数理统计单个正态总体 均值的检验两个正态总体均值差的检验小结 布置作业第二节 正态总体均值的假设检验数理统计
1,已知，关于 的检验（ u检验）
在上一小节中已讨论过正态总体,当已知时关于 的检验问题,在这些检验问题中，我们都是利用 在为真时服从 分布的统计量 来确定拒绝域。这种检验法常称为 u 检验法 。
0x
n
(0,1)N0H
2(,)N
2?
0
2?
2(,)N一、单个总体 均值 的检验数理统计下面还将给出一个有用的结果,
0 0 1 0:,:HH
我们看到，如将例 2中需要检验的问题写成以下的形式，看来更为合理：
取显著性水平为,现在来求这个问题的拒绝域,
0xk
0x
0H 1H
0?x
1H0H
0xk
因为 中的 全部都比 中的要小,从直观上看,
较合理的 检验法 应是：若观测值 与 的差过分大，即,则我们拒绝 而接受,
因此拒绝域的形式为 （ k 待定）,
数理统计
0
0
00
0
0
00
00
()
()
( ) ( )
1 ( ) ( )
()
( ) ( )
P x k
kx
P
nn
kk
nn
k k
nn
()x?由标准正态分布的分布函数 的单调性得到
00HH
P{拒绝 为真 }
数理统计
0 ()x n z
即
0x z
n?
()k n z即得,从而得检验问题 (1.7）的拒绝域为
()k
n
00HH所以要控制 P{拒绝 为真 },只需令数理统计这与上节得到的检验问题（ 1.3）的拒绝域（ 1.5）是一致的。
比较正态总体 在方差 已知时，对均值的两种检验问题和
0 0 1 0:,:HH
0 0 1 0:,:HH
2?2(,)N
数理统计我们看到 尽管两者原假设 的形式不同，实际意义也不一样，但对于相同的显著性水平它们的拒绝域是相同的。因此遇到形如（ 1.7）的检验问题，可归结为（ 1.3）来讨论。对于下面将要讨论的有关正态总体的参数的检验也有类似的结果。
0H
数理统计
2,未知，关于 的检验（ t检验）
设总体,其中 未知，我们来求检验问题的拒绝域（显著性水平为 ）。
设 是来自正态总体 X 的样本，
由于 未知，现在不能利用 来确定拒绝域了。
0x
n
12,,,nx x x
0 0 1 0:,:HH
2(,)XN 2,
2
2?
数理统计
0
0{}xPk
sn?
00HH
0 ( 1 )x tn
sn
0H0
xt
sn
0H
0xtk
sn
2s 2?
0xt
sn
注意到 是 的无偏估计，我们用 s来代替,采用 作为 检验统计量 。当过分大时就拒绝,拒绝域 的形式为已知当 为真时，,故由
P {拒绝 为真 }＝,
数理统计得,即 拒绝域 为对于正态总体,当 未知时，关于的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出。
2
2 ( 1 )k t n
0
2 ( 1 )
x
t t n
sn
2(,)N
数理统计上述利用 t 统计量得出得检验法称为 t检验法 。在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用
t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题 。
数理统计例 1 某种电子元件的寿命 X（以小时计）服从正态分布,均未知。现测得 16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225（小时
）？
2,
数理统计
0 0 1,2 2 5,,2 2 5,HH
0.05
0 0,6 6 8 5 1,7 5 3 1,xt
sn
0H
0 ( 1 )xt t n
sn?
0,0 5 (1 5 ) 1,7 5 3 1,t? 2 4 1,5,9 8,7 2 5 9xs
解,按题意需检验取 。由表 8.1知检验问题的拒绝域为现在 n=16,又算得即得
t不落在拒绝域，故接受,即认为元件的平均寿命不大于 225小时。
数理统计二,两个正态总体均值差的检验（ t 检验）
112,,,nx x x
21(,)N
212,,,ny y y
22(,)N
,xy
22
12,ss 212,,
我们还可以用 t检验法检验具有相同方差的两个正态总体均值差的假设。
设 是来自正态总体 的样本
,是来自正态总体 的样本且设两样本独立。又分别记它们的样本均值为,
记样本方差为 。设 均为未知，要特别引起注意的是，在这里假设两总体的方差是相等的。
数理统计
12
()
11
w
xy
t
s
nn
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2w
n s n s
s
nn
0 1 2 1 1 2:,,.HH
0,0 5
现在来求检验问题：
（ 为已知常数）的拒绝域，取显著性水平为引用下述 t 统计量作为 检验统计量,
其中数理统计
00HH
12
12
()
{}
11
w
xy
Pk
s
nn
12
()
.
