§ 6-4 平行力系的中心及重心结论 如果平行力系有合力，则合力的作用线必过一个确定的点，这个确定的点不随平行力系方向的变化而改变。
C点 —— 平行力系中心即,C点的位置是确定的。
一、平行力系中心
FR·BC·sinα=F1·AB·sinα
α
A 即：
F1·BC+F2·BC=F1·ABα α
FRF1
F2
C B
∥ F2F1 F1 F2FR MB( ) =FR F1MB( ) + F2MB( )
BC
AC=
F
F ∴
1
2
∴C 点的位置与,的大小及作用点 A,B有关，
与夹角 α 无关。
F1 F2
= +
二、平行力系中心的计算
xc
..
o
FR·x c=∑Fi·x i
同理：
y
x
z
yc
xiyi
i c
My( ) =FR
∑
n
1=
y )F (M
i
i
R
c F
∑ xF
=x ∴ ii
FR·y c=∑Fi·y iMx( ) =FR
∑
n
1=
x )F (M
i
i
R
c F
yF
=y
∑
∴ ii
R
c F
zF
=z
∑
∴ ii
FRFi
三、重心薄板：
厚 t,V=At,Vi = Ait
线：
1.均质物体质心截面面积 S,V= SL,Vi= SLi
重心
G = Vρ
R
c G
xG
=x
∑
∴ ii
R
c G
yG
=y
∑ ii
R
c G
zG
=z
∑ ii
Gi = Viρ
R
c V
xV
=x
∑
∴ ii Rc V
yV
=y
∑ ii
R
c V
zV
=z
∑ ii
重心 形心
R
c A
xA
=x
∑
∴ ii
R
c L
xL
=x
∑
∴ ii
2.质量连续分布体：
线：
面：
V
x dv
=x Vc
∫
V
y dv
=y Vc
∫
V
z dv
=z Vc
∫
A
x d A
=x Ac
∫
A
y d A
=y Ac
∫
A
z dA
=z Ac
∫
L
x dL
=x Lc
∫
L
y d L
=y Lc
∫
L
z dL
=z Lc
∫
求三角的中心。 C
解：
例 2.求半径 r，张开角 2α 的圆弧线的中心 C。
A B
D
yc= 0 L=2αrx=rcosθ
例 3.
dL=rdθ
dθ
θx
α
α
y
α
αs i n
αα
c o s
αα
α r=
r
dc o s r
=
r
d r
=
L
x d L
=x 0
2
L
c 2
2
2
2 ∫∫∫
∴
θθθθ
－
求半径 R，张开角 2α 扇形面积的形心 C。
yc= 0解：
解：
x
y
α
α
R=r 32 α
α
α
α
3
s i nR
=
s i nR
=x c
23
2
例 1.
例 2.
各杆每米长等重，求重心的位置。
解：
1
45°
y
2m
x
2m2m
m22
45°3
2
21 =x c
22 =x c
01 =y c
22 =y c
221 =L
42 =L
2213 =x c 2213 =y c
23 =L
mc,=
+
+
=
+
++
=x 2541
226
254
226
2
2
1
224222
mc,=
+
=
+
+=y 8 0 10
226
25
226
224
求图示细杆形心坐标。
解：
xc1=0
L2=160 1
例 3.
