概率论第二节 边缘分布边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度课堂练习小结 布置作业概率论二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律,而单个随机变量 X,Y
也具有自己的概率分布,那么要问,二者之间有什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题,
概率论二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,具有分布函数,,F x y而 和 都是随机变量,X Y 也有各自的分布函数,分别记为,,XYF x F y
XF x P X x
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数,
依次称为二维随机
,,YF y P Y y P X Y y F y
一、边缘分布函数
,P X x Y,Fx
概率论一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，
则 (X,Y) 关于 X 的边缘分布律 为
X和 Y 的联合分布律为
,2,1,,),( jipyYxXP ijji

11
,i j ij
jj
P X x Y y p



,2,1?i
ixXP



1
,
j
jii yYxXxX
二、离散型随机变量的边缘分布律
.ip
概率论
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律 为
jyYP j
i
ijji
i
ppyYxXP,
11
,

1,2,j?
概率论例 1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X为三次抛掷中正面出现的次数,而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求 (X,Y) 的分布律,
解 ( X,Y ) 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P{X=0,Y=3}
P{X=1,Y=1}
P{X=2,Y=1}
P{X=3,Y=0}
YX 13
0 1 8
3 8 0
0
1
2
3
3 8 0
0 1 8
23 11
221


23 11
222


312? 1 8.?
=3/8
=3/8
312? 18?
概率论
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
P{X=3}=
P{Y=1}=
P{Y=3}=
=1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}
=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}
=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}
P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.
3
0
,1
k
P X k Y
=3/8+3/8=6/8,
=1/8+1/8=2/8.
3
0
,3
k
P X k Y

概率论我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词,
YX 13
0 1 8
3 8 0
0
1
2
3
3 8 0
0 1 8
jP Y y?
iP X x?
18
38
38
18
6 8 2 8
概率论联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布 ;
但由边缘分布一般不能确定联合分布,
YX 13
0 1 8
3 8 0
0
1
2
3
3 8 0
0 1 8
jP Y y?
iP X x?
18
38
38
18
6 8 2 8
概率论对连续型 r.v ( X,Y ),
X 和 Y 的联合概率密度为则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度 为
),( yxf
dyyxfxf X ),()(
dyyxfdxxFxF xX,,事实上,
,XXf x F x f x y d y
三、连续型随机变量的边缘概率密度
x
概率论
( X,Y )关于 Y 的边缘概率密度 为
dx)y,x(f)y(f Yy
概率论例 2 设 (X,Y)的概率密度是

其它,
xy,x),x(cy)y,x(f
0
0102
求 (1) c的值； （ 2） 两个边缘密度 。
= 5c/24,
c =24/5.
1
00 ( 2 )
xdx c y x dy
解 (1)
2
1,
R
f x y d x d y
故
yx?
x
y
0 1x
1 230 22c x x d x
概率论例 2 设 (X,Y) 的概率密度是解求 (1) c 的值 ; (2) 两个边缘密度,

其它,0
0,10),2(
),(
xyxxcy
yxf
dyyxfxf X,


0
0
,
,,.
X
x
x
f x f x y d y
f x y d y f x y d y




(2)
x x
y
0
yx?
1x x
x


1 0,,,
,0,0,X
x x y
f x y f x


或都 有 故当 时当 时,01x
暂时固定概率论
),2(512 2 xx
注意取值范围
x dyxy0 )2(524
综上,


.,,0
,10,2
5
12 2
其它
xxx
xf X
x
x
yx?
x
y
0 1x x


0
0
,
,,.
X
x
x
f x f x y d y
f x y d y f x y d y




当 时,01x
概率论例 2 设 (X,Y)的概率密度是解 (2)
求 (1) c的值 ; (2) 两个边缘密度,

其它,0
0,10),2(
),(
xyxxcy
yxf
dxyxfyf Y,
,0,0,
,,,01


yfyxf
xyy
Y故都有对时或当
,,,
,
,10
1
1
dxyxfdxyxf
dxyxfyf
y
y
y
Y




时当
yx?
y
y
y
1
1y
暂时固定
0
y
x
概率论
),
2
2
2
3(
5
24 2yyy
1 )2(524y dxxy


其它,0
10),
2
2
2
3
(
5
24
)(
2
y
y
yy
yf Y
综上,
注意取值范围概率论在求连续型 r.v 的边缘密度时,往往要求联合密度在某区域上的积分,当联合密度函数是分片表示的时候,在计算积分时应特别注意积分限,
下面我们介绍两个常见的二维分布,
概率论设 G是平面上的有界区域,其面积为 A.若二维随机变量 （ X,Y） 具有概率密度

其它,0
),(,
1
),(
Gyx
Ayxf
则称 （ X,Y）在 G上服从均匀分布,
向平面上有界区域 G上任投一质点,若质点落在 G内任一小区域 B的概率与小区域的面积成正比,
而与 B的形状及位置无关,则质点的坐标 (X,Y)在 G
上服从均匀分布,
例概率论若二维随机变量 （ X,Y） 具有概率密度则称（ X,Y）服从参数为的 二维正态分布,
,,,,2121
其中 均为常数,且,0,0
21,,,,2121
1.ρ?
记作 （ X,Y） ～ N( ),221 2 1 2,,,,μ μ σ σ ρ
,x,y


2
1
22
2
1
12
2
1 2 2
2
1 2 2
1 1 ( )
,e x p
2121
( ) ( ) ( )
2
x μ
f x y
σρπ σ σ ρ
x μ y μ y μ
ρ
σ σ σ







概率论例 3 试求二维正态随机变量的边缘概率密度,
,Xf x f x y d y解
2
2 1 2
2
2 1 2
( ) ( ) ( )2y μ x μ y μρ
σ σ σ

2 2
22 1 1
1
2 1 1
()y μ x μ x μρ ρ
σ σ σ



因为所以
2
2 21
1
22
21
1
1()
212
2
12
1
21
y μ x μx μ
ρ
σ σρσ
Xf x e e dy
π σ σ ρ




概率论
21
2
21
1,
1
y μ x μt ρ
σ σρ



令 则有

2 2
1
2
1
()
2 2
1
1
2
x μ t
σ
Xf x e e d tπ σ





2
2 21
1
22
21
1
1()
212
2
12
1
21
y μ x μx μ
ρ
σ σρσ
Xf x e e dy
π σ σ ρ




2
1
2
1
()
2
1
1 2
2
x μ
σe π
π σ


2
1
2
1
()
2
1
1
2
x μ
σe
π σ


x
概率论二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,
并且不依赖于参数,ρ
同理

2
2
2
2
()
2
2
1
2
y μ
σ
Yf y eπ σ

y
可见由边缘分布一般不能确定联合分布,
也就是说,对于给定的 不同的 对应1 2 1 2,,,,μ μ σ σρ
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的,
此例表明概率论四、课堂练习设 (X,Y)的概率密度是
,0,,0,
ye x y x
f x y


其 它求 ( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度,
概率论
x
yx?
x
y
0 x
x
,Xf x f x y d y解暂时固定当 时,0x?
当 时,0x?
00Xf x d y
yX xf x e dy
xeyxe
故,0,
0,0,
x
X
exfx
x


暂时固定概率论
yx?
x
y
0
,Yf y f x y dx
暂时固定
y
y
y
暂时固定当 时,0y?
当 时,0y?
00Yf y dx
0 y yYf y e dxyye
故,0,
0,0,
y
Y
y e yfy
y



概率论
1,在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布,
由联合分布可以确定边缘分布 ;
但由边缘分布一般不能确定联合分布,
2,请注意联合分布和边缘分布的关系,
五、小结概率论六、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )