数理统计概率统计习题课七数理统计一,填空题,1 ）设总体
12(,),0 1,,,,nX B n p p X X X 为其子样,n 及 p 的矩估计分别是
( ),E X n p1解,由
2222 ( ) ( ) ( ) ( 1 ),E X D X E X n p p n p
2
1
1
1,p得
2
1
2
1 1 2
,n
数理统计
21
1,
n S
np
X
于 是
2
2
,
1
X
n
n
XS
n
2
1
1
1,
n
i
i
X
npX
X

故
2
2 2
1
,
1 n
i
i
X
n
X X X
n?

数理统计一,填空题,
2 ）设总体 120,,(,,,)nX U X X X 是来自 X 的样本，则? 的极大似然估计量是 1
0
()
0
x
fx



解,由其 它 1 0,1,2,
()
0
in x i nL



似 然 函 数其 它
1max iin x
数理统计

1 1
1
0 m in m ax,
()
0
iin in inxxL



即其 它
1? ma x iin x
数理统计
20,92解,已 知,
2
Xzn

一,填空题,3 ）设总体 2(,0.9 )XN? 容量为 9 的简单随即变量，均值 5x?,则未知参数? 的置信度为 0,9 5 的置信区间是置信区间
5,9,0,9,0,0 5xn而,0,0 2 52 1,9 6zz
2
0,5 8 8zn故 置信区间为4 4 1 2,5,5 8 8.
4 4 1 2,5,5 8 8.
数理统计
1) 设
12
,,,
n
X X X 是取自总体 X 的一个简单样本，则
2
()EX 的矩估计是
（ A ）
22
1
1
1
()
1
n
i
i
S X X
n?

（ B ）
22
2
1
1
()
n
i
i
S X X
n?

（ C ）
2
2
1
SX? （ D ）
2
2
2
SX?
二,选择题：
2()EX2解,由
D
22
2
1
1() n
i
i
E X A Xn
故
222
2
1
1 n
i
i
S X Xn
而数理统计
2 ）总体
2
(,)XN,
2
已知,n? 时，
才能使总体均值? 的置信度为 0.9 5 的置信区间长不大于 L
（ A ） 15
2
/
2
L ; （ B ） 15.36 64
2
/
2
L ;
（ C ） 16
2
/
2
L ; （ D ） 16
二,选择题：
解,
B
2
Xzn
置信区间为 依题意，区间长度
22224 1 5,3 6 6 4nz LL所 以
20,0 5,1,9 6z而 由2
2 zL
n?

数理统计
C
3 ）设
12
,,,
n
X X X 为总体 X 的一个随机样本，
2
( ),( )E X D X,
1
2
2
1
1
()
n
ii
i
C X X?
为
2
的无偏估计，则 C ＝
（ A ）
1
n
（ B ）
1
1n?
（ C ）

1
21 n?
（ D ）
1
2n?
二,选择题：
解,2?E
1 2
1
1
n
ii
i
E C X X

1
22
11
1
2
n
i i i i
i
C E X X X X


1 2 2 2
1
22
n
i
C

222 ( 1 )nC
1
2 ( 1 )C n
数理统计三,解答题
1 ）设
12
,,,
n
X X X 为总体 X 的一个样本,X 的密度函数
1
,0 1
()
0,
xx
fx


其 他
,0 求参数? 的矩估计量和极大似然估计量。
解, 101 01 E X x x d x11
1
1
1
1?
1 X矩 估 量数理统计三,解答题
1 ）设
12
,,,
n
X X X 为总体 X 的一个样本,X 的密度函数
1
,0 1
()
0,
xx
fx


其 他
,0 求参数? 的矩估计量和极大似然估计量。
解,02 似然函数为
1
( ) ( )
n
i
i
L f x?

1
1
,0 1,1,2,
0,
n
ii
i
x x i n



其 他
0 1,1,2,ix i n当 时数理统计

1
ln ( ) ln 1 ln
n
i
i
L n x

求导数得
1
ln 0
n
i
i
n x

1
ln
n
i
i
n
x
最大似然估计值为
1
ln
n
i
i
n
X
最大似然估计量为数理统计三,解答题2 ）设 X 服从参数为? 的泊松分布，试求参数? 的矩估计与极大自然估计。
解,0 11 EX
X矩估计量为数理统计
11
1
11
( ) 1
!
nn
ii
ii
xx nn
nn
i
ii i
dL
n e e x
dx







0?
x最大似然估计值为
X最大似然估计量为
02 X分布律为似然函数为
0,1,2,!xP X x e xx

1
()
n
i
i
L P X x?

