概率论第五节 条件概率全概率公式贝叶斯公式小结 布置作业概率论有三个箱子,分别编号为 1,2,3.1号箱装有 1个红球
4个白球,2号箱装有 2红 3白球,3号箱装有 3 红球,某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率,
解 记 Ai={球取自 i号箱 },
i=1,2,3;
B ={取得红球 }
B发生总是伴随着 A1,A2,A3 之一同时发生，
1 2 3
其中 A1,A2,A3两两互斥看一个例子,
三、全概率公式概率论将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的 全概率公式,
对求和中的每一项运用乘法公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
3
1i
ii ABPAPBP )()()( ｜
代入数据计算得,P(B)=8/15
运用加法公式得到即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B,A2B,A3B 两两互斥概率论定义 ,,,,nBBBES?21的样本空间为随机试验设
,如果满足的一组事件是 E
jiBB ji 1
2 SBBB n 21
,,,,,,,nn BBBBBB 2121 或称为完全事件系则称
,的一个划分为 S
,注意,,,,为样本空间的一个划分若 nBBB?21
,事件组则对每次试验,,,中必有且仅有nBBB?21
一个事件发生,
,,分割成若干个互斥事件的划分是将可见 SS
概率论
1定 理,SE 的样本空间为设试验 nBBB,,,?21
,,则对且的一个划分为 n,,,iBPS i 210
,恒有样本空间中的任一事件 A
n
i
ii B|APBPAP
1 证明 因为 ASA
nBBBA 21
nABABAB 21
并且,,所以jiABAB ji
nABPABPABPAP 21
nn B|APBPB|APBP 11
n
i
ii B|APBP
1
概率论
n
i
ii B|APBPAP
1,全概率公式件是把一个未知的复杂事全概率公式的基本思想
,而这些简单单事件再求解分解为若干个已知的简
,使得某个未知事件事件组事件组成一个互不相容故在至少一个同时发生与这组互不相容事件中,A
,S的关键是要找到一个合适应用此全概率公式时
,的一个划分概率论某一事件 A的发生有各种可能的原因,如果 A
是由原因 Bi (i=1,2,…,n) 所引起,则 A发生的概率是每一原因都可能导致 A发生，故 A发生的概率是各原因引起 A发生概率的总和，
即全概率公式,
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
全概率公式,我们还可以从另一个角度去理解概率论由此可以形象地把 全概率公式 看成为,由原因推结果,,每个原因对结果的发生有一定的,
作用,,即结果发生的可能性与各种原因的,作用,大小有关,全概率公式表达了它们之间的关系
.
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7 B8
A 诸 Bi是原因B是结果概率论例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞 机被一人击中而击落的概率为 0.2,被两人击中而击落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率,
设 A={飞机被击落 }
Bi={飞机被 i人击中 },i=1,2,3
由全概率公式则 A=B1A+B2A+B3A
解依题意，
P(A|B1)=0.2,
P(A|B2)=0.6,
P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)
+ P(B3)P(A |B3)
概率论可求得为求 P(Bi ),
设 Hi={飞机被第 i人击中 },i=1,2,3
将数据代入计算得
P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P H H H H H H H H H
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P H H H H H H H H H
3 1 2 3P B P H H H?
概率论
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.458
=0.36× 0.2+0.41 × 0.6+0.14 × 1
即飞机被击落的概率为 0.458.
于是概率论该球取自哪号箱的可能性最大?
这一类问题是,已知结果求原因,,在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自 1号箱的概率,
1 2 3
1红 4白或者问,
四、贝叶斯公式看一个例子,
概率论接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式概率论有三个箱子，分别编号为 1,2,3,1号箱装有 1个红球 4个白球,2号箱装有 2红球 3白球,3号箱装有 3红球,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，
发现是红球,求该球是取自 1号箱的概率,
1 2 3
1红 4白概率论某人从任一箱中任意摸出一球，
发现是红球，求该球是取自 1号箱的概率,
)(
)()|( 1
1 BP
BAPBAP?
