数理统计第二节 估计量的评选标准无偏性有效性相合性小结 布置作业数理统计样本均值是否是 的一个好的估计量？
(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
样本方差是否是 的一个好的估计量？2?
这就需要讨论以下几个问题,
(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？
(3) 如何求得合理的估计量？
X~N( )2,μ σ
数理统计估计量的评选标准在介绍估计量的评选标准之前,我们必须强调指出：
评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量,
这是因为估计量是样本的函数,是随机变量,因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值,因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性,
数理统计常用的几条标准是：
1,无偏性
2,有效性
3,相合性这里我们重点介绍前面两个标准,
数理统计估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值,我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值,这就导致无偏性这个标准,
一,无偏性
)?(E
则称 为 的 无偏估计,
),,(? 1 nXX设 是未知参数 的估计量，若?
数理统计例如,用样本均值作为总体均值的估计时,
虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随机地在 0的周围波动,对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差,
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,
无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差,
数理统计例 1 设总体 X 服从参数为 的指数分布,其 概率密度 为
1
,0,
0,
x θex
fx θ
其 它,
0θ?其 中 为未知,
θ
X1,X2,… Xn是取自总体的一个样本,
试证 和 都是参数 的 无偏估计量,
1m i n (,,)nX Z X X? θ
数理统计证,EX θEX θ?
所以 是参数 的 无偏估计量,θX 而
1m in (,,)nZ X X? 具有概率密度
m in,0,;
0,
nx θn ex
fx θ θ
其 它,
故知,θEZ
nE nZ θ?
即 也是参数 的 无偏估计量,θnZ
数理统计所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了 有效性这一概念,
的大小来决定二者谁更优,
21 )?(E
和
21
一个参数往往有不止一个无偏估计,若 和都是参数 的无偏估计量,我们可以比较
22 )?(E
211 )?()?( ED由于
222 )?()?( ED
数理统计二,有效性
D( ) ≤D( )
21
则称 较 有效,
21
都是参数 的无偏估计量，若对 任意,
),,(? 11 nXX ),,( 122 nXX1设 和
θ
且至少对于 某个 上式中的不等号成立，θ
数理统计例 2 (续例 1) 试证 当 n > 1 时 的无偏估计量较 有效,1m i n (,,)nX Z X X?
θ
证 2,DX θ?
22
11
11( ) ( )nn
ii
ii
θD X D X D X
n n n故有
22,θDZ n?而 故有 2,D nZ θ?
当 n > 1 时, ( ),D n Z D X?X n Z故 较 有效,
数理统计三,相合性任意,当 时 依概率收敛于,则称 为 的 相合估计量,
设
θ n
是参数 的估计量，若对于1(,,)nθ XX
1(,,)nθ XX
θ
θ
θ θ
为 的 相合估计量θθ
0ε?对于任意,有
li m { | | } 1,n P θ θ εθ
数理统计由辛钦定理若总体 的数学期望 有限,EX μ?X 则有
1
1 n k
ki
i
AXn
( ) ( 1,2,)P k kEX μ k
12(,,,)kg A A A 12(,,,)P kg μ μ μ
其中 为连续函数,g
数理统计故
1
1 n k
ki
i
AXn
( ) ( 1,2,)k kEX μ k为 的 相合估计量,
若 为连续函数,g
12(,,,)kg A A A12(,,,)kg μ μ μ为 的 相合估计量,
则有数理统计四、小结对于一个未知参数可以提出不同的估计量,
因此自然提出比较估计量的好坏的问题,这就需要给出评定估计量好坏的标准,
在本节中,介绍了评定估计量好坏的三个标准,无偏性、有效性、和相合性,
数理统计五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (六 )
(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
样本方差是否是 的一个好的估计量？2?
这就需要讨论以下几个问题,
(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？
(3) 如何求得合理的估计量？
X~N( )2,μ σ
数理统计估计量的评选标准在介绍估计量的评选标准之前,我们必须强调指出：
评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量,
这是因为估计量是样本的函数,是随机变量,因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值,因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性,
数理统计常用的几条标准是：
1,无偏性
2,有效性
3,相合性这里我们重点介绍前面两个标准,
数理统计估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值,我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值,这就导致无偏性这个标准,
一,无偏性
)?(E
则称 为 的 无偏估计,
),,(? 1 nXX设 是未知参数 的估计量，若?
数理统计例如,用样本均值作为总体均值的估计时,
虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随机地在 0的周围波动,对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差,
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,
无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差,
数理统计例 1 设总体 X 服从参数为 的指数分布,其 概率密度 为
1
,0,
0,
x θex
fx θ
其 它,
0θ?其 中 为未知,
θ
X1,X2,… Xn是取自总体的一个样本,
试证 和 都是参数 的 无偏估计量,
1m i n (,,)nX Z X X? θ
数理统计证,EX θEX θ?
所以 是参数 的 无偏估计量,θX 而
1m in (,,)nZ X X? 具有概率密度
m in,0,;
0,
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其 它,
故知,θEZ
nE nZ θ?
即 也是参数 的 无偏估计量,θnZ
数理统计所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了 有效性这一概念,
的大小来决定二者谁更优,
21 )?(E
和
21
一个参数往往有不止一个无偏估计,若 和都是参数 的无偏估计量,我们可以比较
22 )?(E
211 )?()?( ED由于
222 )?()?( ED
数理统计二,有效性
D( ) ≤D( )
21
则称 较 有效,
21
都是参数 的无偏估计量，若对 任意,
),,(? 11 nXX ),,( 122 nXX1设 和
θ
且至少对于 某个 上式中的不等号成立，θ
数理统计例 2 (续例 1) 试证 当 n > 1 时 的无偏估计量较 有效,1m i n (,,)nX Z X X?
θ
证 2,DX θ?
22
11
11( ) ( )nn
ii
ii
θD X D X D X
n n n故有
22,θDZ n?而 故有 2,D nZ θ?
当 n > 1 时, ( ),D n Z D X?X n Z故 较 有效,
数理统计三,相合性任意,当 时 依概率收敛于,则称 为 的 相合估计量,
设
θ n
是参数 的估计量，若对于1(,,)nθ XX
1(,,)nθ XX
θ
θ
θ θ
为 的 相合估计量θθ
0ε?对于任意,有
li m { | | } 1,n P θ θ εθ
数理统计由辛钦定理若总体 的数学期望 有限,EX μ?X 则有
1
1 n k
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i
AXn
( ) ( 1,2,)P k kEX μ k
12(,,,)kg A A A 12(,,,)P kg μ μ μ
其中 为连续函数,g
数理统计故
1
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AXn
( ) ( 1,2,)k kEX μ k为 的 相合估计量,
若 为连续函数,g
12(,,,)kg A A A12(,,,)kg μ μ μ为 的 相合估计量,
则有数理统计四、小结对于一个未知参数可以提出不同的估计量,
因此自然提出比较估计量的好坏的问题,这就需要给出评定估计量好坏的标准,
在本节中,介绍了评定估计量好坏的三个标准,无偏性、有效性、和相合性,
数理统计五、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (六 )