o
z
x
y
πππ
π 1602
2
2 =r=r=r=z
c1
s i n
α
αs i n
π =πD=L 1 8021
2
yc1=80xc2=80 yc2=0
zc2=0
mmc =+ ×=L+L xL+xL=x 13311 6 080 801 6 0
21
2211,
π
mmc =+=L+L yL+yL=y 87481 6 080 80
2
21
2211,
π
π
mmc =+ ×=L+L zL+zL=z 13311 6 080 1 6 080
21
2211,
π
A1解法 Ⅰ,解：
求图示图形的形心。例 4,y
xd
e
a
b
A3A2
32
3322
A+A+A
xA+xA+xA=x
1
11
c
debdaebae
ebedebebedaeb
e
ae
)(+))((+
)](+[)(+)](+)[)((+
=
－－－
－－－－－
2
1
2
1
3
1
2
1
2
32
3322
A+A+A
yA+yA+yA=y
1
11
c
debdaebae
ddebdaddaeb
a
ae
)(+))((+
)(+)](+)[)((+
=
－－－
－－－－
2
1
2
1
3
1
2
1
2
A1=ab
y
xd
e
a
b
A1 A2
解法 Ⅱ,负面积法
))((=A daeb －－－ 212
2
22
A+A
xA+xA=x
1
11
c
))((
)](+)[)((
=
daebab
ebedaeb
b
ab
－－－
－－－－
2
1
3
2
2
1
2
2
22
A+A
yA+yA=y
1
11
c
))((
)](+)[)((
=
daebab
daddaeb
a
ab
－－－
－－－－
2
1
3
2
2
1
2
空 间 力 系 习 题 课例 1.手摇钻。
已知,FBz=50N,F=150N。
解：
M－ 0.15F = 0
∴ FBx = 75 N0.4FBx－ 0.2F = 0
－ 0.4FBy = 0
FAz－ FBz = 0
FBy + FAy= 0
FBx + FAx－ F = 0 ∴ FAx = 75 N
求：⑴ A处反力
⑵ FBx=? FBy=?
∴ FBy = 0
∴ FAz = FBz = 50 N
∴ FAy = 0
z
F
FBx
FBy
FBz
x
FAx
FAy FAz
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
M
∴ M = 22.5 N.m
已知,G=10KN,b=c=30cm,a=R=20cm,r=10cm,α=20 °
求,A,B轴承处的约束反力。
解：
FnRcosα－ rG = 0
（ a+b+c)FAz－ G(a+b）－ aFnsinα= 0
FAz+FBz－ G－ Fnsinα= 0
－（ a+b+c)FAx－ aFncosα= 0
∴ FBz= 5.12 KN
∴ FAx=－ 125 KN
∴ FBx=－ 3.75 KNFBx－ FAx+Fncosα=0
例 2.起重绞车鼓轮轴。
z
y
x
A
a
α)
Gcb
B
Fn
∑mz= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
KNn,=F 325∴
∴ FAz= 6.7KN
FAx
FAz
FBx
FBz
Ⅰ 一般解法
Ⅱ
平面图解法
xz面,
F=Fncosα
AB y
x
a cb
y
G
z
A
B
Fr=Fnsinα
） α
z
x
G
Fn
FAx
FAz
FBx
FBz
FAx
FAz
FBx
FBz
xy面,
yz面,
FnRcosα－ rG = 0
（ a+b+c)FAz－ G(a+b）－ aFnsinα= 0
FAz+FBz－ G－ Fnsinα= 0
－（ a+b+c)FAx－ aFncosα= 0
∴ FBz= 5.12 KN
∴ FAx=－ 125 KN
∴ FBx=－ 3.75 KNFBx－ FAx+Fncosα=0
∑mz= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
KNn,=F 325∴
∴ FAz= 6.7KN
z
y
x
A
a
α)
Gcb
B
Fn
FAx
FAz
FBx
FBz
a
m=F=F ∴ 3
AyDy －－
例 3.已知,a,b,e,m2,m3。
求：平衡时 m1 及约束反力。
解：
FDx = 0
FAz+ FDz = 0
aFAz－ m2 = 0
m3－ aFAy = 0
FAy+ FDy = 0
m1－ bFAz－ eFAy = 0
x
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
a
m=F ∴ 3
Ay
a
m=F 2
Az∴
a
m=F 2
Dz －∴
321 ma
e+m
a
b=m ∴
e
b
a
y
z
⌒
m1m
2
m3
A
B C
D
FDy
FAy
FDx
FAz
FDz
求：绳的拉力及铰链反力。
均质板，边长 a，重 G=200N,A
处球铰链,B处碟形铰链固定于墙上，绳系于 C点保持板水平。
解,FBx = 0
FAx+FBx－ Fcos30° sin45° = 0
FAy－ Fcos30° cos45° =0
FBz+ FAz－ G + Fsin30° = 0
A
∴ F = G=200N
∴ FAx= 122.5 N
G
B
CD
x
y
z
30°FAx F
Bx
FAy FBzFAz
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
F
030 =FaG2a?s i n－
030 =s i nFa+G2aaF Bz?－
∴ FBz= 0
∴ FAz= 100N
∴ FAy= 122.5 N
例 4.