记 Ai={球取自 i号箱 },i=1,2,3;
B ={取得红球 }
求 P(A1|B)
3
1
11
k
kk ABPAP
ABPAP
)()(
)|()(
｜运用全概率公式计算 P(B)
将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式
1 2 3
1红 4白概率论
n
j
jjiii ABPAPABPAPBAP
1
)()()()()|( ｜｜
该公式于 1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出,它是在观察到事件 B已发生的条件下，寻找导致 B发生的每个原因的概率,
ni,,,?21?
贝叶斯公式定理 2,,,21 为样本空间的设 nAAA?
,0,,则恒有且中的任一事件为一个划分?BPB?
概率论贝叶斯公式在实际中有很多应用,
它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因,
概率论例 某一地区患有癌症的人占 0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为 0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?
则 表示“抽查的人不患癌症”,C
C
C
已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,
P(A|C)=0.95,P(A| )=0.04
求解如下,设 C={抽查的人患有癌症 }，
A={试验结果是阳性 }，
求 P(C|A).
概率论现在来分析一下结果的意义,
由贝叶斯公式，可得
)|()()|()(
)|()()|(
CAPCPCAPCP
CAPCPACP
代入数据计算得 P(C｜ A)= 0.1066
2,检出阳性是否一定患有癌症?
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
概率论如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是 0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从 0.005增加到 0.1066,将近增加约 21倍,
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义,
P(C｜ A)= 0.1066
P(C)=0.005
概率论试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为
P(C｜ A)=0.1066
2,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有 10.66% (平均来说,1000个人中大约只有 107人确患癌症 )，此时医生常要通过再试验来确认,
概率论
P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事件 B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识,
当有了新的信息（知道 B发生），人们对诸事件发生可能性大小 P(Ai | B)有了新的估计,
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中,P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为原因的 验前概率 和 验后概率,
概率论
3,2 1 1 个白乙盒装有个黑球个白球甲盒装有例
,1 4,2 采取掷一骰个黑球个白球丙盒装有个黑球球
点选乙盒、点选甲盒或、出现子决定选盒,5 4,3 21,
,,6 经过秘一个球在选出的盒里随机摸出点选丙盒
,,求此球来自乙宣布摸得一个白球密选盒摸球后
,盒的概率解,1 摸出的球来自甲盒设?A
,2 摸出的球来自乙盒?A
,3 摸出的球来自丙盒?A
,摸得白球?B
概率论则,61,31,21 321 APAPAP
,54|,53|,31| 321 ABPABPABP
白球来自乙盒的概率为于是由贝叶斯公式可知
3
1
22
2
|
|
|
i
ii ABPAP
ABPAP
BAP
5
4
6
1
5
3
3
1
3
1
2
1
5
3
3
1
,52?
概率论
" 0 ",,2 当发出信号由于随机干扰在数字通迅中例
,0,2 0,7 " 1 "," "," 0 ",的概率分别是不清收到信号时
" "," 1 "," 1 " ; 0,1 和不清收到信号为时当发信号和
,0,0,1 0,9 " 0 " 如果整个发报过程中和的概率分别是
" ",0,4 0,6 " 1 " " 0 " 不清当收到和出现的概率分别是和
,试推测原发信号是什么时解," 0 " 则发出信号设?B " 1 " 发出信号?B
," " 不清收到信号?A
," 1 " " 0 " 的一个划分或发出信号为与则BB
概率论
" 0 " " " 的概率为而原发信号为不清故收到信号为
AP ABPABP?|BAPBPBAPBP BAPBP || |
,0,7 50,10,40,20,6 0,20,6
" 1 " " " 的概率为而原发信号为不清而收到信号为
ABPABP |1|,25.075.01
75% (,确切地说有能可以推测原发信号很可因此
," 0 " ) 是的可能概率论
3 假定患肺结核的人通过 肺结核确诊率问题例
,0,9 5,而未患肺结被诊断出的概率为接受胸部透视
,0,002,又设被诊断为有病的概率为核的人通过透视
,0,1 % 现若从该 核的概率为某城市成年居民患肺结
,通过透视被诊断为有人来城市居民中随机选出一
,核的概率是多少求这个人确实患有肺结肺结核解,通过胸透诊断有肺结核设?A
BB,则确实患有肺结核,未患肺结核?
