器 B 生产的钢管的内径分别服从正态分布 这里
(i =1,2) 均未知,试求方差比 的 置信水平为
0.90 的置信区间,
221 0,3 4 ( ) ;s m m?
2,iiμ σ
222 0,2 9 ( ),s m m?
221 1 2 2,,,,N μ N μ σ
2212σ σ
数理统计这里 0,1 0,2 0,0 5,1 2 0,9 5,α α α
0,0 5 ( 1 7,1 2 ) 2,5 9,F?
即 (0.45,2.79),
221 1 2 21 8,0,3 4,1 3,0,2 9,n s n s
解
0,9 5
0,0 5
11( 1 7,1 2 ),
( 1 2,1 7 ) 2,3 8F F
故两总体方差比 的 置信水平为 0.90 的置信区间 为
2212σ σ
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
11()
( 1,1 ) ( 1,1 )α α
S σ S
S F n n σ S F n n
数理统计某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了 30天,其总金额的平均值是 170元,标准差为 30元，
试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为 0.95）,
解 设每天职工的总医疗费为 X，
近似服从正态分布X
),(
2
n
N
由中心极限定理，
2E(X)=,D(X)=
则有三、课堂练习数理统计
nS
XU 近似 N(0,1) 分布使
1}|{| 2u
nS
XP
],[ 22 u
n
SXu
n
SX
得均值 的置信水平为 的区间估计 为1
未知，用样本标准差 S近似代替,
数理统计将 =170,S=30,=1.96,n=30代入得,X
的置信水平为 0.95的置信区间是
[ 159.27,180.74]
2?u
],[ 22 u
n
SXu
n
SX
得均值 的置信水平为 的区间估计为1
数理统计四、小结在本节中,我们学习了单个正态总体均值、方差的置信区间,两个正态总体均值差、方差比的置信区间,
数理统计五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (六 )
2(,)N μ σ
211(,),N μ σ 222(,)N μ σ
数理统计一、单个总体 的情况 2(,)N μ σ
2(,),XN μ σ并设 为来自总体的1,,nXX
样本,2,XS分别为样本均值和样本方差,
均值 的置信区间μ1.
1 2σ 为已知
( 0,1 )X μ Nσ n?
可得到 的 置信水平为 的置信区间 为? 1 α?
22(,)α α
σ σX u X u
nn 2()α
σXu
n?或数理统计
2 2σ 为未知
( 1 )X μ tnSn
可得到 的 置信水平为 的置信区间 为
1 α?
此分布不依赖于任何未知参数
2{ | | ( 1 ) } 1α
X μP t n α
Sn
由
22( ( 1 ),( 1 ) )α α
SSX t n X t n
nn
2( ( 1 ) )α
SX t n
n或数理统计例 1 有一大批糖果,现从中随机地取 16 袋,称得重量 (以克计 )如下,
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值 的置信水平 0.95为的置信区间,μ
解 这里 1 0,9 5,2 0,0 2 5,1 1 5,α α n
0,0 2 5 ( 1 5 ) 2,1 3 1 5,t? 16
1
1 50 3,75,
16 iixx
16
2
1
1 ( ) 6,2 0 2 2,
15 iis x x
数理统计
2( ( 1 ) )α
sx t n
n
于是得到 的 置信水平为 的置信区间 为
0.95
即 ( 5 0 0,4,5 0 7,1 )
数理统计方差 的置信区间2σ2.
2
2
2
( 1 ) ( 1 )nS χ n
σ
2
22
1 2 22
( 1 ){ ( 1 ) ( 1 ) } 1
α α
nSP χ n χ n α
σ?
由可得到 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?
22
22
2 1 2
( 1 ) ( 1 )(,)
( 1 ) ( 1 )α α
n S n S
χ n χ n?
2σ
数理统计
22
1 2 2
( 1 ){ ( 1 ) ( 1 ) } 1
α α
nSP χ n χ n α
σ?
由可得到标准差 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?σ
22
2 1 2
11(,)
( 1 ) ( 1 )α α
n S n S
χ n χ n?
数理统计例 2 有一大批糖果,现从中随机地取 16 袋,称得重量 (以克计 )如下,
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差 的置信水平 0.95为的置信区间,σ
解 这里 2 0,0 2 5,1 2 0,9 7 5,1 1 5,α α n
20,0 2 5 ( 1 5 ) 2 7,4 8 8,χ?20,9 7 5 ( 1 5 ) 6,2 6 2,χ?
16
2
1
1 ( ) 6,2 0 2 2,
15 iis x x
数理统计于是得到 的 置信水平为 的置信区间为0.95
22
2 1 2
11(,)
( 1 ) ( 1 )α α
n S n S
χ n χ n?
σ
即 ( 4,5 8,9,6 0 ),
数理统计二、两个总体 的情况211(,),N μ σ 222(,)N μ σ
设已给定置信水平为,并设1 α? 112,,nX X X
是来自第一个总体的样本,212,,nY Y Y是来自第二个总体的样本,这两个样本相互独立,且设 分别,XY
为第一、二个总体的样本均值,2212,SS为第一、二个总体的样本方差,
两个总体均值差 的置信区间12μ μ?1.