11
w
xy
tk
s
nn
12( 2 )t t n n0H
当 为真时，已知 与单个总体的 t 检验法相仿，其 拒绝域 的形式为
P{拒绝 为真 }
＝
数理统计
12
12
()
( 2),
11
w
xy
t t n n
s
nn
12( 2 ),k t n n
可得 于是得拒绝域为关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表中给出。常用的是 的情况。
当 两种正态总体的方差均为已知 时，我们可用 u检验法来检验两正态总体均值差 的假设问题。
0
数理统计例 2 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了 10炉，
其得率分别为标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0
75.5 76.7 77.3
新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1
77.3 80.2 82.1
数理统计
0,0 5
2
1(,)N
2
2(,)N
212,,
设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体 和,均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？
（取 ）
2
11
2
22
1 0,7 6,2 3,3,3 2 5,
1 0,7 9,4 3,2,2 2 5,
n x s
n y s
0 1 2 1 1 2,0,,0,HH
解：需要检验假设分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差如下：
数理统计
0H
0.05 ( 18 ) 1.7 34 1,11
10 10w
xy
tt
s
22
2 12
0,0 5
( 1 0 1 ) ( 1 0 1 ) 2,7 7 5,( 1 8 ) 1,7 3 4 1,
1 0 1 0 2w
ssst
又，
故拒绝域为现在由于样本观察值 t＝ -4.295<-1.7341,所以拒绝,
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。
数理统计三、小结在这一节中我们学习了正态总体均值的检验法,有以下两种,单个正态总体 均值的检验以及两个正态总体均值差的检验,
数理统计四、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (七 )
1,已知，关于 的检验（ u检验）
在上一小节中已讨论过正态总体,当已知时关于 的检验问题,在这些检验问题中，我们都是利用 在为真时服从 分布的统计量 来确定拒绝域。这种检验法常称为 u 检验法 。
0x
n
(0,1)N0H
2(,)N
2?
0
2?
2(,)N一、单个总体 均值 的检验数理统计下面还将给出一个有用的结果,
0 0 1 0:,:HH
我们看到，如将例 2中需要检验的问题写成以下的形式，看来更为合理：
取显著性水平为,现在来求这个问题的拒绝域,
0xk
0x
0H 1H
0?x
1H0H
0xk
因为 中的 全部都比 中的要小,从直观上看,
较合理的 检验法 应是：若观测值 与 的差过分大，即,则我们拒绝 而接受,
因此拒绝域的形式为 （ k 待定）,
数理统计
0
0
00
0
0
00
00
()
()
( ) ( )
1 ( ) ( )
()
( ) ( )
P x k
kx
P
nn
kk
nn
k k
nn
()x?由标准正态分布的分布函数 的单调性得到
00HH
P{拒绝 为真 }
数理统计
0 ()x n z
即
0x z
n?
()k n z即得,从而得检验问题 (1.7）的拒绝域为
()k
n
00HH所以要控制 P{拒绝 为真 },只需令数理统计这与上节得到的检验问题（ 1.3）的拒绝域（ 1.5）是一致的。
比较正态总体 在方差 已知时，对均值的两种检验问题和
0 0 1 0:,:HH
0 0 1 0:,:HH
2?2(,)N
数理统计我们看到 尽管两者原假设 的形式不同，实际意义也不一样，但对于相同的显著性水平它们的拒绝域是相同的。因此遇到形如（ 1.7）的检验问题，可归结为（ 1.3）来讨论。对于下面将要讨论的有关正态总体的参数的检验也有类似的结果。
0H
数理统计
2,未知，关于 的检验（ t检验）
设总体,其中 未知，我们来求检验问题的拒绝域（显著性水平为 ）。
设 是来自正态总体 X 的样本，
由于 未知，现在不能利用 来确定拒绝域了。
0x
n
12,,,nx x x
0 0 1 0:,:HH
2(,)XN 2,
2
2?