故所求概率为
ABP |AP ABPBAPBPBAPBP BAPBP || |
概率论这一讲我们介绍了全概率公式 贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们,
五、小结概率论六,布置作业
,概率统计,标准化作业 (一 )
4个白球,2号箱装有 2红 3白球,3号箱装有 3 红球,某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率,
解 记 Ai={球取自 i号箱 },
i=1,2,3;
B ={取得红球 }
B发生总是伴随着 A1,A2,A3 之一同时发生，
1 2 3
其中 A1,A2,A3两两互斥看一个例子,
三、全概率公式概率论将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的 全概率公式,
对求和中的每一项运用乘法公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
3
1i
ii ABPAPBP )()()( ｜
代入数据计算得,P(B)=8/15
运用加法公式得到即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B,A2B,A3B 两两互斥概率论定义 ,,,,nBBBES?21的样本空间为随机试验设
,如果满足的一组事件是 E
jiBB ji 1
2 SBBB n 21
,,,,,,,nn BBBBBB 2121 或称为完全事件系则称
,的一个划分为 S
,注意,,,,为样本空间的一个划分若 nBBB?21
,事件组则对每次试验,,,中必有且仅有nBBB?21
一个事件发生,
,,分割成若干个互斥事件的划分是将可见 SS
概率论
1定 理,SE 的样本空间为设试验 nBBB,,,?21
,,则对且的一个划分为 n,,,iBPS i 210
,恒有样本空间中的任一事件 A
n
i
ii B|APBPAP
1 证明 因为 ASA
nBBBA 21
nABABAB 21
并且,,所以jiABAB ji
nABPABPABPAP 21
nn B|APBPB|APBP 11
n
i
ii B|APBP
1
概率论
n
i
ii B|APBPAP
1,全概率公式件是把一个未知的复杂事全概率公式的基本思想
,而这些简单单事件再求解分解为若干个已知的简
,使得某个未知事件事件组事件组成一个互不相容故在至少一个同时发生与这组互不相容事件中,A
,S的关键是要找到一个合适应用此全概率公式时
,的一个划分概率论某一事件 A的发生有各种可能的原因,如果 A
是由原因 Bi (i=1,2,…,n) 所引起,则 A发生的概率是每一原因都可能导致 A发生，故 A发生的概率是各原因引起 A发生概率的总和，
即全概率公式,
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
全概率公式,我们还可以从另一个角度去理解概率论由此可以形象地把 全概率公式 看成为,由原因推结果,,每个原因对结果的发生有一定的,
作用,,即结果发生的可能性与各种原因的,作用,大小有关,全概率公式表达了它们之间的关系
.
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7 B8
A 诸 Bi是原因B是结果概率论例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞 机被一人击中而击落的概率为 0.2,被两人击中而击落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率,
设 A={飞机被击落 }
Bi={飞机被 i人击中 },i=1,2,3
由全概率公式则 A=B1A+B2A+B3A
解依题意，
P(A|B1)=0.2,
P(A|B2)=0.6,
P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)
+ P(B3)P(A |B3)
概率论可求得为求 P(Bi ),
设 Hi={飞机被第 i人击中 },i=1,2,3
将数据代入计算得
P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P H H H H H H H H H
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P H H H H H H H H H
3 1 2 3P B P H H H?
概率论
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.458
=0.36× 0.2+0.41 × 0.6+0.14 × 1
即飞机被击落的概率为 0.458.
于是概率论该球取自哪号箱的可能性最大?
这一类问题是,已知结果求原因,,在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自 1号箱的概率,
1 2 3
1红 4白或者问,
四、贝叶斯公式看一个例子,
概率论接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式概率论有三个箱子，分别编号为 1,2,3,1号箱装有 1个红球 4个白球,2号箱装有 2红球 3白球,3号箱装有 3红球,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，
发现是红球,求该球是取自 1号箱的概率,
1 2 3
1红 4白概率论某人从任一箱中任意摸出一球，
发现是红球，求该球是取自 1号箱的概率,
)(
)()|( 1
1 BP
BAPBAP?
