概率论第三节 随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义分布函数的性质小结 布置作业概率论一、分布函数的定义如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的],( x
概率,
xo xX X?
设 X 是一个 r.v,称
)()( xXPxF )( x
为 X 的分布函数,记作 F (x),
概率论
(1) 在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量,
(2) F(x) 是 r.v X取值不大于 x 的概率,
(3) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间 ( x1,x2 ]内的概率为：
P{ x1<X x2}?
因此，只要知道了随机变量 X的分布函数,它的统计特性就可以得到全面的描述,
=P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
1x 2xo x
XXX
请注意,
概率论分布函数是一个普通的函数，
正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量,
xxXPxF ),()(
xo xX X
概率论当 x<0 时,{ X x } =,故 F(x) =0
例 1 设 随机变量 X 的分布律为当 0 x < 1 时,
F(x) = P{X x} = P(X=0) =
3
1?
F(x) = P(X x)?解
0 x1 2x?xX X
X
kp
0 1 2
1 3 1 6 1 2
求 X 的分布函数 F (x),
概率论当 1 x < 2 时,
F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + =
3
1
6
1
2
1
当 x 2 时,
F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
0 x1 2Xx xX
概率论故注意右连续下面我们从图形上来看一下,
2,1
21,
2
1
10,
3
1
0,0
)(
x
x
x
x
xF
概率论
31
21
1 20
21 61
O
O
O
1
)(xF 的分布函数图
x
y
概率论设离散型 r,v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk,k =1,2,3,…
F(x) = P(X x) =
xx
k
k
p
即 F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和,x?
一般地则其分布函数概率论二、分布函数的性质
,,上是一个不减函数在xF(1)
;
,,,
21
2121
xFxF
xxxx
都有且即对
21F x F x
1x 2xo x
XX
12 0P x X x
X
概率论如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 r.v
X 的分布函数,也就是说，性质 (1)--(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件,
(3) F(x) 右连续，即
)()(lim 0
0
xFxF
xx
(2)
xo X x
()Flimx Fx
limx Fx()F
0?
1?
概率论试说明 F(x)能否是某个 r.v 的分布函数,
例 2 设有函数 F(x)
其它0
0s in
)(
xx
xF
解 注意到函数 F(x)在 上下降，
不满足性质 (1)，故 F(x)不能是分布函数,
],2[
不满足性质 (2),可见 F(x)也不 能是 r.v 的分布函数,
或者
0)(lim)( xFF x
概率论解 设 F(x) 为 X 的分布函数，
当 x < 0 时,F(x) = P(X x) = 0? 0 a
当 x > a 时,F(x) =1
例 3 在区间 [0,a] 上任意投掷一个质点，以
X 表示这个质点的坐标,设这个质点落在 [0,a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,试求
X 的分布函数,
当 0 x a 时,P(0 X x) = kx (k为常数 )
由于 P(0 X a) = 1 ka=1,k = 1/a
F(x) = P(X x) = P(X<0) + P(0 X x)? =x / a
概率论
0,0
( ),0
1,
x
x
F x x a
a
xa
故这就是在区间 [0,a]上服从均匀分布的连续型 随机变量的分布函数,
概率论三、小结在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数,
以及分布函数的性质,
概率论练习题一,设在 15 只同类型零件中有 3 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）
求 X 的分布函数,（ 2 ）画出分布函数的图形。
二,一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,5,6,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量 X 的分布律及分布函数。
概率论解,2,1,0?XX 的所有可能取值为：
}0{?XP 3
15
3
13
C
C?
35
22? }1{?XP
3
15
1
2
2
13
C
CC?
35
12?
}2{?XP 3
15
2
2
1
13
C
CC?
35
1?
一,设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）
求 X 的分布函数,（ 2 ）画出分布函数的图形。
概率论
F(x) = P(X x)?
}0{?XP 3522 }1{?XP 3512 }2{?XP 351?
,0 时当?x }{)( xXPxF0?
,10 时当 x }{)( xXPxF }0{ XP 3522?
,21 时当 x }{)( xXPxF
}0{ XP }1{ XP
35
34?
,2 时当?x 1)(?xF
概率论故
2,1
21,
35
34
10,
35
22
0,0
)(
x
x
x
x
xF
概率论二,一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,5,6,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量 X 的分布律及分布函数。
解,4,3,2,1?XX 的所有可能取值为：
}1{?XP 3
6
2
5
C
C?
2
1? }2{?XP
3
6
2
4
C
C?
10
3?
}3{?XP
6
2
3
C
C?
