概率论第五节 两个随机变量的函数的分布的分布
M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布课堂练习小结 布置作业
Z X Y
概率论在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论,
当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数
Z = g ( X,Y )
的分布?
概率论例 1 若 X,Y 独立,P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,
P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求 Z=X+Y 的概率函数,
解 )()( rYXPrZP
r
i
irYPiXP
0
)()(
=a0br+a1br-1+…+ arb0
r
i
irYiXP
0
),(
由独立性 r=0,1,2,…
一,的分布Z X Y
概率论解 依题意
r
i
irYiXPrZP
0
),()(
例 2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明 Z=X+Y服从参数为于是
i = 0,1,2,…
j = 0,1,2,…
!
)(
i
eiXP i11
!
)(
j
ejYP j22
12,λ λ
12λ λ? 的泊松分布,
概率论
r
i
irYiXPrZP
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r
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i-r
2-
i
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21
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)( 21
r
r
e r = 0,1,…
即 Z服从参数为 的泊松分布,12λ λ?
概率论例 3 设 X和 Y的联合密度为 f (x,y),求 Z=X+Y
的概率密度,
D
d x d yyxf ),(
这里积分区域 D={(x,y),x+y ≤z}
解 Z=X+Y的分布函数是,
ZF z P Z z
P X Y z
它 是直线 x+y =z 及其左下方的半平面,
x y z
x
y
0
概率论化成累次积分,得
zyx
Z dxdyyxfzF ),()(
yzZ dydxyxfzF ]),([)(
固定 z和 y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,
得
zZ dyduyyufzF ]),([)(
z dudyyyuf ]),([
变量代换交换积分次序
x y z
x
y
0
y
概率论由概率 密度与分布函数的关系,即得 Z=X+Y的概率密度为,
由 X和 Y的对称性,fZ (z)又可写成
dyyyzfzFzf ZZ ),()()( '
以上两式即是 两个随机变量和的概率密度的一般公式,
dxxzxfzFzf ZZ ),()()( '
zZ dudyyyufzF ]),([)(
概率论特别地,当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为,
dyyfyzfzf YXZ )()()(
dxxzfxfzf YXZ )()()(
下面我们用 卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度,
卷积公式概率论为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域例 4 若 X 和 Y 独立,具有共同的概率密度求 Z=X+Y 的概率密度,
其它,0
10,1
)(
x
xf
dxxzfxfzf YXZ )()()(
解 由卷积公式
10
10
xz
x 也即
zxz
x
1
10
概率论
zx?
z
xOz
1zx
2
1
1z
z 1z?
暂时固定 0.Zfz?故 当 或 时,0z? 2z?
0zZf z dx
当 时,01z
12z当 时,
z?
1 1Z zf z d x2 z
于是
,0 1,
2,1 2,
0,.
Z
zz
f z z z
其 它
dxxzfxfzf YXZ )()()(
概率论例 5 若 X和 Y 是两个相互 独立 的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度,
dxxzfxfzf YXZ )()()(
解 由卷积公式
22
221
2
zxx
e e d xπ
2
2()
421
2
zz x
e e d xπ
2
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2
z
x z xe e d x
π
概率论
2
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令,2ztx得
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2
241
2
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te e d t
π
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22
z
e
π
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
概率论用类似的方法可以证明,
),(~ 222121 NYXZ
若 X和 Y 独立,),,(~),,(~
222211 NYNX
结论又如何呢?
此结论 可以推广到 n个独立随机变量之和的情形,
请自行写出结论,
若 X和 Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则 Z=X+Y
服从正态分布 N(0,2).
概率论有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布,
更一般地,可以证明,
概率论休息片刻再继续概率论二,M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布设 X,Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y)
及 N = min(X,Y) 的分布函数,
FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为,
=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)
1,M = max(X,Y) 的分布函数即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
Mz?
Xz
Yz
概率论即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
=1-P(X>z,Y>z)
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
2,N = min(X,Y) 的分布函数
Nz?
Xz
Yz
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为,
=1- P(X>z)P(Y>z)FN(z)
概率论设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和 N=min(X1,…,Xn)
的分布函数,
(i = 1,…,n)
用与二维时完全类似的方法，可得
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为,
12 nM X X XF z F z F z F z?
121 [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ]nN X X XF z F z F z F z
iXFz
概率论特别地，当 X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)时，有
[] nMF z F z?
1 [ 1 ] nNF z F z
概率论例 6 设系统 L 由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联,(ii) 并联,(iii)
备用 (当系统 损坏时,系统 开始工作 ),如下图所示,设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为
12,LL
12,LL
1L 2L
,,XY
,0,0,0,
α x
X
α exfx
x
,0,
0,0,
β y
Y
β eyfy
y
0,0α β其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度,
.α β?
L Z
X Y
1L 2L
X
Y
1L
2L
1L X
Y
2L
概率论
X Y
1L 2L
解 (i) 串联的情况由于当系统 中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,
12,LL
所以此时 L 的寿命为
min,Z X Y?
,0,0,0,
α x
X
α exfx
x
因为 X 的概率密度为所以 X 的分布函数为
xXXF x f t d t
概率论
xXXF x f t d t
x0?x x?
0xXF x dt0?
当 x > 0 时, 0 00 x α tXF x d t e d t1 αxe
当 x 0 时,?
1,0,0,0,
α x
X
exFx
x
故类似地,
1,0,0,0,
β y
Y
eyFy
y
可求得 Y 的分布函数为概率论于是 的分布函数为min,Z X Y?
= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]minFz
()1,0,
0,0,
α β zez
z
的概率密度为min,Z X Y?