记 Ai={球取自 i号箱 },i=1,2,3;
B ={取得红球 }
求 P(A1|B)
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11
k
kk ABPAP
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)()(
)|()(
｜运用全概率公式计算 P(B)
将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式
1 2 3
1红 4白概率论
n
j
jjiii ABPAPABPAPBAP
1
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该公式于 1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出,它是在观察到事件 B已发生的条件下，寻找导致 B发生的每个原因的概率,
ni,,,?21?
贝叶斯公式定理 2,,,21 为样本空间的设 nAAA?
,0,,则恒有且中的任一事件为一个划分?BPB?
概率论贝叶斯公式在实际中有很多应用,
它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因,
概率论例 某一地区患有癌症的人占 0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为 0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?
则 表示“抽查的人不患癌症”,C
C
C
已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,
P(A|C)=0.95,P(A| )=0.04
求解如下,设 C={抽查的人患有癌症 }，
A={试验结果是阳性 }，
求 P(C|A).
概率论现在来分析一下结果的意义,
由贝叶斯公式，可得
)|()()|()(
)|()()|(
CAPCPCAPCP
CAPCPACP
代入数据计算得 P(C｜ A)= 0.1066
2,检出阳性是否一定患有癌症?
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
概率论如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是 0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从 0.005增加到 0.1066,将近增加约 21倍,
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义,
P(C｜ A)= 0.1066
P(C)=0.005
概率论试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为
P(C｜ A)=0.1066
2,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有 10.66% (平均来说,1000个人中大约只有 107人确患癌症 )，此时医生常要通过再试验来确认,
概率论
P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事件 B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识,
当有了新的信息（知道 B发生），人们对诸事件发生可能性大小 P(Ai | B)有了新的估计,
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中,P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为原因的 验前概率 和 验后概率,
概率论
3,2 1 1 个白乙盒装有个黑球个白球甲盒装有例
,1 4,2 采取掷一骰个黑球个白球丙盒装有个黑球球
点选乙盒、点选甲盒或、出现子决定选盒,5 4,3 21,
,,6 经过秘一个球在选出的盒里随机摸出点选丙盒
,,求此球来自乙宣布摸得一个白球密选盒摸球后
,盒的概率解,1 摸出的球来自甲盒设?A
,2 摸出的球来自乙盒?A
,3 摸出的球来自丙盒?A
,摸得白球?B
概率论则,61,31,21 321 APAPAP
,54|,53|,31| 321 ABPABPABP
白球来自乙盒的概率为于是由贝叶斯公式可知
3
1
22
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i
ii ABPAP
ABPAP
BAP
5
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1
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1
,52?
概率论
" 0 ",,2 当发出信号由于随机干扰在数字通迅中例
,0,2 0,7 " 1 "," "," 0 ",的概率分别是不清收到信号时
" "," 1 "," 1 " ; 0,1 和不清收到信号为时当发信号和
,0,0,1 0,9 " 0 " 如果整个发报过程中和的概率分别是
" ",0,4 0,6 " 1 " " 0 " 不清当收到和出现的概率分别是和
,试推测原发信号是什么时解," 0 " 则发出信号设?B " 1 " 发出信号?B
," " 不清收到信号?A
," 1 " " 0 " 的一个划分或发出信号为与则BB
概率论
" 0 " " " 的概率为而原发信号为不清故收到信号为
AP ABPABP?|BAPBPBAPBP BAPBP || |
,0,7 50,10,40,20,6 0,20,6
" 1 " " " 的概率为而原发信号为不清而收到信号为
ABPABP |1|,25.075.01
75% (,确切地说有能可以推测原发信号很可因此
," 0 " ) 是的可能概率论
3 假定患肺结核的人通过 肺结核确诊率问题例
,0,9 5,而未患肺结被诊断出的概率为接受胸部透视
,0,002,又设被诊断为有病的概率为核的人通过透视
,0,1 % 现若从该 核的概率为某城市成年居民患肺结
,通过透视被诊断为有人来城市居民中随机选出一
,核的概率是多少求这个人确实患有肺结肺结核解,通过胸透诊断有肺结核设?A
BB,则确实患有肺结核,未患肺结核?
故所求概率为
ABP |AP ABPBAPBPBAPBP BAPBP || |
概率论这一讲我们介绍了全概率公式 贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们,
五、小结概率论六,布置作业
,概率统计,标准化作业 (一 )