数理统计
0
0{}xPk
sn?
00HH
0 ( 1 )x tn
sn
0H0
xt
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0H
0xtk
sn
2s 2?
0xt
sn
注意到 是 的无偏估计，我们用 s来代替,采用 作为 检验统计量 。当过分大时就拒绝,拒绝域 的形式为已知当 为真时，,故由
P {拒绝 为真 }＝,
数理统计得,即 拒绝域 为对于正态总体,当 未知时，关于的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出。
2
2 ( 1 )k t n
0
2 ( 1 )
x
t t n
sn
2(,)N
数理统计上述利用 t 统计量得出得检验法称为 t检验法 。在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用
t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题 。
数理统计例 1 某种电子元件的寿命 X（以小时计）服从正态分布,均未知。现测得 16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225（小时
）？
2,
数理统计
0 0 1,2 2 5,,2 2 5,HH
0.05
0 0,6 6 8 5 1,7 5 3 1,xt
sn
0H
0 ( 1 )xt t n
sn?
0,0 5 (1 5 ) 1,7 5 3 1,t? 2 4 1,5,9 8,7 2 5 9xs
解,按题意需检验取 。由表 8.1知检验问题的拒绝域为现在 n=16,又算得即得
t不落在拒绝域，故接受,即认为元件的平均寿命不大于 225小时。
数理统计二,两个正态总体均值差的检验（ t 检验）
112,,,nx x x
21(,)N
212,,,ny y y
22(,)N
,xy
22
12,ss 212,,
我们还可以用 t检验法检验具有相同方差的两个正态总体均值差的假设。
设 是来自正态总体 的样本
,是来自正态总体 的样本且设两样本独立。又分别记它们的样本均值为,
记样本方差为 。设 均为未知，要特别引起注意的是，在这里假设两总体的方差是相等的。
数理统计
12
()
11
w
xy
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22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2w
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0 1 2 1 1 2:,,.HH
0,0 5
现在来求检验问题：
（ 为已知常数）的拒绝域，取显著性水平为引用下述 t 统计量作为 检验统计量,
其中数理统计
00HH
12
12
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11
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当 为真时，已知 与单个总体的 t 检验法相仿，其 拒绝域 的形式为
P{拒绝 为真 }
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数理统计
12
12
()
( 2),
11
w
xy
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nn
12( 2 ),k t n n
可得 于是得拒绝域为关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域在书附表中给出。常用的是 的情况。
当 两种正态总体的方差均为已知 时，我们可用 u检验法来检验两正态总体均值差 的假设问题。
0
数理统计例 2 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了 10炉，
其得率分别为标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0
75.5 76.7 77.3
新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1
77.3 80.2 82.1
数理统计
0,0 5
2
1(,)N
2
2(,)N
212,,
设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体 和,均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？
（取 ）
2
11
2
22
1 0,7 6,2 3,3,3 2 5,
1 0,7 9,4 3,2,2 2 5,
n x s
n y s
0 1 2 1 1 2,0,,0,HH
解：需要检验假设分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差如下：
数理统计
0H
0.05 ( 18 ) 1.7 34 1,11
10 10w
xy
tt
s
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2 12
0,0 5
( 1 0 1 ) ( 1 0 1 ) 2,7 7 5,( 1 8 ) 1,7 3 4 1,
1 0 1 0 2w
ssst
又，
故拒绝域为现在由于样本观察值 t＝ -4.295<-1.7341,所以拒绝,
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。
数理统计三、小结在这一节中我们学习了正态总体均值的检验法,有以下两种,单个正态总体 均值的检验以及两个正态总体均值差的检验,
数理统计四、布置作业概率论与数理统计标准化作业 (七 )