1
1
1
!
n
i
i
x n
n
i i
e
x




0,1,2,
ix?
数理统计三,解答题
3 ）随机地从一批零件中抽取 16 个，测得长度 ()cm
为,2,14,2,10,2,1 3,2,15,2,1 3,2,1 2,2,13,2,1 0,
2,15,2,12,2,14,2,10,2,1 3,2,1 1,2,14,2,1 1,设零件长度分布为正态分布，试求总体? 的 90 ％的置信区间,（ 1 ）若 0,0 1 ( )cm,（ 2 ）若? 未知。
解,(1) 0,0 1 已 知置信区间为
2
Xzn

2,1 2 5,1 6,0,0 1,0,1 0xn而,0,0 52 1,6 4 5zz
2
0,0 0 4zn故 置信区间为2,1 2 1,2,1 2 9
数理统计解,(2)?未 知 置信区间为 2 ( 1 )
SX t n
n?


2 0,0 0 4 42,1 2 5,1 6,,0,1 0
15x n S而,
0,0 52 ( 1 ) ( 1 5 ) 1,7 5 3 1t n t
2
( 1 ) 0,0 0 7 5S tnn故置信区间为2,1 1 7 5,2,1 3 2 5
数理统计三,解答题
4 ）某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两条流水线上抽取样本：
1 2 12
,,,X X X 及
1 2 1 7
,,,Y Y Y
算出
22
12
10,6 ( ),9.5 ( ),2.4,4.7X g Y g S S,假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为
12
,, （ 1 ）设两总体方差
22
12
,求
12
置信度为 95 ％的置信区间； （ 2 ）求
2
1
/
2
2
的置信度为 95 ％的置信区间。
解,(1) 置信区间为
12
212
11 ( 2 )X Y S t n n
nn



数理统计
0,0 5,
1 2 0,0 2 52 ( 2 ) ( 2 7 ) 2,0 5 1 8,t n n t
置信区间为0,4 0 1,2,6 0 1?
22
1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
( 2 )
n S n SS
nn?

其 中
22121 0,6 ( ),9,5 ( ),2,4,4,7X g Y g S S
1 2 1 21 2,1 7,2 2 7,n n n n
1,1,XY 122
12
11 ( 2 ) 1,50 1S t n n
nn
数理统计解,(1) 置信区间为 22
11
2 1 2 2 1 21
22
11
,
( 1,1 ) ( 1,1 )
SS
S F n n S F n n




0,0 5,
1 2 0,0 2 52 ( 1,1 ) ( 1 1,1 6 ) 2,9 4F n n F
22122,4,4,7SS
1 2 1 21 2,1 7,1 1 1,1 1 6,n n n n
121
2 2 1 0,0 2 5
2
1 1 1( 1,1 )
( 1,1 ) ( 1 6,1 1 ) 3,3 3F n n F n n F
置信区间为0,1 7 3 7,1,7 0 0 4
数理统计三,解答题
5 ）设
2
S 是来自
2
(,)XN 的 随 机 样 本

12
,,,
n
X X X 的方差，
2
, 是未知参数，试问
,( 0 )a b a b 满足什么条件才能使
2
的 95 ％的置信区间
22
( 1 ) ( 1 )
,
n S n S
ba



的长度最短？
解,
2
2
2
( 1 ) ~ ( 1 ),nS n?

()fx概 率 密 度 是
22
2( 1 ) ( 1 )n S n SP
ba?


由
2
2
( 1 )nSP a b



=
0,9 5ba= f ( x ) d x
数理统计置信区间长度为
11 -122 2( n - ) S ( n - ) S b aL ( a,b ) = ( n - ) S
a b a b

只需求 L(a,b)在 0,9 5ba f ( x ) d x 条件下的最小值设( n- 1 ) 0,9 5
b2
a
baF S f ( x ) d x
ab?

0
0
0
aF
F


由 得 22a f ( a ) b f ( b )?
数理统计四、证明题证明,~ ( 1,)X B p,( ),E X p?所 以 ()iE X p?
( ) ( )E p E X?故
1
1 n
i
i
EXn

p?
pp因 而 是的无偏估计,
为了对一批产品估计其废品率 p,随机取一样本 X1,X2,…,Xn,其中
1
0 i= 1,2,,ni
,X
,

取 得 次 品 （ ）
取 得 合 格 品试证明 是 p 的无偏估计量,
1
1 n
i
i
p X Xn