均质杆 AB长 L，重 G,A端用铰链固定于水平面,B端搁在铅垂墙上，
OA=a,B端与墙间的摩擦系数 fs。
α=？时 B端将开始沿墙滑动？
解：
FNrsinα － Ffacosα=0
设,OB=r
z′
杆 AB
aα E
z
G
x
y
D
O A
B
G
A
B
Ff
FN
O
z
x
yα F
AyF
Ax
FAz
∑mz′= 0:
Ff≤FNfs
22
ss
－aL
af
=
r
af
≤ t a n ∴ α
端将开始沿墙滑动时，当 B
22
s
aL
af
a r c t a n=
－
∴ α
问：
例 5.
1.整体：
FLsinα－ LG = 0
LG－ LFAz= 0
FAy= 0
求,1.绳的张力。 2.A,C处约束反力。
解：
2.CD杆：
FAx+FCx= 0
∴ FCy=－ G
例 6,已知,AB=CD= L,α=45 °,G=25KN，
A,C处球铰链，绳子 BK，不计杆重。
2
x
A
α
,B
C
D
E
z
y
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
G=F 2∴
G=F∴ Az
022 =GF+F+F CzAz － G=F Cz －∴
022 =FFF CyAy －－
∑mz′= 0:
02121 CyCx LF+LF
G
G
D
C
E FBy
FBx
FCx FBz
FCy
FCz
G=F=F∴ CxAx－
FCx
FCy
FCz
FAyF
Ax
FAz
z′
F
K
作业,6-13,6-14
C点 —— 平行力系中心即,C点的位置是确定的。
一、平行力系中心
FR·BC·sinα=F1·AB·sinα
α
A 即：
F1·BC+F2·BC=F1·ABα α
FRF1
F2
C B
∥ F2F1 F1 F2FR MB( ) =FR F1MB( ) + F2MB( )
BC
AC=
F
F ∴
1
2
∴C 点的位置与,的大小及作用点 A,B有关，
与夹角 α 无关。
F1 F2
= +
二、平行力系中心的计算
xc
..
o
FR·x c=∑Fi·x i
同理：
y
x
z
yc
xiyi
i c
My( ) =FR
∑
n
1=
y )F (M
i
i
R
c F
∑ xF
=x ∴ ii
FR·y c=∑Fi·y iMx( ) =FR
∑
n
1=
x )F (M
i
i
R
c F
yF
=y
∑
∴ ii
R
c F
zF
=z
∑
∴ ii
FRFi
三、重心薄板：
厚 t,V=At,Vi = Ait
线：
1.均质物体质心截面面积 S,V= SL,Vi= SLi
重心
G = Vρ
R
c G
xG
=x
∑
∴ ii
R
c G
yG
=y
∑ ii
R
c G
zG
=z
∑ ii
Gi = Viρ
R
c V
xV
=x
∑
∴ ii Rc V
yV
=y
∑ ii
R
c V
zV
=z
∑ ii
重心 形心
R
c A
xA
=x
∑
∴ ii
R
c L
xL
=x
∑
∴ ii
2.质量连续分布体：
线：
面：
V
x dv
=x Vc
∫
V
y dv
=y Vc
∫
V
z dv
=z Vc
∫
A
x d A
=x Ac
∫
A
y d A
=y Ac
∫
A
z dA
=z Ac
∫
L
x dL
=x Lc
∫
L
y d L
=y Lc
∫
L
z dL
=z Lc
∫
求三角的中心。 C
解：
例 2.求半径 r，张开角 2α 的圆弧线的中心 C。
A B
D
yc= 0 L=2αrx=rcosθ
例 3.
dL=rdθ
dθ
θx
α
α
y
α
αs i n
αα
c o s
αα
α r=
r
dc o s r
=
r
d r
=
L
x d L
=x 0
2
L
c 2
2
2
2 ∫∫∫
∴
θθθθ
－
求半径 R，张开角 2α 扇形面积的形心 C。
yc= 0解：
解：
x
y
α
α
R=r 32 α
α
α
α
3
s i nR
=
s i nR
=x c
23
2
例 1.
