概率论第五节 随机变量的函数的分布问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布小结 布置作业概率论一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣,
4
2d?求截面面积 A=
的分布,
比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，
概率论在比如,已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，
求功率 W=V2/R ( R 为电阻 ）
的分布等,
t
0t
0
概率论设随机变量 X 的分布已知,Y=g (X) (设
g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？
下面进行讨论,
这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的,
概率论二、离散型随机变量 函数的分布解,当 X 取值 1,2,5 时,
Y 取对应值 5,7,13，
例 1 设 X
3.0
5
5.02.0
21
求 Y= 2X + 3 的概率函数,
～
30
13
5020
75
...
~Y
而且 X取某值与 Y取其对应值是两个同时发生的事件,两者具有相同的概率,
故概率论如果 g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当并项即可,
一般地，若 X是离散型 r.v,X 的分布律为
X
n
n
ppp
xxx
21
21
～
则 Y=g(X) ～
n
n
ppp
xgxgxg
21
21 )()()(
概率论如,X

1.0
1
6.03.0
01～
则 Y=X2 的分布律为：
4060
10
..
Y ～
概率论三、连续型随机变量函数的分布解 设 Y的分布函数为 FY(y)，
例 2 设 X ~

其它,0
40,8/
)(
xx
xf X
求 Y=2X+8 的概率密度,
FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y )
=P{ X } = FX( )?
2
8?y
2
8?y
于是 Y 的密度函数
2
1)
2
8()()( yf
dy
ydFyf
X
Y
Y
概率论
0)28(yfX16?
故


其它,0
168,
32
8
)( y
y
yf Y
2
1)
2
8()()( yf
dy
ydFyf
X
Y
Y
注意到 0 < x < 4 时,0?)( xf X
即 8 < y < 16 时,0)
2
8(yf
X
此时
16
8)
2
8( yyf
X
Y=2X+8

其它,0
40,8/)( xxxf
X
概率论例 3 设 X 具有概率密度,求 Y=X2 的概率密度,)(xf
X
)( yXyP
当 y>0 时,)()( yYPyF
Y )( 2 yXP
注意到 Y=X2 0,故当 y 0 时,. 0?)( yF
Y
)(xFX)(yFY解 设 Y 和 X 的分布函数分别为 和,
)()( yFyF XX
YF y P Y y
概率论若 e xxf
X 2
2
2
1
)(
则 Y=X2 的概率密度为：



0,0
0,
2
1
)(
22
1
y
yyf ey
y
Y?




0,0
0,)()(
2
1
)(
)(
y
yyfyf
y
dy
ydF
yf XXYY
求导可得
,x
概率论从上述两例中可以看到，在求 P(Y≤y) 的过程中，
关键的一步是设法 从 { g(X) ≤ y }中解出 X,从而得到与
{g(X) ≤ y }等价的 X 的不等式,
例如，用 代替 {2X+8 ≤ y }{ X }?
2
8?y
用 代替 { X2 ≤ y }}{ yXy
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率,
这是求 r.v的函数的分布的一种常用方法,
概率论例 4 设随机变量 X的概率密度为

其它0
0
2
)( 2
x
x
xf
求 Y = sinX 的概率密度,
,0)(?yF Y当 y 0 时,
当 y 1时,
1)(?yFY?
10 y x0
当 时故解
YF y P Y y
11Y
注意到,
概率论
)()( yYPyF Y )( s in yXP
解 当 0 < y <1 时,
例 4 设随机变量 X 的概率密度为

其它0
0
2
)( 2
x
x
xf
求 Y = sinX 的概率密度,
=P(0 < X arcsiny) +P( - arcsiny X ） π?
0 22π πXX π或概率论
2)a r c s in(
y? 2
)a r c s in(1
y
dy
ydFyf Y
Y
)()(?而求导得,


其它,0
10,
1
2
)( 2
y
yyf Y?

y
dxx
a r c s i n
0 2
2

y
dxx
a r c s i n 2
2
概率论例 5 已知随机变量 X的分布函数 F(x)是严格单调的连续函数,证明 Y=F(X)服从 [0,1]上的均匀分布,
又由于 X的分布函数 F是严格递增的连续函数,其反函数 F-1 存在且严格递增,
证明 设 Y 的分布函数是 G(y),
于是 对 y > 1,G (y) = 1;对 y < 0,G (y) = 0;
10 y由于
01Y
G y P Y y
概率论对 0≤y≤1,G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)
=P(X ≤ (y))1?F 1?F=F( (y))= y

1,1
10,
0,0
)(
y
yy
y
yG
即 Y的分布函数是

其它,0
10,1
)(
y
yg
求导得 Y的密度函数可见,Y 在 [0,1]上服从的均匀分布,
概率论下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度,
概率论

其它,0
,
)(
)]([
)(
y
dy
ydh
yhf
yf Y
其中,
),(m in xgbxa ),(m a x xgbxa
x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数,
定理 设 X是一个取值于区间 [a,b]，具有概率密度
f(x)的连续型 r.v,又设 y=g(x)处处可导，且对于任意
x,恒有 或恒有,则 Y=g(X)是一个 连续型 r.v，它的概率密度为
0)( xg 0)( xg
此定理的证明与前面的解题思路类似概率论

xexf
x
X,
2
1
)( 2
2
2
)(

解
baxxgy )(
的概率密度为随机变量 X
a
byyhx )(解得
ayh
1)( 的概率密度为所以 baXY
y
a
byf
a
yf Xy ),(1)(
例 7 设随机变量 服从正态分布，证明 ),(~ 2NX
baXY 也 服从正态分布,
概率论




ye
a
e
a
yf
a
aby
a
by
y
2
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1
2
11
)(


即
2)(,~ abaNbaXY所以概率论四、小结对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布时,关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为 X在一定范围内取值的形式,从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.
这一节我们介绍了随机变量函数的分布,
概率论一,设随机变量 X 的分布律为：
X － 2 － 1 0 1 3
P 1/ 5 1/ 6 1/ 5 1/ 15 1 1/ 30
求 Y =X
2
的分布律二、设 X ～ N （ 0,1 ）
（ 1 ）求 Y= e
X
的概率密度
（ 2 ） 求 Y= 2 X
2
+1 的概率密度。
（ 3 ）求 Y = | X | 的概率密度。
练习题概率论三、设随机变量 X 在 （ 0,1 ）上服从均匀分布
（ 1 ）求 Y= e
X
的分布密度
（ 2 ）求 Y= － 2 ln X 的概率密度。
概率论一,设随机变量 X 的分布律为：
X － 2 － 1 0 1 3
P 1/ 5 1/ 6 1/ 5 1/ 15 1 1/ 30
求 Y =X
2
的分布律解,9,4,1,02 YXY 的所有可能取值为：
}0{?YP }0{ 2?XP }0{ XP 5/1?
}1{?YP }1{ 2 XP }11{ XXP 或
}1{}1{ XPXP 307?
}4{?YP }4{ 2?XP }22{ XXP 或
}2{}2{ XPXP 5/1?
概率论
}4{?YP }4{ 2?XP }22{ XXP 或
}2{}2{ XPXP }2{ XP 5/1?
}9{?YP }9{ 2?XP }33{ XXP 或
}3{}3{ XPXP }3{ XP 30/11?
设随机变量 Y 的分布律为：
Y 0 1 4 9
P 1/ 5 7/ 30 1/ 5 1 1 / 30
概率论
,概率统计,标准化作业（二）三,3；四、
五、布置作业