(),0,
0,0,
α β zα β ez
z
m in m inf z F z
概率论
X
Y
1L
2L
(ii) 并联的情况由于当且仅当系统 都损坏时,系统 L 才停止工作,
12,LL
所以此时 L 的寿命为
m a x,Z X Y?
故 的分布函数为m a x,Z X Y?
m a x XYF z F x F y?
( 1 ) ( 1 ),0,
0,0,
α z β ze e z
z
概率论
X
Y
1L
2L
m a x m a xf z F z ()
,0,
0,0,
α z β z α βα e β e α β ez
z
于是 的概率密度为m a x,Z X Y?
(iii) 备用的情况因此整个系统 L 的寿命为由于当系统 损坏时,系统 才开始工作,1L 2L
Z X Y
概率论
dyyfyzfzf YXZ )()()(
当 z 0 时, 0.Zfz?
当 z > 0 时,
0 z α zy β yZfz α e β e dy
zy?z
yO
当且仅当
0,
0,
y
zy
0 yz即 时,
上述积分的被积函数不等于零,
故
z
z
概率论
0
z β α yα zα β e e d y
( ),α z β zα β eeβ α
Z X Y于是 的概率密度为
0,0.
Zfz
z
( ),0,α z β zα β e e zβ α
0 z α zy β yZfz α e β e dy
概率论需要指出的是，当 X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)时,常 称
M=max(X1,…,Xn),N=min(X1,…,Xn)
为极值,
由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值,
概率论三、课堂练习设 是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布,试验证随机变量具有概率密度
XY、
20,N σ 22Z X Y
2
22
2
,0,
0,
z
σ
Z
z
ezfz
σ
其 它概率论四、小结在这一节中,我们讨论了两个随机变量的函数的分布的求法,
概率论五、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )
M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布课堂练习小结 布置作业
Z X Y
概率论在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论,
当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数
Z = g ( X,Y )
的分布?
概率论例 1 若 X,Y 独立,P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,
P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求 Z=X+Y 的概率函数,
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例 2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明 Z=X+Y服从参数为于是
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j = 0,1,2,…
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即 Z服从参数为 的泊松分布,12λ λ?
概率论例 3 设 X和 Y的联合密度为 f (x,y),求 Z=X+Y
的概率密度,
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d x d yyxf ),(
这里积分区域 D={(x,y),x+y ≤z}
解 Z=X+Y的分布函数是,
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P X Y z
它 是直线 x+y =z 及其左下方的半平面,
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概率论化成累次积分,得
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固定 z和 y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,
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x y z
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y
概率论由概率 密度与分布函数的关系,即得 Z=X+Y的概率密度为,
由 X和 Y的对称性,fZ (z)又可写成
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以上两式即是 两个随机变量和的概率密度的一般公式,
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概率论特别地,当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为,
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下面我们用 卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度,
卷积公式概率论为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域例 4 若 X 和 Y 独立,具有共同的概率密度求 Z=X+Y 的概率密度,
其它,0
10,1
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暂时固定 0.Zfz?故 当 或 时,0z? 2z?
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其 它
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概率论例 5 若 X和 Y 是两个相互 独立 的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度,
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22
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可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
概率论用类似的方法可以证明,
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若 X和 Y 独立,),,(~),,(~
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结论又如何呢?
此结论 可以推广到 n个独立随机变量之和的情形,
请自行写出结论,
若 X和 Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则 Z=X+Y
服从正态分布 N(0,2).
概率论有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布,
更一般地,可以证明,
概率论休息片刻再继续概率论二,M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布设 X,Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y)
及 N = min(X,Y) 的分布函数,
FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为,
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1,M = max(X,Y) 的分布函数即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
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概率论即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
=1-P(X>z,Y>z)
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
2,N = min(X,Y) 的分布函数
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由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为,
=1- P(X>z)P(Y>z)FN(z)
概率论设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和 N=min(X1,…,Xn)
的分布函数,
(i = 1,…,n)
用与二维时完全类似的方法，可得
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为,
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概率论特别地，当 X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)时，有
[] nMF z F z?
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概率论例 6 设系统 L 由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联,(ii) 并联,(iii)
备用 (当系统 损坏时,系统 开始工作 ),如下图所示,设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为
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1L 2L
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0,0α β其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度,
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1L 2L
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概率论
X Y
1L 2L
解 (i) 串联的情况由于当系统 中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,
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所以此时 L 的寿命为
min,Z X Y?
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可求得 Y 的分布函数为概率论于是 的分布函数为min,Z X Y?
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的概率密度为min,Z X Y?
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概率论
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1L
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(ii) 并联的情况由于当且仅当系统 都损坏时,系统 L 才停止工作,
12,LL
所以此时 L 的寿命为
m a x,Z X Y?
故 的分布函数为m a x,Z X Y?
m a x XYF z F x F y?
( 1 ) ( 1 ),0,
0,0,
α z β ze e z
z
概率论
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2L
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于是 的概率密度为m a x,Z X Y?
(iii) 备用的情况因此整个系统 L 的寿命为由于当系统 损坏时,系统 才开始工作,1L 2L
Z X Y
概率论
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当 z 0 时, 0.Zfz?
当 z > 0 时,
0 z α zy β yZfz α e β e dy
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上述积分的被积函数不等于零,
故
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0
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0,0.
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概率论需要指出的是，当 X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)时,常 称
M=max(X1,…,Xn),N=min(X1,…,Xn)
为极值,
由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值,
概率论三、课堂练习设 是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布,试验证随机变量具有概率密度
XY、
20,N σ 22Z X Y
2
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2
,0,
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σ
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其 它概率论四、小结在这一节中,我们讨论了两个随机变量的函数的分布的求法,
概率论五、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )
