概率论
,概率统计,习题课 (二 )
概率论一,填空题,
1
1
k
kp由解, 1)2/1(5
1
k
kA即
5
1?A得
1 ）设离散型随机变量 X 分布律为
),2,1()2/1(5}{ kAkXP
k
则?A __________
5
1
概率论一,填空题,
2 ）已知随机变量 X 的密度为
)( xf
其它,0
10,xbax
,且 8/5}5.0{XP,则
a ________?b ________
,1)( dxxf由解, 1210 badxbax得
,85283}5.0{ 1 5.0 badxbaxXP又
2
1,1 ba解得：
1 21
概率论
3 ）设 ),2(~ 2?NX,且 3.0}42{ XP,则
}0{ XP _________
,5.0}2{XP解：由对称性得,3.0}20{ XP
}0{?XP所以 }20{}2{ XPXP
2.0?
2.0
一,填空题,
概率论二,选择题：
1 ）设 ),(~
2
NX,那么当? 增大时，
}{XP
A ）增大； B ）减少；
C ）不变； D ）增减不定。
}{XP解：由 }1{XP
11
112
C
概率论二,选择题：
2 ）设 X 的密度函数为 )( xf,分布函数为 )( xF,
且 )()( xfxf,那么对任意给定的 a 都有
A ) dxxfaf
a
0
)(1)( ;
B ) dxxfaF
a
0
)(
2
1
)( ;
C ) )()( aFaF ； D ) 1)(2)( aFaF
,5.0}0{)0( XPF解：由对称性得
}{)( aXPaF a dxxf )( a dxxf )(
a dxxf0 )(21
B
概率论
3 ）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
A ）
2
1
1)(
x
xF B ） xxF a r ct a n
1
2
1
)(
C ）?)( xF
0,0
0),1(5.0
x
xe
x
D ） dttfxF
x
)()(,其中 1)(?
dttf
的性质由解,)( xF 1)(0 xF 不减)( xF
0)(F 1)(F 右连续)( xF
正确得以及 Bxf 0)(?
B
概率论三,解答题
1 ）从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所需抽取次数的分布率。
（ 1 ）放回 （ 2 ）不放回放回：解,)1(,X设抽取次数为随机变量
:的所有可能取值为则 X?,2,1?X
,2,1131013 3}{
1
kkXP
k
分布律为：
概率论三,解答题
1 ）从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所需抽取次数的分布率。
（ 1 ）放回 （ 2 ）不放回不放回：解,)2(,X设抽取次数为随机变量的所有可能取值为则 X 4,3,2,1?X
,1310}1{XP分布律为：,1210133}2{XP
,1110122133}3{XP 1010111122133}4{XP
概率论2 ）设随机变量 X 的密度函数为
xAexf)(
)( x,求 （ 1 ）系数 A ; (2 ) }10{ XP ; (3 )
分布函数 )( xF,
三,解答题
dxxf )()1( 由解, dxAe x
02 dxAe x12 A
2
1?A得：
1021}10{)2( dxeXP x e1121
概率论
2 ）设随机变量 X 的密度函数为
x
Aexf
)( )( x,
求,(1 ) 系数 A ； (2 ) }10{ XP ； (3 ) 分布函数 )( xF,
三,解答题
}{)()3( xXPxF解：
x
tt
x
t
xdtedte
xdte
0
0
0,
2
1
2
1
0,
2
1
0,
2
1
1
0,
2
1
xe
xe
x
x
概率论三,解答题
其它的密度函数为直径解：
,0
,
1
)()3(
bxa
abxfX
3 ） 对球的直径作测量，设其值均匀地分布在ba,内。求体积的密度函数。
3
6 XY
体积
yYPyF Y)( yXP 36 3 6? yXP
dxxfy 3 6 )(?
概率论
3
33
3
6
,1
66
,
1
6
,0
)(
3 6
by
byadx
ab
ay
yF
y
a
Y
)()( yFyf YY
其它,0
66
,
1 333 6
bya
ab
y
其它,0
66
,
62 333
2
bya
y
ab
概率论
4 ） 设在独立重复实验中，每次实验成功概率为 5.0,问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于 9.0
三,解答题次，设需要解,N)4(5.0,~ NbX由至少成功一次概率,1?XP11 XP
01 XP N5.01 9.0?
4?N得概率论
5 ） 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 01.0 以下来设计的，设男子的身高
)7,1 6 8(~ 2NX,问车门的高度应如何确定？
三,解答题
，设门高为解,h)5(，碰头事件为 hX?
,01.0 hXP由题意得?,01.01 hP即
,01.071681 h 99.071 68 h
,3 26.271 68 h 3.184 h
概率论四、证明题设随即变量 X 的参数为 2 的指数分布，
证明,XeY 21 在区间1,0 上服从均匀分布。
的概率密度为证明,X
其它,0
0,2)( 2 xexf x
yYPyF Y)(yeP X 21
1,1
10,
2
1ln
0,0
y
y
y
X
y
概率论
1,1
10,2
0,0
)(
2
1ln
2
y
ydxe
y
yF y
x
Y
)()( yFyf YY
其它,0
10,2
2
1ln 2
1ln
2
ye
y
y
其它,0
10,1 y
,概率统计,习题课 (二 )
概率论一,填空题,
1
1
k
kp由解, 1)2/1(5
1
k
kA即
5
1?A得
1 ）设离散型随机变量 X 分布律为
),2,1()2/1(5}{ kAkXP
k
则?A __________
5
1
概率论一,填空题,
2 ）已知随机变量 X 的密度为
)( xf
其它,0
10,xbax
,且 8/5}5.0{XP,则
a ________?b ________
,1)( dxxf由解, 1210 badxbax得
,85283}5.0{ 1 5.0 badxbaxXP又
2
1,1 ba解得：
1 21
概率论
3 ）设 ),2(~ 2?NX,且 3.0}42{ XP,则
}0{ XP _________
,5.0}2{XP解：由对称性得,3.0}20{ XP
}0{?XP所以 }20{}2{ XPXP
2.0?
2.0
一,填空题,
概率论二,选择题：
1 ）设 ),(~
2
NX,那么当? 增大时，
}{XP
A ）增大； B ）减少；
C ）不变； D ）增减不定。
}{XP解：由 }1{XP
11
112
C
概率论二,选择题：
2 ）设 X 的密度函数为 )( xf,分布函数为 )( xF,
且 )()( xfxf,那么对任意给定的 a 都有
A ) dxxfaf
a
0
)(1)( ;
B ) dxxfaF
a
0
)(
2
1
)( ;
C ) )()( aFaF ； D ) 1)(2)( aFaF
,5.0}0{)0( XPF解：由对称性得
}{)( aXPaF a dxxf )( a dxxf )(
a dxxf0 )(21
B
概率论
3 ）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
A ）
2
1
1)(
x
xF B ） xxF a r ct a n
1
2
1
)(
C ）?)( xF
0,0
0),1(5.0
x
xe
x
D ） dttfxF
x
)()(,其中 1)(?
dttf
的性质由解,)( xF 1)(0 xF 不减)( xF
0)(F 1)(F 右连续)( xF
正确得以及 Bxf 0)(?
B
概率论三,解答题
1 ）从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所需抽取次数的分布率。
（ 1 ）放回 （ 2 ）不放回放回：解,)1(,X设抽取次数为随机变量
:的所有可能取值为则 X?,2,1?X
,2,1131013 3}{
1
kkXP
k
分布律为：
概率论三,解答题
1 ）从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所需抽取次数的分布率。
（ 1 ）放回 （ 2 ）不放回不放回：解,)2(,X设抽取次数为随机变量的所有可能取值为则 X 4,3,2,1?X
,1310}1{XP分布律为：,1210133}2{XP
,1110122133}3{XP 1010111122133}4{XP
概率论2 ）设随机变量 X 的密度函数为
xAexf)(
)( x,求 （ 1 ）系数 A ; (2 ) }10{ XP ; (3 )
分布函数 )( xF,
三,解答题
dxxf )()1( 由解, dxAe x
02 dxAe x12 A
2
1?A得：
1021}10{)2( dxeXP x e1121
概率论
2 ）设随机变量 X 的密度函数为
x
Aexf
)( )( x,
求,(1 ) 系数 A ； (2 ) }10{ XP ； (3 ) 分布函数 )( xF,
三,解答题
}{)()3( xXPxF解：
x
tt
x
t
xdtedte
xdte
0
0
0,
2
1
2
1
0,
2
1
0,
2
1
1
0,
2
1
xe
xe
x
x
概率论三,解答题
其它的密度函数为直径解：
,0
,
1
)()3(
bxa
abxfX
3 ） 对球的直径作测量，设其值均匀地分布在ba,内。求体积的密度函数。
3
6 XY
体积
yYPyF Y)( yXP 36 3 6? yXP
dxxfy 3 6 )(?
概率论
3
33
3
6
,1
66
,
1
6
,0
)(
3 6
by
byadx
ab
ay
yF
y
a
Y
)()( yFyf YY
其它,0
66
,
1 333 6
bya
ab
y
其它,0
66
,
62 333
2
bya
y
ab
概率论
4 ） 设在独立重复实验中，每次实验成功概率为 5.0,问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于 9.0
三,解答题次，设需要解,N)4(5.0,~ NbX由至少成功一次概率,1?XP11 XP
01 XP N5.01 9.0?
4?N得概率论
5 ） 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 01.0 以下来设计的，设男子的身高
)7,1 6 8(~ 2NX,问车门的高度应如何确定？
三,解答题
，设门高为解,h)5(，碰头事件为 hX?
,01.0 hXP由题意得?,01.01 hP即
,01.071681 h 99.071 68 h
,3 26.271 68 h 3.184 h
概率论四、证明题设随即变量 X 的参数为 2 的指数分布，
证明,XeY 21 在区间1,0 上服从均匀分布。
的概率密度为证明,X
其它,0
0,2)( 2 xexf x
yYPyF Y)(yeP X 21
1,1
10,
2
1ln
0,0
y
y
y
X
y
概率论
1,1
10,2
0,0
)(
2
1ln
2
y
ydxe
y
yF y
x
Y
)()( yFyf YY
其它,0
10,2
2
1ln 2
1ln
2
ye
y
y
其它,0
10,1 y