例 2.
各杆每米长等重，求重心的位置。
解：
1
45°
y
2m
x
2m2m
m22
45°3
2
21 =x c
22 =x c
01 =y c
22 =y c
221 =L
42 =L
2213 =x c 2213 =y c
23 =L
mc,=
+
+
=
+
++
=x 2541
226
254
226
2
2
1
224222
mc,=
+
=
+
+=y 8 0 10
226
25
226
224
求图示细杆形心坐标。
解：
xc1=0
L2=160 1
例 3.
o
z
x
y
πππ
π 1602
2
2 =r=r=r=z
c1
s i n
α
αs i n
π =πD=L 1 8021
2
yc1=80xc2=80 yc2=0
zc2=0
mmc =+ ×=L+L xL+xL=x 13311 6 080 801 6 0
21
2211,
π
mmc =+=L+L yL+yL=y 87481 6 080 80
2
21
2211,
π
π
mmc =+ ×=L+L zL+zL=z 13311 6 080 1 6 080
21
2211,
π
A1解法 Ⅰ,解：
求图示图形的形心。例 4,y
xd
e
a
b
A3A2
32
3322
A+A+A
xA+xA+xA=x
1
11
c
debdaebae
ebedebebedaeb
e
ae
)(+))((+
)](+[)(+)](+)[)((+
=
－－－
－－－－－
2
1
2
1
3
1
2
1
2
32
3322
A+A+A
yA+yA+yA=y
1
11
c
debdaebae
ddebdaddaeb
a
ae
)(+))((+
)(+)](+)[)((+
=
－－－
－－－－
2
1
2
1
3
1
2
1
2
A1=ab
y
xd
e
a
b
A1 A2
解法 Ⅱ,负面积法
))((=A daeb －－－ 212
2
22
A+A
xA+xA=x
1
11
c
))((
)](+)[)((
=
daebab
ebedaeb
b
ab
－－－
－－－－
2
1
3
2
2
1
2
2
22
A+A
yA+yA=y
1
11
c
))((
)](+)[)((
=
daebab
daddaeb
a
ab
－－－
－－－－
2
1
3
2
2
1
2
空 间 力 系 习 题 课例 1.手摇钻。
已知,FBz=50N,F=150N。
解：
M－ 0.15F = 0
∴ FBx = 75 N0.4FBx－ 0.2F = 0
－ 0.4FBy = 0
FAz－ FBz = 0
FBy + FAy= 0
FBx + FAx－ F = 0 ∴ FAx = 75 N
求：⑴ A处反力
⑵ FBx=? FBy=?