1 2212,σ σ 为已知数理统计2
1
1
1
(,),σXN μ n
2
2
2
2
(,)σYN μ n
因为 相互独立,,XY 所以 相互独立,,XY
故 2212
12
12
(,)σ σX Y N μ μ nn
12
22
12
12
( ) ( )
( 0,1 )
XY μ μ
N
σ σ
nn
或数理统计
22
12
2
12
()α σ σX Y u
nn
于是得到 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?12μ μ?
2 22212,σ σ σ为已知2σ 12
12
12
( ) ( )
( 2 )
11
ω
XY μ μ
t n n
S
nn
其中 2,ω ωSS?
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 ),
2ω
n S n SS
nn
数理统计
2 1 2
12
11( ( 2 ) )
α ωX Y t n n S nn
于是得到 的 置信水平为 的置信区间 为1 α?12μ μ?
其中 2,ω ωSS?
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 ),
2ω
n S n SS
nn
数理统计例 3 为比较 I,Ⅱ 两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取 I 型子弹 10 发,得到枪口速度的平均值 为 标准差 随机地取 Ⅱ 型子弹 20 发,得到枪口速度的平均值为标准差 假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且生产过程可认为方差相等,求两总体均值差 的 置信水平为
0.95 的置信区间,
1 5 0 0 ( ),x m s? 21 1,1 0 ( ),s m s?
2 4 9 6 ( ),x m s? 22 1,2 0 ( ),s m s?
12μ μ?
数理统计解
1 2 2 1 2
12
11( ( 2 ) )
α ωx x t n n s nn
依题意,可认为分别来自两总体的样本是相互独立的,又因为由假设两总体的 方差相等,但 数值未知,故两总体均值差 的 置信水平为的置信区间 为
12μ μ? 1 α?
其中 2,ω ωss?
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 ),
2ω
n s n ss
nn
数理统计这里 1 2 1 22 0,0 2 5,1 0,2 0,2 2 8,α n n n n
0,0 2 5 ( 2 8 ) 2,0 4 8,t? 1,1 6 8 8,ωs?
故两总体均值差 的 置信水平为 0.95 的置信区间 为
12μ μ?
1 5 0 0,x? 2 4 9 6,x?
1 2 2 1 2
12
11( ( 2 ) )
α ωx x t n n s nn( 4 0,9 3 )
即 (3.07,4.93),
数理统计两个总体方差比 的置信区间2212σ σ2.
( 为已知 )12,μ μ
22
12
2 1 222
12
( 1,1 )αSS F n nσ σ
22
12
1 2 1 2 2 1 222
12
{ ( 1,1 ) ( 1,1 ) } 1α αSSP F n n F n n ασ σ
由即 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
11{ } 1
( 1,1 ) ( 1,1 )α α
S σ SP α
S F n n σ S F n n
数理统计可得到 的 置信水平为 的置信区间为1 α?2212σ σ
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
11()
( 1,1 ) ( 1,1 )α α
S σ S
S F n n σ S F n n
数理统计例 4 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管的内径,随机地抽取机器 A生产的钢管 18只,测得样本方差 随机地取机器 B 生产的钢管
13只,测得样本方差 设两样本相互独立,且设由机器 A 和机器 B 生产的钢管的内径分别服从正态分布 这里
(i =1,2) 均未知,试求方差比 的 置信水平为
0.90 的置信区间,
221 0,3 4 ( ) ;s m m?
2,iiμ σ
222 0,2 9 ( ),s m m?
221 1 2 2,,,,N μ N μ σ
2212σ σ
数理统计这里 0,1 0,2 0,0 5,1 2 0,9 5,α α α
0,0 5 ( 1 7,1 2 ) 2,5 9,F?
即 (0.45,2.79),
221 1 2 21 8,0,3 4,1 3,0,2 9,n s n s
解
0,9 5
0,0 5
11( 1 7,1 2 ),
( 1 2,1 7 ) 2,3 8F F
故两总体方差比 的 置信水平为 0.90 的置信区间 为
2212σ σ
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
11()
( 1,1 ) ( 1,1 )α α
S σ S
S F n n σ S F n n
数理统计某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了 30天,其总金额的平均值是 170元,标准差为 30元，
试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为 0.95）,
解 设每天职工的总医疗费为 X，
近似服从正态分布X
),(
2
n
N
由中心极限定理，
2E(X)=,D(X)=
则有三、课堂练习数理统计
nS
XU 近似 N(0,1) 分布使
1}|{| 2u
nS
XP
],[ 22 u
n
SXu
n
SX
得均值 的置信水平为 的区间估计 为1
未知，用样本标准差 S近似代替,
数理统计将 =170,S=30,=1.96,n=30代入得,X
的置信水平为 0.95的置信区间是
[ 159.27,180.74]
2?u
],[ 22 u
n
SXu
n
SX
得均值 的置信水平为 的区间估计为1
数理统计四、小结在本节中,我们学习了单个正态总体均值、方差的置信区间,两个正态总体均值差、方差比的置信区间,
数理统计五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (六 )
