概率论随机变量相互独立的定义课堂练习小结 布置作业第四节 相互独立的随机变量概率论两事件 A,B 独立的定义是：若 P(AB)=P(A)P(B)
则称事件 A,B 独立,
设 X,Y是两个 r.v，若对任意的 x,y,有
)()(),( yYPxXPyYxXP
则称 X 和 Y 相互 独立,
一、随机变量相互独立的定义概率论
)()(),( yFxFyxF YX?
用分布函数表示,即设 X,Y是两个 r.v，若对任意的 x,y,有则称 X 和 Y 相互 独立,
它表明，两个 r.v相互 独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积,
概率论
),( yxf其中 是 X和 Y的联合密度，
)()(),( yfxfyxf YX?
几乎处处成立，则称 X 和 Y 相互 独立,
对任意的 x,y,有若 (X,Y)是连续型 r.v,则上述独立性的定义等价于：
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为 0 的集合外，处处成立,
分别是 X的边缘密度和 Y的边缘密度,
)(),( yfxf YX
概率论若 (X,Y)是离散型 r.v,则上述独立性的定义等价于：
)()(),( jiji yYPxXPyYxXP
则称 X 和 Y 相互 独立,
对 (X,Y)的所有可能取值 (xi,yj),有概率论例 1 设 (X,Y)的概率密度为


其它,0
0,0,
),(
)( yxxe
yxf
yx
问 X和 Y是否独立？
解
0
)()( dyxexf yx
X
0 )()( dxxeyf yxY
,xxe
,ye
x>0
y >0
二、例题概率论即

其它,0
0,)( xxexf x
X

其它,0
0,)( yeyf y
Y
)()(),( yfxfyxf YX?
可见对一切 x,y,均有：
故 X,Y 独立,
概率论若 (X,Y)的概率密度为

其它,
y,yx,
)y,x(f
0
1002
情况又怎样？
解
),1(22)( 1 xdyxf
xX

yY ydxyf 0,22)(
0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为 0的区域，
)()(),( yfxfyxf YX?
故 X 和 Y 不独立,
概率论例 2 甲乙两人约定中午 12时 30分在某地会面,如果甲来到的时间在 12:15到 12:45之间是均匀分布,乙独立地到达,而且到达时间在 12:00到 13:00之间是均匀分布,试求先到的人等待另一人到达的时间不超过 5
分钟的概率,又甲先到的概率是多少？
解 设 X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以 12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45),Y~U(0,60)


其它,0
4515,
30
1
)(
x
xf X
概率论所求为 P( |X-Y | 5),?


其它,0
600,
60
1
)(
x
yf Y


其它,0
600,4515,
1800
1
),(
yx
yxf
甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过 5分钟的概率
P(X<Y)
概率论解一
4515 5x 5x dx]dy1800 1[
P( | X-Y| 5 )?
x
y
0 15 45
10
60
40
5yx
5yx
=P( -5< X -Y <5)
x
y
0 15 45
10
60
40
yx?
P(X<Y)
4515 60x dx]dy1 8 0 01[
1 2.?
1 6.?
概率论解二


5|yx|
d x d y
1800
1
P(X <Y)
x
y
0 15 45
10
60
40
5yx
5yx
)]2/30303010(23060[1 8 0 01
=1/2 x
y
0 15 45
10
60
40
yx?
被积函数为常数，
直接求面积
=P(X >Y)
1 6.?
P( | X-Y| 5 )?
概率论类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的,
若甲船需停泊 1小时，乙船需停泊 2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率,
概率论在某一分钟的任何时刻,信号进入收音机是等可能的,若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于 0.5秒,则信号将产生互相干扰,求发生两信号互相干扰的概率,
概率论盒内有 个白球,个黑球,有放回地摸球例 3
两次,
n m
设 1,
0,X

第 1次摸到白球第 1次摸到黑球
1,
0,Y

第 2次摸到白球第 2次摸到黑球试求,XY(1) 的联合分布律及边缘分布律 ;
,XY(2) 判断 的相互独立性 ;
(3) 若改为无放回摸球,解上述两个问题,
概率论
YX 01
222m n m n n m n
jp?
ip?
2m m n m n m n0
1
m m n n m n
n m n?
m m n?
,XY(1) 的联合分布律及边缘分布律解如下表所示,
(2) 由上表可知 ij i jp p p,0,1ij?
,XY故 的相互独立,
概率论
,XY(3) 的联合分布律及边缘分布律如下表所示,
YX 01
jp?
ip?
0
1 nmn?
m
mn?


1
1
mm
m n m n

m
mn?
n
mn?
1
mn
m n m n
1
mn
m n m n


1
1
nn
m n m n

概率论
,XY故 不是相互独立,
由上表知,


1( 0,0 ),
1
mmP X Y
m n m n


0,mPX mn0.mPY mn
可见
( 0,0 ) 0 0,P X Y P X P Y
概率论三、课堂练习
1,设随机变量 (X,Y) 的概率密度是
1,,0 1,,
0,
y x xf x y
其 它,
问 X 和 Y 是否相互独立?
2,证明 对于二维正态随机变量 (X,Y),
X 和 Y 相互独立的充要条件是参数,0ρ?
概率论这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念,给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握,
四、小结概率论五、布置作业
,概率统计,标准化作业 (三 )