概率论第三节 协方差及相关系数协方差相关系数课堂练习小结 布置作业概率论前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，
对于二维随机变量（ X,Y），我们除了讨论 X与 Y
的数学期望和方差以外，还要讨论描述 X和 Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数概率论量 E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量 X和
Y的协方差,记为 Cov(X,Y),即
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差
2.简单性质
⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
1.定义概率论
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若 X 与 Y 独立,Cov(X,Y)= 0,
3,计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
即概率论
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
4,随机变量 和的方差与协方差的关系特别地
)()()(),( 22 XDXEXEXXC o v
概率论协方差的大小在一定程度上反映了 X和 Y相互间的关系，但它还受 X与 Y本身度量单位的影响,例如：
Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了 相关系数,
概率论二,相关系数为随机变量 X 和 Y 的相关系数,
定义,设 D(X)>0,D(Y)>0,
)()(
),(
YDXD
YXC o v
XY
称在不致引起混淆时,记 为,XY
概率论相关系数的性质：
11?||,?
证,由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数 b,有
0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )
)(
),(
XD
YXC o vb?令,则上式为
D(Y- bX)=
)(
)],([)( 2
XD
YXC o vYD?
])()( )],([1)[(
2
YDXD
YXC o vYD ]1)[( 2 YD
由于方差 D(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以 | |≤1。2
概率论
2,X和 Y独立时,=0，但其逆不真,?
由于当 X和 Y独立时,Cov(X,Y)= 0.
故
)()(
),(
YDXD
YXC o v = 0
0但由 并不一定能推出 X和 Y 独立,
请看下例,
概率论
，
Cov(X,Y)=0，
事实上,X的密度函数
其它0
2
1
2
1
1
)(
x
xf
0)(?XE可得
0)(c o s)c o s()( 2
1
2
1
dxxxfxXXEXYE
0)()()(),( YEXEXYEYXC ov
例 1 设 X服从 (-1/2,1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X,
不难求得概率论
1.3
存在常数 a,b(b≠0）,使 P{Y= a + b X}=1，
即 X 和 Y 以概率 1 线性相关,
因而 =0，? 即 X和 Y不相关,
但 Y与 X有严格的函数关系,即 X和 Y不独立,
概率论考虑以 X的线性函数 a+bX来近似表示 Y，
以均方误差
e =E{[Y-(a+bX)]2}
来衡量以 a +b X 近似表示 Y 的好坏程度,
e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好,
用微积分中求极值的方法，求出使 e达到最小时的 a,b
相关系数刻划了 X和 Y间“线性相关”的程度,
概率论
=E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X)
- 2aE(Y)
e =E{[Y-(a+bX)]2 }
0)(2)(2)(2
0)(2)(22
2
XaEXYEXbE
b
e
YEXbEa
a
e
)(
),(
0 XD
YXC o vb?解得
)()( 00 XEbYEa
这样求出的最佳逼近为
L(X)=a0+b0X
概率论这样求出的最佳逼近为 L(X)=a0+b0X
这一逼近的剩余是若 =0,Y 与 X 无线性关系 ;?
Y与 X有严格线性关系 ;,1若可见,
若 0<| |<1,?
| | 的值越接近于 1,Y 与 X 的线性相关程度越高 ;?
| | 的值越接近于 0,Y与 X的线性相关程度越弱,?
E[(Y-L(X))2]= D(Y)(1- )2?
概率论但对下述情形，独立与不相关等价若 (X,Y)服从二维正态分布，则
X与 Y独立 X与 Y不相关?
前面，我们已经看到：
若 X 与 Y 独立，则 X与 Y不相关，
但由 X与 Y不相关，不一定能推出 X与 Y独立,
概率论三、课堂练习
1,）具有概率密度，设随机变量（ YX
其它0
20,20)(
8
1
),(
yxyx
yxf
。求 )(),,(),(),( YXDYXC ovYEXE?
2,相互独立，，且设设 YXNYNX ),(~),,(~ 22
是不全为零的常数）。
，其中的相关系数和试求 (21 YXZYXZ
概率论
1、解 95)(,361),(,67)()( YXDYXC ovYEXE
2、解 2)()( YDXD
222221 )()()()()( YDXDYXDZD
222222 )()()()()( YDXDYXDZD
22
22
21
21
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21
ZDZD
ZZCov
ZZ
),(),( 21 YXYXC ovZZC ov
),(),( 22 YYC o vXXC o v 22( ) ( )D X D Y
2 2 2()
概率论四、小结这一节我们介绍了协方差、相关系数、
相关系数是刻划两个变量间 线性相关程度 的一个重要的数字特征,
注意独立与不相关并不是等价的,
当 (X,Y) 服从二维正态分布时，有
X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关?