∴ FBy = 0
∴ FAz = FBz = 50 N
∴ FAy = 0
z
F
FBx
FBy
FBz
x
FAx
FAy FAz
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
M
∴ M = 22.5 N.m
已知,G=10KN,b=c=30cm,a=R=20cm,r=10cm,α=20 °
求,A,B轴承处的约束反力。
解：
FnRcosα－ rG = 0
（ a+b+c)FAz－ G(a+b）－ aFnsinα= 0
FAz+FBz－ G－ Fnsinα= 0
－（ a+b+c)FAx－ aFncosα= 0
∴ FBz= 5.12 KN
∴ FAx=－ 125 KN
∴ FBx=－ 3.75 KNFBx－ FAx+Fncosα=0
例 2.起重绞车鼓轮轴。
z
y
x
A
a
α)
Gcb
B
Fn
∑mz= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
KNn,=F 325∴
∴ FAz= 6.7KN
FAx
FAz
FBx
FBz
Ⅰ 一般解法
Ⅱ
平面图解法
xz面,
F=Fncosα
AB y
x
a cb
y
G
z
A
B
Fr=Fnsinα
） α
z
x
G
Fn
FAx
FAz
FBx
FBz
FAx
FAz
FBx
FBz
xy面,
yz面,
FnRcosα－ rG = 0
（ a+b+c)FAz－ G(a+b）－ aFnsinα= 0
FAz+FBz－ G－ Fnsinα= 0
－（ a+b+c)FAx－ aFncosα= 0
∴ FBz= 5.12 KN
∴ FAx=－ 125 KN
∴ FBx=－ 3.75 KNFBx－ FAx+Fncosα=0
∑mz= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
KNn,=F 325∴
∴ FAz= 6.7KN
z
y
x
A
a
α)
Gcb
B
Fn
FAx
FAz
FBx
FBz
a
m=F=F ∴ 3
AyDy －－
例 3.已知,a,b,e,m2,m3。
求：平衡时 m1 及约束反力。
解：
FDx = 0
FAz+ FDz = 0
aFAz－ m2 = 0
m3－ aFAy = 0
FAy+ FDy = 0
m1－ bFAz－ eFAy = 0
x
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
a
m=F ∴ 3
Ay
a
m=F 2
Az∴
a
m=F 2
Dz －∴
321 ma
e+m
a
b=m ∴
e
b
a
y
z
⌒
m1m
2
m3
A
B C
D
FDy
FAy
FDx
FAz
FDz
求：绳的拉力及铰链反力。
均质板，边长 a，重 G=200N,A
处球铰链,B处碟形铰链固定于墙上，绳系于 C点保持板水平。
解,FBx = 0
FAx+FBx－ Fcos30° sin45° = 0
FAy－ Fcos30° cos45° =0
FBz+ FAz－ G + Fsin30° = 0
A
∴ F = G=200N
∴ FAx= 122.5 N
G
B
CD
x
y
z
30°FAx F
Bx
FAy FBzFAz
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
F
030 =FaG2a?s i n－
030 =s i nFa+G2aaF Bz?－
∴ FBz= 0
∴ FAz= 100N
∴ FAy= 122.5 N
例 4.
均质杆 AB长 L，重 G,A端用铰链固定于水平面,B端搁在铅垂墙上，
OA=a,B端与墙间的摩擦系数 fs。
α=？时 B端将开始沿墙滑动？
解：
FNrsinα － Ffacosα=0
设,OB=r
z′
杆 AB
aα E
z
G
x
y
D
O A
B
G
A
B
Ff
FN
O
z
x
yα F
AyF
Ax
FAz
∑mz′= 0:
Ff≤FNfs
22
ss
－aL
af
=
r
af
≤ t a n ∴ α
端将开始沿墙滑动时，当 B
22
s
aL
af
a r c t a n=
－
∴ α
问：
例 5.
1.整体：
FLsinα－ LG = 0
LG－ LFAz= 0
FAy= 0
求,1.绳的张力。 2.A,C处约束反力。
解：
2.CD杆：
FAx+FCx= 0
∴ FCy=－ G
例 6,已知,AB=CD= L,α=45 °,G=25KN，
A,C处球铰链，绳子 BK，不计杆重。
2
x
A
α
,B
C
D
E
z
y
∑mz= 0:
∑Fy= 0:
∑mx= 0:
∑my= 0:
∑Fx= 0:
∑Fz= 0:
G=F 2∴
G=F∴ Az
022 =GF+F+F CzAz － G=F Cz －∴
022 =FFF CyAy －－
∑mz′= 0:
02121 CyCx LF+LF
G
G
D
C
E FBy
FBx
FCx FBz
FCy
FCz
G=F=F∴ CxAx－
FCx
FCy
FCz
FAyF
Ax
FAz
z′
F
K
作业,6-13,6-14