20
3? }4{?XP
3
6
2
2
C
C?
20
1?
概率论
,1 时当?x }{)( xXPxF0?
,21 时当 x }{)( xXPxF }1{ XP 21?
,32 时当 x }{)( xXPxF
}1{ XP }2{ XP
5
4?
}1{?XP }2{?XP 103
}3{?XP 203 }4{?XP 201
2
1
}{)( xXPxF
概率论四、布置作业
,概率统计,标准化作业 (二 )
概率,
xo xX X?
设 X 是一个 r.v,称
)()( xXPxF )( x
为 X 的分布函数,记作 F (x),
概率论
(1) 在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量,
(2) F(x) 是 r.v X取值不大于 x 的概率,
(3) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间 ( x1,x2 ]内的概率为：
P{ x1<X x2}?
因此，只要知道了随机变量 X的分布函数,它的统计特性就可以得到全面的描述,
=P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
1x 2xo x
XXX
请注意,
概率论分布函数是一个普通的函数，
正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量,
xxXPxF ),()(
xo xX X
概率论当 x<0 时,{ X x } =,故 F(x) =0
例 1 设 随机变量 X 的分布律为当 0 x < 1 时,
F(x) = P{X x} = P(X=0) =
3
1?
F(x) = P(X x)?解
0 x1 2x?xX X
X
kp
0 1 2
1 3 1 6 1 2
求 X 的分布函数 F (x),
概率论当 1 x < 2 时,
F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + =
3
1
6
1
2
1
当 x 2 时,
F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
0 x1 2Xx xX
概率论故注意右连续下面我们从图形上来看一下,
2,1
21,
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概率论
31
21
1 20
21 61
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1
)(xF 的分布函数图
x
y
概率论设离散型 r,v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk,k =1,2,3,…
F(x) = P(X x) =
xx
k
k
p
即 F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和,x?
一般地则其分布函数概率论二、分布函数的性质
,,上是一个不减函数在xF(1)
;
,,,
21
2121
xFxF
xxxx
都有且即对
21F x F x
1x 2xo x
XX
12 0P x X x
X
概率论如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 r.v
X 的分布函数,也就是说，性质 (1)--(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件,
(3) F(x) 右连续，即
)()(lim 0
0
xFxF
xx
(2)
xo X x
()Flimx Fx
limx Fx()F
0?
1?
概率论试说明 F(x)能否是某个 r.v 的分布函数,
例 2 设有函数 F(x)
其它0
0s in
)(
xx
xF
解 注意到函数 F(x)在 上下降，
不满足性质 (1)，故 F(x)不能是分布函数,
],2[
不满足性质 (2),可见 F(x)也不 能是 r.v 的分布函数,
或者
0)(lim)( xFF x
概率论解 设 F(x) 为 X 的分布函数，
当 x < 0 时,F(x) = P(X x) = 0? 0 a
当 x > a 时,F(x) =1
例 3 在区间 [0,a] 上任意投掷一个质点，以
X 表示这个质点的坐标,设这个质点落在 [0,a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,试求
X 的分布函数,
当 0 x a 时,P(0 X x) = kx (k为常数 )
由于 P(0 X a) = 1 ka=1,k = 1/a
F(x) = P(X x) = P(X<0) + P(0 X x)? =x / a
概率论
0,0
( ),0
1,
x
x
F x x a
a
xa
故这就是在区间 [0,a]上服从均匀分布的连续型 随机变量的分布函数,
概率论三、小结在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数,
以及分布函数的性质,
概率论练习题一,设在 15 只同类型零件中有 3 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）
求 X 的分布函数,（ 2 ）画出分布函数的图形。
二,一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,5,6,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量 X 的分布律及分布函数。
概率论解,2,1,0?XX 的所有可能取值为：
}0{?XP 3
15
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C
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22? }1{?XP
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一,设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数,（ 1 ）
求 X 的分布函数,（ 2 ）画出分布函数的图形。
概率论
F(x) = P(X x)?
}0{?XP 3522 }1{?XP 3512 }2{?XP 351?
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2,1
21,
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概率论二,一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1,2,
3,4,5,6,在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量 X 的分布律及分布函数。
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2
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概率论
,1 时当?x }{)( xXPxF0?
,21 时当 x }{)( xXPxF }1{ XP 21?
,32 时当 x }{)( xXPxF
}1{ XP }2{ XP
5
4?
}1{?XP }2{?XP 103
}3{?XP 203 }4{?XP 201
2
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}{)( xXPxF
概率论四、布置作业
,概率统计,标准化作业 (二 )