概率论五,布置作业
,概率论与数理统计,作业（四）
三、解答题 第 6小题
对于二维随机变量（ X,Y），我们除了讨论 X与 Y
的数学期望和方差以外，还要讨论描述 X和 Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数概率论量 E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量 X和
Y的协方差,记为 Cov(X,Y),即
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差
2.简单性质
⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
1.定义概率论
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若 X 与 Y 独立,Cov(X,Y)= 0,
3,计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
即概率论
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
4,随机变量 和的方差与协方差的关系特别地
)()()(),( 22 XDXEXEXXC o v
概率论协方差的大小在一定程度上反映了 X和 Y相互间的关系，但它还受 X与 Y本身度量单位的影响,例如：
Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了 相关系数,
概率论二,相关系数为随机变量 X 和 Y 的相关系数,
定义,设 D(X)>0,D(Y)>0,
)()(
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YXC o v
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称在不致引起混淆时,记 为,XY
概率论相关系数的性质：
11?||,?
证,由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数 b,有
0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )
)(
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YXC o vb?令,则上式为
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由于方差 D(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以 | |≤1。2
概率论
2,X和 Y独立时,=0，但其逆不真,?
由于当 X和 Y独立时,Cov(X,Y)= 0.
故
)()(
),(
YDXD
YXC o v = 0
0但由 并不一定能推出 X和 Y 独立,
请看下例,
概率论
，
Cov(X,Y)=0，
事实上,X的密度函数
其它0
2
1
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1
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)(
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0)(?XE可得
0)(c o s)c o s()( 2
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dxxxfxXXEXYE
0)()()(),( YEXEXYEYXC ov
例 1 设 X服从 (-1/2,1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X,
不难求得概率论
1.3
存在常数 a,b(b≠0）,使 P{Y= a + b X}=1，
即 X 和 Y 以概率 1 线性相关,
因而 =0，? 即 X和 Y不相关,
但 Y与 X有严格的函数关系,即 X和 Y不独立,
概率论考虑以 X的线性函数 a+bX来近似表示 Y，
以均方误差
e =E{[Y-(a+bX)]2}
来衡量以 a +b X 近似表示 Y 的好坏程度,
e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好,
用微积分中求极值的方法，求出使 e达到最小时的 a,b
相关系数刻划了 X和 Y间“线性相关”的程度,
概率论
=E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X)
- 2aE(Y)
e =E{[Y-(a+bX)]2 }
0)(2)(2)(2
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这样求出的最佳逼近为
L(X)=a0+b0X
概率论这样求出的最佳逼近为 L(X)=a0+b0X
这一逼近的剩余是若 =0,Y 与 X 无线性关系 ;?
Y与 X有严格线性关系 ;,1若可见,
若 0<| |<1,?
| | 的值越接近于 1,Y 与 X 的线性相关程度越高 ;?
| | 的值越接近于 0,Y与 X的线性相关程度越弱,?
E[(Y-L(X))2]= D(Y)(1- )2?
概率论但对下述情形，独立与不相关等价若 (X,Y)服从二维正态分布，则
X与 Y独立 X与 Y不相关?
前面，我们已经看到：
若 X 与 Y 独立，则 X与 Y不相关，
但由 X与 Y不相关，不一定能推出 X与 Y独立,
概率论三、课堂练习
1,）具有概率密度，设随机变量（ YX
其它0
20,20)(
8
1
),(
yxyx
yxf
。求 )(),,(),(),( YXDYXC ovYEXE?
2,相互独立，，且设设 YXNYNX ),(~),,(~ 22
是不全为零的常数）。
，其中的相关系数和试求 (21 YXZYXZ
概率论
1、解 95)(,361),(,67)()( YXDYXC ovYEXE
2、解 2)()( YDXD
222221 )()()()()( YDXDYXDZD
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22
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概率论四、小结这一节我们介绍了协方差、相关系数、
相关系数是刻划两个变量间 线性相关程度 的一个重要的数字特征,
注意独立与不相关并不是等价的,
当 (X,Y) 服从二维正态分布时，有
X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关?
概率论五,布置作业
,概率论与数理统计,作业（四）
三、解答题 第 6小题
